Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
2016-02-16 math.AG math.NT
Local heights on elliptic curves and intersection multiplicities
本文利用整数环上正则模型上的相交理论证明了数域上椭圆曲线的局部高公式。
2012-01-11 math.AG math.NT
On the Average Value of the Canonical Height in Higher Dimensional Families of Elliptic curves
给定函数域K=Q（T_1，.，.）上的椭圆曲线E，T_n），研究了特殊椭圆曲线E_w的标准高度^h_（E_w）关于w在Q^n中的高度的行为.本文证明了对所有非挠P，E（K）中的商^h_（E_w）（P_w）/h（w）的平均值存在一致的非零下界.
2015-02-08 math.AG math.NT
Stacky heights on elliptic curves in characteristic 3
本文证明在特征 3 的稳定椭圆曲线模叠上不存在可诱导通常 Faltings 高度的 stacky 高度，否定回答了 Ellenberg 等人的问题。
2023-06-01 math.AG math.NT
Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks
大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。
2016-05-19 math.AG math.NT
A finiteness property of torsion points
设k是数域，E/k是椭圆曲线，S是k的包含阿基米德空间的有限集.设F是k的一个代数闭包.证明了若E（F）中的一点P是非挠的，则E（F）中关于P为S-积分的挠点x只有1/2个.我们还证明了乘法群的一个类似结果，并给出了阿贝尔簇和动力系统的拓扑推广.
2005-09-21 math.DS math.NT
Lower bounds for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions
设K是数域，E/K是椭圆曲线.若E有复乘，我们证明了定义在K的极大阿贝尔扩张K^ab上的E上非挠点的标准高度存在正的下界.这类似于Amoroso-Dvornicich和Amoroso-Zannier关于乘法群的结果。我们还证明了，如果E具有非整数j-不变量（使得特别地E没有复乘），则存在C > 0，使得E（K^ab）中仅有100个点P的标准高度小于C。这加强了Hindry和Silverman的一个结果。
2002-12-16 math.AG math.NT
Counting elliptic curves with a rational $N$-isogeny for small $N$
对于$N$，我们计算具有有界朴素高度的有理椭圆曲线的个数。对于某些$N$，这是通过推广Harron和Snowden的方法来完成的。对于其余情况，我们使用Ellenberg，Satriano和Zureick-Brown的框架，其中椭圆曲线的原始高度是模栈上对应点的高度。
2020-09-11 math.AG math.NT
A Gap in the Spectrum of the Faltings Height
我们证明了Deligne在椭圆曲线上找到的稳定Faltings高度的最小值$h_{\text{min}}$后面有一个间隙。这意味着存在一个常数$C >0$，使得对于在数域$K$上处处具有半稳定约简的椭圆曲线$E/K$，我们要么有$h(E/K)=h_{\text{min}}$，要么有$h(E/K)\geq h_{\text{min}} +C$。我们明确地确定这样一个绝对常数。相反，我们证明了不稳定约化的椭圆曲线不存在这样的间隙。
2015-12-16 math.AG math.NT
Coleman-Gross height pairings and the $p$-adic sigma function
给出了椭圆曲线上Mazur-Tate和Coleman-Gross高度重合的直接证明。主要成分是延长科尔曼-格罗斯高度的情况下，因子与非不相交的支持，并做一些$p$ -进分析，显示，特别是，它的组件以上$p$给出，在特殊情况下，一个正常椭圆曲线，$p$ -进σ函数。我们利用这个结果在较弱的假设下给出了Kim刻划椭圆曲线上整点的一个定理的简短证明。作为进一步的应用，我们给出了从切向基点计算二重Coleman积分的新公式。
2012-07-25 math.AG math.NT
Integral points on quadratic twists and linear growth for certain elliptic fibrations
我们证明了一定的del Pezzo表面的度1定义在Q上的有界高度的有理点的数量线性增长，预测Manin的猜想。在此基础上，我们研究了具有完全有理2-挠率的固定椭圆曲线的二次挠率上小初始高度的整数点的平均个数。
2013-07-31 math.AG math.NT
An oft cited letter from Tate to Serre on computing local heights on elliptic curves
1979年John Tate写给Jean-Pierre Serre的一封信，作者在信中描述了一种计算椭圆曲线局部高的高效优雅算法。
2012-07-24 math.NT
Height of rational points on congruent number elliptic curves
证明了正比例的无平方数是全等数，使得相应的椭圆曲线上最低无挠有理点的标准高度满足强下界.
2018-02-20 math.NT
Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height
Universidad de Costa Rica（哥斯达黎加大学）
本文研究了有理数域上具有有界朴素高度的椭圆曲线的计数问题，给出了精确和渐近公式，并探讨了不同子族，包括固定j-不变量和复乘（CM）的曲线。
2026-06-05 math.AG math.NT
The Sato--Tate Distribution in Families of Elliptic Curves with a Rational Parameter of Bounded Height
本文得到了关于有理参数为有界高度的椭圆曲线参数族上Frobenius角分布的Sato-Tate猜想的新结果。
2015-12-22 math.NT
Local solubility and height bounds for coverings of elliptic curves
研究了椭圆曲线的2-、3-和4-覆盖的亏格1曲线。我们描述了有效的算法，用于测试本地的溶解度和修改的经典公式的覆盖地图，使他们的工作在所有的特点。这些成分，然后结合起来，给出明确的界限有关的高度的一个有理点的覆盖曲线上的高度，其图像上的椭圆曲线。我们使用我们的结果，以改善现有的方法寻找有理点在椭圆曲线。
2011-03-25 math.NT
Points of bounded height in images of morphisms of weighted projective stacks with applications to counting elliptic curves
研究有界高度点在加权投射堆映射中的渐进行为，并应用于计数具有指定水平结构的椭圆曲线，包括Γ(N)、Γ₁(N)和Γ₀(N)等情形。
2026-03-23 math.AG math.NT
Lower bounds of the canonical height on quadratic twists of elliptic curves
本文计算了某些椭圆曲线二次扭曲的标准高度的一个下界。同时给出了一种构造具有明确有理点的二次扭族的简单方法。%的多项式。利用上述下界，我们证明了显式有理点作为Mordell-Weil群的元素是本原的。
2011-10-31 math.NT
Upper bound for the height of S-integral points on elliptic curves
我们建立了椭圆曲线上S-整点高度的新的上界。这个界限是明确地给出了在集合S的地方的数域K涉及，但也在程度K，以及排名，调节器和高度的基础上的莫德尔-韦伊群的曲线。证明使用的椭圆模拟贝克的方法，基于下界的线性型在椭圆曲线。
2012-08-13 math.NT
A statistical view on the conjecture of Lang about the canonical height on elliptic curves
我们采用一个统计的观点对朗猜想预测的一个下界的非挠有理点的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$上的典范高度。更具体地说，我们证明了在家庭的所有椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$和具有正秩，有一个密度为1的曲线族，满足一个强形式的郎猜想。
2019-02-22 math.NT
Archimedean local height differences on elliptic curves
为了计算数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的生成元，需要限制从上到下的朴素高度和规范高度之间的差。我们给出了一个基本的和快速的方法来计算一个上界的本地贡献，这个差异在阿基米德的地方，有时会得到更好的结果比以前的算法。
2018-07-11 math.NT
Height moduli on cyclotomic stacks and counting elliptic curves over function fields
本文利用twisted stable maps和stacky height functions理论，构造了参数化cyclotomic stacks上固定高度有理点的有限型模空间，解释了函数域上椭圆曲线计数中的低阶主项，回答了Venkatesh的问题。
2024-04-24 math.AG math.NT
Height of rational points on quadratic twists of a given elliptic curve
我们提出了一个关于给定椭圆曲线的二次扭曲上的最低无挠有理点的标准高度随扭曲变化的分布的猜想。这个猜想似乎是非常深刻的，我们只能证明在这个方向的部分结果。
2014-05-27 math.NT
Lang's Conjecture and Sharp Height Estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+ax$
对于由方程$E_{a}: y^{2}=x^{3}+ax$给出的椭圆曲线，我们建立了Lang猜想关于非挠点的标准高度的下界的最佳可能版本，以及标准高度和对数高度之差的最佳可能上界和下界.
2013-07-17 math.NT
Lang's conjecture and sharp height estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+b$
对于$E_{b}: y^{2}=x^{3}+b$，我们建立了郎猜想的一个下界的典范高度的非挠点以及上限和下界之间的差异的典范和对数的高度。在许多情况下，我们的结果实际上是最好的。
2016-05-20 math.NT
The average number of integral points on elliptic curves is bounded
证明了当椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$按高度排序时，其整点的平均个数$\#|E(\mathbb{Z})|$是有界的，且实际上小于$66$（最多为极小猜想的$\frac{8}{9}$）.“$E(\mathbb{Z})$“是指相应的拟最小Weierstrass模型$E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$上的积分点，用它来计算初始高度。这些方法结合了西尔弗曼，赫尔夫戈特和赫尔夫戈特-文卡特什的工作与Bhargava-Shankar的工作，并仔细分析了“大多数”椭圆曲线的局部高度。同样的方法也适用于在$y^2 = x^3 + B$、$y^2 = x^3 + Ax$和$y^2 = x^3 - D^2 x$族上平均绑定积分点。
2015-02-09 math.AG math.NT
A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves
考虑了y ^2 =x（x ^2 +ax+b）上有理点的实际计算.描述了一个4-下降过程所需的代数。一个简单的进一步下降，然后描述它只使用整数算术。大量的例子来说明这种额外的下降的有效性。目前，找到的最大点的高度为51.15或102.3，这取决于您使用的高度标准化。
1999-04-30 math.NT
Explicit height bounds for $K$-rational points on transverse curves in powers of elliptic curves
令$C$是横向嵌入椭圆曲线$E$的幂$E^N$中的代数曲线。本文给出了包含在$E^N$的所有真代数子群之并中的$C$上所有代数点的高度的一个很好的显式界。该方法给出了一个完全明确的版本的Manin-Dam'janenko定理在椭圆形的情况下，它是以前的结果证明时，$E$没有复乘的推广。
2020-06-03 math.NT
Proof of Serge Lang's Heights Conjecture and an almost optimal Bound for the Torsion of Elliptic Curves
本文主要讨论了SergeLang的Heights猜想的完全有效证明。作为一个补充结果，作者给出了关于椭圆曲线挠率界的Mazur-Merel定理的一个新的证明，并改进了已知结果，给出了一个关于基域阶的小多项式界.（已提交）
2018-09-08 math.NT
A height inequality for rational points on elliptic curves implied by the abc-conjecture
本文证明了数域上的一致abc-猜想对椭圆曲线上有理点的坐标有严格的限制。对于证明，我们使用一个变种的统一abc猜想数领域制定的望月。作为应用，推广了Silverman关于椭圆型非Wieferich素数的一个结果.
2012-11-12 math.NT
Computing Canonical Heights on Elliptic Curves in Quasi-Linear Time
本文介绍了一种计算有理数域上椭圆曲线上点在准线性时间内的标准高的算法。在大多数以前的算法，我们分解成阿基米德和非阿基米德项的典型和天真的高度之间的差异。我们的主要贡献是一个算法的非阿基米德项的计算，不需要整数分解和运行在准线性时间。
2015-12-22 math.NT
Explicit height bounds on modular polynomials for the elliptic $j$-invariant, cube root of $j$, and Weber modular function $\mathfrak f$
研究改进椭圆\(j\)不变量等相关模多项式显式上界，通过改进Breuer等人给出的界，还证明了\(j\)立方根及韦伯模函数\(\mathfrak f\)的模多项式高度新显式上界。
2026-09-23 math.NT
Explicit local heights
给出了椭圆曲线上非阿基米德标准高度显式公式的一个新证明。这是由于椭圆詹森公式中的哈尔积分的直接计算而产生的。
1999-05-28 math.NT
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
2007-11-26 math.NT
A Lehmer-Type Lower Bound for the Canonical Height on Elliptic Curves Over Function Fields
该研究在特征非2、3的代数闭域上的曲线函数域情形下，给出了椭圆曲线上非挠点的函数域规范化典范高度的Lehmer型显式下界公式。
2024-04-18 math.NT
The geometric average size of Selmer groups over function fields
在大的$q$极限下，证明了在$\mathbb F_q(t)$上有界高度的椭圆曲线的$n$ -Selmer群的平均尺寸是$n$的因子之和.作为推论，再次在大的$q$极限，我们推导出，在$\mathbb F_q(t)$上有界高度的椭圆曲线的$100\%$具有秩$0$或$1$。
2021-05-23 math.AG math.NT
Heights of points on elliptic curves over $\mathbb Q$
本文利用适当的椭圆曲线理想类对$$Ψ_{E,-D}: E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q})\mapsto \mathrm{CL}(-D).$$，得到了$E(\mathbb{Q})$上非挠点的典范高度的有效下界。利用类数$H(-D)$和$D$中的对数函数$T_E(-D)$，证明了$$ \widehat{h}(P)> \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|^2}{\left( H(-D)+ |E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|\right)^2}\cdot T_E(-D). $$
2022-06-09 math.NT
The optimality of the Boundedness Height Conjecture
我们证明了有界高度猜想是最优的，所有不满足该假设的椭圆曲线的一次幂上的变量都不满足该猜想。已知有界高度猜想对椭圆曲线的幂次簇成立。我们还提出了一些例子和评论。
2008-11-10 math.NT
Explicit Small Heights in Infinite Non-Abelian Extensions
设$E$是有理数上的椭圆曲线。我们将考虑有理数的无限扩张$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，其中我们邻接$E$的扭点的所有坐标。在本文中，我们将证明一个明确的下界的高度非零元素在$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，不是一个单位根，只取决于导体的椭圆曲线。作为一个副结果，我们将给出一个明确的界限，一个小的超奇异素数的椭圆曲线。
2019-10-27 math.NT
Families of isogenous elliptic curves ordered by height
本文研究数域上有理曲线上的椭圆曲线乘积族，在一般纤维无同源假设下，给出同源特殊纤维数量的高度上界，并通过修改高度定义得到仅依赖族次数、数域和高度界的一致上界，展示了 Heath-Brown 型覆盖计数方法的应用潜力。
2025-08-21 math.NT
Heights and regulators of number fields and elliptic curves
比较了数域上的不变量与数域上的阿贝尔簇不变量之间的一般不等式。在数域方面，我们注意到只有有限个非CM数域具有有界调节子。在阿贝尔方面，假设Lang和Silverman的高度猜想，我们得到了数域上具有稠密有理点的阿贝尔簇集合上的调节器的Northcott性质。这相当于说，CM领域的算术是类似的，相对于这里考虑的不变量，算术的阿贝尔簇在一个数字领域有一个非Zebriki密集的Mordell-Weil群。
2016-10-06 math.NT
Isogenies of elliptic curves over function fields
本文证明了函数域上椭圆曲线同构的两个定理。第一个描述了$j$ -不变量在一个Islam类中的高度变化。第二个是一个“等距估计”，提供了一个明确的界限的程度上的最小等距两个同构的椭圆曲线。我们也给出了这两个结果的几个推论。
2021-02-03 math.AG math.NT
Motivic & Arithmetic probability of a semistable elliptic surface with a Weierstrass torsion section
利用判别式$Δ(X)$的有界高度，证明了半稳定椭圆曲线在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass点的新的精确渐近性，以及$0$是$\mathbb{F}_q(t)$上的2-挠或3-挠标记Weierstrass点的情形.本文研究了在具有$\text{char}(K) \neq 2,3$的基域$K$上，选取在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass截面的$\mathbb{P}^{1}$上的非奇异半稳定椭圆曲面，使得在$0$上的标记Weierstrass截面是2-挠率或3-挠率的运动概率.最后，通过全局域的类比，利用判别式$Δ$的有界高度，给出了在$\mathcal{Z}_{\mathbb{Q}}(\mathcal{B})$上，在$0$上具有显著有理2-挠或3-挠Weierstrass点的半稳定椭圆曲线占在$\mathbb{Q}$上的所有具有显著有理Weierstrass点的半稳定椭圆曲线的比例的一个类似的估计.
2022-07-11 math.AG math.NT
The density and distribution of CM elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文证明有理数域上CM椭圆曲线按朴素高度排序的自然密度为零，并证明渐近地100%的CM椭圆曲线具有j-不变量0，同时给出具有给定j-不变量和有界高度的椭圆曲线数量的渐近公式。
2024-11-20 math.AG math.NT
Counting elliptic curves with prescribed torsion
马祖尔定理指出，在有理数上，椭圆曲线的挠子群恰好有15种可能。我们确定这些组中的每一个实际发生的频率。精确地说，如果$G$是这15个组之一，我们表明，数的椭圆曲线的高度$X$的扭转子群是同构的$G$是在$X^{1/d}$的顺序，对于一些$d=d(G)$，我们计算。
2013-11-19 math.AG math.NT
Rational points of bounded height on weighted projective stacks
加权投影堆栈是堆栈商$\mathscr P(\mathbf a)=(\mathbf A^n-\{0\})/\mathbb G_m$，其中$\mathbb G_m$的作用具有权重$\mathbf a\in\mathbb Z^n_{>0}$。例如：椭圆曲线的紧化模栈$\mathscr P(4,6)$和$μ_m$ -扭体的分类栈$Bμ_m=\mathscr P(m)$ .我们在加权投影堆栈上定义高度。高度推广了椭圆曲线的朴素高度和torsor的绝对判别式。我们用高度来计算有理点。我们找到了有界高度的有理点个数的渐近性质。
2021-06-18 math.NT
Effective results on linear dependence for elliptic curves
给定秩为$r \ge 1$的椭圆曲线$E$上定义的${\mathbf Q}$和任意充分大的$x \ge 2$上的有理点的子群$Γ$，假设$Γ$的秩小于$r$，本文给出了不属于群$Γ$但属于$Γ$的约化的有理点$Q$的标准高度的上、下界，其中$Q$模为$E$的好约化的每个素数$p \le x$。
2018-12-01 math.AG math.NT
The average number of elements in the 4-Selmer groups of elliptic curves is 7
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按高排序时，它们的4-Selmer群的平均长度等于7.因此，我们表明，一个积极的比例（事实上，至少五分之一）的所有2-Selmer元素的椭圆曲线，当按高度排序，不提升到4-Selmer元素，从而对应于非平凡的2-扭元在相关的泰特-Shafarevich组。
2013-12-27 math.NT
On Tate's conjecture for elliptic modular surfaces over finite fields
对于$N\geq 3$，我们证明了泰特猜想的椭圆模表面$E(N)$的水平$N$在$\mathbb{F}_p$为一个素数$p$满足$p\equiv 1\mod N$以外的一组素数的密度为零。在假定$E(N)$的形式Brauer群具有有限高度的条件下，我们还证明了关于特征$p$与$N$互素的任何有限域上的$E(N)$的Tate猜想的一个强形式.
2013-11-22 math.AG math.NT
On the number of quadratic twists with a rational point of almost minimal height
我们研究了给定椭圆曲线的二次扭曲族中具有几乎最小高度的有理点的曲线的数量。这个问题的起源在工作的胡利，谁问这个问题的设置实二次域。特别是，他显示了一个渐近估计的数量等领域几乎最小的基本单位。我们的主要结果建立了固定椭圆曲线的二次扭曲的模拟渐近公式。
2020-11-05 math.NT
Conductor distributions of elliptic curves
本文确定了有理椭圆曲线按高度排序时导子的显式分布，并给出了按导子枚举时导子远小于高度的曲线数量的最强上界。
2025-04-21 math.NT
Ranks, $2$-Selmer groups, and Tamagawa numbers of elliptic curves with $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$-torsion
2016年，Balakrishnan-Ho-Kaplan-Spicer-Stein-Weigandt创建了一个按高度排序的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线数据库，他们在其中计算了秩、$2$ -Selmer群的大小和其他算术不变量。他们观察到，在某一点之后，平均排名似乎随着身高的增加而下降。本文考虑$\mathbb{Q}$上有理挠子群同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$的椭圆曲线族.在GRH和BSD的条件下，我们计算参数高度小于$10^3$的$202461$曲线的$92\%$的秩。我们还计算了$2$ -Selmer群和玉川积的大小，并证明了它们的平均值趋于无穷大。
2018-06-27 math.NT
Uniform Bounds for the Number of Rational Points of Bounded Height on Certain Elliptic Curves
本文研究含精确阶 $\ell$ 有理点的椭圆曲线，借助 Rosen 的类群 $\ell$-秩界改进 Bombieri–Zannier 方法，给出有界高度点计数的有效一致上界并推广已有 $\ell=2$ 结果。
2023-12-06 math.NT
Counting elliptic curves with an isogeny of degree three
我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。
2019-06-19 math.NT
