Perfect forms and the cohomology of modular groups
Philippe Elbaz-Vincent, Herbert Gangl, Christophe Soulé
对于N= 5，6和7，利用完全二次型的分类，我们计算了附在模群SL_N（\Z）和GL_N（\Z）上的Voronoi胞腔复形的同调.由此我们推导出这些群的有理上同调。
For N=5, 6 and 7, using the classification of perfect quadratic forms, we compute the homology of the Voronoi cell complexes attached to the modular groups SL_N(\Z) and GL_N(\Z). From this we deduce the rational cohomology of those groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the locally analytic completed cohomology of modular curves
本文综述了关于模曲线完成同调局部解析向量的研究，探讨了相关方法及贡献。
Eichler Cohomology of Generalized Modular Forms of Real Weights
本文证明了全模群中有限指标子群上实权弱抛物广义模形式的Eichler上同调定理。通过构造从尖点形式空间到上同调群的映射，明确地建立了大权的同构。
The Classification of Higher Order Modular Forms and their Cohomology
我们构造了所有阶和权的高阶模形式空间的基。我们还提供了这些形式的上同调解释。
Extensions in the cohomology of Hilbert modular varieties
我们描述的扩展类中产生的$\ell$ -进和霍奇上同调的希尔伯特模块化品种，推广的结果卡斯帕到任意尺寸。我们表明，这种描述是一致的“plectic结构”的Nekovásness和第二作者。
On modular symbols and the cohomology of Hecke triangle surfaces
本文的目的是给出一个简洁的代数处理的模块符号形式主义，广义从模曲线Hecke三角形曲面。一个草图是包括如何模块化符号形式主义产生的标准算法计算全纯模形式。建立了Hecke三角曲面的上同调和群上同调的精确和明确的联系。在所有的注记中，考虑到计算不同于复数的环上的模形式的应用，使用一般的交换环作为系数环。这是我论文第二章的“无栈”版本。
Integral cohomology of certain Picard modular surfaces
设Gamma是虚数域k的Picard模群的同余子群，D是相应的对称空间.给出了局部对称空间Gamma \D的积分上同调的一种计算方法.对k=Q（i）和k=Q（sqrt（-3））的情形实现了该方法，并计算了不同Gamma的上同调。
On locally analytic vectors of the completed cohomology of modular curves II
这是我们以前关于模曲线的完全上同调的局部解析向量的工作的继续。我们在p处的无穷水平模曲线上构造了“全纯”和“反全纯”方向上的微分算子。作为应用，我们重新证明了Emerton的一个经典结果，即出现在模曲线的完全上同调中的在p处正则的二维伽罗瓦表示都来自一个特征形.此外，我们还给出了在完全上同调中附加到这种伽罗瓦表示上的$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$的局部解析表示的几何描述。
Galois representations and torsion in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties
设$F$是全实数域，$p$是$F$中的素非分歧.证明了$p$的水平互素的$F$的Hilbert模簇的相干上同调中出现的分权模$p^m$ Hecke本征类的Galois伪表示的存在性.
Motivic action on coherent cohomology of Hilbert modular varieties
我们提出了一个特定的motivic上同调群对Hilbert模簇的凝聚上同调的作用，推广了Venkatesh，Prasanna和Harris的理论.该行动被描述在两种方式：上同调模$p$和$\mathbb C$，我们猜想，他们都提升到一个行动上同调整系数。该猜想是支持的理论证据的基础上斯塔克猜想的特殊价值的阿廷$L$ -功能，并在基地的变化情况下的数值证据。
Periods of Hilbert Modular forms, Kronecker series and Cohomology
推广了\cite{Z1991, CPZ}关于椭圆模形式的一个结果，给出了严格类数为$1$的全实数域上所有Hilbert-Hecke特征形乘以其周期多项式之和作为Kronecker级数的一个乘积的闭公式.
Compact Support Cohomology of Picard Modular Surfaces
我们计算了相应的伽罗瓦群和相应的Hecke代数的乘积上的Picard模曲面作为虚模的具有紧支撑的上同调。我们使用Ihara、Langlands和Kottwitz提出的方法：比较Grothendieck-Lefschetz公式和Arthur-Selberg迹公式。我们的实现这种方法需要作为其出发点的工程Laumon和莫雷尔。
Completed cohomology and Kato's Euler system for modular forms
本文比较了模形式的$p$ -adic $L$ -函数的两种不同构造及其与Galois上同调的关系：一种是用Kato的Euler系统，另一种是用Emerton的模曲线的$p$ -adically completed上同调.在一个更技术的水平上，我们证明了平等的两个元素的地方岩泽上同调群，一个来自加藤的欧拉系统，和其他理论的模块化符号和$p$ -进本地朗兰兹对应$GL_2(\mathbb{Q}_p)$。我们表明，即使在$p$ -进$L$ -函数的构造仍然未知的情况下（即，当模形式$f$是supercuspidal在$p$），这种平等。因此，我们能够给出一些表示理论的描述加藤的欧拉系统。
Completed cohomology of Hilbert modular varieties below middle degree
研究希尔伯特模簇低度完备上同调的局部解析向量，证明通用包络代数作用需通过商分解，并给出维数界与稠密性结果。
Special cohomology classes for modular Galois representations
在Vatsal思想的基础上，Cornut证明了Mazur的一个猜想，即当一个二次虚扩张K/Q的反切圆Z_p扩张上升时，椭圆曲线E上的Heegner点的通有非零。本文推广了Cornut的结果，将椭圆曲线E用Deligne二维l-adic表示的Galois上同调替换为权为2k>2的模形式，并将Heegner点族用特殊上同调类的类似族替换.
On the cohomology of tori over local fields with perfect residue field
如果T是定义在具有完全剩余域k的离散域K上的代数环面，我们将T的K-上同调与T的某些对象的k-上同调联系起来。当k的上同调维数<= 1时，我们的结果有一个特别简单的形式，并且更一般地得到了K上约化群G的交换K-上同调与G的代数基本群的某个商的k-上同调之间的同构.
Torsions in Cohomology of $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ and Congruence of Modular Forms
我们描述了$\text{SL}_2(\mathbb{Z})$的第一上同调群中的扭类。特别地，我们得到了p-幂多项式环的广义Dickson不变量。其次，我们将$\text{SL}_2(\mathbb{Z})$的零阶同调群中的扭类描述为扭不变量上的模。作为应用，我们得到了一级尖点形式与Eisenstein级数之间的各种同余关系。
On the étale cohomology of Hilbert modular varieties with torsion coefficients
本文研究带挠系数的希尔伯特模簇平展上同调，借鉴酉志村簇方法得到一般情形下的中间次数集中零化定理与非一般情形的次数界，借助几何Jacquet--Langlands函子性证明并应用于p进局部朗兰兹对应。
Picard modular forms and the cohomology of local systems on a Picard modular surface
我们为与酉相似群$\mathrm{GU}(2,1,\mathbb{Q}(\sqrt{-3}))$相关的皮卡模曲面上局部系统的上同调制定了一个详细的推测Eichler-Shimura型公式。该公式基于亏格为3的曲线上的有限域上的点的计数，这些曲线是射影线的循环三重覆盖。假设猜想，我们能够计算Picard模形式空间上的Hecke算子的迹。我们提供了充分的证据为结构公式。一路上，我们证明了关于Frobenius作用于任何亏格的循环三重覆盖的第一上同调群的特征多项式的新结果、Picard模形式空间的维数公式以及局部系统的数值欧拉示性数的公式。
Applications of patching the coherent cohomology of modular curves
本文应用Taylor-Wiles-Kisin补丁方法研究模曲线的相干上同调最小级，通过q展开原理建立补丁模块的乘法一性，并证明晶格变形环的部分规范化的Cohen-Macaulay性，进一步得出晶格点在特征p下的Zariski稠密性及Serre模p四元数模形式的乘法一性结果。
Exploring modular forms and the cohomology of local systems on moduli spaces by counting points
这是一个报告的联合项目在实验数学与乔纳斯Bergström和Carel费伯在那里我们获得信息的模形式通过计数曲线在有限域。
Overconvergent modular forms are highest weight vectors in the Hodge-Tate weight zero part of completed cohomology
我们构建了一个$(\mathfrak{gl}_2, B(\mathbb{Q}_p))$和Heck-等变杯积配对之间的过收敛的模形式和局部上同调层的$0$的$\mathbb{P}^1$，降落在紧支持完成$\mathbb{C}_p$ -上同调的模块曲线。局部上同调群是一个最高权Verma模，并且对于任何无穷小权不等于$1$的过收敛模形式，其杯积在一个最高权向量上是非平凡的。对于经典的重量$k\geq 2$，Verma有一个代数商$H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-k))$，并在经典形式的配对因素，通过这个商，给出了几何描述的“一半”的局部代数向量在完成上同调;另一半是描述的配对与$H^1$和$H^0$之间的作用逆转的模块曲线和$\mathbb{P}^1$。在较小的假设下，我们推导出Gouvea关于超收敛模形式上Galois表示的Hodge-Tate-Sen权的一个猜想。我们的主要结果本质上是Lue Pan在arXiv：2008.07099中独立获得的结果的严格子集，但这里的观点不同，证明很短，使用简单的工具：Mayer-Vietoris覆盖，杯积和群上同调的边界映射。
Slope classicality via completed cohomology
利用过收敛模形式上的完备上同调类，对任意水平的模曲线给出了经典和高等Coleman理论中斜率经典性定理的一个新证明.后者给出了过收敛模形式与经典模形式的商嵌入到$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$的酉表示中，经典模形式是上同调度中经典性的障碍空间。$U_p$算子成为一个双陪集，幺正性使斜率为零。
On certain cohomology groups attached to $\mathfrak{p}^{\infty}$-towers of quaternionic Hilbert modular varieties
对于全实数域$F$和$F$的一个非阿基米德素数$\mathfrak{p}$位于一个素数$p$之上，我们引入了某些层上同调群，它们插入了与$F$上的四元数代数$D$相关联的四元数Hilbert模簇的$\mathfrak{p}^{\infty}$ -塔，该四元数代数$D$在$\mathfrak{p}$处分裂，以及$\mbox{PGL}_2(F_{\mathfrak{p}})$的$p$ -adically容许表示。应用到无穷小$p$ -adic变形的局部因子在$\mathfrak{p}$的尖点自守表示$π$的$D^*(\mathbb{A})$这产生一个自然的建设的无限小变形的伽罗瓦表示附$π$。
Galois representations modulo $p$ and cohomology of Hilbert modular varieties
本文的目的是将椭圆模形式的一些算术结果推广到Hilbert模形式的情形。在这些结果中，让我们提到：（1）控制的形象伽罗瓦表示模$p$，（2）Hida的同余准则以外的一组明确的素数$p$，和（3）自由的积分上同调的希尔伯特模簇的某些地方组成部分的Hecke代数和Gorenstein性质，这些地方的代数。本文通过研究Hilbert模形式的模$p$伽罗瓦表示来研究Hilbert模形式的算术，主要工具是惯性群在$p$上的素数作用.为了确定这个动作，我们计算Hodge-Tate（resp. Fontaine-Laffaille）权重的$p$ -adic（分别Hilbert模簇的模$p$）标上同调。本文的上同调部分受到Mokrane、Polo和Tilouine关于Siegel模簇上同调的工作的启发，并建立在数学NT/0212071和数学NT/0212072的尺规作图法的基础上。
Perfectoid Drinfeld Modular Forms
在第一部分中，我们从拟完美的观点重新回顾了GL（2）的Drinfeld模曲线和$π$ -adic Drinfeld模形式的理论。在第二部分中，我们回顾了GL（n）的Drinfeld模形式族的公开问题。
Hecke operators and Hilbert modular forms
设F是实二次域，其整数环为O，类数为类数1.设Gamma是GL_2（O）的同余子群.我们描述了一种计算Hecke算子在上同调H^3（Gamma; C）上作用的方法。对于F实二次这个上同调群包含尖点上同调对应尖点希尔伯特模形式的平行重量2。因此，这种技术提供了一种方法来计算这些希尔伯特模形式上的Hecke作用。
Hasse invariant and group cohomology
设p为素数。Hasse不变量是模p的模形式，通常用于产生不同权重的模形式之间的同余。我们展示了如何产生这样的同余形式之间的权重2和p+1，在群上同调。我们还展示了我们的方法是如何工作的背景下，二次虚域（没有哈斯不变）和希尔伯特模形式在全实领域的偶数度。
An integral model of the perfectoid modular curve
我们构造了一个完全似模曲线的积分模型。研究这一问题，我们证明了在拟完美水平上相干上同调的一些消失结果。我们利用有限水平上的局部对偶定理计算了积分拟完美曲线的相干上同调的k。专门研究结构层，我们可以把完全上同调的对偶描述为权$2$和迹映射的积分尖点形式的逆极限。
Two results on Eisenstein part of homology and cohomology groups of Bianchi modular groups
本文明确构造了 Bianchi 模群同调群的 Eisenstein 环，并研究上同调部分，进而得到尖点上同调群的渐近维数公式。
Cohomology and L-values
在1959年发表的一篇论文中，志村提出了一个优雅的计算临界值的L-职能重视椭圆模形式使用第一上同调群。我们将证明利用第二上同调群对实二次域上的Hilbert模形式进行类似的计算是可能的。我们提出了明确的数值例子计算这种方法。
p-adic Cohomology and classicality of overconvergent Hilbert modular forms
设$F$是一个全实域，其中$p$是非分歧的.证明了如果一个尖点超收敛Hilbert尖点型在$U_p$ -算子作用下具有小的斜率，则它是经典的.我们的方法遵循原始的科尔曼上同调的方法。证明的关键成分是给出一个明确的描述的特殊纤维的希尔伯特模簇的Goren-Oort分层。证明的一个副产品是表明，至少当$p$是惰性的，普通轨迹的刚性上同调具有与赫克模的Grothendieck群中的经典形式相同的图像。
Residual equidistribution of modular symbols and cohomology classes for quotients of hyperbolic $n$-space
我们提供了一个新的和简单的自守的方法使用爱森斯坦级数来研究模符号模素数的均匀分布，我们应用它来证明Mazur和Rubin猜想的一个平均版本。更准确地说，我们证明了对应于Hecke基础的重量2尖点形式的模块化符号是渐近联合等分布的模$p$，而我们允许的尖点的位置上的限制。作为应用，我们得到了Dedekind和的一个剩余等分布结果。此外，我们计算的方差的分布，并显示一个令人惊讶的偏见与连接到扰动理论。此外，我们证明了充分的猜想，在某些特定的情况下，使用连接到爱森斯坦同余。最后，我们的方法推广到$n$维双曲空间有限体积项的上同调类的等分布结果。
Structure of ordinary $Λ$-adic arithmetic cohomology groups
本文研究了由各种塔的模曲线构成的模雅可比行列式的算术上同调群的普通部分的$Λ$ -模结构。证明了来自两个不同塔的$Λ$ -adic Selmer群的普通部分具有“几乎相同”的$Λ$ -模结构.在较弱的假设下证明了$Λ$ -adic Tate-Shafarevich群的反扭性.
On locally analytic vectors of the completed cohomology of modular curves
研究了模曲线的完全上同调中的局部解析向量，确定了$\mathfrak{gl}_2(\mathbb{Q}_p)$的有理Borel子代数的特征向量.作为应用，我们证明了权为1的超收敛特征形的一个经典结果，并在一些较弱的假设下给出了非正则情形下Fontaine-Mazur猜想的一个新证明。对于权$k$的过收敛特征形，证明了其对应伽罗瓦表示具有Hodge-Tate-Sen权$0,k-1$，并证明了一个逆结果.
Iwasawa cohomology of pseudorigid families of $(φ,Γ)$-modules
该研究证明伪刚性(φ,Γ)-模族相关岩泽上同调复形的性质，应用其给出Herr复形完美性的另一证明，还证明Selmer复形完美性并得到Selmer群秩变化的结果。
Modular forms, de Rham cohomology and congruences
本文证明了弱模形式（允许在尖点有极点的模形式）的Atkin和Swinnerton-Dyer型同余成立.不同于尖点形式的原同余的情形，这些同余即使对于同余子群也是非平凡的。的方式，我们提供了一个明确的解释的德拉姆上同调群相关的模形式的“第二类微分”。作为例子，我们考虑Fermat曲线X^N+Y^N=Z^N的某亏格零商上权为3的尖点形式空间。我们表明，伽罗瓦表示与这个空间是Grossen字符的分圆域$\Q(ζ_N)$。此外，对于N=5，空间不允许（非普通）素数$p\equiv 2,3 \pmod{5}$的“$p$ -adic Hecke本征基”，这为原始Atkin和Swinnerton-Dyer猜测提供了一个反例（参见[2]，[7]，[8]）。
An isomorphism between polynomial eigenfunctions of the transfer operator and the Eichler cohomology for modular groups
对于群PSL（2，Z），已知测地流的转移算子的多项式本征函数与模形式理论中的Eichler上同调之间存在同构。Chang和Mayer在最近的一篇论文中指出，对于PSL（2，Z）的某些子群，也存在这样的同构。我们证明了这一点，并提供了一些证据，通过计算机辅助代数计算，这样的同构存在于所有的主同余子群和所有的同余子群的Hecke型。
Explicit Computation of Cusp forms via Hecke Action on Cohomology and its Complexity
在文献中，寻找模形式空间的基的标准方法是通过模符号和模曲线的同调。利用Eichler-Shimura同构，Wang的一项工作展示了如何利用上同调的观点来确定权为$k \geq 2$和特征为$χ$的$Γ_0(N)$上的尖点形式空间的基。有趣的是，看看这种替代方法的复杂性，我们这样做是为了明确实现Wang建议的算法。
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers
这是第一次在一系列的文件，使我们结合了经典的方法，指数丢番图方程（线性型的矩阵，图厄方程等）。基于费马大定理的一些证明思想的模块化方法。本文给出了三种图中线性型的新的改进的界。我们还将经典技术与模块化方法相结合，证明了Fibonacci序列中唯一的完美幂是0，1，8，144，Lucas序列中唯一的完美幂是1，4。
Overconvergent Hilbert modular forms via perfectoid modular varieties
利用Scholze完全拟Shimura簇和Hodge-Tate周期映射，给出了$p$ -adic超收敛Hilbert模形式的一个新的构造.定义是解析的，非常类似于复希尔伯特模形式的定义，即满足同余子群下的变换性质的全纯函数。作为一个特殊的情况下，我们首先回顾的情况下，椭圆模形式，扩展最近的工作Chojecki，汉森和约翰森。然后，我们构造几何希尔伯特模形式的层，以及积分模形式的子层，并改变我们的定义在$p$进家庭。我们表明，由此产生的空间是同构的Hecke模块早期建设的Andreatta，Iovita和Pilloni。最后，我们给出了算术Hilbert模形式层的一个新的直接构造，并将其与几何情形的下降构造进行了比较。
Plectic Lie Algebra Action on Hilbert modular varieties
本文构造了Hilbert模簇局部解析完备上同调上plectic Galois作用的一部分，证明了中维度以下完备上同调消失，并使用了部分Sen算子。
Motivic action for Siegel modular forms
研究了低权Siegel模形式$f$在${\rm GSp}(4)$ Shimura簇上的自守层的相干上同调.受Prasanna-Venkatesh关于局部对称空间奇异上同调的工作的启发，我们提出了一个猜想，用motivic上同调群的作用来解释Hecke本征系对相干上同调的所有贡献.在一定的技术条件下，证明了我们的猜想与关于$f$的伴随$L$ -函数的Beilinson猜想等价.在特殊情况下，我们也证明了一些无条件的结果。对于提升$f$的希尔伯特模形式$f_0$到${\rm GSp}(4)$，我们产生元素的motivic上同调群的猜想成立，使用的结果Ramakrishnan浅井$L$ -功能的$f_0$。对于Bianchi模形式$f_0$到${\rm GSp}(4)$的提升$f$，我们证明了我们对$f$的猜想等价于Prasanna-Venkatesh对$f_0$的猜想，从而建立了非埃尔米特型局部对称空间的motivic作用图与Shimura簇的凝聚上同调的motivic作用图之间的联系.
Perfectoid overconvergent Siegel modular forms and the overconvergent Eichler--Shimura morphism
本文通过推广完美化方法构建了Siegel模形式的过收敛自守sheaf，其全局截面即为过收敛Siegel模形式，并建立了适用于Siegel模形式的过收敛Eichler—Shimura映射。
Iterated integrals and cohomology
本研究受Manin非交换模符号与伪theta函数研究启发，提出标准上同调的扩展形式，既为相关迭代积分提供上同调解释，也给出多重zeta值关系的模对应物。
Weight Reduction for Mod l Bianchi Modular Forms
设K是类数为1的虚二次域和整数环O.本文证明了模l，一个发生在SL（2，O）的某个同余子群Gamma的第一上同调群中的Hecke特征值系统，在Gamma的水平增加l后，可以在平凡系数的第一上同调群中实现.
A $p$-adic cohomological approach to congruences of meromorphic modular forms
本文提出了一种基于p进上同调的方法，用于研究解析模形式的同余关系，通过刚性上同调与晶格结构的相互作用，建立了弗罗贝尼乌斯作用与U_p算子之间的联系。
Overconvergent modular forms and perfectoid Shimura curves
本文给出了任意权的过收敛模形式的一种新的构造方法，并将其定义为Scholze无限级模曲线的某些仿射子集上的函数.这些仿射子集，并在他们一定的标准坐标，发挥作用，在我们的建设是强烈类似的作用，上半平面及其坐标“z”在经典的解析理论的模形式。作为这些思想的一个应用，我们定义并研究了$\mathbb{Q}$上紧Shimura曲线的超收敛Eichler-Shimura映射，证明了Andreatta-Iovita-Stevens结果的更强的类似性.
Some Modular Considerations Regarding Odd Perfect Numbers
设$p^k m^2$是具有特殊素数$p$的奇完满数.在这篇文章中，我们提供了另一种证明双凸性，$σ(m^2) \equiv 1 \pmod 4$成立的当且仅当$p \equiv k \pmod 8$。然后，我们给出了应用的情况下，当$σ(m^2)/p^k$是一个正方形的结果。
Siegel modular forms of degree three and the cohomology of local systems
本文给出了主极化阿贝尔三重线的模空间A_3上任意辛局部系统的运动欧拉示性数的显式表达式。该公式的主要术语是某种类型的西格尔模形式的结构动机;其余的术语允许根据较低属的动机欧拉示性数进行令人惊讶的简单描述。该猜想是基于有限域上亏格为3的曲线和阿贝尔三重曲线的大量计数。它提供了关于三次向量值Siegel模形式的许多新的信息，如维数公式和Hecke算子的迹。我们还用它预测了亏格1到亏格3的几个提升，以及G_2的提升和Harder型的新同余。
On the faithfulness of parabolic cohomology as a Hecke module over a finite field
本文证明了有限域F上的抛物群上同调空间是F的代数闭包上的Katz模形式Hecke代数的忠实模的条件。这些结果可用于用F上的线性代数方法计算权为1的Katz模形式。这是我论文的第三章。
Eichler cohomology in general weights using spectral theory
在本文中，我们构建了一个配对之间的模形式的正实重量和元素的某些Eichler上同调群是由Knopp在1974年推出。我们使用谱理论的自守形式表明，这种配对是完美的所有正的权重，除了1。本文的方法给出了Knopp和Mawi在2010年提出的一个定理的一个新的证明，该定理适用于除1之外的所有实权，也是该定理在向量值模形式中的一个版本。
Higher order group cohomology and the Eichler-Shimura map
定义了高阶群上同调，并给出了高阶群上同调的第一性质。利用模符号，构造了高阶尖点形式到高阶上同调群的Eichler-Shimura同态。
Residual finiteness and cuspidal cohomology of Picard modular surfaces
本文证明SU(2,1)中非均匀算术格在万有覆盖及连通有限覆盖中的逆像均剩余有限，关键新输入是每个可公度类含同余格使尖点第一上同调非零，证明基于Rogawski内窥镜分类及作者先前上同调判据。
Modularity Lifting Theorems beyond the Taylor-Wiles Method. II
在以前的文件[CG]中，我们展示了如何可以推广泰勒-怀尔斯模块提升定理[威尔95，TW 95]的背景下，超出了这些问题中的自守形式产生的中度上同调志村品种，特别是，上下文中，相关的自守形式有助于上同调正好在两个度。在这个续集中，我们将我们的方法扩展到一般情况下，其中伽罗瓦表示预计将发生在上同调，偶然的（尚未证明）存在的某些伽罗瓦表示与预期的属性。作为应用，我们证明了下述结果（以上述定理为条件）：若E是任意数域上的椭圆曲线，则E是潜在模，并且Sato-Tate猜想对E成立.
Topological modular forms with level structure
被称为Tmf的上同调理论，即“拓扑模形式”，是映射到椭圆上同调理论的一个泛对象，其系数环与经典的模形式环紧密相连。我们将其扩展到对应于椭圆曲线的水平结构和模形式的对象的函子族。一路上，我们产生了一个自然的方式来限制的尖点，提供乘法映射从TMF与水平结构的形式的K-理论。特别地，这允许我们构造与Mahowald和Rezk提出的性质一致的连接谱tmf_0（3）。这是使用对数结构的机器来完成的。在椭圆曲线的模的对数级数上构造了一层局部偶周期椭圆上同调理论，并配备了高度结构化的乘法。在模曲线上对这层求值产生具有水平结构的Tmf。
Perfectoid towers and their tilts : with an application to the étale cohomology groups of local log-regular rings
本文引入 perfectoid 塔及其 tilt，证明 tilt 保持同调不变量与有限性，并据此比较 étale 上同调，推出混合特征局部 log-正则环除子类群的 prime-to-p 挠子群有限。
$Λ$-adic modular symbols and several variable $p$-adic L-functions over totally real fields
我们插值上同调类附加到家庭的希尔伯特模形式。利用这一点，我们构造了一个二元$p$ L-函数，它插值于一元$p$ L函数。
Regularized inner products and errors of modularity
我们发展了任意弱全纯模形式的Petersson内积的正则化，推广了几个已知的正则化。作为一个应用程序，我们扩展杜克大学，Imamoglu，托特的正则化内积的弱全纯模形式的重量$0$和$3/2$。这些正则化的内积可以用对偶权的调和马斯形式的全纯部分的系数来计算。此外，我们还研究了这类调和Maass型的全纯部分的模性误差，并证明了它们在Bruggeman，Choie和第二作者所引入的第一抛物上同调群中诱导出上圆.这提供了明确的代表上同调类构造抽象和在一个非常一般的设置在他们的工作。
Eisenstein cocycles in motivic cohomology
本文提出从模曲线同调群到K群同态的新构造，利用GL_2(Z)的1-上闭链直接证明其Hecke等变性。
Computing systems of Hecke eigenvalues associated to Hilbert modular forms
我们利用有效的算法计算上同调的志村曲线与Jacquet-Langlands对应计算系统的Hecke特征值与希尔伯特模形式在一个完全真实的领域。
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