AI 中文总结
本文研究两条等椭圆曲线族的平均根数，证明其在一类固定二元形式的本原对上存在，推导特定del Pezzo曲面的Zariski稠密性，建立固定次数几乎所有多项式的根数显式平均值，提出多项式值的定量转移原理。
AI 中文摘要
我们研究等椭圆曲线族$y^2=x^3+a$和$y^2=x^3+ax$中的根数。对于一大类固定二元形式，我们证明本原对上的平均根数存在。在假设相关Tate–Shafarevich群有限的前提下，我们推导出由可分二元六次式产生的某些次数为1的del Pezzo曲面的Zariski稠密性。我们还针对每个固定次数$d\boldsymbol{\times}2$的几乎所有多项式，按系数高度排序，建立了根数的显式平均值。该证明提出了一种新的多项式值的定量转移原理。
英文摘要
We study root numbers in the isotrivial families $y^2=x^3+a$ and $y^2=x^3+ax$. For a broad class of fixed binary forms, we prove that the average root number over primitive pairs exists. Assuming finiteness of the relevant Tate--Shafarevich groups, we deduce Zariski density for certain del Pezzo surfaces of degree $1$ arising from separable binary sextics. We also establish explicit averages of root numbers for almost all polynomials of each fixed degree $d\geq2$, ordered by coefficient height. The proof develops a new quantitative transference principle for polynomial values.
Comments52 pages
