Archimedean local height differences on elliptic curves
为了计算数域上椭圆曲线的Mordell-Weil群的生成元，需要限制从上到下的朴素高度和规范高度之间的差。我们给出了一个基本的和快速的方法来计算一个上界的本地贡献，这个差异在阿基米德的地方，有时会得到更好的结果比以前的算法。
2018-07-11 math.NT
Height of rational points on quadratic twists of a given elliptic curve
我们提出了一个关于给定椭圆曲线的二次扭曲上的最低无挠有理点的标准高度随扭曲变化的分布的猜想。这个猜想似乎是非常深刻的，我们只能证明在这个方向的部分结果。
2014-05-27 math.NT
Lang's Conjecture and Sharp Height Estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+ax$
对于由方程$E_{a}: y^{2}=x^{3}+ax$给出的椭圆曲线，我们建立了Lang猜想关于非挠点的标准高度的下界的最佳可能版本，以及标准高度和对数高度之差的最佳可能上界和下界.
2013-07-17 math.NT
Lang's conjecture and sharp height estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+b$
对于$E_{b}: y^{2}=x^{3}+b$，我们建立了郎猜想的一个下界的典范高度的非挠点以及上限和下界之间的差异的典范和对数的高度。在许多情况下，我们的结果实际上是最好的。
2016-05-20 math.NT
A simple practical higher descent for large height rational points on certain elliptic curves
考虑了y ^2 =x（x ^2 +ax+b）上有理点的实际计算.描述了一个4-下降过程所需的代数。一个简单的进一步下降，然后描述它只使用整数算术。大量的例子来说明这种额外的下降的有效性。目前，找到的最大点的高度为51.15或102.3，这取决于您使用的高度标准化。
1999-04-30 math.NT
Explicit height bounds for $K$-rational points on transverse curves in powers of elliptic curves
令$C$是横向嵌入椭圆曲线$E$的幂$E^N$中的代数曲线。本文给出了包含在$E^N$的所有真代数子群之并中的$C$上所有代数点的高度的一个很好的显式界。该方法给出了一个完全明确的版本的Manin-Dam'janenko定理在椭圆形的情况下，它是以前的结果证明时，$E$没有复乘的推广。
2020-06-03 math.NT
Proof of Serge Lang's Heights Conjecture and an almost optimal Bound for the Torsion of Elliptic Curves
本文主要讨论了SergeLang的Heights猜想的完全有效证明。作为一个补充结果，作者给出了关于椭圆曲线挠率界的Mazur-Merel定理的一个新的证明，并改进了已知结果，给出了一个关于基域阶的小多项式界.（已提交）
2018-09-08 math.NT
A height inequality for rational points on elliptic curves implied by the abc-conjecture
本文证明了数域上的一致abc-猜想对椭圆曲线上有理点的坐标有严格的限制。对于证明，我们使用一个变种的统一abc猜想数领域制定的望月。作为应用，推广了Silverman关于椭圆型非Wieferich素数的一个结果.
2012-11-12 math.NT
Computing Canonical Heights on Elliptic Curves in Quasi-Linear Time
本文介绍了一种计算有理数域上椭圆曲线上点在准线性时间内的标准高的算法。在大多数以前的算法，我们分解成阿基米德和非阿基米德项的典型和天真的高度之间的差异。我们的主要贡献是一个算法的非阿基米德项的计算，不需要整数分解和运行在准线性时间。
2015-12-22 math.NT
Explicit height bounds on modular polynomials for the elliptic $j$-invariant, cube root of $j$, and Weber modular function $\mathfrak f$
研究改进椭圆\(j\)不变量等相关模多项式显式上界，通过改进Breuer等人给出的界，还证明了\(j\)立方根及韦伯模函数\(\mathfrak f\)的模多项式高度新显式上界。
2026-09-23 math.NT
Explicit local heights
给出了椭圆曲线上非阿基米德标准高度显式公式的一个新证明。这是由于椭圆詹森公式中的哈尔积分的直接计算而产生的。
1999-05-28 math.NT
Sato--Tate, cyclicity, and divisibility statistics on average for elliptic curves of small height
我们得到了素数$p\le x$的数量的渐近公式，对于这些素数，椭圆曲线$$ \E_{a,b} : Y^2 = X^3 + aX + b $$的约化模$p$满足某些"自然“性质，平均在整数$a$和$b$上，具有$|a|\le A$和$|b| \le B$，其中$A$和$B$相对于$x$是小的。具体而言，我们调查行为相对于佐藤-泰特猜想，循环性，整除的点数由一个固定的整数$m$。
2007-11-26 math.NT
A Lehmer-Type Lower Bound for the Canonical Height on Elliptic Curves Over Function Fields
该研究在特征非2、3的代数闭域上的曲线函数域情形下，给出了椭圆曲线上非挠点的函数域规范化典范高度的Lehmer型显式下界公式。
2024-04-18 math.NT
Heights of points on elliptic curves over $\mathbb Q$
本文利用适当的椭圆曲线理想类对$$Ψ_{E,-D}: E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q})\mapsto \mathrm{CL}(-D).$$，得到了$E(\mathbb{Q})$上非挠点的典范高度的有效下界。利用类数$H(-D)$和$D$中的对数函数$T_E(-D)$，证明了$$ \widehat{h}(P)> \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|^2}{\left( H(-D)+ |E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|\right)^2}\cdot T_E(-D). $$
2022-06-09 math.NT
The optimality of the Boundedness Height Conjecture
我们证明了有界高度猜想是最优的，所有不满足该假设的椭圆曲线的一次幂上的变量都不满足该猜想。已知有界高度猜想对椭圆曲线的幂次簇成立。我们还提出了一些例子和评论。
2008-11-10 math.NT
Canonical heights on elliptic curves in characteristic p
本文在整体函数域上的椭圆曲线的有理点上定义了一个新的标准高度对，它取函数域的一个完备的乘法群中的值。这个高度可以作为经典的Neron-Tate高度和解析的p-adic高度的类比。我们的主要结果是，在一些一般的假设下，这种配对是非简并的。
2001-06-08 math.AG math.NT
Counting elliptic curves of bounded Faltings height
给出了$\mathbb{Q}$上Faltings高度有界的椭圆曲线个数的一个渐近公式. Silverman证明了数域上椭圆曲线的Faltings高度可以用模函数和椭圆曲线的最小判别式表示。我们用这个来重铸的问题之一，在$\mathbb{R}^2$的特定区域的晶格点计数。
2016-02-16 math.AG math.NT
Nontorsion Points of Low Height on Elliptic Curves over Quadratic Fields
我们给出的例子，特别是低高度的椭圆曲线上的二次域，恢复通过搜索椭圆整除序列。识别的最小示例满足dh（P）=0.0077127.：改进了dh（P）=0.0194426的二次域上曲线的先前最小值. Everest和Ward给出的;并且与Elkies列出的关于Q的曲线上最小高度的一些示例相当。
2011-11-10 math.AG math.NT
Explicit Small Heights in Infinite Non-Abelian Extensions
设$E$是有理数上的椭圆曲线。我们将考虑有理数的无限扩张$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，其中我们邻接$E$的扭点的所有坐标。在本文中，我们将证明一个明确的下界的高度非零元素在$\mathbb{Q}(E_{\text{tor}})$，不是一个单位根，只取决于导体的椭圆曲线。作为一个副结果，我们将给出一个明确的界限，一个小的超奇异素数的椭圆曲线。
2019-10-27 math.NT
Families of isogenous elliptic curves ordered by height
本文研究数域上有理曲线上的椭圆曲线乘积族，在一般纤维无同源假设下，给出同源特殊纤维数量的高度上界，并通过修改高度定义得到仅依赖族次数、数域和高度界的一致上界，展示了 Heath-Brown 型覆盖计数方法的应用潜力。
2025-08-21 math.NT
Heights and regulators of number fields and elliptic curves
比较了数域上的不变量与数域上的阿贝尔簇不变量之间的一般不等式。在数域方面，我们注意到只有有限个非CM数域具有有界调节子。在阿贝尔方面，假设Lang和Silverman的高度猜想，我们得到了数域上具有稠密有理点的阿贝尔簇集合上的调节器的Northcott性质。这相当于说，CM领域的算术是类似的，相对于这里考虑的不变量，算术的阿贝尔簇在一个数字领域有一个非Zebriki密集的Mordell-Weil群。
2016-10-06 math.NT
Local heights on elliptic curves and intersection multiplicities
本文利用整数环上正则模型上的相交理论证明了数域上椭圆曲线的局部高公式。
2012-01-11 math.AG math.NT
On the Average Value of the Canonical Height in Higher Dimensional Families of Elliptic curves
给定函数域K=Q（T_1，.，.）上的椭圆曲线E，T_n），研究了特殊椭圆曲线E_w的标准高度^h_（E_w）关于w在Q^n中的高度的行为.本文证明了对所有非挠P，E（K）中的商^h_（E_w）（P_w）/h（w）的平均值存在一致的非零下界.
2015-02-08 math.AG math.NT
Stacky heights on elliptic curves in characteristic 3
本文证明在特征 3 的稳定椭圆曲线模叠上不存在可诱导通常 Faltings 高度的 stacky 高度，否定回答了 Ellenberg 等人的问题。
2023-06-01 math.AG math.NT
Rational points of bounded height on weighted projective stacks
加权投影堆栈是堆栈商$\mathscr P(\mathbf a)=(\mathbf A^n-\{0\})/\mathbb G_m$，其中$\mathbb G_m$的作用具有权重$\mathbf a\in\mathbb Z^n_{>0}$。例如：椭圆曲线的紧化模栈$\mathscr P(4,6)$和$μ_m$ -扭体的分类栈$Bμ_m=\mathscr P(m)$ .我们在加权投影堆栈上定义高度。高度推广了椭圆曲线的朴素高度和torsor的绝对判别式。我们用高度来计算有理点。我们找到了有界高度的有理点个数的渐近性质。
2021-06-18 math.NT
Databases of elliptic curves ordered by height and distributions of Selmer groups and ranks
大多数与椭圆曲线的秩相关的系统数据表按导体对曲线进行排序。最近的事态发展，导致工作的Bhargava，Shankar研究的平均大小的$n$ -塞尔默群，已经给出了新上界的平均代数秩在家庭的椭圆曲线超过$\mathbb{Q}$有序的高度。我们描述的数据库中的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$排序的高度，我们计算的行列和$2$ -Selmer组的大小，其分布也可以比较这些理论结果。在这些数据库中观察到的一个引人注目的新现象是，随着身高的增加，平均排名最终会下降。
2016-05-19 math.AG math.NT
The average number of elements in the 4-Selmer groups of elliptic curves is 7
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按高排序时，它们的4-Selmer群的平均长度等于7.因此，我们表明，一个积极的比例（事实上，至少五分之一）的所有2-Selmer元素的椭圆曲线，当按高度排序，不提升到4-Selmer元素，从而对应于非平凡的2-扭元在相关的泰特-Shafarevich组。
2013-12-27 math.NT
A lower bound for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions
设E/K是数域上的椭圆曲线，h是E上的标准高，K^ab是K的极大阿贝尔扩张. M. Baker，我们证明了存在一个正常数C（E/K）使得E（K^ab）中的每个非挠点P满足h（P）> C（E/K）.
2003-05-01 math.AC math.NT
On the number of quadratic twists with a rational point of almost minimal height
我们研究了给定椭圆曲线的二次扭曲族中具有几乎最小高度的有理点的曲线的数量。这个问题的起源在工作的胡利，谁问这个问题的设置实二次域。特别是，他显示了一个渐近估计的数量等领域几乎最小的基本单位。我们的主要结果建立了固定椭圆曲线的二次扭曲的模拟渐近公式。
2020-11-05 math.NT
Points of Low Height on Elliptic Curves and Surfaces, I: Elliptic surfaces over P^1 with small d
对于n= 1，2，3中的每一个，我们找到C（T）上判别次数d= 12 n（等价于算术亏格n）的椭圆曲线E的非挠点P的最小高度h^（P），并证明所有（E，P）都能达到这个最小值。已知最小h^（P）对于n=1等于1/30（Oguiso-Shioda），对于n=2等于11/420（Nishiyama），但不知道一般（E，P）的公式，也不知道这些也是判别次数为12 n的椭圆曲线在任何亏格的函数域上的最小值。对于n=3，最小高度（23/840）和显式曲线都是新的。这些（E，P）还具有这样的性质，即对于每个m= 1，2，.，mP是整数点（初始高度为零的点），M，其中M= 6，8，9，n= 1，2，3;这也是最大的，在每一个的三种情况下。
2006-08-24 math.AG math.NT
Conductor distributions of elliptic curves
本文确定了有理椭圆曲线按高度排序时导子的显式分布，并给出了按导子枚举时导子远小于高度的曲线数量的最强上界。
2025-04-21 math.NT
Ranks, $2$-Selmer groups, and Tamagawa numbers of elliptic curves with $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$-torsion
2016年，Balakrishnan-Ho-Kaplan-Spicer-Stein-Weigandt创建了一个按高度排序的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线数据库，他们在其中计算了秩、$2$ -Selmer群的大小和其他算术不变量。他们观察到，在某一点之后，平均排名似乎随着身高的增加而下降。本文考虑$\mathbb{Q}$上有理挠子群同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$的椭圆曲线族.在GRH和BSD的条件下，我们计算参数高度小于$10^3$的$202461$曲线的$92\%$的秩。我们还计算了$2$ -Selmer群和玉川积的大小，并证明了它们的平均值趋于无穷大。
2018-06-27 math.NT
Uniform Bounds for the Number of Rational Points of Bounded Height on Certain Elliptic Curves
本文研究含精确阶 $\ell$ 有理点的椭圆曲线，借助 Rosen 的类群 $\ell$-秩界改进 Bombieri–Zannier 方法，给出有界高度点计数的有效一致上界并推广已有 $\ell=2$ 结果。
2023-12-06 math.NT
Lower bounds for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions
设K是数域，E/K是椭圆曲线.若E有复乘，我们证明了定义在K的极大阿贝尔扩张K^ab上的E上非挠点的标准高度存在正的下界.这类似于Amoroso-Dvornicich和Amoroso-Zannier关于乘法群的结果。我们还证明了，如果E具有非整数j-不变量（使得特别地E没有复乘），则存在C > 0，使得E（K^ab）中仅有100个点P的标准高度小于C。这加强了Hindry和Silverman的一个结果。
2002-12-16 math.AG math.NT
Counting elliptic curves with an isogeny of degree three
我们用高度来计算有理数上具有三次等距的椭圆曲线的个数。
2019-06-19 math.NT
Explicit Uniform Lower Bounds for the Canonical Height on Elliptic Curves over Abelian Extensions
本文通过显式方法为椭圆曲线在阿贝尔扩张上的诺尔-塔特高度提供了一个不依赖基域判别式的下界，改进了 Baker 的定理证明。
2025-12-17 math.AG math.NT
Counting elliptic curves with a rational $N$-isogeny for small $N$
对于$N$，我们计算具有有界朴素高度的有理椭圆曲线的个数。对于某些$N$，这是通过推广Harron和Snowden的方法来完成的。对于其余情况，我们使用Ellenberg，Satriano和Zureick-Brown的框架，其中椭圆曲线的原始高度是模栈上对应点的高度。
2020-09-11 math.AG math.NT
Lehmer-Type bounds and counting rational points of bounded heights on Abelian varieties
本文研究了数域K上阿贝尔簇A的$\bar{K}$-点Néron-Tate高度的Lehmer型界，估计了高度$\leq \log B$的K-有理点数量，并针对椭圆曲线及其乘积将估计中的常数C变为显式可计算。
2024-03-27 math.NT
Murmurations for elliptic curves ordered by height
本文研究按朴素高度排序的椭圆曲线 L 函数系数平均形成的群鸣密度，提出由 Bessel 函数显式表示的猜想并经高度至 2^28 的数据验证。
2025-10-20 math.NT
About the Proof of Lang's Height Conjecture
这是一个非正式的文件，介绍历史的结果，围绕最近的文件，作者对朗的猜想和扭转的椭圆曲线。本文还讨论了证明的几个方面。
2017-09-12 math.NT
A Gap in the Spectrum of the Faltings Height
我们证明了Deligne在椭圆曲线上找到的稳定Faltings高度的最小值$h_{\text{min}}$后面有一个间隙。这意味着存在一个常数$C >0$，使得对于在数域$K$上处处具有半稳定约简的椭圆曲线$E/K$，我们要么有$h(E/K)=h_{\text{min}}$，要么有$h(E/K)\geq h_{\text{min}} +C$。我们明确地确定这样一个绝对常数。相反，我们证明了不稳定约化的椭圆曲线不存在这样的间隙。
2015-12-16 math.AG math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
2014-01-01 math.NT
Counting elliptic curves over the rationals with a 7-isogeny
本文按高度计数了有理数域上具有7次循环同源的椭圆曲线数量，分别考虑了有理数域及其代数闭包上的同构类。
2023-08-02 math.NT
Coleman-Gross height pairings and the $p$-adic sigma function
给出了椭圆曲线上Mazur-Tate和Coleman-Gross高度重合的直接证明。主要成分是延长科尔曼-格罗斯高度的情况下，因子与非不相交的支持，并做一些$p$ -进分析，显示，特别是，它的组件以上$p$给出，在特殊情况下，一个正常椭圆曲线，$p$ -进σ函数。我们利用这个结果在较弱的假设下给出了Kim刻划椭圆曲线上整点的一个定理的简短证明。作为进一步的应用，我们给出了从切向基点计算二重Coleman积分的新公式。
2012-07-25 math.AG math.NT
Average rank of quadratic twists with a rational point of almost minimal height
给出了定义在$\mathbb{Q}$上的固定椭圆曲线的二次扭族，研究了具有几乎最小高度的非扭有理点的扭族的平均秩.我们特别表明，平均分析秩是大于1。
2022-01-19 math.NT
A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
我们证明了大多数（事实上，$>66\%$）的所有椭圆曲线在$\mathbb Q$，按高度排序时，满足伯奇和Swinnerton-Dyer秩猜想。
2014-07-17 math.NT
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
2020-03-23 math.NT
Explicit height bounds and the explicit Mordell-Lang Conjecture
本文综述了丢番图几何中的一些里程碑式的定理和最近的一些成果。在椭圆情形下，我们证明了挠反常点的一些新的界，并阐明了几个高度界对有效Mordell-Lang猜想的意义。我们还明确约束的Neron-Tate高度的有理点的曲线族的增加属。
2016-09-15 math.NT
The second moment of the size of the $2$-Selmer group of elliptic curves
本文证明了当$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线按高度排序时，$2$ -Selmer群的大小的二阶矩至多为$15$。这证实了Poonen和Rains的一个猜想。
2021-10-18 math.NT
On points of small height in infinite extensions
本文提出渐近正无限扩张概念，证明此类扩张上对数Weil高度和椭圆曲线典范高度的下界，推广Bombieri-Zannier及Baker的Bogomolov性质结果。
2025-09-07 math.NT
The structure of Selmer groups of elliptic curves and modular symbols
对于有理数域上的椭圆曲线和素数$p$，研究了$p$ -幂扭点的经典Selmer群的结构.在我们以前的论文\cite{Ku6}中，假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性，我们证明了关于$p$ -幂扭点的Selmer群的结构是由一些由模符号定义的解析元素$\tildeδ_{m}$决定的。本文在不假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性的前提下，利用这些解析元和高斯和型Kolyvagin系统研究了Selmer群的结构.
2014-07-09 math.NT
Integral points on quadratic twists and linear growth for certain elliptic fibrations
我们证明了一定的del Pezzo表面的度1定义在Q上的有界高度的有理点的数量线性增长，预测Manin的猜想。在此基础上，我们研究了具有完全有理2-挠率的固定椭圆曲线的二次挠率上小初始高度的整数点的平均个数。
2013-07-31 math.AG math.NT
Low height geodesics and the Markoff spectrum
我们分类，在最高弧的拓扑结构，低高度非简单测地线的模双曲穿孔球面上的三个椭圆不动点的二阶。在八种可能的类型中，恰好有一种是由测地线组成的，它们在尖点周围形成一个重子;我们用马尔可夫三元组来表示所有这样的测地线。我们还证明了连接两个椭圆不动点的任何测地线都有局部孤立高度。
2010-05-12 math.GT math.NT
