Feedback-arc robustness in random orientations of pseudorandom triangle-free graphs
Nankai University（南开大学）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
研究无三角形图随机定向中的反馈弧鲁棒性，通过证明特定不等式及概率结果，得出反馈弧比等相关量的渐近性质，证实了Aboulker等人的两个猜想。
2026-07-27 math.CO
Turán problems in pseudorandom graphs
研究不含特定图副本的最稠密伪随机图问题，提出改进的嵌入过程将密度上界提升至$n^{-1/3}$，并构造了已知最稠密的无$K_{2,3}$且无三角形的伪随机图及无团伪随机图。
2023-02-23 math.CO
Odd cycles in subgraphs of sparse pseudorandom graphs
我们回答两个极端的问题，自然出现在稀疏伪随机图的研究中的奇数周期。令$Γ$是$(n,d,λ)$ -图，即，$n$ -顶点，$d$ -正则图，所有非平凡特征值都在区间$[-λ,λ]$内. Krivelevich，Lee和Sudakov证明了，只要$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$，$Γ$的每个有$(1/2+o(1))e(Γ)$边的子图$G$都包含一个奇圈$C_{2k+1}$ . Aigner Horev，Hàn和第三作者证明了一个较弱的陈述，允许在假设$λ^{2k-1}\ll d^{2k}/n$中有一个额外的多对数因子，但我们完全删除了它，从而解决了猜想。这也推广了Sudakov，Szabo和Vu的三角形Turán型定理。其次，我们得到了奇圈的Ramsey重数结果。也就是说，在相同的参数范围内，我们证明了每个2-边着色的$Γ$包含至少$(1-o(1))2^{-2k}d^{2k+1}$单色副本的$C_{2k+1}$。这两个结果是渐近最好的可能由Alon和Kahale的$C_{2k+1}$ -自由伪随机图的建设。
2019-06-12 math.CO
Clique-factors in sparse pseudorandom graphs
University of Rhode Island（罗德岛大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
证明对于任意t≥3，存在常数c>0和n0，使得任何d-正则n顶点图G，若t整除n且n≥n0，且第二大特征值绝对值λ满足λ≤c d^t/n^{t-1}，则G包含一个K_t-因子。
2026-06-23 math.CO
On the number of distinct spanning trees in pseudorandom graphs
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）
研究伪随机图中生成树数量，证明在特定条件下生成树数量下限为(α-ε)^n。
2026-05-12 math.CO
New results for MaxCut in $H$-free graphs
最大割问题要求图$G$中最大割的大小${\rm mc}(G)$。众所周知，对任何$m$-边图$G$，都有${\rm mc}(G)\ge m/2$，其差${\rm mc}(G)-m/2$称为$G$的盈余.对$H$-free图的剩余的研究是由Erdens和Lovász在70年代发起的，他们特别询问了无三角形图会发生什么。阿隆解决了这个问题，他证明了在无三角形的情况下，盈余是$Ω(m^{4/5})$，并找到了与这个界限相匹配的结构。我们证明了这方面的几个新结果。首先，我们证明了对每个固定的奇$r\ge 3$，任何具有$m$边的$C_r$-free图都有剩余$Ω_r\big(m^{\frac{r+1}{r+2}}\big)$.这是严格的，正如Alon和Kahale构建的伪随机无$C_r$图所示。它改进了几位研究者以前的结果，并补充了Alon，Krivelevich和Sudakov的结果，当$r$是偶数时，这是相同的界限。其次，推广了Alon的结果，允许图中有三角形，并证明了如果三角形的个数比密度相同的随机图中的三角形的个数少一点，则图有大的剩余。对于正则图，我们的盈余界限是尖锐的。第三，证明了具有少量$K_r$副本和平均度$d$的$n$-顶点图有剩余$Ω_r(d^{r-1}/n^{r-3})$，当$d$接近$n$时，如果存在一个有约束的稠密伪随机$K_r$-free图，则剩余$Ω_r(d^…
2021-04-14 math.CO
1-factorizations of pseudorandom graphs
图$G$的$1$ -因子分解是边不相交的完美匹配的集合，其并集是$E(G)$。$G$允许$1$ -因子分解的一个平凡的必要条件是$|V(G)|$是偶数，而$G$是正则的;反之则很容易看出是假的。本文研究了正则伪随机图的$1$ -因子分解问题。具体地说，我们证明了一个$(n,d,λ)$ -图$G$（即$d$ -正则图的$n$顶点，其第二大特征值的绝对值是在最多$λ$）承认$1$ -因子分解，只要$n$是偶数，$C_0\leq d\leq n-1$（其中$C_0$是一个通用常数），和$λ\leq d^{1-o(1)}$。特别是，由于（众所周知）一个典型的随机$d$ -正则图$G_{n,d}$是这样一个图，我们得到的存在的$1$ -因式分解在一个典型的$G_{n,d}$的所有$C_0\leq d\leq n-1$，从而扩展到所有可能的值$d$结果获得的詹森，并独立地由Molloy，Robalewska，罗宾逊和Wormald固定的$d$。此外，我们还得到了一个下界的数量不同的$1$ -因子分解的图$G$，这是关闭的一个因素$2$在基地的指数从已知的上界。这个下界比以前最好的已知下界好$2^{nd/2}$倍，即使在$G$是完全图的最简单的情况下也是如此。我们的证明是概率的，可以很容易地变成多项式时间（随机）算法。
2018-03-28 cs.DM math.CO
Rainbow spanning configurations in uniformly coloured pseudorandom graphs
本文提出定量调色板转移原理，在均匀边染色伪随机图中证明彩虹生成配置（如完美匹配、哈密顿圈、有界度生成树）的渐近几乎必然存在性，调色板大小仅比配置大小多任意小的$\n$倍。
2026-10-08 math.CO
The Hamilton-Waterloo Problem for Triangle-Factors and Heptagon-Factors
给定$n$阶的2-因子$R$和$S$，设$r$和$s$是具有$r+s=\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$的非负整数，如果$n$是奇数，则Hamilton-Waterloo问题要求$K_n$的2-因子分解，或者如果$n$是偶数，则要求$K_n-I$的2-因子分解，其中其2-因子的$r$同构于$R$，并且其他$s$ 2-因子同构于$S$。在本文中，我们解决了问题的情况下，三角形因子和七边形因子的奇数$n$与3个可能的例外时，$n=21$。
2015-04-21 math.CO
Finding any given 2-factor in sparse pseudorandom graphs efficiently
University of Rhode Island（罗德岛大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
针对最大度不超过2的图H，提出确定性多项式时间算法在伪随机图中找到H，改进了吸收-储层方法并回答了Nenadov的问题。
2026-06-23 cs.DM math.CO
Cyclic triangle factors in regular tournaments
Cuckler和Yuster都独立地证明了当$n$是$3$的奇数正倍数时，$n$顶点上的每个正则竞赛图都包含循环三角形的$n/3$顶点不相交副本的集合。不久之后，Keevash和Sudakov证明了，如果$G$是一个$n$顶点上的图的定向，其中每个顶点的入度和出度都至少为$(1/2 - o(1))n$，则存在一个顶点不相交的循环三角形的集合，它覆盖了除最多$3$顶点之外的所有顶点。本文对充分大的$n$解决了Cuckler和Yuster猜想.
2018-06-18 math.CO
Triangle-Free Graphs of Toughness Approaching Two Without a 2-Factor
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Bauer等人1996年的猜想，构造出坚韧度趋近于2且不含2-因子的无三角形图，说明存在2-因子的阈值2在无三角形图类中仍为最优界限。
2026-08-17 math.CO
The triangle-free process and the Ramsey number $R(3,k)$
拉姆齐理论和随机图的领域一直密切相关，因为Erdibes '著名的证明，在1947年的“对角线”拉姆齐数$R(k)$增长指数$R(k)$。在20世纪90年代早期，引入了无三角过程作为一个模型，它可能为“非对角”Ramsey数$R(3,k)$提供良好的下界。在这个模型中，$K_n$的边被随机地一个接一个地引入，如果它们没有创建三角形，则添加到图中;最终（随机）图被表示为$G_{n,\triangle}$。2009年，Bohman成功地跟踪了这个过程的一个正部分，从而获得了Kim著名结果的第二个证明，即$R(3,k) = Θ\big( k^2 / \log k \big)$。本文改进了Bohman和Kim的结果，并遵循无三角形过程一直到其渐近结束。特别是，我们将证明$$e\big( G_{n,\triangle} \big) \,=\, \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} + o(1) \right) n^{3/2} \sqrt{\log n },$$很有可能是$n \to \infty$。我们还获得了几个伪随机性质的$G_{n,\triangle}$，并使用它们来绑定其独立数，这给作为一个直接的推论$$R(3,k) \, \ge \, \left( \frac{1}{4} - o(1) \right) \frac{k^2}{\log k}.$$这显着提高金的下限，并…
2018-03-24 math.CO math.PR
A note on pseudorandom Ramsey graphs
对于固定的$s \ge 3$，证明了如果存在最优的无$K_s$的伪随机图，则Ramsey数$r(s,t) = t^{s-1+o(1)}$为$t \rightarrow \infty$ .我们的方法还改进了由Bohman和Keevash从随机$C_{\ell}$ -free过程中获得的$r(C_{\ell},t)$的最佳下界，对所有奇数$\ell \geq 5$和$\ell \in \{6,10\}$都使用了多对数因子。对于$\ell = 4$，它与无$C_4$过程的下限相匹配.我们还证明，通过不同的方法，$r(C_5, t)> (1+o(1))t^{11/8}$和$r(C_7, t)> (1+o(1))t^{11/9}$。这些改善指数的$t$在以前的最佳结果，似乎是第一个例子的图形$F$与周期，这种改善的指数$r(F, t)$显示在边界上给出的随机$F$ -免费的过程和随机图。
2019-09-29 cs.DM math.CO
Triangle packings and 1-factors in oriented graphs
有向图是一个有向图，它可以从一个简单的无向图通过定向它的边得到。本文证明了任何n阶定向图G的最小入度和出度至少为（1/2-o（1））n，都包含一个至多覆盖3个顶点的循环三角形填充.这几乎回答了Cuckler和Yuster的一个问题，并且是最好的可能，因为对于n = 3 mod 18，存在一个没有完美三角形填充且所有阶和外阶都是（n-1）/2或（n-1）/2 \pm 1的竞赛图。在同样的假设下，我们还证明了可以嵌入任何指定的几乎1-因子，即对于任何序列n_1，...，n_t，其中n_1 +...+ n_t <n-O（1）我们可以找到长度为n_1，.，n_t。此外，在n_i上的一般条件下，我们可以消除O（1）的加法误差，并找到一个指定的1-因子。
2008-06-12 math.CO
Regular bipartite decompositions of pseudorandom graphs
本文研究了伪随机$(n,d,λ)$-图的正则二部分解，通过随机算法证明当$λ\leq d/12$时可分解为至多$\log_2 d + 36$个正则二部生成子图，并改进了1-因子分解的已知界。
2024-10-16 math.CO
On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors
在$C_{m}$ -因子和$C_{n}$ -因子的情况下的哈密尔顿-滑铁卢问题（HWP）询问$K_v$（其中$v$是奇数）（或$K_v-F$（其中$F$是1-因子并且$v$是偶数）是否可以被分解成完全由$m$ -循环构成的2-因子的r个拷贝和完全由$n$ -循环构成的2-因子的$s$拷贝。本文给出了这类分解的一般构造，并将其应用于$m=3$和$n=3x$ .我们解决了奇数$v$的问题，除了有限数量的$x$值。当$v$是偶数时，我们在问题上取得了重大进展，尽管留下了未解决的案例。特别是，$v$甚至和$s=1$的困难情况在许多情况下都是开放的。
2015-10-15 math.CO
Packing and covering directed triangles asymptotically
Tuza的一个著名猜想断言，如果一个图最多有$t$成对边不相交的三角形，那么它可以通过删除最多$2t$边而成为无三角形的。如果是真的，那么系数2是最好的。在定向设置中，也被Tuza询问，类似的陈述最近被证明，然而，因子2不是最佳的。本文证明了：如果一个$n$ -顶点有向图至多有$t$个两两弧不相交的有向三角形，则存在一个至多有$1.8t+o(n^2)$条弧满足所有有向三角形的集合.我们补充我们的结果，提出了两个结构的大型有向图$t\inΩ(n^2)$的最小这样的集合有$1.5t-o(n^2)$弧。
2021-09-15 math.CO
Exact-palette rainbow embeddings in uniformly coloured pseudorandom graphs
研究均匀着色稀疏双混合图中彩虹结构的涌现，证明在亚线性调色板盈余下完美匹配等结构存在，并推广到精确调色板情形，利用耦合与传播测度方法。
2026-09-30 math.CO
Random triangles in random graphs
在最近的一篇论文中，Oliver Riordan表明，对于$r \ge 4$和$p$，只要达到并略大于$K_r$因子的阈值，由$G(n,p)$中的$K_r$的副本形成的超图包含具有$π\sim p^{r \choose 2}$的二项式随机超图$H=H_r(n,π)$的副本。对于$r=3$，他给出了一个稍弱的结果，其中密度在随机超图减少了一个常数因子。最近，Jeff Kahn提出了一个关于所有$r \ge 3$的Shamir超图匹配问题的阈值的渐近界。根据Riordan的结果，这立即意味着$r \ge 4$的$G(n,p)$中$K_r$ -因子的阈值的渐近锐界。在本文中，我们通过修改Riordan的论证来解决缺失的情况$r=3$。这意味着Kahn的结果也暗示了$G(n,p)$中三角形因子的一个严格界。
2018-07-20 math.CO
Triangles in randomly perturbed graphs
研究了随机扰动图模型中两两点不交三角形的求法问题，该模型是任意满足给定最小度条件的$n$ -顶点图$G$与二项随机图$G(n,p)$的并集.我们证明了渐近几乎必然$G \cup G(n,p)$包含至少$\min\{δ(G), \lfloor n/3 \rfloor\}$成对顶点不相交的三角形，提供$p \ge C \log n/n$，其中$C$是一个足够大的常数。这是狄拉克的一个旧结果的扰动版本。我们的结果是渐近最优的，并以强形式回答了Han，Morris和Treglown [RSA，2021，no.3，480- 516]的一个问题。我们还证明了我们结果的一个稳定性版本，在成对顶点不相交三角形的情况下，它扩展了Han，Morris和Treglown的结果[RSA，2021，no. 3，480- 516]。连同Balogh，Treglown和Wagner的结果[CPC，2019，第2号，159- 176]，这完全解决了随机扰动图中三角因子的存在性。我们相信，本文介绍的方法是有用的各种相关问题：我们讨论可能的概括集团因素，周期因素，和$2$的普遍性。
2022-06-01 math.CO
Independence number in triangle-free graphs avoiding a minor
著名的Hadwiger猜想指出，如果一个图不包含$K_{t+1}$子图，那么它是$t$ -列图。如果为真，则特别意味着每个$n$ -顶点$K_{t+1}$ -无子图具有大小至少为$n/t$的独立集。在1982年，Duchet和Meyniel证明了这个界在一个因子$2$内成立。他们的界限已经得到了改善;最值得注意的是福克斯的绝对因子，后来Balogh和Kostochka改进了它。在这里，我们考虑同样的问题，三角形的自由图。根据Shearer和Kostochka及Kesarason的结果，得出了任何不含$K_t$子图的无三角形图都有一个独立的大小为$Ω(\tfrac{\sqrt{\log{t}}}{t}n)$的集.我们发现，存在一个更大的独立集;对于所有足够大的$t$的$n$顶点没有$K_t$ -未成年人的每一个三角形自由图有一个独立的集的大小$ \tfrac{n}{t^{1-\varepsilon}}$。这回答了谢尔盖·诺林的一个问题。
2019-07-30 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
Dynamic concentration of the triangle-free process
无三角形过程从n个顶点上的空图开始，并迭代地添加随机均匀选择的边，但要满足不形成三角形的约束。我们确定了极大无三角形图中无三角形过程终止的边的渐近个数。我们也限制了这个图的独立数，它给出了Ramsey数R（3，t）的改进的下界：我们证明了R（3，t）>（1-o（1））t^2 /（4 log t），它在最著名的上界的4+o（1）倍之内。我们以前的分析，这一过程的改进利用自我校正的过程中的关键统计数据的性质。此外，我们确定哪些有界大小的子图可能出现在最大的无三角形图的三角形的过程产生的：他们正是那些密度最多为2的无三角形图。
2019-09-04 math.CO
A Coloring Algorithm for Triangle-Free Graphs
本文给出了一个随机算法，该算法使用O（Δ（G）/ log Δ（G））的颜色对n个顶点的无三角形图G的顶点进行适当着色，其中Δ（G）是G的最大度.该算法的时间复杂度为O（n \Delta 2（G）logΔ（G）），且成功的概率很高，只要Δ（G）大于log^{1+ε}n（ε为正常数）.对于无三角形的图，颜色的数量最好是一个常数。结果给出了无三角形图的色数的一个尖锐上界的算法证明，该上界的存在性是由Kim和Johansson分别建立的。
2011-01-29 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
2013-03-12 math.CO
Transversal $C_k$-factors in subgraphs of the balanced blow-up of $C_k$
对于图$F$的爆破的子图$G$，我们设$δ^*(G)$是由对应于$F$的边的部分对所诱导的$G$的所有二部子图上的最小度.在[三角形]中-平衡放大三角形中的因子。离散数学，2000]，Johansson证明了如果$G$是$C_3$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge \frac{2}{3}n + \sqrt{n}$，则$G$包含$n$顶点不相交的三角形，并提出了Häggkvist的以下猜想：如果$G$是$C_k$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge (1 + 1/k)n/2 + 1$，则$G$包含$C_k$的$n$顶点不相交副本，使得每个$C_k$与每个$k$部分恰好相交一次。当$k=3$时，该猜想的度条件是紧的，当$k \ge 4$ .时，该猜想的度条件不能被加强超过1，一个类似的猜想也作出了菲舍尔在[变种的Hajnal-Szemerédi定理。Journal of Graph Theory，1999]，Magyar和Martin在[Corrádi-Hajnal定理的三分版本]中证明了大$n$的三角形情况。离散数学，2002]。本文证明了这个猜想的渐近性。我们还提出了一个猜想，通过允许最小度条件的非空的二部子图诱导的部分对变化，推广了这一结果。我们的第二个结果支持这个新的猜想证明三角形的情况。这个结果渐近地推广了Johannson的…
2021-03-17 math.CO
Waiter-Client Triangle-Factor Game on the Edges of the Complete Graph
考虑下面的游戏，两个玩家，服务员和客户，在$K_n$的边缘（其中$n$可被$3$整除）。最初，所有的边缘都是无人认领的。在每一轮中，服务员挑选两个尚未认领的边缘。客户端然后选择这两条边中的一条添加到Waiter的图，另一条添加到Client的图。如果服务员迫使客户在某个点在客户的图中创建$K_3$ -因子，则服务员获胜，而如果她没有设法这样做，则客户获胜。不难看出，对于足够大的$n$，Waiter是有制胜策略的。克莱门斯等人考虑的问题是，如果服务员的目标是尽快获胜，客户的目标是尽可能多地拖延她，并且双方球员都发挥最佳状态，那么游戏将持续多久。用$τ_{WC}(\mathcal{F}_{n,K_3-\text{fac}},1 ) $表示此最佳轮数。Clemens等人证明了$\frac{13}{12}n \leq τ_{WC}(\mathcal{F}_{n,K_3-\text{fac}},1 ) \leq \frac{7}{6}n+o(n) $，并证实了$τ_{WC}(\mathcal{F}_{n,K_3-\text{fac}},1 ) = \frac{7}{6}n+o(n) $。在本文中，我们验证了他们的猜想。
2021-02-26 math.CO
Constant-factor approximations for Capacitated Arc Routing without triangle inequality
给定一个具有边费用和边需求的无向图，有能力弧路径问题（CARP）要求在满足所有需求的情况下，为等容量车辆寻找最小费用路径。针对CARP问题，提出了基于三角不等式的常因子多项式时间近似算法，而CARP问题一般在任意常因子下都是NP-难的.修正了这一说法，我们证明了CARP的任何因子α近似与三角不等式产生一个因子α近似的一般CARP。
2014-04-14 cs.DM cs.DS math.CO
Triangle-free subgraphs of random graphs
最近，人们对极值图论中著名经典结果的随机图模拟研究产生了浓厚的兴趣。在这里，我们遵循这一趋势，并研究具有高最小度的$G(n,p)$的无三角形子图的结构。证明了对于某些$r=r(\varepsilon)$，$G(n,p)$的每个最小度至少为$\big(\frac{2}{5} + o(1)\big)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近二部图，每个最小度至少为$(\frac{1}{3}+\varepsilon)pn$的无三角形生成子图都是$\mathcal O(p^{-1}n)$ -接近$r$ -部图.这些是Andrásfai、Erdés和Sós [Discrete Math.8（1974），205-218]的结果和Anjassen [Combinatorica 22（2002），591- 596]的结果的随机图模拟。我们还表明，我们的结果是最好的可能的常数因子。
2015-07-18 math.CO
Cycles in triangle-free graphs of large chromatic number
二十多年前，Erdegans提出了~ \cite{E1}，证明了一个色数为$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$包含至少$k^{2 - \varepsilon}$不同长度的圈，如$k \rightarrow \infty$ .本文证明了一个更强的事实：每一个具有色数$k \geq k_0(\varepsilon)$的无三角形图$G$都含有$(\frac{1}{64} - \varepsilon)k^2 \log k$连续长度的圈，并且有一个长度至少为$(\tfrac{1}{4} - \varepsilon)k^2 \log k$的圈.由于对于大的$k$，存在最多具有大致$4k^2 \log k$顶点的色数$k$的无三角形图，所以这些结果是紧到常数因子的.我们也给出了其他单调类中$k$ -色图的周长和不同圈长个数的新下界，特别是对于$K_r$ -free图和没有奇圈的图$C_{2s+1}$ .
2014-04-17 math.CO
On triangle-free list assignments
我们表明，Bernshteyn的证明突破性的结果Molloy，三角形的图形是choosable从列表大小$(1+o(1))Δ/\logΔ$可以适应，以产生更强的结果。特别是可以证明，这样的列表大小是足够的颜色的任何图的最大程度$Δ$提供的顶点共享一个共同的颜色在他们的名单不诱导三角形$G$，其中包括所有的情况下涵盖莫洛伊定理。这是迄今为止已知的是真正的列表大小$(1000+o(1))Δ/\logΔ$，因为这意味着一个更普遍的结果，由于阿米尼和里德。我们还证明，列表的长度$2(r-2)Δ\log_2\log_2Δ/\log_2Δ$是足够的，如果一个取代三角形的任何$K_r$与$r\geq 4$，推动也略有乘法因子的$200r$从Bernshteyn的结果下降到$2(r-2)$。所有的界限也是有效的，在更一般的设置对应着色。
2022-03-06 math.CO
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
2009-09-30 math.CO math.NT
Density conditions for $k$ vertex-disjoint triangles in tripartite graphs
本文研究了三部图中存在 $k$ 个顶点不相交三角形的边密度条件，针对 $n\geq 5k+2$ 给出了基于密度 $α,β,γ$ 的最优条件，并给出了存在三角形因子的最优条件。
2025-03-07 math.CO
Distributions of sparse spanning subgraphs in random graphs
本文给出了随机图$\G(n,p)$中生成子图的分布的一般判定方法。特别是，我们确定的某些给定的度序列，这是一个广义的$d$ -因子，生成的三角形的子图，（有向）Hamilton圈和生成子图是同构的顶点不相交（有向）三角形的集合的生成子图的分布。
2015-01-15 math.CO
Triangle resilience of the square of a Hamilton cycle in random graphs
自Sudakov和Vu于2008年首次提出以来，随机图中弹性问题的研究在概率组合学中受到了广泛的关注。特别感兴趣的是弹性问题的跨越结构。众所周知，对于包含许多三角形的跨越结构，局部弹性不能防止对手通过移除可忽略不计的数量的入射到每个顶点的边来破坏结构的所有副本。在本文中，我们概括的概念，本地弹性$H$ -弹性，并证明其实用性上的包含问题的平方汉密尔顿循环。特别地，我们证明了存在一个常数$C > 0$，使得如果$p \geq C\log^3 n/\sqrt{n}$，那么在随机图$G_{n, p}$的每个子图$G$中存在Hamilton圈的平方，只要$G$的每个顶点至少保持在其三角形的一个$(4/9 + o(1))$ -分数上，从$G_{n, p}$ .常数$4/9$是最佳的，并且$p$的值稍微改进了这种结构的最佳外观阈值，并且最佳达到对数因子。
2021-11-17 math.CO
The missing log in large deviations for triangle counts
通过在指数中引入一个对数因子，解决了Erdos-Renyi随机图中三角形个数上尾的大偏差估计问题.这种证明方法有可能推广到一般的子图数。
2011-04-11 math.CO math.PR
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
Braid graphs in simply-laced triangle-free Coxeter systems are partial cubes
Northern Arizona University（北亚利桑那大学）；University of California Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
该研究针对单系Coxeter系统的辫子图结构，提出既约表达式的链唯一分解方法，借此证明无3-环Coxeter系统的辫子图为可等距嵌入超立方体的部分立方体，还证明Fibonacci链对应的辫子图是Fibonacci立方体。
2024-09-05 math.CO math.GR
Moderate deviations of triangle counts in sparse Erdős-Rényi random graphs $G(n,m)$ and $G(n,p)$
本文研究稀疏 Erdős-Rényi 随机图中三角形计数的中偏差，给出两种模型下上尾对数概率的常数因子估计，并在非局部化区域获得 $G(n,p)$ 的渐近精确结果。
2025-01-09 math.CO math.PR
Robustness for expander graphs
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
本文研究了 $(n,d,λ)$-扩张图在随机稀疏化下的鲁棒性质，证明了其包含完美匹配、Hamilton 圈和三角形因子的概率下界，并解决了 Frieze 和 Krivelevich 提出的相关问题。
2025-11-01 math.CO math.PR
Structure and colour in triangle-free graphs
受第一作者最近的一个猜想的启发，我们证明了色数为$χ$的每一个正常着色的无三角形图都包含一个大小为$\lceil\frac12χ\rceil$的彩虹独立集。这是急剧上升到一个因素$2$。这一结果及其简短的证明对色差的相关概念具有启示意义。从结构图理论和极图理论中得到启发，我们猜想每一个色数为$χ$的无三角形图都包含一个长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导圈，其长度为$χ\to\infty$ .即使只需要长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导路径，结论也会尖锐到常数倍。我们证明了正则围长$5$图和围长$21$图。作为该猜想的导出路形式和Johansson定理（1996）的共同加强，我们证明了存在一些$c >0$，使得对于$D$顶点上的每一个森林$H$，每一个无三角形和导出$H$ -free图的色数至多为$c D/\log D$ .我们证明了这一论断与'三角形自由'取代'定期周长$5$ '。
2020-03-15 cs.DM math.CO
Excluded $t$-factors in Bipartite Graphs: Unified Framework for Nonbipartite Matchings, Restricted 2-matchings, and Matroids
我们提出了一个框架，最佳的$t$ -匹配不包括规定的$t$ -因素在二部图。建议的框架是一个推广的非二分匹配问题，包括几个问题，如三角形的自由$2$匹配，平方自由$2$匹配，甚至因素，和树状问题。在本文中，我们展示了这些问题的统一理解，共同推广以前的重要结果。我们在一个合理的假设下解决我们的问题，这个假设足够广泛，可以包括上面列出的具体问题。我们首先提出了一个极小极大定理和组合算法的未加权版本。然后，我们提供了一个线性规划制定与对偶积分和原始对偶法的加权版本。该算法的一个关键组成部分是一种技术，以缩小禁止结构，这对应于技术的奇循环，三角形，正方形，并在埃德蒙兹的开花算法，三角形的自由$2$匹配算法，无平方$2$匹配算法，和树形算法，分别有向循环。
2017-08-02 cs.DM cs.DS math.CO
Occupancy fraction, fractional colouring, and triangle fraction
给定$\varepsilon>0$，存在$f_0$使得，如果$f_0 \le f \le Δ^2+1$，则对于$G$上的最大度$Δ$的顶点上的任何图$G$，其中$G$中的每个顶点的邻域跨越大多数$Δ^2/f$边，（i）随机均匀绘制的$G$的独立集合至少具有期望中的$(1/2-\varepsilon)(n/Δ)\log f$顶点，并且（ii）$G$的分数色数至多为$(2+\varepsilon)Δ/\log f$。这些界限一般不能渐进地提高超过一个因子$2$。人们可以把这些看作是Ajtai、Komlós和Szemerédi（1981）和Shearer（1983）结果的更强版本。证明使用了对核心模型的严密分析。
2020-12-11 cs.DM math.CO math.PR
