A point-plane incidence theorem in matrix rings
Nguyen Van The, Le Anh Vinh
本文研究了矩阵环上的点-超平面关联定理，推广了这方面的文献。
In this paper, we study a point-hyper plane incidence theorem in matrix rings, which generalizes all previous works in literature of this direction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the probability of generating matrix incidence rings
本文研究矩阵元组与标量生成有限关联环的概率，并证明实、复有限维关联代数都能由两个随机矩阵生成。
Some remarks on structural matrix rings and matrices with ideal entries
关联到索引1，.，相应的结构矩阵环或关联代数将n元前序的格嵌入到n × n矩阵环的格中。嵌入的序凸包内的环，即包含对角矩阵的环的矩阵环，可以被看作是理想值的广义前序关系的关联代数。上、下三角形矩阵环的某些共轭对应于指数的各种线性序，而偏序的关联代数则产生于这些共轭矩阵环的交.
Surface topology and incidence theorems over division rings
本文探讨了曲面拓扑与除环上 incidences 定理的区别，通过扩展表面图方法，证明某些定理在除环上成立，而另一些则仅在域上成立。
A short proof of Rudnev's point-plane incidence bound
本文给出了Rudnev定理的一个简化证明，该定理限定了任意域上点与平面之间的关联数。鲁德涅夫的证明使用了一个通过四维克莱因二次曲面到三维空间的映射，在三维空间中，它将Guth和Katz的边界应用于线的交点。我们描述了一个简单的几何地图，直接发送点平面的发病率在空间中的线线相交，使我们能够重新证明鲁德涅夫定理与较少的技术细节。
On the metric dimension of incidence graph of Möbius planes
研究了Möbius平面上点圆关联图的度量维数和最优分裂分解集。证明了$q$阶Möbius平面的度量维数在$2q$附近，最优分裂分解集的基数介于近似$5q$和$2.5q\log q$之间.证明了$q$阶Möbius平面的最小块集至多有$2q(1 + \log(q + 1))$点.
Incidence geometry and universality in the tropical plane
我们研究了回归平面上直线的关联几何。我们证明热带类似物的西尔维斯特-Gallai和Motzkin-拉宾定理在经典的关联几何。这项研究自然会导致讨论的发病率数据的热带线的实现。从von Staudt结构和Mnëv的普适性定理中得到启发，我们证明了确定给定的热带线性入射数据是否可由热带线排列实现需要求解整数上的任意线性规划问题。
Twisted cubic and plane-line incidence matrix in $\mathrm{PG}(3,q)$
本文研究了射影空间$\mathrm{PG}(3,q)$的平面-直线关联矩阵在扭三次稳定子群下关于平面和直线轨道的结构。研究了线轨道并与平面轨道相交的子矩阵的结构。对于由两条或三条线轨道组成的并，将原子矩阵分裂成新的子矩阵，其中也考虑了关联度。对于每个子矩阵（除了对应于特殊类型的线的子矩阵之外），获得每个平面中的线的数目和通过每条线的平面。这对应于子矩阵的列和行中的1的数量。
Incidences between planes over finite fields
我们使用谱图论的方法来获得$\mathbb{F}_q^d$中$k$ -平面和$h$ -平面之间的关联数的界，这推广了Bennett，Iosevich和Pakianathan（2014）给出的最近结果。更精确地说，我们证明了$k$ -平面的集合$\mathcal{P}$和$h$ -平面的集合$\mathcal{H}$与$h\ge 2k+1$的关联数（记为$I(\mathcal{P},\mathcal{H})$）满足\[\left\vert I(\mathcal{P},\mathcal{H})-\frac{|\mathcal{P}||\mathcal{H}|}{q^{(d-h)(k+1)}}\right\vert \lesssim q^{\frac{(d-h)h+k(2h-d-k+1)}{2}}\sqrt{|\mathcal{P}||\mathcal{H}|}. \]
Orbits and incidence matrices for points, planes and lines regarding the twisted cubic in PG(3,q), q = 2, 3, 4
本文研究了有限域F_q上三维射影空间PG(3,q)中扭曲三次曲线的轨道分类及对应的incidence矩阵，针对q=2,3,4的情况解决开放问题。
Line-Plane Incidence Bound in $\mathbb{R}^4$
该研究针对 $\mathbb{R}^4$ 中一般位置的直线与平面，在特定维数配置和规模条件下，证明了线-平面关联数的非平凡上界 $L^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\epsilon}S + LS^{\frac{1}{2}+\epsilon}$，并给出辅助引理。
Point-curve incidences in the complex plane
证明了复平面上点与曲线的一个关联定理。给定${\mathbb R}^2$中的一组$m$点和一组具有$k$自由度的$n$曲线，Pach和Sharir证明了点-曲线关联的个数为$O\big(m^{\frac{k}{2k-1}}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n\big)$。我们建立了$k$自由度为${\mathbb C}^2$中$m$点与$n$（复）代数曲线之间关联数的弱界$O_\varepsilon\big(m^{\frac{k}{2k-1}+\varepsilon}n^{\frac{2k-2}{2k-1}}+m+n\big)$。我们结合了代数几何和微分几何的工具来证明一个关键的技术引理，该引理控制了可以包含在一个真实超曲面内的复杂曲线的数量。这个引理可能是独立的兴趣，其他研究人员证明关联定理在${\mathbb C}$。
Partitioning the projective plane to two incidence-rich parts
受高围长图内部划分存在性证明启发，本文为射影平面关联图的内部划分提供了构造性证明，探讨了其几何性质，并精确计算了平方阶Desarguesian平面关联图中各类邻居集大小的最大差异。
An incidence bound for $k$-planes in $F^n$ and a planar variant of the Kakeya maximal function
本文讨论了有限域上向量空间中Kakeya极大函数的一个平面变体。利用关联组合学的方法，证明了当$1 \leq p \leq \frac{kn+k+1}{k(k+1)}$和$1 \leq q \leq (n-k)p'$满足时，该算子从$L^p$到$L^q$是有界的.
A non-associative incidence near-ring with a generalized Möbius function
在局部有限偏序集的3-变量部分标志函数上有一个卷积积，它产生一个广义默比乌斯函数。在乘积下，这个广义默比乌斯函数是zeta函数的单侧逆，并且满足许多经典结果的推广。特别是我们证明类似物菲利普霍尔定理的默比乌斯函数作为一个交替和链计数，韦斯纳定理，罗塔的横切定理。这些结果的一个关键因素是，这个功能是一个经典的默比乌斯函数的重叠产品。利用这个广义的默比乌斯函数，我们定义了类似的特征多项式和莫比乌斯多项式的排名格。我们计算这些多项式的某些家庭的拟阵，并证明，这广义莫比乌斯多项式有-1作为根，如果拟阵是模块化的。利用Ardila和Sanchez的结果，我们证明了这个广义特征多项式是拟阵赋值。
On the number of incidences between points and planes in three dimensions
本文证明了域$\mathbb F$上射影空间$\mathbb P^3$中点与平面的一个关联定理，其特征是$p\neq 2.$。克莱因二次曲面可以被一个一般的超平面遍历，在三次曲面中产生一个线-线关联问题，即正则线复形的克莱因像。可以选择该超平面，使得至多两条线相交。因此，可以应用Guth和Katz的代数定理，并带有涉及$p$（如果$p>0$）的约束。这产生了$\mathbb P^3$中$m$点和$n$平面之间的关联数的界限，其中$m\geq n$为$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线平面的最大数，前提是如果$p>0$为$n=O(p^2)$。实例表明，如果没有额外的假设，这个界限不能得到改善。这给了一个工具，建立几何发病率估计时，$p>0$。对于非共线点集$S\subseteq \mathbb F^2$和非退化对称或反对称双线性形式$ω$，$S$的点对上的$ω$的不同值的数目是$Ω\left[\min\left(|S|^{\frac{2}{3}},p\right)\right]$。这也是$\mathbb R$上最著名的界，它由Szemerédi-Trotter定理得出。此外，在单个半各向同性平面中不支持的集合$S\subseteq \mathbb F^3$包含一个点，从该点获得到$S$的其他点的$Ω\left[\min\left(|S|…
A note on the chromatic number of Kneser graphs on chambers of projective planes and incidence-free sets
本文通过简单证明展示了在投影平面的 incidence 图中，X 和 Y 的补集之间存在完美匹配，从而将投影平面室的克罗内克图着色数问题与 incidence 图的 incidence-free 数问题联系起来。
Incidence structures from the blown-up plane and LDPC codes
本文提出了一种新的规则入射结构。它们产生于仿射平面中在其有理点处爆破的二次曲线集。研究了由这些关联矩阵构成的LDPC码。这些稀疏关联矩阵被证明是冗余的，这意味着它们的行数超过了它们的秩。这样的特征是随机LDPC码所不存在的，并且通常对迭代解码的效率感兴趣。测试了部分码在迭代译码下的性能。他们中的一些人比普通的Gallager代码具有类似的速率和行的重量。
Incidence geometry of the Fano plane and Freudenthal's ansatz for the construction of (split) octonions
在这篇文章中，我们考虑结构上的Fano平面${\cal F}$允许一个推广弗赖登塔尔的建设规范和双线性乘法律的八维向量空间${\mathbb O_{\cal F}}$规范相关的${\cal F}$。我们首先确定的充要条件，这些结构的${\cal F}$的关联几何产生司复合代数，并分类相应的结构使用对数版本的乘法。然后，我们展示了如何这些结果可以用来推导类似的结果在分裂复合代数的情况下。
Partial flag incidence algebras
偏序集$P$的$n^{th}$部分标志关联代数是从$P^n$到某个环上的非部分标志向量为零的函数的集合。$n>2$的这些部分标志关联代数不是交换的，不是酉的，也不是结合的。然而，部分旗关联代数包含广义zeta，δ和默比乌斯函数，它们比它们的经典类似物更精细，更精致的不变量。我们还研究了偏序集的一些非Tutte多项式求值的广义特征多项式，并在布尔格上计算了它们。这项工作的动机来自于研究拟阵Kazhdan-Lusztig多项式，其中部分标志惠特尼数发挥了核心作用。
Absolute incidence theorems and tilings
本文提出绝对 incidence 定理的概念，并通过例子展示非绝对 incidence 定理与主定理的关系。
Point-plane incidences and some applications in positive characteristic
点-平面关联定理指出，在域$F$上的射影三维空间中，$n$点与$m\geq n$平面之间的关联数是$$O\left(m\sqrt{n}+ m k\right),$$，其中$k$是共线点的最大数目，如果$F$具有特征$p>0$，则附加条件为$n< p^2$。这个定理也是Stevens和de Zeeuw在$F^2$中点线关联的Szemerédi-Trotter型界的基础。这篇评论的重点是一些最近的，以及新的，这些界限的应用，导致在$F^d$的几个开放的几何问题的进展，为$d=2,3,4$。这些问题的最小数目的不同的非零值的非退化双线性形式的点集在$d=2$，类似的Erd \H OS不同的距离问题在$d=2,3$和添加剂的能量估计集，支持抛物面和球体在$d=3,4$。它避免了讨论和积型问题（对应于笛卡尔积的特殊情况），这最近受到了更多的关注。
Projective Rectangles: A New Kind of Incidence Structure
本文提出并系统研究了投影矩形这一新型关联结构，涵盖其基本性质、构造方法及部分德萨格定理，为后续调和共轭与图论研究奠定基础。
An explicit incidence theorem in F_p
设$P = A\times A \subset \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$，$p$为素数.假设$P= A\times A$具有$n$元素$n<p$。将$P$视为$\mathbb{F}_p$上平面中的一组点。我们表明，在$P$的点对确定$\geq c n^{1 + {1/267}}$线，其中$c$是一个绝对常数。我们由此导出一个关联定理：$n$点集和$n$线集在$\F_p$上的投影平面（$n<\sqrt{p}$）上的关联数以$C n^{{3/2}-{1/10678}}$为界，其中$C$是一个绝对常数。
Point-Line Incidence Estimates in $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^2$
本文研究有限 $p$-adic 环上的点线关联问题，推广了有限域上的已知关联界，并利用傅里叶分析和尺度归纳方法证明了新的一般关联界。
Probabilities of incidence between lines and a plane curve over finite fields
研究了任意直线与定义在有限域上的给定平面曲线相交的概率。特别是，我们专注于连续有限域扩展下的这些概率的限制。假设绝对不可约的曲线，我们展示了如何一个变种的Chebotarev密度定理的功能领域可以用来证明这些限制的存在，并计算他们在一个温和的更强的条件下，被称为简单的切线。部分结果已经出现在文献中，我们提出这项工作作为一个介绍使用Chebotarev定理的背景下，发病几何。最后，Veronese映射允许我们计算给定曲线和给定度的随机曲线之间相交的相似概率。
On Incidence Algebras and their Representations
我们提供了一个统一的方法，通过变形的关联代数，几个重要类型的表示有限性条件，以及产生它们的组合代数。我们证明了在有限维代数上，具有多个轨道，多个不变子空间，或分配的表示是一致的，并且在非循环的情况下，进一步与薄模一致。关联代数产生的例子，这样的模块，我们表明，代数是局部遗传的，其投影是分配的，或等价的，这有许多理想，正是关联代数的变形，他们是有限维代数类似的Pr ${\rm \ddot{u}}$ fer环。给出了关联代数的一些新的刻画，如关联代数是具有忠实薄模的正合代数。一个主要的推论是“每个瘦模都来自一个关联代数”：如果$V$是有限维代数$A$上的瘦模，或者$V$是分配的，而$A$是非循环的，那么$A/{\rm ann}(V)$是一个关联代数，并且$V$可以被表示为它的定义表示。我们分类薄/分配模块，并分别变形，关联代数的第一和第二上同调的单纯实现的偏序集。作为主要应用，我们得到了有限维代数上薄模的一个完全分类。它们的模空间是多线性簇，我们证明了任何多线性簇都可以用这种方法得到。一些其他的应用，Grothendieck环的组合代数，图和它们的关联矩阵，线性代数（tori行动的矩阵），并积极回答“无间隙猜想”的林格尔和Bongartz，在分配的情况下，给出。文献中的其他结果重新推导。
Incidence matrices for the class $\mathcal{O}_6$ of lines external to the twisted cubic in $\mathrm{PG}(3,q)$
本文研究了在扭三次空间的稳定子群下，与平面、点和直线的轨道相连的射影空间$\mathrm{PG}(3,q)$的平面-直线和点-直线关联矩阵的结构.在文献中，线被划分为类，每个类是线轨道的并集。本文对所有的$q$，不论是偶数还是奇数，确定了与一类称为$\mathcal{O}_6$的轨道族相连的关联矩阵.此类包含扭曲立方体外部的线。所考虑的家庭包括所有的$\mathcal{O}_6$轨道，其完整的分类是一个开放的问题的重要组成部分。
The Szemeredi-Trotter Theorem in the Complex Plane
证明了复欧氏平面${\mathbb C}^2$中的$n$点和$e$线决定了$O(n^{2/3}e^{2/3}+n+e)$点-线关联。这个界是可能的最佳界，它推广了Szemerédi和Trotter关于实欧几里德平面${\mathbb R}^2$中点-线关联的著名定理。
An Improved Point-Line Incidence Bound Over Arbitrary Fields
我们证明了一个新的上界的数量之间的入射点和线在一个平面上的任意字段$\mathbb{F}$，一个问题首先考虑的Bourgain，Katz和陶。具体来说，我们表明，$\mathbb{F}$中的$m$点和$n$线，以及$m^{7/8}<n<m^{8/7}$，决定了最多的$O(m^{11/15}n^{11/15})$发生率（其中，如果$\mathbb{F}$具有阳性特征$p$，我们假设$m^{-2}n^{13}\ll p^{15}$）。这改进了以前最著名的界限，由于琼斯。为了得到我们的界，我们首先证明了一个最佳的点线的入射界的笛卡儿积，使用减少到一个点平面的入射界的Rudnev。然后我们用笛卡儿积覆盖大部分点集，并使用刚才提到的界限分别限制每个积上的关联。我们给出了几个应用，和产品型问题，扩展问题的Bourgain，不同的距离问题和贝克定理。
Residue Constraints in the Rank-Three Lifting Problem for Projective-Plane Incidence Matrices
研究有限射影平面的秩三提升问题，通过余数级行列式约束揭示隐含结构，证明在余数特征不等于3时，任何秩≤3的提升必须包含大量非平凡余数交叉比的2×2零矩形，且对于q≥6，不存在单项秩≤3的提升。
On forbidden configurations in point-line incidence graphs
本文否证了关于点线关联图中禁止构型的两个猜想，并引入新方法证明避免特定子构型时关联数的改进上界。
Quantum K-theory of Incidence Varieties
本文证明了关联簇情形下的 Buch 和 Mihalcea 猜想，结合几何与组合方法确定了其 T-等变量子K-理论环结构，并导出了正 Chevalley 公式与正 Littlewood-Richardson 法则。
Elementary incidence theorems for complex numbers and quaternions
本文给出了证明以下涉及复数和四元数平面上点与线的关联的Sylvester-Gallai型定理的一些基本思想。(1)设A和B是至少各有两个复数的有限集合。则在复仿射平面中存在一条直线l，使得l与AxB相交于两点。(2)设S是复仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交于2、3、4或5个点的直线l。(3)设A和B是至少各有两个四元数的有限集合。则在四元数仿射平面中存在直线l，使得l与AxB相交于2、3、4或5个点。(4)设S是四元数仿射平面上的有限个非共线点集。则存在一条与S相交的直线l至少有2个至多24个点。
On grids in point-line arrangements in the plane
著名的Szemerédi-Trotter定理指出，平面上$n$点和$n$线的任何排列都决定了$O(n^{4/3})$的发生率，并且这个界是紧的。在本文中，我们证明了以下Turán型结果的点线入射。令$\mathcal{L}_1$和$\mathcal{L}_2$是平面中的两组$t$线，令$P=\{\ell_1 \cap \ell_2 : \ell_1 \in \mathcal{L}_1, \ell_2 \in \mathcal{L}_2\}$是$\mathcal{L}_1$和$\mathcal{L}_2$之间的交点集。我们说，$(P, \mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2)$形成一个\emph{natural $t\times t$ grid}，如果$|P| =t^2$，和$conv(P)$不包含$\mathcal{L}_i,$为$i = 1,2.$的一些两条线的交点对于固定的$t > 1$，我们表明，任何安排的$n$点和$n$线在平面上，不包含一个自然的$t\times t$网格确定$O(n^{\frac{4}{3}- \varepsilon})$发病率，其中$\varepsilon = \varepsilon(t)$。我们还提供了一个结构的$n$点和$n$线在平面上，不包含一个自然的$2 \times 2$网格，并确定至少$Ω({n^{1+\frac{…
Maximal arcs, codes, and new links between projective planes
本文研究了偶阶射影平面上极大弧的Steiner 2-设计的关联矩阵生成的二元线性码及其对偶码。导出了关联矩阵的2-秩的下界。证明了对偶码的最小距离的一个下界，并证明了该下界的存在性当且仅当相关的极大弧包含平面的超椭圆。分析了由2- $(52,4,1)$设计的关联矩阵所生成的长度为52的二元线性码，这些设计与已知的和新发现的16阶射影平面中的4度极大弧相关，并将其分类为等价的.分类表明，一些设计与极大弧在非同构平面生成等价的代码。这种现象在几个已知的平面之间建立了新的联系。提出了关于$PG(2,2^m)$中极大弧码的一个猜想.
Incidences between points on a variety and planes in R^3
本文建立了$\mathbb R^3$中$m$点的集合$P$与$n$平面的集合$H$之间关联数的改进界，条件是点位于二维常次非线性不可约代数簇$V$上.具体地，该界限是$$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}\log^β(m^3/n) + m + n + \sum_\ell |P_\ell|\cdot |H_\ell| \right) , $$，其中比例常数和常数指数$β$取决于$V$的程度，并且其中总和的范围遍及完全包含在$V$中并且包含$P$的至少一个点的所有线$\ell$，使得对于每个这样的$\ell$，$P_\ell = P\cap\ell$和$H_\ell$是包含$\ell$的H的平面的集合。此外，还有$\sum_\ell |P_\ell| = O(m)$和$\sum_\ell |H_\ell| = O(n)$。这改善了，对于这种特殊情况下，较早的更普遍的约束Apfelbaum和Sharir（也见黄铜和Knauer以及Elekes和Tóth）。这是平面上的点和圆的关联界的推广（参见图1）。Aronov等人，Aronov和Sharir，Marcus和Tardos），并且基于Sharir和Zahl关于将代数曲线集合变成伪段的切割次数的最近结果。$V$是二次曲面的情况分析起来更简单，不需要Sharir和Zahl的结果，并且使用$β=…
Counting for rigidity under projective transformations in the plane
本文通过线性化点线关联的二次约束系统，引入射影刚性矩阵，用列相关刻画无穷小运动、行相关刻画自应力，并证明自应力由三重平衡刻画，从而研究平面射影变换下的刚性计数问题。
Incidence Bounds for Block Designs
本文证明了由平衡不完全区组设计（BIBD）的点和区组的子集所确定的关联结构的极值界的三个定理。这些结果推广并加强了有限域上仿射几何中点与$m$ -平坦面之间关联数的已知界。首先，我们展示了一个上界的数量之间的发病率足够大的子集的点和块的BIBD。其次，我们表明，一个足够大的子集的点的BIBD确定许多t-丰富的块。第三，我们表明，一个足够大的子集的块的BIBD确定许多t-丰富的点。这后两个结果是新的，即使在特殊情况下的点和$m$ -平坦的仿射几何在有限域。作为推论，我们得到了一个紧界上的t-丰富的点的数量确定的一组点在一个平面上的有限域，并使用它来锐化的结果Iosevich，Rudnev，翟的数量与不同的区域确定的一组点在一个平面上的一个有限域。
A Bichromatic Incidence Bound and an Application
证明了欧氏d-空间中点与超平面的关联数的一个新的紧上界。给定n个点，其中k个点为红色，若m = Ω（n^{d-2}），则k个红色点与所有n个点所张成的m个超平面之间的关联度为O_d（m^{2/3}k^{2/3}n^{（d-2）/3} + kn^{d-2} + m）。对于单色情形k = n，这由Agarwal和Aronov证明。我们用这个关联界证明了一个n点的集合，其中不超过n-k个点位于任何平面或两条直线上，跨越Ω（nk^2）个平面。我们还提供了一个无穷族的反例的Purdy的一个猜想上的数量的超平面的一组点的维度高于3，并提出新的apturtures不受反例。
Commutation relations of $\mathfrak g\_2$ and the incidence geometry of the Fano plane
我们继续我们的研究和分类的Fano平面${\cal F}$和它的对偶${\cal F}^\ast$涉及的八元数和域$\mathbb F$上的李代数$\mathfrak g_2 (\mathbb F)$的建设结构。这些是“组成因子“：${\cal F}\times {\cal F} \to\{-1, 1\}$，诱导八元数乘法，以及函数$δ^\ast : Aut({\cal F}) \times {\cal F}^\ast \to \{-1, 1\}$，使得$g \in Aut({\cal F})$可以提升为八元数的自同构当且仅当$δ^\ast(g, \cdot)$是${\cal F}$上的函数的Radon变换。我们把$Aut({\cal F})$在${\cal F}$上的作用提升为非平凡的八重覆盖$Aut({\cal F})$在包含在八元数中的${\cal F}$的二重覆盖$\hat {\cal F}$上的作用。这重言式地延伸到通过自同构作用于八元数的作用。最后，我们关联到事件的点线对的生成集的$\mathfrak g_2 (\mathbb F)$和表示括号的${\cal F}$和$ε$的关联几何。
Dualizing complex of the incidence algebra of a finite regular cell complex
设$Σ$是一个含有$\emptyset \in Σ$的有限正则胞腔复形，通过包含将其看作偏序集.设$R$是偏序集$Σ$在域$k$上的关联代数.对应于$Σ$上可构造层的Verdier对偶，我们有一个对偶复形$w \in D^b(mod_{R \otimes_k R})$，给出从$D^b(mod_R)$到它自身的对偶函子。$w$满足Auslander条件。我们的对偶有点类似于投射方案的Serre对偶（$\emptyset$起着类似于“无关理想”的作用）。如果$H^i(w) \ne 0$恰好对一个$i$，则$Σ$的底层拓扑空间是Cohen-Macaulay（在Stanley-Reisner环理论的意义下）。当$Σ$是单纯复形时，反之也成立。$R$总是一个具有$R^! \cong R^op$的Koszul环。讨论了$R$的Koszul对偶与Verdier对偶之间的关系。这一结果是一个变种定理的维博尔诺夫。讨论了偏序集$\hatΣ$的Mobius函数.
Independence in generic incidence structures
本文研究了存在闭关联结构的$T_{m,n}$理论，它省略了完全关联结构$K_{m,n}$，也可以看作是不含存在闭$K_{m,n}$的二部图.在$m = n = 2$的情况下，这是存在闭射影平面的理论。我们给出了$T_{m,n}$的一个$\forall\exists$ -公理化，证明了当$m,n\geq 2$时$T_{m,n}$不存在可数饱和模型，并证明了$T_{2,2}$的素模型的存在性等价于一个关于有限射影平面的长期未决问题.最后，我们分析了模型理论的概念复杂性$T_{m,n}$。我们证明了$T_{m,n}$是NSOP $_1$，但当$m,n\geq 2$是NSOP $_1$时就不简单了，并且证明了$T_{m,n}$具有弱消元性，但不是完全消元性.这些结果依赖于各种独立性概念的组合特征，包括代数独立性，Kim独立性和分叉独立性。
Constructions of point-line arrangements in the plane with large girth
一个经典的结果由Erdens，后来由Bondy和Simonivits，指出每个$n$ -顶点图没有长度为$2k$的圈，最多有$O(n^{1+1 /k})$边。这个界限是已知的紧时，$k \in \{2,3,5\},$，但它是一个主要的开放问题，在极值图论，以确定这个界限是紧的所有$k$。本文研究了平面上点线排列关联图中禁止偶短圈的效果。目前还不知道，如果Erdales的上限上述可以提高到$o(n^{1+1/k})$在这个几何设置，并在本说明中，我们建立了非平凡的下限，这个问题通过修改已知的结构中产生的有限几何。特别地，通过修改由于Labeznik和Ustimenko的构造，我们构造了平面中的$n$点和$n$线的布置，使得它们的关联图具有至少$k + 5$的围长，并且确定至少$Ω({n^{1+\frac{4}{k^2+6k-3}}})$关联。我们还将同样的技术应用到Wenger图上，这给出了$k=5.$的更好的下界
Incidences between points and lines in R^4
我们发现，$m$不同的点和$n$不同的线在${\mathbb R}^4$之间的关联数是$O\left(2^{c\sqrt{\log m}} (m^{2/5}n^{4/5}+m) + m^{1/2}n^{1/2}q^{1/4} + m^{2/3}n^{1/3}s^{1/3} + n\right)$，对于一个合适的绝对常数$c$，提供没有2-平面包含超过$s$输入线，并没有超平面或二次曲面包含超过$q$线。当为$m \le n^{6/7}$或$m \ge n^{5/3}$时，在没有因子$2^{c\sqrt{\log m}}$的情况下，界限成立。除了这个因素，在最坏的情况下，界限是紧的。
Incidence bounds related to circular Furstenberg sets
本文研究平面内圆族与点族的近似关联问题，通过建立关联界推出圆形 $(u,v)$-Furstenberg 集的维数下界，并在较大参数 $u,v$ 下取得新结果。
Orthogonal projections and incidence bounds in planes over prime order fields
本文研究了素数阶域上平面中正交投影的交集界限，提出新的点线交集界限并改进了素数域上的相关估计。
Partition dimension of projective planes
我们确定射影平面$Π_q$的关联图$G(Π_q)$的直到常数因子$2$的划分维数为$(2+o(1))\log_2{q}\leq \mathrm{pd}(G(Π_q))\leq (4+o(1))\log_2{q}.$
Incidence bounds with Möbius hyperbolae in positive characteristic
我们证明了新的关联边界之间的平面点集，这是一个笛卡儿积，和一组平移$H$的双曲线$xy=λ\neq 0$，在一个领域的渐近大的正特征$p$。他们改进了Shkredov最近的边界，这是基于使用明确的发病率估计在早期终止的程序中的重复应用的柯西-施瓦茨不等式，潜在的许多定性结果有关的增长和扩张的群体。改进-定量的，加上我们能够处理一般的$H$，而不是笛卡儿积-主要是由于一个非平凡的“中间”约束的数量$k$丰富的莫比乌斯双曲线的积极特征。此外，我们观察到，在$H$的上下文中的某个能量类型的量可以通过$H$中的Minkowski距离的$L^2$ -矩有界，因此可以获得相应的估计apropos的Erdos的不同的距离问题。
Further results on orbits and incidence matrices for the class $\mathcal{O}_6$ of lines external to the twisted cubic in $\mathrm{PG}(3,q)$
该研究针对射影空间$\u200b\mathrm{PG}(3,q)$中研究最少的扭三次曲线外部线类$\u200b\mathcal{O}_6$，提出其新轨道族，分析对应稳定子群与关联子矩阵，通过求解相关三次、四次方程解数完成推导。
Incidence of lines, points, and planes in $PG(3,q)$ with respect to the twisted cubic
本文研究有限域上射影空间 PG(3,q) 中关于三次挠曲线的点、直线和平面在群 PGL_2(q) 作用下的轨道结构，并确定关联集 I 在 G×G 轨道划分下各部分的大小。
Generalizations of the Szemerédi-Trotter Theorem
我们推广了Szemerédi-Trotter关联定理，在高维空间中定义了完备\emph{flags}的个数.具体地，对于每个$i=0,1,\ldots,d-1$，我们在$\R^d$或$\C^d$中给出$i$ -平坦的有限集合$S_i$，并且（完整）标志是元组$(f_0,f_1,\ldots,f_{d-1})$，其中$f_i\in S_i$用于每个$i$，而$f_i\subset f_{i+1}$用于每个$i=0,1,\ldots,d-2$。我们的主要结果是在最坏的情况下是紧的标志的数量上界。我们还研究了其他几种关联问题，包括（i）$\R^3$中的点与线之间的关联，使得在关联到一个点的线中，最多$O(1)$可以是共面的，（ii）$\R^3$中Legendrian线的关联，这是考虑根据其他组定义的标志时出现的一类特殊的线，以及（iii）$\R^3$中的标志（涉及点、线和平面），其中给定的线不能包含太多的点或位于太多的平面上。我们在（iii）中得到的界在最坏情况下几乎是紧的。最后，我们探讨了一组理论解释的旗帜，一个广义的版本，使我们新的发病率问题。
The pure condition for incidence geometries
本文针对关联几何的平行重绘引入纯条件，刻画其d维实现中法向量需满足的条件，并利用不变量理论证明该条件为括号多项式，且给出平面实例的显式计算。
Affine planes, ternary rings, and examples of non-Desarguesian planes
本文致力于详细的自我包含的论述的一部分理论的仿射平面导致建设的仿射（或等价地，投影）飞机不满足Desarques公理。它的目的是补充介绍性的论述理论的仿射和射影平面。我们的论述的一个新颖之处是一个新的符号的三元环中的三元操作，更有启发性的比标准的。
Exploring the infinitesimal rigidity of planar configurations of points and rods
本文研究了欧氏平面上的点和线的二阶关联几何的几何实现的刚性性质;我们关心的是共线点之间的距离。本文讨论了关联几何的几何实现的刚性性质与其它已知结构（如图和超图）的几何实现的刚性的关系，并讨论了$2$ -平面拟阵。此外，我们扩展了怀特利的结果，以确定必要条件的关联几何的点和线，每一条线上正好有三个点，或3-均匀超图，有一个最小的刚性实现的点和线在平面上。我们还举例说明这些条件是不充分的。最后，我们研究了$v_k$ -组态的刚性性质。我们提供了几个例子，刚性$v_3$ -配置，和家庭的灵活的几何$v_3$ -配置。材料的说明有许多数字支持。
On rich points and incidences with restricted sets of lines in 3-space
设$L$是$R^3$中的一组$n$线，当表示为$R^3$中的四维Plücker线空间中的点时，包含在一个常数阶的不可约簇$T$中，该簇是关于$L$的\emph{non-degenerate}（见下文）。我们展示：\medskip \noindent{\bf (1)}如果$T$是二维的，对于$r \ge 3$和任何$ε>0$，$r$富集点（至少与$L$的$r$线关联的点）的数目是$O(n^{4/3+ε}/r^2)$，并且，如果至多$L$的$n^{1/3}$线位于任何公共规则上，则至多有$O(n^{4/3+ε})$ $2$富集点.对于大于某个足够大的常数的$r$，$r$富点的数量也是$O(n/r)$。作为一个应用，我们推导出（与$ε$ -指数损失）由Pach和德Zeeuw（2107）上的$n$点确定的不同的距离的数量上获得的界限在平面上的常数度的不可约代数曲线，这不是一条线，也不是一个圆。\medskip \noindent{\bf (2)}如果$T$是二维的，则$L$与$R^3$中的一组$m$点之间的关联数为$O(m+n)$。\medskip \noindent{\bf (3)}如果$T$是三维的和非线性的，$L$和$R^3$中的一组$m$点之间的关联数是$O\left(m^{3/5}n^{3/5} + (m^{11/15}n^{2/5} + m^{1/3}n^{2/3})s^{1/…
Projective rigidity of point-line configurations in the plane
本文提出“射影刚性矩阵”框架研究平面上点线构型的保关联运动，并引入对称自适应矩阵分析对称构型及其保对称运动。
Points-Polynomials Incidence Theorem with Applications to Coding Theory
本研究将有限域点线关联结果推广到点与有界次数多项式的关联，通过关联矩阵奇异值分解和群代数分析得到关联数界，并将其应用于RS码的平均半径列表译码，证明特定长度RS码可在恒定列表大小下实现该译码，填补了此前该领域的研究空白。
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