Ranks, $2$-Selmer groups, and Tamagawa numbers of elliptic curves with $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$-torsion
2016年，Balakrishnan-Ho-Kaplan-Spicer-Stein-Weigandt创建了一个按高度排序的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线数据库，他们在其中计算了秩、$2$ -Selmer群的大小和其他算术不变量。他们观察到，在某一点之后，平均排名似乎随着身高的增加而下降。本文考虑$\mathbb{Q}$上有理挠子群同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$的椭圆曲线族.在GRH和BSD的条件下，我们计算参数高度小于$10^3$的$202461$曲线的$92\%$的秩。我们还计算了$2$ -Selmer群和玉川积的大小，并证明了它们的平均值趋于无穷大。
2018-06-27 math.NT
The structure of Selmer groups of elliptic curves and modular symbols
对于有理数域上的椭圆曲线和素数$p$，研究了$p$ -幂扭点的经典Selmer群的结构.在我们以前的论文\cite{Ku6}中，假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性，我们证明了关于$p$ -幂扭点的Selmer群的结构是由一些由模符号定义的解析元素$\tildeδ_{m}$决定的。本文在不假设主要猜想和$p$ -adic高度配对的非退化性的前提下，利用这些解析元和高斯和型Kolyvagin系统研究了Selmer群的结构.
2014-07-09 math.NT
The second moment of the size of the $2$-Selmer group of elliptic curves
本文证明了当$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线按高度排序时，$2$ -Selmer群的大小的二阶矩至多为$15$。这证实了Poonen和Rains的一个猜想。
2021-10-18 math.NT
The geometric distribution of Selmer groups of elliptic curves over function fields
固定正整数$n$和有限域$\mathbb F_q$。研究了$E$在固定高度$d \geq 2$在$\mathbb F_q(t)$上的椭圆曲线上变化时，$E$的秩、$E$的$n$-Selmer群和$E$的Tate-Shafarevich群中的$n$ -挠的联合分布.我们在大的$q$极限下计算这个联合分布。我们还表明，“大$q$，那么大的高度”的限制，这个分布同意Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains预测的。
2022-09-14 math.AG math.CO math.GR
The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point
证明了当所有亏格为$n\geq 1$且具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线按高排序时，其Jacobian的2-Selmer群的平均大小等于3.由此可知，它们的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩至多为3/2。Chabauty的方法，然后可以被用来获得一个有效的界限上的合理的点的数量，这些超椭圆曲线，例如，我们表明，大多数的超椭圆曲线属$n\geq 3$与理性Weierstrass点有不到20个有理点。
2013-04-29 math.AG math.NT
The average size of the 2-Selmer group of a family of non-hyperelliptic curves of genus 3
我们表明，平均大小的$2$ -塞尔默组的家庭的雅可比非超椭圆属- $3$曲线有一个显着的合理hyperflex点，当有序的自然高度，是有界以上的$3$。我们实现这一点，通过解释$2$ -塞尔默元素的积分轨道的代表与一个稳定的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -分级的李代数类型$E_6$和使用Bhargava的轨道计数技术。我们使用这个结果表明，标记点是唯一的有理点的一个积极的比例曲线在这个家庭。主要的新颖之处是建设的积分代表使用某些性质的紧致雅可比的简单曲线奇异的类型$E_6$，和一个代表性理论解释的芒福德θ组自然与我们的家庭的曲线。
2021-09-07 math.AG math.NT
2-Selmer groups of hyperelliptic curves with two marked points
研究了一类具有固定亏格的$\Q$上的超椭圆曲线族，以及一个标记有理Weierstrass点和一个标记有理非Weierstrass点.当这些曲线按高度排序时，我们证明了它们的雅可比矩阵的平均Mordell-Weil秩在5/2以上有界。我们证明了这一点，表明2-塞尔默群的平均秩是有界以上的6。我们还证明了与这个家族相关的同源家族的$ϕ$-Selmer群的平均大小正好是2。
2016-11-10 math.NT
P-adic heights and p-adic Hodge theory
利用$(ϕ,Γ)$ -模理论和Selmer复形的形式，构造了$Q_p$上仿射代数中系数为p-adic表示的p-adic高度.
2014-12-23 math.NT
2-Selmer Groups over Multiquadratic Extensions
本文研究多重二次数域上椭圆曲线2-Selmer群的平均维数，通过亏格理论不变量和Ekedahl筛法变体给出上下界，并在二次域情形下对正比例的数域得到任意接近的界。
2024-01-16 math.NT
On average sizes of Selmer groups and ranks in families of elliptic curves having marked points
我们确定的平均大小/边界的$2$ -和$3$ -塞尔默群在各种家庭的椭圆曲线与标记点，从而确认了几种情况下的Poonen-Rains peculistics。因此，我们推出的椭圆曲线在所有这些家庭的平均秩是有界的。我们的证明是统一的，并利用参数化涉及各种形式的$2 \times 2 \times 2 \times 2$和$3 \times 3 \times 3$矩阵，我们在以前的文件中研究。我们还推导出，当按$\max\{|B|^2,|AC|\}$排序时，$y^2 = Ax^4 + Bx^2 z^2 + Cz^4$与$A, B, C \in \mathbb{Z}$形式的亏格1曲线的$100\%$不满足Hasse原理。其他即将到来的应用程序包括证明一个正比例的整数是（分别不是）两个有理立方体的总和，和一个正比例的亏格一曲线在$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$超过$\mathbb{Q}$失败的哈塞原则。
2022-07-15 math.AG math.NT
The Failure of Galois Descent for p-Selmer Groups of Elliptic Curves
本文证明了在特定数域F（有理数域或多重二次数域）、素数p（2、3、5）及p幂次伽罗瓦扩张K/F下，按高度排序的椭圆曲线E/Q的E/K p-Selmer群平均维数有界，还给出Mordell-Weil群表示论不变量的界。
2024-05-01 math.NT
The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1
本文证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线按高度排序时的平均秩小于$1$（实际上是小于$.885$）.作为我们的方法的结果，我们还证明了至少五分之四的所有椭圆曲线在$\mathbb{Q}$有秩0或1;此外，至少五分之一的所有椭圆曲线实际上有秩0。在这些定理的证明的主要成分是一个确定的平均大小的$5$ -塞尔默组的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$，我们证明，这个平均大小是$6$。另一个关键的成分是一个新的下界根数的均匀分布的椭圆曲线，我们证明了有一个家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$的密度至少$55\%$的根数是均匀分布的。
2013-12-30 math.NT
Height pairings, exceptional zeros and Rubin's Formula: The multiplicative group
在本文中，我们证明了一个公式，由于鲁宾，这表示的首项系数的各种p-adic L-函数在一个例外零的存在下Nekovar的p-adic高度配对他的扩展Selmer群的精神。在一个特殊的情况下，我们证明的鲁宾式公式恢复了一个p-adic克罗内克极限公式。在不相交的情况下，我们观察到，对于Kubota-Leopoldt p-adic L-函数的首项系数，我们使用Nekovar高度的计算与Ferrero- Greenberg公式（更一般地，Gross的结构公式）一致（分别为，Deligne-Ribet p-adic L-函数）。
2011-03-30 math.NT
Distribution of Selmer ranks in prime cyclic extensions
Middlebury College（明德学院）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文在扩展黎曼假设下，研究给定偶维Galois模的扭族Selmer秩的分布，并应用于椭圆曲线、超椭圆曲线等在p-循环扩张中秩变化的概率，得到分布界限。
2026-07-02 math.NT math.PR
Families of elliptic curves ordered by conductor
本文研究了一类椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，它在$2$和$3$处有很好的约化，并且它的$j$ -不变量很小.在这组椭圆曲线中，我们考虑以下两个子类：第一，一组椭圆曲线$E$，使得比率$Δ(E)/C(E)$是无平方的;第二，一组椭圆曲线$E$，使得$Δ(E)/C(E)$被$C(E)$的小幂$(<3/4)$限制。当按导体排序时，这两个族都包含正比例的椭圆曲线。我们的主要结果确定这两个家庭的渐近性，当有序的导体。此外，我们证明了第一族中椭圆曲线的$2$ -Selmer群的平均尺寸，当这些曲线按其导体排序时，是$3$。这意味着这些椭圆曲线的平均秩是有限的，并且以$1.5$为界。
2019-04-30 math.NT
On the Bloch-Kato conjecture for some four-dimensional symplectic Galois representations
本文证明了对GSp_4自守表示对应的四维辛Galois表示，当中心L值非零时Selmer群消失，并利用提升同余构造上同调类，同时处理秩一情形，推进了Bloch-Kato猜想。
2025-03-28 math.NT
Statistics for Iwasawa invariants of elliptic curves, $\rm{III}$
本文为支持Greenberg关于椭圆曲线$p$-准素Selmer群$μ$-不变量的猜想，利用Bhargava和Shankar的5-Selmer群分布结果，证明了正密度的在5处好常约化的椭圆曲线的5-准素岩泽$μ$、$λ$-不变量同时为零。
2024-04-13 math.NT
The average number of rational points on genus two curves is bounded
证明了当亏格为2的曲线$C/\mathbb{Q}$上有一个标记Weierstass点时，按高排序的曲线的有理点的平均个数$\#|C(\mathbb{Q})|$是有界的.该论点遵循相同的想法作为球包装证明的平均整数点（拟最小魏尔斯特拉斯模型）椭圆曲线的有界性。也就是说，我们用手限制了小高度点的数量，通过建立显式的Mumford间隙原理并使用Kabatiansky-Levenshtein关于球形码的定理（这种技术可以追溯到Silverman，Helfgott和Helfgott-Venkatesh的工作）来限制中等高度点的数量，并通过使用Bjerieri-Vojta对Faltings定理的证明来限制大高度点的数量。在处理非小高度点时，我们利用Bhargava-Gross定理证明了$C_f: y^2 = f(x)$上满足$h(x) > 8 h(f)$的有理点$(x,y)$的个数是$\ll 1.872^{\mathrm{rank}(\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}))}$，它具有有限平均.我们注意到，我们的论点在小高度和大高度的情况下，扩展到一般的属$g\geq 2$，虽然对于中等的点，我们需要使用斯托尔的边界上的非阿基米德局部高度差属$2$。例如，我们证明了$C/\mathbb{Q}$光滑射影和亏格$g\geq 2$上具有$h(P)\gg_g h(C)$的有理点$P\i…
2018-04-16 math.AG math.NT
A $p$-adic arithmetic inner product formula
本文构造了偶秩拟分裂酉群上自守表示的分圆p进L-函数，证明其在平凡特征处消没阶为1时Selmer群秩至少为1，并利用酉Shimura簇上的特殊圈构造Selmer theta提升，建立了p进高度与p进L-函数导数之间的精确公式，即算术内积公式的p进类比。
2024-02-23 math.AG math.NT math.RT
A difference formula of $p$-adic height pairings via the Bloch-Kato logarithm map
Joint Graduate School of Mathematics for Innovation, Kyushu University（九州大学数学创新联合研究生院）；Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学产业数学研究所）；Graduate School for Mathematics, Kyushu University（九州大学数学研究院）
本文研究$p$-adic高度配对对局部分裂的依赖性，通过Bloch-Kato对数给出差分公式，并证明在特定条件下至少一个分圆高度配对非平凡。
2026-09-29 math.NT
Families of isogenous elliptic curves ordered by height
本文研究数域上有理曲线上的椭圆曲线乘积族，在一般纤维无同源假设下，给出同源特殊纤维数量的高度上界，并通过修改高度定义得到仅依赖族次数、数域和高度界的一致上界，展示了 Heath-Brown 型覆盖计数方法的应用潜力。
2025-08-21 math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
Boundedness of average rank of elliptic curves ordered by the coefficients
本文研究按高度 $h=\max(|A|,|B|)$ 排序的有理椭圆曲线平均秩，通过改进非均匀扩张区域内的整点计数技术，证明其 2-Selmer 群平均大小有界，并得到平均秩不超过 1.5。
2025-06-08 math.NT
On the non-vanishing of generalized Kato classes for elliptic curves of rank $2$
本文证明了Darmon-Rotger关于秩为$E$上的椭圆曲线上的广义Kato类不为零的猜想的第一种情形.我们的方法还表明，广义Kato类的非零性意味着$E$的$p$ -adic Selmer群是$2$ -维的.证明中的主要新颖之处是一个公式的领导首项在平凡字符的anticyclotomic $p$ -进$L$ -功能附加到$E$在派生的$p$ -进高度的广义加藤类和增强的$p$ -进调节器。
2019-07-10 math.NT
Murmurations for elliptic curves ordered by height
本文研究按朴素高度排序的椭圆曲线 L 函数系数平均形成的群鸣密度，提出由 Bessel 函数显式表示的猜想并经高度至 2^28 的数据验证。
2025-10-20 math.NT
Normal distribution of bad reduction
本文证明了曲线族中坏半稳定约化素数服从正态分布，并推出按高度排序时100%的曲线在精确意义下具有许多此类素数。
2023-05-25 math.AG math.NT
Counting elliptic curves over $\mathbb{Q}$ with bounded naive height
Universidad de Costa Rica（哥斯达黎加大学）
本文研究了有理数域上具有有界朴素高度的椭圆曲线的计数问题，给出了精确和渐近公式，并探讨了不同子族，包括固定j-不变量和复乘（CM）的曲线。
2026-06-05 math.AG math.NT
The average number of integral points on elliptic curves is bounded
证明了当椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$按高度排序时，其整点的平均个数$\#|E(\mathbb{Z})|$是有界的，且实际上小于$66$（最多为极小猜想的$\frac{8}{9}$）.“$E(\mathbb{Z})$“是指相应的拟最小Weierstrass模型$E_{A,B}: y^2 = x^3 + Ax + B$上的积分点，用它来计算初始高度。这些方法结合了西尔弗曼，赫尔夫戈特和赫尔夫戈特-文卡特什的工作与Bhargava-Shankar的工作，并仔细分析了“大多数”椭圆曲线的局部高度。同样的方法也适用于在$y^2 = x^3 + B$、$y^2 = x^3 + Ax$和$y^2 = x^3 - D^2 x$族上平均绑定积分点。
2015-02-09 math.AG math.NT
Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0
本文证明了具有有界不变量的整三元三次型的${\rm SL}_3({\mathbb Z})$ -等价类个数的一个渐近公式。我们使用这个结果来表明，当按高度排序时，所有椭圆曲线的3-Selmer群的平均大小为4。这意味着当按高度排序时，所有椭圆曲线的平均秩小于1.17。结合我们的计数技术与Dokchitser和Dokchitser最近的结果，我们证明了所有的椭圆曲线的正比例具有秩0。假设Tate-Shafarevich群的有限性，我们还证明了正比例的椭圆曲线秩为1。最后，将我们的计数结果与Skinner和Urban最近的工作相结合，我们证明了正比例的椭圆曲线具有解析秩0;即，正比例的椭圆曲线在$s=1$处具有非零$L$ -函数。因此，所有椭圆曲线中有一部分满足BSD。
2013-12-24 math.NT
The action of the Morava stabilizer group on the coefficients of Morava E-theory at height 2
本研究得到高度2完全Morava稳定化群作用于对应Morava E-理论系数环的显式闭式公式，也给出高度2形式群律自同构群作用于Lubin-Tate形变环的简洁组合形式，表达式由带标号有序有根树的求和表示。
2025-03-19 math.AT math.CO math.NT
Iwasawa theory of CM elliptic curves at potentially supersingular primes
University of Ottawa（渥太华大学）
本文为潜在超奇异素数处的CM椭圆曲线建立正负Iwasawa理论，构造局部点以研究Selmer群，构造p-adic L-函数，证明主猜想，并推导Tate-Shafarevich群的渐近公式。
2026-09-14 math.NT
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
2024-01-09 math.NT
Average rank in families of quadratic twists: a geometric point of view
研究了定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的二次扭曲族的平均秩，当曲线按其最低无挠有理点的标准高度排序时.
2015-06-16 math.NT
A majority of elliptic curves over $\mathbb Q$ satisfy the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
我们证明了大多数（事实上，$>66\%$）的所有椭圆曲线在$\mathbb Q$，按高度排序时，满足伯奇和Swinnerton-Dyer秩猜想。
2014-07-17 math.NT
An analogue of Kida's formula for elliptic curves with additive reduction
本文研究加法约化椭圆曲线的Iwasawa理论，证明Iwasawa不变量满足Riemann–Hurwitz公式的类比，推广了Hachimori–Matsuno结果，并应用于素数循环扩张中秩稳定性的渐近密度下界。
2024-06-28 math.NT
A positive proportion of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank one
证明了当$\mathbb{Q}$上的所有椭圆曲线按朴素高度排序时，正比例的代数秩和解析秩都为1.因此，椭圆曲线的平均秩和平均解析秩都是严格正的。
2014-01-01 math.NT
Conductor distributions of elliptic curves
本文确定了有理椭圆曲线按高度排序时导子的显式分布，并给出了按导子枚举时导子远小于高度的曲线数量的最强上界。
2025-04-21 math.NT
The density and distribution of CM elliptic curves over $\mathbb{Q}$
本文证明有理数域上CM椭圆曲线按朴素高度排序的自然密度为零，并证明渐近地100%的CM椭圆曲线具有j-不变量0，同时给出具有给定j-不变量和有界高度的椭圆曲线数量的渐近公式。
2024-11-20 math.AG math.NT
Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point
University College London（伦敦大学学院）；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院数学研究所）
研究有理数域上特定条件的亏格2曲线，通过朴素高度排序计数，核心方法是基于曲线的首一魏尔斯特拉斯模型及雅可比行列式的有理3 - 挠点条件。
2026-07-13 math.NT
Counting elliptic curves with prescribed entanglements
Cornell University（康奈尔大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
该研究通过数论几何和筛法技术，证明了具有特定分裂场纠缠的椭圆曲线数量随高度增长的渐近下界。
2025-11-14 math.NT
Counting elliptic curves with bad reduction over a prescribed set of primes
设$p\ge5$是椭圆曲线的特殊纤维的素数，$T$是Kodaira型。我们估计了$\mathbb Q$上的椭圆曲线的数量，直到高度$X$，其中Kodaira型$T$在$p$。这使我们能够找到比例的椭圆曲线在$\mathbb Q$，当按高度排序，与小平型$T$在一个总理$p\ge5$内的一组所有椭圆曲线。该比例是$p$中的有理函数。例如，我们证明了所有在$p$处具有坏约化的椭圆曲线的$\displaystyle\frac{p^8(p-1)}{p^9-1}$都是乘法约化的。此外，我们证明了大多数椭圆曲线的导体的素数到$6$部分是无平方的，其中$ζ$是Riemann-zeta函数。
2020-03-23 math.NT
A positive density of elliptic curves are diophantine stable in certain Galois extensions
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文证明，对于循环p-扩张L/Q（p=3或5），存在正密度的椭圆曲线E（按高度排序）在L中具有丢番图稳定性。
2025-12-10 math.NT
Counting abelian number fields with restricted ramification type
本文研究了按任意高度函数计数生成元受限的阿贝尔数域，求出显式前导常数，将其解释为$BG$上的Batyrev-Manin猜想版本，并证明了其在局部条件下的等分布性。
2025-07-01 math.NT
Average analytic ranks of elliptic curves over number fields
本文在模性与广义 Riemann 假设条件下，证明任意数域上按朴素高度排序的椭圆曲线平均解析秩上界为 (9 deg(K)+1)/2，并借助加权射影叠上带局部条件的点数渐近结果完成证明。
2025-02-12 math.NT
Average root numbers in two isotrivial families of elliptic curves
本文研究两条等椭圆曲线族的平均根数，证明其在一类固定二元形式的本原对上存在，推导特定del Pezzo曲面的Zariski稠密性，建立固定次数几乎所有多项式的根数显式平均值，提出多项式值的定量转移原理。
2026-08-12 math.NT
Almost all elliptic curves with prescribed torsion have Szpiro ratio close to the expected value
该论文证明几乎所有具有给定挠子群的有理椭圆曲线，其 Szpiro 比值接近期望值，并给出单参数族中的上下界，方法基于多元多项式绝对值的根幂界。
2024-07-18 math.NT
