The triangle-free graphs which are competition graphs of multipartite tournaments
在本文中，我们发现了所有的三角形自由图是多部竞赛图的竞争图。
2023-03-21 math.CO
Scott's induced subdivision conjecture for maximal triangle-free graphs
Scott证明了给定图不具有诱导剖分的图类是$χ$ -有界的.我们验证了他的猜想，极大的三角形自由图。
2011-07-18 math.CO
Multiple list colouring triangle-free planar graphs
本文证明了对每一个正整数$m$，存在一个无三角形可平面图$G$，它不是$(3m+ \lceil \frac m{17} \rceil-1, m)$ -可选的.
2018-12-07 math.CO
Triangle-free Subgraphs at the Triangle-Free Process
我们考虑无三角过程：给定一个整数n，从对完全n-顶点图K_n的边取一致随机序开始。然后，遍历有序的边，并将每个遍历的边添加到一个（最初为空的）演化图中-除非它的添加创建了一个三角形。我们研究了当任意固定ε \in（0，10 ^{-10}）的Θ（n^{3/2 + ε}）条边被遍历时的演化图.此时，对于任意固定的无三角形图F，我们给出了F在演化图中的期望拷贝数的渐近紧估计。对于平衡且密度小于2的F（例如，对于长度至少为4的圈F），我们的论证也给出了演化图中F的拷贝数的紧集中结果。我们的分析结合了Spencer的原始分支过程的方法来分析三角形的自由过程和半随机方法。
2009-07-06 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
A sequence of triangle-free pseudorandom graphs
阿隆的建设产生一系列的高度伪随机的三角形自由图的边缘密度显着高于人们可能期望从随机图比较。我们给出了这种图的另一种构造。
2016-08-03 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
2017-02-15 math.CO
Edge number critical triangle free graphs with low independence numbers
确定了所有无三角形图G =（V，E）的结构，其中|E| - 6 |V| + 13α（G）= 0，从而肯定地回答了StanismartawRadziszowski和DonaldKreher的一个问题.
2013-09-30 math.CO
The fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
Heckman和Thomas证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为14/5。改进了Hatami和Zhu以及Lu和Peng的估计，证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为32/11（约为2.909）.
2013-05-01 math.CO
On the number of edge-disjoint triangles in $K_4$-free graphs
我们证明了四分之一个世纪前的猜想，即每一个具有$n$顶点和$\lfloor n^2/4 \rfloor +k$边的$K_4$ -free图都包含$k$成对边不相交的三角形。
2015-06-10 math.CO
Long heterochromatic paths in heterochromatic triangle free graphs
在本文中，所考虑的图总是边着色的。本文研究了无异色三角形图的长异色路。考虑了两类图，一类是具有Gallai染色的完全图，即，一类是无异色三角形的完全图，另一类是有$k$ -好着色的无异色三角形的图，即，最小颜色度至少为$k$。对于异色无三角形图$K_n$，我们得到，对于每个顶点$v\in V(K_n)$，$K_n$有一个异色$v$ -路的长度至少$d^c(v)$ ;而对于异色无三角形图$G$，我们证明，如果，对于任何顶点$v\in V(G)$，$d^c(v)\geq k\geq 6$，那么$G$的异色路的长度至少$\frac{3k}{4}$。
2008-04-29 math.CO
Triangle-free Uniquely 3-Edge Colorable Cubic Graphs
本文给出了无限多个无三角形的唯一3边可着色三次图的新例子。此前已知的唯一一张这样的图是Tutte在1976年给出的。
2015-08-27 math.CO
The structure of $I_4$-free and triangle-free binary matroids
如果一个简单的二元拟阵的4阶单位都不是独立集，则该拟阵被称为$I_4$ -free。这些对象可以等价地定义为$PG(n-1,2)$中的点的集合$E$，对于这些点，对于任何四维平面$F$，$|E \cap F|$不是$F$的基础。我们证明了一个分解定理，它精确地确定了所有$I_4$自由和三角自由拟阵的结构。特别地，我们的定理暗示了无$I_4$和无三角形拟阵的临界数至多为$2$。
2020-04-30 math.CO
On the maximum number of five-cycles in a triangle-free graph
利用Razborov的旗代数，我们证明了一个n个顶点的无三角形图最多包含（n/5）^5个长度为5的圈。它解决了肯定的一个猜想鄂尔多斯。
2012-04-03 math.CO
An invariant for minimum triangle-free graphs
我们研究了具有指定顶点数$n(G)$、独立数$α(G)$和长度为4的圈数$\operatorname{N}(C_4;G)$的无三角形图的边数$e(G)$。我们特别表明，$$3e(G) - 17n(G) + 35α(G) + \operatorname{N}(C_4;G) \geq 0$$的所有三角形的自由图$G$。我们还证明了满足这个不等式的图具有相等性。
2016-12-04 math.CO
The triangle-free graphs with rank 6
图G的秩定义为它的邻接矩阵A（G）的秩。本文刻画了所有秩为6的连通无三角形图。
2013-01-05 math.CO
Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
2020-09-02 math.CO
The critical number of $I_{1,t}$-free triangle-free binary matroids
一个简单的二元拟阵，被看作是有限二元射影几何$PG(n-1,2)$的一个限制，如果对于$PG(n-1,2)$的任何秩- $t$平坦，它与拟阵的交不是一个单元素集，则它是$I_{1,t}$ -free的.本文证明了无$I_{1,t}$和无三角形的简单二元拟阵对任何$t \geq 1$都有界临界数。
2020-11-12 math.CO
A note on the maximum number of triangles in a $C_5$-free graph
证明了$n$顶点上的无$C_5$图的最大三角形个数至多为$\frac{1}{2 \sqrt 2} (1 + o(1)) n^{3/2}$，改进了Alon和Shikhelman的一个估计.
2017-06-09 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Induced trees in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上的连通无三角形图都含有$\exp(c\sqrt{\log n})$顶点上的诱导树，其中$c$是正常数.最著名的上界是$(2+o(1))\sqrt n$。这部分回答了鄂尔多斯、萨克斯、索斯和普尔特尔的问题。
2007-11-30 math.CO
On the structure of dense triangle-free binary matroids
通过严格的结构描述，证明了每个具有$|M| > \tfrac{33}{128}2^{r(M)}$的简单无三角形二元拟阵$M$最多存在临界数$2$ .
2015-09-08 math.CO
The number of the maximal triangle-free graphs
Paul Erdwords提出了以下问题：确定或估计$n$顶点上的极大无三角形图的个数。在这里，我们表明，最大的三角形自由图的数量是最多$2^{n^2/8+o(n^2)}$，这符合以前已知的下界。我们的证明使用Ruzsa-Szemerédi三角形删除引理等，最近的结果在超图中的独立集的结构的特征。
2014-09-29 math.CO
A density bound for triangle-free $4$-critical graphs
证明了所有无三角形的$4$ -临界图$G$都满足$e(G) \geq \frac{5v(G)+2}{3}$ .这一结果给出了无三角形可平面图是$3$ -列图，围长至少为5的嵌入射影平面、环面或Klein Bottle中的图是$3$ -列图的统一证明，这些结果是Grötzsch，Schlassen，Thomas和Walls的结果.我们的结果几乎是最好的，因为Davies已经构造了无三角形的$4$ -临界图$G$，使得$e(G) = \frac{5v(G) + 4}{3}$。为了证明这一结果，我们证明了一个更一般的结果特征稀疏$4$ -临界图与几个顶点不相交的三角形。
2022-06-30 math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
2017-09-27 math.CO
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
2014-07-25 math.CO
Sub-exponentially many 3-colorings of triangle-free planar graphs
Rassen证明了任意n阶无三角形可平面图都有指数多个3-染色，并证明了它至少有2^[n^（1/12）/20000]个不同的3-染色.我们证明了它至少有2^sqrt（n/362）个不同的3-着色。
2011-03-30 math.CO
The minimum number of 4-cliques in graphs with triangle-free complement
f（n）表示n阶图中4-团的最小数目，且无三角形补。寻找f（n）是Erdos在1962年提出的一个问题的一个特例。当图接近正则时，我们给出了f（n）的一个上界和一个匹配的下界.
2005-01-14 math.CO
Note on the sum of the smallest and largest eigenvalues of a triangle-free graph
设$G$是$n$顶点上的无三角形图，其邻接矩阵特征值为$μ_1(G)\geq μ_2(G)\geq \dots \geq μ_n(G)$ .本文研究了$$μ_1(G)+μ_n(G).$$的数量，证明了对任意无三角形图$G$，都有$$μ_1(G)+μ_n(G)\leq (3-2\sqrt{2})n.$$。这是Brandt对正则图所证明的，我们证明了正则性条件是不必要的。我们还证明了在无三角形的强正则图中，Higman-Sims图达到了$$\frac{μ_1(G)+μ_n(G)}{n}.$$的最大值
2022-05-18 math.CO
The triangle-free process
考虑下面的随机图过程。我们从n个顶点上的空图开始，每次添加一条边，其中每条边都是从添加到图中时不形成三角形的潜在边的集合中随机均匀选择的。该过程在最大无串图处终止。在这里，我们分析三角形的过程中，确定可能的数量级的数量级的边缘在最终的图形。作为推论，我们证明了无三角过程很可能产生Ramsey R（3，t）图，也就是说，我们对无三角过程的分析给出了Jeong Han Kim先前建立的R（3，t）上的下界的新证明.所介绍的技术扩展到K_4-free过程，从而建立一个小的改进，最有名的下界的Ramsey数R（4，t）。
2008-06-26 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
A Coloring Algorithm for Triangle-Free Graphs
本文给出了一个随机算法，该算法使用O（Δ（G）/ log Δ（G））的颜色对n个顶点的无三角形图G的顶点进行适当着色，其中Δ（G）是G的最大度.该算法的时间复杂度为O（n \Delta 2（G）logΔ（G）），且成功的概率很高，只要Δ（G）大于log^{1+ε}n（ε为正常数）.对于无三角形的图，颜色的数量最好是一个常数。结果给出了无三角形图的色数的一个尖锐上界的算法证明，该上界的存在性是由Kim和Johansson分别建立的。
2011-01-29 math.CO
Decomposing a triangle-free planar graph into a forest and a subcubic forest
我们加强了Dross，Montassier and Pinlou（2017）的一个结果，即每个无三角形的可平面图的顶点集可以分解为一个诱导森林的集合和一个诱导森林的集合，最大度至多为$5$，证明了$5$可以用$3$代替。
2023-02-05 math.CO
The typical structure of maximal triangle-free graphs
最近，在解决Erdés，Balogh和Petalíčková的一个问题时，证明了最多存在$2^{n^2/8+o(n^2)}$ $n$ -顶点极大无三角形图，并满足已知的下界.在这里，我们刻画了极大无三角形图的典型结构。我们证明了几乎每个极大无三角形图$G$都有一个顶点划分$X\cup Y$，使得$G[X]$是完美匹配，$Y$是独立集.我们的证明使用Ruzsa-Szemerédi去除引理，Erdens-Simonovits稳定性定理，以及Balogh-Morris-Samotij和Saxton-Samarason最近关于超图中独立集结构特征的结果。证明还依赖于一个新的界限的最大独立集的数量在三角形的图与许多顶点不相交的$P_3$的，这是独立的兴趣。
2015-01-12 math.CO
The extremal functions for triangle-free graphs with excluded minors
我们证明了两个结果：1。图$G$在至少七个顶点上，具有顶点$v$，使得$G-v$是平面的，并且$t$三角形满足$|E(G)| \leq 3|V(G)|- 9 + t/3$。2.对于$p=2,3,\ldots,9$，一个至少在$2p-5$顶点上没有$K_p$ -子图的无三角形图$G$满足$|E(G)|\leq (p-2)|V(G)| - (p-2)^2$。
2018-07-16 math.CO
Irreducible 4-critical triangle-free toroidal graphs
Dvorak，Kral，and Thomas（2015）的理论表明，嵌入环面的4-临界无三角形图只有有限个长度大于大于4的面，并且这些面的大小也是有界的。我们研究自然减少这样的嵌入图-识别4-面中的相对顶点。我们给出了一个计算机辅助的参数表明，正好有四个4-临界三角形自由的不可约环形图中，这种减少不能应用，而不创建一个三角形。利用这个结果，我们证明了每个嵌入环面的4-临界无三角形图最多有4个5-面，或者一个6-面和两个5-面，或者一个7-面和一个5-面，另外至少有7个4-面。这一结果作为一个基础的精确描述$4$ -临界三角形的自由环形图，我们提出了在后续文件。
2018-01-31 math.CO
Triangles in $C_5$-free graphs and Hypergraphs of Girth Six
我们引入了一种新的方法，并证明了在$n$顶点上的$C_5$ -free图中三角形的最大数目至多为$$(1 + o(1)) \frac{1}{3 \sqrt 2} n^{3/2}.$$。我们还证明了与长度小于6的没有（Berge）圈的$r$ -均匀超图的连接，并估计了它们的最大可能大小。
2018-11-28 math.CO
11/4-colorability of subcubic triangle-free graphs
证明了除两个例外外，所有连通次立方无三角形图的分数色数不超过11/4，且该界紧，改进了平面图情形。研究问题为分数色数上界，方法为构造性证明，贡献在于紧界及例外刻画。
2025-03-28 math.CO
Triangle-free graphs with large chromatic number and no induced wheel
轮是一个图，它由一个长度至少为4的诱导圈和一个在圈上至少有三个相邻顶点的附加顶点组成。我们证明了没有Burling图包含诱导轮。Burling图是无三角形的，并且具有任意大的色数，因此这回答了Trotignon的一个问题，并反驳了Scott和Seymour的一个猜想.
2022-02-17 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
Non-Crossing Perfect Matchings and Triangle-Free Geometric Graphs
我们研究的极值型问题所产生的问题：什么是边不相交的非交叉完美匹配的最大数量的一组S的2n个点在平面上，使他们的工会是一个三角形的几何图？我们通过考虑S的四种不同情况来处理这个问题。特别地，在一般位置上，我们得到了（i）在一般位置上存在n个边不交的非交叉完美匹配且其并为极大无三角形几何图的充分条件，以及（ii）边不交的非交叉完美匹配且其并为无三角形几何图的个数的下界.
2017-09-13 math.CO
Maximum order of triangle-free graphs with a given rank
图的秩定义为它的邻接矩阵的秩。如果一个图没有孤立的顶点，也没有两个顶点具有相同的邻居集，则该图被称为约简图。我们确定了具有给定秩的约简无三角形图的最大阶，并刻画了所有达到最大阶的图。
2014-04-14 math.CO
Every triangle-free induced subgraph of the triangular lattice is $(5m,2m)$-choosable
图$G$是$(a,b)$可选择的，如果对于与每个顶点相关联的大小为$a$的任何颜色列表，可以选择$b$颜色的子集，使得邻顶点用不相交的颜色集着色。证明了对任意整数$m\ge 1$，三角格的任意有限个无三角形诱导子图都是$(5m,2m)$ -可选的.
2011-10-12 math.CO
Pentagons in triangle-free graphs
对于所有的$n\ge 9$，我们证明了，只有三角形自由图的$n$顶点最大化的数量$5$ -圈是平衡的5-圈的爆破。这完全解决了Erdzes的一个猜想，并扩展了Grzesik和Hatami，Hladkloven，Král '，Norin和Razborov的结果，他们独立地证明了对于大$n$和对于所有$n$可被$5$整除的相同结果。
2017-12-24 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs III. General surfaces
Dvoák，Král'和Thomas给出了曲面上无三角形图的结构关于3-着色的描述。然而，它们的描述包含两个子结构（都与嵌入平面中的具有两个预着色圈的图有关），其着色性质并不完全确定。在本文中，我们填补了这些空白。
2017-02-16 math.CO
Triangle-free graphs with diameter 2
University of Western Australia（西澳大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）；University of Canterbury（坎特伯雷大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文研究了放宽围长条件后直径为2的无三角形图的存在性问题，探讨了无$K_{s,t}$子图的无孪生图是否有无限个，并给出了部分计算结果及Cayley图和概率构造。
2024-06-01 math.CO
On the minimum number of distinct eigenvalues of triangle-free strongly regular graphs
本文研究了七个已知无三角形强正则图的最小不同特征值数，证明Clebsch图可达两个，并确定Sims-Gewirtz图的最小值为三，从而回答了一个开放问题。
2025-02-07 math.CO
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
2017-09-19 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
A better bound on the largest induced forests in triangle-free planar graphs
众所周知，存在$n$顶点度的无三角形可平面图，使得最大导出森林的大小至多为$\frac{5n}{8}$ . Salavatipour证明了在任意一个顶点为$n$的无三角形可平面图中，存在一个森林的大小至少为$\frac{5n}{9.41}$. Dross、Montassier和Pinlou将Salavatipour的束缚改进为$\frac{5n}{9.17}$。在这项工作中，我们进一步提高了绑定到$\frac{5n}{9}$。我们的技术受到Lukot'ka、Maz{á}k和Zhu最近想法的启发。
2017-01-26 math.CO
On the Ramsey-Turán density of triangles
现代图论中最古老的结果之一，由于Mantel，断言每个$n$顶点上的无三角形图最多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边。大约半个世纪后，Andrásfai研究了稠密无三角形图，并证明了$n$顶点上的最大无三角形图不具有大小为$αn$的独立集，其中$2/5\le α< 1/2$是五边形的爆破。自Andrásfai的工作以来，又过去了50多年。在这篇文章中，我们朝着理解没有大独立集的稠密无三角形图的结构迈出了下一步。值得注意的是，我们用$α(G)\ge 3n/8$确定了$n$顶点上的无三角形图$G$的最大尺寸，并用$α(G) > n/3$提出了关于无三角形图$G$的结构的一个猜想.我们注意到，情况下$α(G) \le n/3$的行为不同，但由于工作的勃兰特这种情况是相当好的理解。
2020-12-17 math.CO
Construction of storage codes of rates approaching one on triangle-free graphs
考虑一个连通图$Γ(V, E)$的顶点的比特分配，该图的每个顶点的值是其邻居的值的函数。这种分配的集合称为$Γ$上长度为$|V|$的存储代码。在本文中，我们构造了一个无限族的二元线性存储码的三角形自由图的速度任意接近1。
2023-01-05 math.CO
Triangle-free graphs that do not contain an induced subdivision of $K_4$ are 3-colorable
本文证明无三角形且不含 K4 导出细分的图必为 3-可着色，从而解决了 Trotignon 与 Vuskovic 提出的猜想。
2017-04-26 math.CO
A note on transformations of edge colorings of chordless graphs and triangle-free graphs
本文指出通过对Bonamy等人（2023）关于无三角形图边着色Kempe变换结论的证明进行微小修改，可将该结论推广到包含无三角形图和无弦图的更大类简单图中。
2024-11-29 math.CO
