三重完全无三角形图

关于几乎完全无三角形图

On Existentially Complete Triangle-free Graphs

对于一个正整数$k$，我们说一个图是$k$ -存在完全的，如果对于每个$0 \leq a \leq k$，和每个不同顶点的元组$x_1,\ldots,x_a$，$y_1,\ldots,y_{k-a}$，存在一个顶点$z$，它连接到所有的顶点$x_1,\ldots,x_a$，而不连接到任何顶点$y_1,\ldots,y_{k-a}$。虽然很容易证明二项随机图$G_{n,1/2}$满足$k \sim c\log n$具有高概率的这个性质，但对这个问题的“无三角形”版本知之甚少;是否存在具有类似“扩展性质”的有限无三角形图$G$。这一问题是Cherlin于1993年首次提出的，即使在$k=4$案中也没有解决。我们证明了不存在具有$k >\frac{8\log n}{\log\log n}$的$k$ -存在完全无三角形图，从而给出了关于Cherlin的这个“老栗子”的第一个非平凡的、不存在的结果。我们认为，这一结果突破了我们对这一问题的理解的一个天然障碍。