On the minimum number of distinct eigenvalues of triangle-free strongly regular graphs
本文研究了七个已知无三角形强正则图的最小不同特征值数，证明Clebsch图可达两个，并确定Sims-Gewirtz图的最小值为三，从而回答了一个开放问题。
2025-02-07 math.CO
Minimizing the number of independent sets in triangle-free regular graphs
最近，Davies，Jenssen，Perkins和Roberts给出了一个非常好的证明结果（由于Kahn，Galvin-Tetali和Zhao的不同部分），即$d$ -正则图的独立多项式通过$K_{d,d}$的不相交副本最大化。他们的证明使用了线性规划对一个巧妙选择的随机变量分布的限制。本文利用这种方法给出了正则图的独立多项式的下界。我们还给出了无三角形正则图中独立集个数的新的界。
2016-10-18 math.CO
Counting the number of isosceles triangles in rectangular regular grids
在一般的图论中，顶点之间的唯一关系是通过边来表达的。当顶点嵌入在欧几里得空间中时，顶点和边之间的几何关系可以是有趣的研究对象。我们看看等腰三角形的顶点是一个规则的网格上的点的数量，并表明，他们满足递归关系时，网格是足够大的。我们还推导出了锐角、钝角和直角等腰三角形个数的递推关系。
2017-02-06 math.CO
Cyclic triangle factors in regular tournaments
Cuckler和Yuster都独立地证明了当$n$是$3$的奇数正倍数时，$n$顶点上的每个正则竞赛图都包含循环三角形的$n/3$顶点不相交副本的集合。不久之后，Keevash和Sudakov证明了，如果$G$是一个$n$顶点上的图的定向，其中每个顶点的入度和出度都至少为$(1/2 - o(1))n$，则存在一个顶点不相交的循环三角形的集合，它覆盖了除最多$3$顶点之外的所有顶点。本文对充分大的$n$解决了Cuckler和Yuster猜想.
2018-06-18 math.CO
Tilings of the plane with unit area triangles of bounded diameter
平面上存在两个不等的等面积有界三角形的平铺。类似地，存在具有相等周长的三角形的平铺，其面积由正常数从下面限定。这解决了Nandakumar的一个问题。
2018-02-06 cs.DM math.CO math.MG
Bounded Clique-Width of ($S_{1,2,2}$,Triangle)-Free Graphs
如果一个图没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则称它是（$H_1,H_2$）-free的. Dabrowski和Paulusma发现了13个关于（$H_1,H_2$）-free图的宽度是否有界的公开情形。其中之一是（$S_{1,2,2}$，triangle）-free图类。本文证明了这类图具有有界的连通宽度。因此，也（$P_1+2P_2$，三角形）-自由图有界的cron-width解决了Dabrowski和Paulusma的另一个公开问题。与此同时，Paulusma告诉我们，在2015年12月，Dabrowski，Dross和Paulusma证明了（$S_{1,2,2}$，triangle）-free graphs（和其他一些图类）具有有界的cumber-width。
2016-08-13 cs.DM math.CO
Scott's induced subdivision conjecture for maximal triangle-free graphs
Scott证明了给定图不具有诱导剖分的图类是$χ$ -有界的.我们验证了他的猜想，极大的三角形自由图。
2011-07-18 math.CO
4-regular planar unit triangle graphs without additional triangles
本文证明了仅由单位三角形组成而不含附加三角形的4-正则平面单位距离图的存在性。结果表明，单位三角形的最小数目是$\leq$ 6422。
2019-11-03 math.CO math.MG
When are random regular triangle-free graphs bipartite?
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究随机正则无三角图，发现其在 $d=\frac{\sqrt 3}{2}\sqrt{n \log n}$ 处发生尖锐相变，较小 $d$ 时非二部，较大 $d$ 时二部。
2026-10-07 math.CO
Maximum size of a triangle-free graph with bounded maximum degree and matching number
Chvátal和Hanson（1976）以及Balachandran和Khare（2009）已经解决了在度和匹配数约束下确定一般图的最大边数。它遵循从这些极值图的结构，决定这个最大数是否减少或不限于无爪图时，$C_4$ -免费的图形或三角免费的图形是单独有趣的研究问题。前两个案件已经解决，分别由Dibek，Ekim和Heggernes（2017）以及Blair，Heggernes，Lima和D.Lokshtanov（2020）。本文主要研究无三角形图。我们表明，与大多数情况下的无爪图和$C_4$ -免费的图形，禁止三角形的极值图导致严格的边缘数量减少，并增加了困难的问题。对于$d\geq m$和$d<m$具有$d\leq 6$或$Z(d)\leq m < 2d$的情况，给出了度至多为$d$且匹配数至多为$m$的无三角形图的最大边数的公式，其中$Z(d)$是$d$的函数，它大致是$5d/4$ .我们还提供了一个整数规划制定的其余情况下，作为进一步讨论这个配方的结果，我们猜想，我们的公式给出的三角形的极值图的大小也是有效的这些开放的情况下。
2022-07-05 math.CO
Note on the sum of the smallest and largest eigenvalues of a triangle-free graph
设$G$是$n$顶点上的无三角形图，其邻接矩阵特征值为$μ_1(G)\geq μ_2(G)\geq \dots \geq μ_n(G)$ .本文研究了$$μ_1(G)+μ_n(G).$$的数量，证明了对任意无三角形图$G$，都有$$μ_1(G)+μ_n(G)\leq (3-2\sqrt{2})n.$$。这是Brandt对正则图所证明的，我们证明了正则性条件是不必要的。我们还证明了在无三角形的强正则图中，Higman-Sims图达到了$$\frac{μ_1(G)+μ_n(G)}{n}.$$的最大值
2022-05-18 math.CO
Partitioning a triangle-free planar graph into a forest and a forest of bounded degree
图的$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分是指将图的顶点划分为两个集合$F$和$F_d$，使得由$F$导出的图是森林，由$F_d$导出的图是最大度至多为$d$的森林.证明了每个无三角形平面图都有一个$({\cal F},{\cal F}_5)$ -划分.此外，我们还证明了，如果对某个整数$d$，存在一个不允许$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分的无三角形平面图，那么判定一个无三角形平面图是否允许这样的划分是一个NP完全问题.
2016-01-07 cs.DM math.CO
Tiling of regular polygon with similar right triangles
平铺是将一个多边形分解为许多不重叠的三角形。我们证明了，如果一个正n边形，$n \geq 5$，$n \neq 28$，可以平铺相似的直角三角形，那么这些三角形的角之一是在$\left\{\fracπ{n},\frac{2π}{n}, \fracπ {6}+\frac{2π}{3n}\right\}$。Laczkovich和B.塞格迪
2021-02-22 math.CO math.MG
Irreducible 4-critical triangle-free toroidal graphs
Dvorak，Kral，and Thomas（2015）的理论表明，嵌入环面的4-临界无三角形图只有有限个长度大于大于4的面，并且这些面的大小也是有界的。我们研究自然减少这样的嵌入图-识别4-面中的相对顶点。我们给出了一个计算机辅助的参数表明，正好有四个4-临界三角形自由的不可约环形图中，这种减少不能应用，而不创建一个三角形。利用这个结果，我们证明了每个嵌入环面的4-临界无三角形图最多有4个5-面，或者一个6-面和两个5-面，或者一个7-面和一个5-面，另外至少有7个4-面。这一结果作为一个基础的精确描述$4$ -临界三角形的自由环形图，我们提出了在后续文件。
2018-01-31 math.CO
A triangle process on regular graphs
交换是对图的边进行局部改变的操作，通常以保持顶点度为目的。我们研究了一组有限的开关，称为三角开关。每个三角形开关创建或删除至少一个三角形。三角开关可以用来定义马尔可夫链，它生成的图具有给定的度序列，并且具有比具有相同度的均匀随机图中典型的更多的三角形（3-圈）。我们表明，三角开关的集合连接的所有$d$ -正则图的$n$顶点，所有$d\geq 3$。因此，任何马尔可夫链，它赋予积极的概率，所有的三角开关是不可约的这些图。我们还研究了2-正则图的这个问题。
2021-07-27 cs.DM math.CO
Recurrence sequences in the hyperbolic Pascal triangle corresponding to the regular mosaic $\{4,5\}
最近，Pascal三角形的一个新的推广，所谓的双曲杨辉三角形被引入。数学背景可以追溯到双曲平面上的规则镶嵌。本文研究了双曲杨辉三角形中对应于正则镶嵌$\{4,5\}$的路径，其中表示了二元递归序列$f_{n}=αf_{n-1}\pm f_{n-2}$（$α\in\mathbb{N}^+$）.
2017-01-21 math.CO math.NT
The $18\cdot 2^t+1$ Triangle-Maximal Series of Straight Lines
研究$18\cdot 2^t+1$条直线的排列中最大有界三角形数量，通过构造19条直线的affine排列，得到无限序列的极大三角形数。
2026-04-23 math.CO
(P6, triangle)-free digraphs have bounded dichromatic number
一个定向图的二色数是它的顶点划分成无圈诱导子有向图的最小尺寸。证明了六点无诱导有向路且无三角形的定向图具有有界二色数。这是一个（小）步骤，一般猜想断言，对每个定向树T和每个整数k，任何定向图，不包含一个诱导副本的T，也没有一个团的大小为k的二色数最多的一些功能的k和T。
2023-01-18 cs.DM math.CO
Regular graphs with linearly many triangles
$n$节点上的$d$ -正则图最多有$T_{\max} = \frac{n}{3} \tbinom{d}{2}$三角形.我们计算了一个大的随机$d$ -正则图至少有$c \cdot T_{\max}$三角形的概率的领先渐近，并提供了一个强有力的结构描述这样的图。当$d$是固定的，我们表明，这样的图通常由许多不相交的$d+1$ -集团和一个几乎三角形自由的一部分。当$d$被允许与$n$增长，我们表明，这样的图通常由$d+o(d)$大小几乎集团一起几乎三角形自由的一部分。这证实了Collet和Eckmann在2002年提出的一个猜想，并大大加强了他们的观察，即在具有许多三角形的正则图的典型例子中，三角形不能完全散布。
2021-04-14 math.CO math.PR
Triangle-Free 2-Matchings Revisited
无向图$G = (VG, EG)$中的\emph{2-matching}是函数$f \colon EG \to \set{0,1,2}$，使得对于每个节点$v \in VG$，与$v$关联的所有边$e$上的值$f(e)$的和不超过~2。$f$的\emph{size}是总和$\sum_e f(e)$。如果$\set{e \in EG \mid f(e) \ne 0}$不包含三角形，则$f$称为\emph{triangle-free}。Cornuéjols和Pulleyblank设计了一种组合$O(mn)$算法，该算法可以找到最大尺寸的无三角形2-匹配（以下称为$n := \abs{VG}$、$m := \abs{EG}$），并建立了最小-最大定理。我们声称，这种方法是，事实上，多余的，通过演示他们的结果可以直接从埃德蒙兹-Gallai分解。应用Micali和Vazirani的算法，我们能够在$O(m\sqrt{n})$时间内找到一个最大的无三角形的2-匹配。此外，我们给出了一个简短的自我包含的算法证明的最小最大定理。接下来，我们考虑正则图的情况。众所周知，每个正则图都允许完美2-匹配。人们可以很容易地加强这个结果，并证明每个$d$ -正则图（对于$d \geq 3$）包含一个完美的无三角形2-匹配。给出了在$d$ -正则图中寻找完美无三角形2-匹配的算法：$d = 3$的O（n）-算…
2010-04-27 math.CO
An Extremal Problem Motivated by Triangle-Free Strongly Regular Graphs
我们引入以下组合问题。设$G$是边密度为$ρ$的无三角正则图.对于总是存在两个不相邻的顶点使得它们的公共邻域的密度为$\leq a(ρ)$的最小值$a(ρ)$是多少？我们证明了各种上界的功能$a(ρ)$是紧的值$ρ=2/5,\ 5/16,\ 3/10,\ 11/50$，与$C_5$，Clebsch，彼得森和Higman-Sims是各自的极值配置。我们的证明是完全组合的，在很大程度上是基于计数密度的风格旗代数。对于小值的$ρ$，我们的边界附加组合意义的克莱因条件，可能是有趣的。我们还证明了，对于任何$ε>0$只有100多个值的$ρ$与$a(ρ)\geqε$，但这个有限性的结果是有点纯粹存在的（界是双指数在$1/ε$）。
2020-06-02 math.CO
Hypergraph Turán problem of the generalized triangle with bounded matching number
本文研究匹配数不超过 $s$ 的不含广义三角形 $F_5$ 的 3-图的最大边数，通过证明 Mantel 定理的二染色版本，得到 $n\geq 30(s+1)$、$s\geq 3$ 时的精确上界。
2025-07-23 math.CO
Tiling the plane with equilateral triangles
设$\cal T$是平面上的一个平铺，其中包含两个不共享一条边的等边三角形。我们证明了，如果三角形的边长是有界的，从下面由一个正的常数，那么$\cal T$是周期的，它由最多只有三个不同的三角形的平移。作为推论，我们证明了Scherer的一个定理，并回答了Nandakumar的一个问题。Richter和Wirth独立地得到了同样的结果。
2018-05-22 math.CO
Tilings and matroids on regular subdivisions of a triangle
本文研究了由Ardila和Billey引入的拟阵族，研究了$\mathbb{C}^n$的完全旗排列的一维交.通过将$\mathbb{R}^3$的非负圆锥与仿射超平面$x_1 + x_2 + x_3 = n-1$相交而获得的等边三角形$S_n$内部的格点集$P_n$是拟阵$\mathcal{T}_n$的基集，其独立集是$P_n$的子集$S$，对于集合$P_k$的每个平移$P$，满足该$|S \cap P| \le k$。在这里，我们研究的拟阵$\mathcal{T}_n$的结构与平铺的$S_n$到单位三角形，菱，和padriids。首先，我们刻画了$\mathcal{T}_n$的独立集，扩展了Ardila和Billey已经给出的$\mathcal{T}_n$的基的刻画。然后，我们探讨了$\mathcal{T}_n$的秩函数和$S_n$的单位三角形和菱形的镶嵌之间的联系。然后，我们提供了一个平铺表征的电路的$\mathcal{T}_n$。我们得出结论与几何表征的单位的$\mathcal{T}_n$。
2018-11-19 math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
Triangle-factors in pseudorandom graphs
本文证明了：对于一个小的常数$\varepsilon > 0$，若$d$ -正则图$G$在$n \in 3 \mathbb{Z}$顶点上的第二特征值$λ$至多为$\varepsilon d^2/(n \log n)$，则$G$包含一个三角形因子. Krivelevich，Sudakov和Szabó，扩展了阿隆的一个构造，证明了对于每个函数$O(\log n)$，使得$Ω(n^{2/3}) \le d \le n$和无穷多个$n \in \mathbb{N}$，存在一个$d$ -正则无三角形图$G$，其顶点为$Θ(n)$和$λ= Ω(d^2 / n)$。
2018-05-24 math.CO
Tilings of the sphere by congruent regular triangles and congruent rhombi
本文对使用全等正三角形和全等菱形对球面进行的所有边对边平铺进行了完整分类，包括参数化族和26个零散原型集，并提供了参数化平铺的模空间及所有几何数据。
2023-11-23 math.CO
Regular $K_3$-Irregular Graphs of Every Regularity at Least Nine
School of International Trade and Economics, Central University of Finance and Economics（中央财经大学国际经济贸易学院）
本文证明对每个正则度 $r\ge 9$ 存在正则 $K_3$-不规则图，通过构造 $2k$-正则图（$k\ge 15$）及补图得到 $(2k+1)$-正则图，利用阈值块和矩阵切换解决三角形度冲突，结合符号与有限验证，彻底回答了 Chartrand 等人的问题。
2026-10-07 math.CO
The critical number of $I_{1,t}$-free triangle-free binary matroids
一个简单的二元拟阵，被看作是有限二元射影几何$PG(n-1,2)$的一个限制，如果对于$PG(n-1,2)$的任何秩- $t$平坦，它与拟阵的交不是一个单元素集，则它是$I_{1,t}$ -free的.本文证明了无$I_{1,t}$和无三角形的简单二元拟阵对任何$t \geq 1$都有界临界数。
2020-11-12 math.CO
Typical structure of oriented graphs and digraphs with forbidden blow-up transitive triangle
本文利用有向图的正则引理建立了加权有向图的Erdös-Stone定理的一个类似结果。给出了定向图和具有禁止爆破传递三角形的有向图的稳定性结果，证明了几乎所有的定向图和几乎所有具有禁止爆破传递三角形的有向图都是几乎二部图.
2017-03-09 math.CO
Counting triangles in regular graphs
本文确定了奇数顶点偶数度正则图中三角形最小数量的精确值，将Lo的结果推广到整个范围$\frac{2n}{5}<k<\frac{n}{2}$，证实了Cambie等人的猜想。
2024-01-18 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
2019-04-16 math.CO
The minimum number of 4-cliques in graphs with triangle-free complement
f（n）表示n阶图中4-团的最小数目，且无三角形补。寻找f（n）是Erdos在1962年提出的一个问题的一个特例。当图接近正则时，我们给出了f（n）的一个上界和一个匹配的下界.
2005-01-14 math.CO
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
2015-12-19 math.CO
Dynamic concentration of the triangle-free process
无三角形过程从n个顶点上的空图开始，并迭代地添加随机均匀选择的边，但要满足不形成三角形的约束。我们确定了极大无三角形图中无三角形过程终止的边的渐近个数。我们也限制了这个图的独立数，它给出了Ramsey数R（3，t）的改进的下界：我们证明了R（3，t）>（1-o（1））t^2 /（4 log t），它在最著名的上界的4+o（1）倍之内。我们以前的分析，这一过程的改进利用自我校正的过程中的关键统计数据的性质。此外，我们确定哪些有界大小的子图可能出现在最大的无三角形图的三角形的过程产生的：他们正是那些密度最多为2的无三角形图。
2019-09-04 math.CO
Quintic graphs with every edge in a triangle
我们证明了五次（即5-正则）重图的每条边都在三角形内。这样的图或者来自一组小图，或者通过将完美匹配添加到三次图的线图作为双边来形成，或者可以通过一系列操作来减少到这些图中的一个。
2021-07-08 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
Quartic graphs with every edge in a triangle
我们证明了四次（即4-正则）重图的每条边都在三角形内的性质。主要的结果是，这样的图要么是平方的周期，线重图的立方重图，或从这些由一些简单的子图替换操作。这一点的一个推论是，每条边都在三角形中的简单四次图要么是圈的平方，要么是三次图的线图，要么是通过用K_{1,1,3}的副本替换三角形而从三次多重图的线图获得的图。
2013-08-01 math.CO
Regular triangle unions with maximal number of sides
Institute of Computer Science, Department of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院计算机科学研究所）
研究n个三角形的并集的最大边数，提出序列A375986并证明其线性上下界，引入三角形转换方法。
2026-04-15 math.CO math.MG
Identifying codes in triangle-free graphs of bounded maximum degree
Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Etienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）；Helsinki Institute for Information Technology (HIIT)（赫尔辛基信息技术研究所）；University of Turku（图尔库大学）
本文证明了关于识别码大小上界的猜想对所有无三角图成立，并给出了需要正数常数的例外图列表，同时推广了Bondy定理作为证明工具。
2026-10-05 math.CO
A note on tropical triangles in the plane
我们定义横向热带三角形（仿射和投影），并通过六个不等式来满足顶点的坐标来表征它们。本文证明了横截热带三角形的顶点是热带独立的，它们热带地跨越一个边有斜率$\infty,0,1$的典型六边形。利用这个经典的六边形，我们确定了横截热带三角形的参数空间。横截热带三角形的顶点坐标决定了一个热带正则矩阵。得到了热带平面的三角剖分。
2008-10-16 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Weak diameter coloring of graphs on surfaces
考虑一个在固定曲面上绘制的图$G$，如果$G$是无三角形的，则为每个顶点分配一个大小至少为2的颜色列表，否则至少为3。我们证明了我们可以给每个顶点一个颜色，使得每个单色连通子图有界弱直径（即，在整个图$G$的度量中测量的直径，而不仅仅是子图）。在$G$有界最大度的情况下，这意味着每个连通单色子图有界大小。这解决了平面无三角形图的Esperet和Joret问题，并将已知结果在一般情况下推广到列表设置，回答了Wood的一个问题。
2021-11-13 math.CO
Efficient Removal without Efficient Regularity
三角形去除引理的有效界是极值组合学最突出的公开问题之一。也许实现这一目标的主要瓶颈是无三角形图可能是高度非结构化的。例如，无三角形图可能只有塔型大小的规则分区（在Szemerédi意义上）。事实上，基本上所有的图的性质${\cal P}$的去除引理与合理的界限，是这样的，每个图满足${\cal P}$有一个小的定期分区。因此，在某种意义上，获得性质${\cal P}$的有效移除引理的障碍是具有满足${\cal P}$的图的有效正则引理。在本文中，我们考虑的属性被诱导$C_4$ -免费的，这也遭受的事实，即一个图可能满足这一性质，但仍然只有塔型大小的常规分区。通过开发一种新的方法来解决这个问题，我们设法克服这个障碍，从而获得一个仅仅是指数界的诱导$C_4$删除引理。因此，我们得到了第一个有效的去除引理，不依赖于一个有效的版本的正则性引理。这是阿隆在2001年提出的一个问题的第一个实质性进展，最近阿隆，康伦和福克斯提出了这个问题。
2017-09-24 math.CO
Symmetric binary Steinhaus triangles and parity-regular Steinhaus graphs
二进制斯坦豪斯三角形是一个由0和1组成的三角形，它指向下，并且具有与帕斯卡三角形模2相同的局部规则。一个二元斯坦豪斯三角形被称为旋转对称，水平对称或二面角对称，如果它是不变的120度旋转，水平反射或两者兼而有之。本文的第一部分主要研究旋转对称、水平对称和二面角对称二元Steinhaus三角形的线性子空间。我们得到简单的明确基地，他们每个人通过使用二项式系数的基本性质。Steinhaus图是一个简单的图，其邻接矩阵的上三角部分是二元Steinhaus三角形。一个Steinhaus图称为偶图或奇图，如果它的所有顶点度分别是偶的或奇的。本文的主要结果之一是偶Steinhaus图的线性子空间与二面对称二元Steinhaus三角形的某个线性子空间之间存在同构。这使我们能够在本文的第二部分中给出偶Steinhaus图和奇偶正则Steinhaus图的向量空间的一个显式基;即，Steinhaus图的线性子空间是偶数或奇数。最后，在本文的最后一部分，我们考虑了广义Pascal三角形，这是0和1的三角形，现在指向上，并且总是具有与Pascal三角形模2相同的局部规则。利用第一部分的结果，导出了对称广义Pascal三角形的每个线性子空间的新的单基。
2021-11-04 cs.DM math.CO math.NT
Regular $K_3$-regular graphs
National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅莫希拉学院）；Kyiv School of Economics（基辅经济学院）；National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”（乌克兰国立技术大学“伊戈尔·西科斯基基辅理工学院”）；Kyiv Academic University（基辅学术大学）
本文研究同时满足顶点度和三角形度正则的图，探讨特定参数下此类图的存在性，并分析顶点与边三角形度的关系，特别关注图论中的Turán图。
2026-03-17 cs.DM math.CO
On semi-transitive orientability of triangle-free graphs
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，在$v_0$和$v_k$之间没有弧，或者对于所有$0\leq i<j\leq k$，$v_i\rightarrow v_j$是弧。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图推广了几类重要的图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。判定一个无三角形图是否是半传递图是一个NP难问题。非半传递无三角形图的存在性是由Halldórsson和作者在2011年通过Erdens定理建立的。然而，没有明确的例子，这样的图是已知的，直到最近的工作的第一作者和斋藤谁计算表明，一定的子图的16个顶点的三角形自由Kneser图$K(8,3)$是不半传递的，并提出了一个问题，存在更小的三角形自由的非半传递图。本文证明了最小的11点无三角形的4-色图（Grötzsch图）和最小的12点无三角形的4-色4-正则图（Chvátal图）不是半传递的.因此，Grötzsch图是最小的无三角形的非半传递图。我们还证明了围长为4且色数为4的半传递图的存在性，包括小图（13点循环图$C(13;1,5)$）和稠密图（Toft图）.最后，我们证明了每个$4$ -正则循环图（可能包含三角形）是半传递的。
2020-11-15 math.CO
Cycle-maximal triangle-free graphs
我们猜想平衡完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor,\lceil n/2 \rceil}$比任何其它的$n$ -顶点无三角形图包含更多的圈，并且我们在证明这一点上取得了一些进展。我们给出了圈极大三角形自由图的等价条件;给出了圈数与顶点数、边数、围长以及与小固定图的同态之间的界限;并利用这些界限证明了在正则图中，猜想成立。我们还考虑了接近正则的图，其最小度和最大度最多相差一个正整数$k$。对于$k=1$，我们表明，任何这样的反例有$n\le 91$，并不同态$C_5$ ;和任何固定的$k$存在一个有限的上界的顶点数的反例。最后，我们描述了一个算法，有效地计算矩阵永久（一般是一个P-完全问题），在我们的界限使用的特殊情况下。
2014-10-29 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
The exact minimum number of triangles in graphs of given order and size
一个给定阶数和大小的图中三角形的最小数目是多少？动机早期的结果曼特尔和图兰，拉德马赫解决了第一个非平凡的情况下，这个问题在1941年。这个问题在1955年被埃尔德什重新提出，现在被称为埃尔德什-拉德马赫问题。在引起广泛关注之后，它在2008年由Razborov的一项重大突破中渐近解决。本文给出了边密度在~ $1$之外有界的所有大型图的精确解，在此范围内证实了Lovász和Simonovits在1975年提出的一个猜想.此外，我们给出了极图的描述。
2020-04-24 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
2020-08-19 cs.DM math.CO
Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number
在20世纪70年代，Erdos提出了平面上线段的交图的色数是否受其团数的函数限制的问题。我们的答案是否定的。具体来说，对于每个正整数$k$，我们构建了一个三角形的免费家庭的线段在平面上的色数大于$k$。我们的结构反驳了Scott的一个猜想，即不包括任何固定图的诱导剖分的图的色数由它们的团数的函数有界。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
2020-11-05 cs.DM math.CO
Clique-width and Well-Quasi-Ordering of Triangle-Free Graph Classes
Daligault，Rao和Rassé提出了一个问题，即是否每个遗传的图类都有界的宽度，这些遗传的图类是由诱导子图关系良准序的. Lozin，Razgon和Zamaraev（JCTB 2017+）对这个问题给出了否定的答案，但他们的反例是一类只能由无限多个禁止诱导子图表征的图。这就提出了一个问题，是否有一个肯定的答案，为非线性定义的遗传图类。除了两个顽固的情况下，这已被证实时，最多有两个诱导子图$H_1,H_2$是禁止的。我们确认它的两个顽固的情况下，即为$(H_1,H_2)=(\mbox{triangle},P_2+P_4)$的情况下，通过证明类的$(\mbox{triangle},P_2+P_4)$ -免费的图有界的宽度和良好的准有序。我们的技术是基于一个特殊的分解的$3$ -部图。我们还使用这种技术来证明类的$(\mbox{triangle},P_1+P_5)$ -免费的图，这是已知的有界的宽度，是良好的准有序。我们的结果使我们能够完成的分类图$H$的类$(\mbox{triangle},H)$ -自由图是良好的准有序。
2017-11-23 cs.DM cs.DS math.CO
