Lang猜想与椭圆曲线$y^{2}=x^{3}+ax$的尖高估计

关于Lang关于椭圆曲线上标准高猜想的统计观点

A statistical view on the conjecture of Lang about the canonical height on elliptic curves

我们采用一个统计的观点对朗猜想预测的一个下界的非挠有理点的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$上的典范高度。更具体地说，我们证明了在家庭的所有椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$和具有正秩，有一个密度为1的曲线族，满足一个强形式的郎猜想。

椭圆曲线上的阿基米德局部高

Archimedean local height differences on elliptic curves

为了计算数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的生成元，需要限制从上到下的朴素高度和规范高度之间的差。我们给出了一个基本的和快速的方法来计算一个上界的本地贡献，这个差异在阿基米德的地方，有时会得到更好的结果比以前的算法。

给定椭圆曲线二次扭线上有理点的高度

Height of rational points on quadratic twists of a given elliptic curve

我们提出了一个关于给定椭圆曲线的二次扭曲上的最低无挠有理点的标准高度随扭曲变化的分布的猜想。这个猜想似乎是非常深刻的，我们只能证明在这个方向的部分结果。

Lang猜想与椭圆曲线$y^{2}=x^{3}+b$的高估计

Lang's conjecture and sharp height estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+b$

对于$E_{b}: y^{2}=x^{3}+b$，我们建立了郎猜想的一个下界的典范高度的非挠点以及上限和下界之间的差异的典范和对数的高度。在许多情况下，我们的结果实际上是最好的。

一类椭圆曲线上大高度有理点的一个简单实用的高阶下降

A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves

考虑了y ^2 =x（x ^2 +ax+b）上有理点的实际计算.描述了一个4-下降过程所需的代数。一个简单的进一步下降，然后描述它只使用整数算术。大量的例子来说明这种额外的下降的有效性。目前，找到的最大点的高度为51.15或102.3，这取决于您使用的高度标准化。

Explicit height bounds for $K$-rational points on transverse curves in powers of elliptic curves

Let $C$ be an algebraic curve embedded transversally in a power $E^N$ of an elliptic curve $E$. In this article we produce a good explicit bound for the height of all the algebraic points on $C$ contained in the union of all proper algebraic subgroups of $E^N$. The method gives a totally explicit version of the Manin-Dam'janenko Theorem in the elliptic case and it is a generalisation of previous results only proved when $E$ does not have Complex Multiplication.

Serge Lang Heights猜想的证明及椭圆曲线挠率的一个几乎最优界

Proof of Serge Lang's Heights Conjecture and an almost optimal Bound for the Torsion of Elliptic Curves

本文主要讨论了SergeLang的Heights猜想的完全有效证明。作为一个补充结果，作者给出了关于椭圆曲线挠率界的Mazur-Merel定理的一个新的证明，并改进了已知结果，给出了一个关于基域阶的小多项式界.（已提交）

关于椭圆曲线上有理点的一个由abc猜想所隐含的高度不等式

A height inequality for rational points on elliptic curves implied by the abc-conjecture

本文证明了数域上的一致abc-猜想对椭圆曲线上有理点的坐标有严格的限制。对于证明，我们使用一个变种的统一abc猜想数领域制定的望月。作为应用，推广了Silverman关于椭圆型非Wieferich素数的一个结果.

准线性时间内计算椭圆曲线上的标准高

Computing Canonical Heights on Elliptic Curves in Quasi-Linear Time

本文介绍了一种计算有理数域上椭圆曲线上点在准线性时间内的标准高的算法。在大多数以前的算法，我们分解成阿基米德和非阿基米德项的典型和天真的高度之间的差异。我们的主要贡献是一个算法的非阿基米德项的计算，不需要整数分解和运行在准线性时间。

椭圆\(j\)不变量、\(j\)的立方根及韦伯模函数\(\mathfrak f\)的模多项式的显式高度界

Explicit height bounds on modular polynomials for the elliptic $j$-invariant, cube root of $j$, and Weber modular function $\mathfrak f$

研究改进椭圆\(j\)不变量等相关模多项式显式上界，通过改进Breuer等人给出的界，还证明了\(j\)立方根及韦伯模函数\(\mathfrak f\)的模多项式高度新显式上界。

显式局部高

Explicit local heights

给出了椭圆曲线上非阿基米德标准高度显式公式的一个新证明。这是由于椭圆詹森公式中的哈尔积分的直接计算而产生的。

小高度椭圆曲线平均的Sato-Tate、循环性和可除性统计

Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height

我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。

函数域上椭圆曲线典范高度的Lehmer型下界

A Lehmer-Type Lower Bound for the Canonical Height on Elliptic Curves Over Function Fields

该研究在特征非2、3的代数闭域上的曲线函数域情形下，给出了椭圆曲线上非挠点的函数域规范化典范高度的Lehmer型显式下界公式。

Heights of points on elliptic curves over $\mathbb Q$

In this note we obtain effective lower bounds for the canonical heights of non-torsion points on $E(\mathbb{Q})$ by making use of suitable elliptic curve ideal class pairings $$Ψ_{E,-D}: E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q})\mapsto \mathrm{CL}(-D).$$ In terms of the class number $H(-D)$ and $T_E(-D)$, a logarithmic function in $D$, we prove $$ \widehat{h}(P)> \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|^2}{\left( H(-D)+ |E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|\right)^2}\cdot T_E(-D). $$

有界高度猜想的最优性

The optimality of the Boundedness Height Conjecture

我们证明了有界高度猜想是最优的，所有不满足该假设的椭圆曲线的一次幂上的变量都不满足该猜想。已知有界高度猜想对椭圆曲线的幂次簇成立。我们还提出了一些例子和评论。

特征p中椭圆曲线的典范高

Canonical heights on elliptic curves in characteristic p

本文在整体函数域上的椭圆曲线的有理点上定义了一个新的标准高度对，它取函数域的一个完备的乘法群中的值。这个高度可以作为经典的Neron-Tate高度和解析的p-adic高度的类比。我们的主要结果是，在一些一般的假设下，这种配对是非简并的。

计算有界Faltings高度的椭圆曲线

Counting elliptic curves of bounded Faltings height

给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。

二次域上椭圆曲线的低高无挠点

Nontorsion Points of Low Height on Elliptic Curves over Quadratic Fields

我们给出的例子，特别是低高度的椭圆曲线上的二次域，恢复通过搜索椭圆整除序列。识别的最小示例满足dh（P）=0.0077127.：改进了dh（P）=0.0194426的二次域上曲线的先前最小值. Everest和Ward给出的;并且与Elkies列出的关于Q的曲线上最小高度的一些示例相当。

无限非阿贝尔扩张中的显式小高度

Explicit Small Heights in Infinite Non-Abelian Extensions

设$E$是有理数上的椭圆曲线。我们将考虑有理数的无限扩张$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，其中我们邻接$E$的扭点的所有坐标。在本文中，我们将证明一个明确的下界的高度非零元素在$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，不是一个单位根，只取决于导体的椭圆曲线。作为一个副结果，我们将给出一个明确的界限，一个小的超奇异素数的椭圆曲线。

按高度排序的同源椭圆曲线族

Families of isogenous elliptic curves ordered by height

本文研究数域上有理曲线上的椭圆曲线乘积族，在一般纤维无同源假设下，给出同源特殊纤维数量的高度上界，并通过修改高度定义得到仅依赖族次数、数域和高度界的一致上界，展示了 Heath-Brown 型覆盖计数方法的应用潜力。

数域和椭圆曲线的高度和调节子

Heights and regulators of number fields and elliptic curves

比较了数域上的不变量与数域上的阿贝尔簇不变量之间的一般不等式。在数域方面，我们注意到只有有限个非CM数域具有有界调节子。在阿贝尔方面，假设Lang和Silverman的高度猜想，我们得到了数域上具有稠密有理点的阿贝尔簇集合上的调节器的Northcott性质。这相当于说，CM领域的算术是类似的，相对于这里考虑的不变量，算术的阿贝尔簇在一个数字领域有一个非Zebriki密集的Mordell-Weil群。

椭圆曲线上的局部高与交重数

Local heights on elliptic curves and intersection multiplicities

本文利用整数环上正则模型上的相交理论证明了数域上椭圆曲线的局部高公式。

关于高维椭圆曲线族的标准高度平均值

On the Average Value of the Canonical Height in Higher Dimensional Families of Elliptic curves

给定函数域K=Q（T_1，.，.）上的椭圆曲线E，T_n），研究了特殊椭圆曲线E_w的标准高度^h_（E_w）关于w在Q^n中的高度的行为.本文证明了对所有非挠P，E（K）中的商^h_（E_w）（P_w）/h（w）的平均值存在一致的非零下界.

特征 3 下椭圆曲线上的 stacky 高度

Stacky heights on elliptic curves in characteristic 3

本文证明在特征 3 的稳定椭圆曲线模叠上不存在可诱导通常 Faltings 高度的 stacky 高度，否定回答了 Ellenberg 等人的问题。

Rational points of bounded height on weighted projective stacks

A weighted projective stack is a stacky quotient $\mathscr P(\mathbf a)=(\mathbf A^n-\{0\})/\mathbb G_m$, where the action of $\mathbb G_m$ is with weights $\mathbf a\in\mathbb Z^n_{>0}$. Examples are: the compactified moduli stack of elliptic curves $\mathscr P(4,6)$ and the classifying stack of $μ_m$-torsors $Bμ_m=\mathscr P(m)$. We define heights on the weighted projective stacks. The heights generalize the naive height of an elliptic curve and the absolute discriminant of a torsor. We use the heights to count rational points. We find the asymptotic behaviour for the number of rational poin…

按高度排序的椭圆曲线数据库及Selmer群和秩的分布

Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks

大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。

椭圆曲线的4-Selmer群的平均元素数为7

The average number of elements in the 4-Selmer groups of elliptic curves is 7

证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按高排序时，它们的4-Selmer群的平均长度等于7.因此，我们表明，一个积极的比例（事实上，至少五分之一）的所有2-Selmer元素的椭圆曲线，当按高度排序，不提升到4-Selmer元素，从而对应于非平凡的2-扭元在相关的泰特-Shafarevich组。

交换扩张上椭圆曲线的标准高度的一个下界

A lower bound for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions

设E/K是数域上的椭圆曲线，h是E上的标准高，K^ab是K的极大阿贝尔扩张. M. Baker，我们证明了存在一个正常数C（E/K）使得E（K^ab）中的每个非挠点P满足h（P）> C（E/K）.

On the number of quadratic twists with a rational point of almost minimal height

We investigate the number of curves having a rational point of almost minimal height in the family of quadratic twists of a given elliptic curve. This problem takes its origin in the work of Hooley, who asked this question in the setting of real quadratic fields. In particular, he showed an asymptotic estimate for the number of such fields with almost minimal fundamental unit. Our main result establishes the analogue asymptotic formula in the setting of quadratic twists of a fixed elliptic curve.

椭圆曲线和曲面上的低高点，I：P^1上具有小d的椭圆曲面

Points of Low Height on Elliptic Curves and Surfaces, I: Elliptic surfaces over P^1 with small d

对于n= 1，2，3中的每一个，我们找到C（T）上判别次数d= 12 n（等价于算术亏格n）的椭圆曲线E的非挠点P的最小高度h^（P），并证明所有（E，P）都能达到这个最小值。已知最小h^（P）对于n=1等于1/30（Oguiso-Shioda），对于n=2等于11/420（Nishiyama），但不知道一般（E，P）的公式，也不知道这些也是判别次数为12 n的椭圆曲线在任何亏格的函数域上的最小值。对于n=3，最小高度（23/840）和显式曲线都是新的。这些（E，P）还具有这样的性质，即对于每个m= 1，2，.，mP是整数点（初始高度为零的点），M，其中M= 6，8，9，n= 1，2，3;这也是最大的，在每一个的三种情况下。

椭圆曲线的导子分布

Conductor distributions of elliptic curves

本文确定了有理椭圆曲线按高度排序时导子的显式分布，并给出了按导子枚举时导子远小于高度的曲线数量的最强上界。

具有$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ -挠率的椭圆曲线的秩、$2$-Selmer群和Tamagawa数

Ranks, $2$-Selmer groups, and Tamagawa numbers of elliptic curves with $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$-torsion

2016年，Balakrishnan-Ho-Kaplan-Spicer-Stein-Weigandt创建了一个按高度排序的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线数据库，他们在其中计算了秩、$2$ -Selmer群的大小和其他算术不变量。他们观察到，在某一点之后，平均排名似乎随着身高的增加而下降。本文考虑$\mathbb{Q}$上有理挠子群同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$的椭圆曲线族.在GRH和BSD的条件下，我们计算参数高度小于$10^3$的$202461$曲线的$92\%$的秩。我们还计算了$2$ -Selmer群和玉川积的大小，并证明了它们的平均值趋于无穷大。

某些椭圆曲线上有界高度有理点数目的一致界

Uniform Bounds for the Number of Rational Points of Bounded Height on Certain Elliptic Curves

本文研究含精确阶 $\ell$ 有理点的椭圆曲线，借助 Rosen 的类群 $\ell$-秩界改进 Bombieri–Zannier 方法，给出有界高度点计数的有效一致上界并推广已有 $\ell=2$ 结果。

交换扩张上椭圆曲线的标准高度的下界

Lower bounds for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions

设K是数域，E/K是椭圆曲线.若E有复乘，我们证明了定义在K的极大阿贝尔扩张K^ab上的E上非挠点的标准高度存在正的下界.这类似于Amoroso-Dvornicich和Amoroso-Zannier关于乘法群的结果。我们还证明了，如果E具有非整数j-不变量（使得特别地E没有复乘），则存在C > 0，使得E（K^ab）中仅有100个点P的标准高度小于C。这加强了Hindry和Silverman的一个结果。

计数三次等距的椭圆曲线

Counting elliptic curves with an isogeny of degree three

我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。

椭圆曲线在阿贝尔扩张上的诺尔-塔特高度的显式统一下界

Explicit Uniform Lower Bounds for the Canonical Height on Elliptic Curves over Abelian Extensions

本文通过显式方法为椭圆曲线在阿贝尔扩张上的诺尔-塔特高度提供了一个不依赖基域判别式的下界，改进了 Baker 的定理证明。

Counting elliptic curves with a rational $N$-isogeny for small $N$

We count the number of rational elliptic curves of bounded naive height that have a rational $N$-isogeny, for $N \in \{2,3,4,5,6,8,9,12,16,18\}$. For some $N$, this is done by generalizing a method of Harron and Snowden. For the remaining cases, we use the framework of Ellenberg, Satriano and Zureick-Brown, in which the naive height of an elliptic curve is the height of the corresponding point on a moduli stack.

阿贝尔簇上有界高度的Lehmer型界与有理点计数

Lehmer-Type bounds and counting rational points of bounded heights on Abelian varieties

本文研究了数域K上阿贝尔簇A的$\bar{K}$-点Néron-Tate高度的Lehmer型界，估计了高度$\leq \log B$的K-有理点数量，并针对椭圆曲线及其乘积将估计中的常数C变为显式可计算。

按高度排序的椭圆曲线的群鸣现象

Murmurations for elliptic curves ordered by height

本文研究按朴素高度排序的椭圆曲线 L 函数系数平均形成的群鸣密度，提出由 Bessel 函数显式表示的猜想并经高度至 2^28 的数据验证。

关于Lang高度猜想的证明

About the Proof of Lang's Height Conjecture

这是一个非正式的文件，介绍历史的结果，围绕最近的文件，作者对朗的猜想和扭转的椭圆曲线。本文还讨论了证明的几个方面。

Faltings高度谱中的一个缺口

A Gap in the Spectrum of the Faltings Height

我们证明了Deligne在椭圆曲线上找到的稳定Faltings高度的最小值$h_{\text{min}}$后面有一个间隙。这意味着存在一个常数$C >0$，使得对于在数域$K$上处处具有半稳定约简的椭圆曲线$E/K$，我们要么有$h(E/K)=h_{\text{min}}$，要么有$h(E/K)\geq h_{\text{min}} +C$。我们明确地确定这样一个绝对常数。相反，我们证明了不稳定约化的椭圆曲线不存在这样的间隙。

具有有界不变量的二元四次型与椭圆曲线平均秩的有界性

Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves

我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。

正比例的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线秩为1

A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one

证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。

按高度计数具有7-同源的有理数域上的椭圆曲线

Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny

本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。

Coleman-Gross高度配对与$p$ -adic σ函数

Coleman-Gross height pairings and the $p$-adic sigma function

给出了椭圆曲线上Mazur-Tate和Coleman-Gross高度重合的直接证明。主要成分是延长科尔曼-格罗斯高度的情况下，因子与非不相交的支持，并做一些$p$ -进分析，显示，特别是，它的组件以上$p$给出，在特殊情况下，一个正常椭圆曲线，$p$ -进σ函数。我们利用这个结果在较弱的假设下给出了Kim刻划椭圆曲线上整点的一个定理的简短证明。作为进一步的应用，我们给出了从切向基点计算二重Coleman积分的新公式。

Average rank of quadratic twists with a rational point of almost minimal height

Given a family of quadratic twists of a fixed elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$, we investigate the average rank in the subfamily of twists having a nontorsion rational point of almost minimal height. We show in particular that the average analytic rank is greater than one.

大多数环$\mathbb Q$上的椭圆曲线满足Birch和Swinnerton-Dyer猜想

A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

我们证明了大多数（事实上，$>66\%$）的所有椭圆曲线在$\mathbb Q$，按高度排序时，满足伯奇和Swinnerton-Dyer秩猜想。

给定素数集上具有坏约化的椭圆曲线的计数

Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes

设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。

显式高度界与显式Mordell-Lang猜想

Explicit height bounds and the explicit Mordell-Lang Conjecture

本文综述了丢番图几何中的一些里程碑式的定理和最近的一些成果。在椭圆情形下，我们证明了挠反常点的一些新的界，并阐明了几个高度界对有效Mordell-Lang猜想的意义。我们还明确约束的Neron-Tate高度的有理点的曲线族的增加属。

The second moment of the size of the $2$-Selmer group of elliptic curves

In this paper, we prove that when elliptic curves over $\mathbb{Q}$ are ordered by height, the second moment of the size of the $2$-Selmer group is at most $15$. This confirms a conjecture of Poonen and Rains.

无限扩张中的小高度点

On points of small height in infinite extensions

本文提出渐近正无限扩张概念，证明此类扩张上对数Weil高度和椭圆曲线典范高度的下界，推广Bombieri-Zannier及Baker的Bogomolov性质结果。

椭圆曲线的Selmer群的结构与模符号

The structure of Selmer groups of elliptic curves and modular symbols

对于有理数域上的椭圆曲线和素数$p$，研究了$p$ -幂扭点的经典Selmer群的结构.在我们以前的论文\cite{Ku6}中，假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性，我们证明了关于$p$ -幂扭点的Selmer群的结构是由一些由模符号定义的解析元素$\tildeδ_{m}$决定的。本文在不假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性的前提下，利用这些解析元和高斯和型Kolyvagin系统研究了Selmer群的结构.

一类椭圆纤维化的二次扭曲和线性增长上的积分点

Integral points on quadratic twists and linear growth for certain elliptic fibrations

我们证明了一定的del Pezzo表面的度1定义在Q上的有界高度的有理点的数量线性增长，预测Manin的猜想。在此基础上，我们研究了具有完全有理2-挠率的固定椭圆曲线的二次挠率上小初始高度的整数点的平均个数。

低高度测地线和马尔可夫谱

Low height geodesics and the Markoff spectrum

我们分类，在最高弧的拓扑结构，低高度非简单测地线的模双曲穿孔球面上的三个椭圆不动点的二阶。在八种可能的类型中，恰好有一种是由测地线组成的，它们在尖点周围形成一个重子;我们用马尔可夫三元组来表示所有这样的测地线。我们还证明了连接两个椭圆不动点的任何测地线都有局部孤立高度。