Partitioning a triangle-free planar graph into a forest and a forest of bounded degree
图的$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分是指将图的顶点划分为两个集合$F$和$F_d$，使得由$F$导出的图是森林，由$F_d$导出的图是最大度至多为$d$的森林.证明了每个无三角形平面图都有一个$({\cal F},{\cal F}_5)$ -划分.此外，我们还证明了，如果对某个整数$d$，存在一个不允许$({\cal F},{\cal F}_d)$ -划分的无三角形平面图，那么判定一个无三角形平面图是否允许这样的划分是一个NP完全问题.
2016-01-07 cs.DM math.CO
Irreducible 4-critical triangle-free toroidal graphs
Dvorak，Kral，and Thomas（2015）的理论表明，嵌入环面的4-临界无三角形图只有有限个长度大于大于4的面，并且这些面的大小也是有界的。我们研究自然减少这样的嵌入图-识别4-面中的相对顶点。我们给出了一个计算机辅助的参数表明，正好有四个4-临界三角形自由的不可约环形图中，这种减少不能应用，而不创建一个三角形。利用这个结果，我们证明了每个嵌入环面的4-临界无三角形图最多有4个5-面，或者一个6-面和两个5-面，或者一个7-面和一个5-面，另外至少有7个4-面。这一结果作为一个基础的精确描述$4$ -临界三角形的自由环形图，我们提出了在后续文件。
2018-01-31 math.CO
The $18\cdot 2^t+1$ Triangle-Maximal Series of Straight Lines
研究$18\cdot 2^t+1$条直线的排列中最大有界三角形数量，通过构造19条直线的affine排列，得到无限序列的极大三角形数。
2026-04-23 math.CO
(P6, triangle)-free digraphs have bounded dichromatic number
一个定向图的二色数是它的顶点划分成无圈诱导子有向图的最小尺寸。证明了六点无诱导有向路且无三角形的定向图具有有界二色数。这是一个（小）步骤，一般猜想断言，对每个定向树T和每个整数k，任何定向图，不包含一个诱导副本的T，也没有一个团的大小为k的二色数最多的一些功能的k和T。
2023-01-18 cs.DM math.CO
Hypergraph Turán problem of the generalized triangle with bounded matching number
本文研究匹配数不超过 $s$ 的不含广义三角形 $F_5$ 的 3-图的最大边数，通过证明 Mantel 定理的二染色版本，得到 $n\geq 30(s+1)$、$s\geq 3$ 时的精确上界。
2025-07-23 math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
The critical number of $I_{1,t}$-free triangle-free binary matroids
一个简单的二元拟阵，被看作是有限二元射影几何$PG(n-1,2)$的一个限制，如果对于$PG(n-1,2)$的任何秩- $t$平坦，它与拟阵的交不是一个单元素集，则它是$I_{1,t}$ -free的.本文证明了无$I_{1,t}$和无三角形的简单二元拟阵对任何$t \geq 1$都有界临界数。
2020-11-12 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
2019-04-16 math.CO
Dynamic concentration of the triangle-free process
无三角形过程从n个顶点上的空图开始，并迭代地添加随机均匀选择的边，但要满足不形成三角形的约束。我们确定了极大无三角形图中无三角形过程终止的边的渐近个数。我们也限制了这个图的独立数，它给出了Ramsey数R（3，t）的改进的下界：我们证明了R（3，t）>（1-o（1））t^2 /（4 log t），它在最著名的上界的4+o（1）倍之内。我们以前的分析，这一过程的改进利用自我校正的过程中的关键统计数据的性质。此外，我们确定哪些有界大小的子图可能出现在最大的无三角形图的三角形的过程产生的：他们正是那些密度最多为2的无三角形图。
2019-09-04 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
Weak diameter coloring of graphs on surfaces
考虑一个在固定曲面上绘制的图$G$，如果$G$是无三角形的，则为每个顶点分配一个大小至少为2的颜色列表，否则至少为3。我们证明了我们可以给每个顶点一个颜色，使得每个单色连通子图有界弱直径（即，在整个图$G$的度量中测量的直径，而不仅仅是子图）。在$G$有界最大度的情况下，这意味着每个连通单色子图有界大小。这解决了平面无三角形图的Esperet和Joret问题，并将已知结果在一般情况下推广到列表设置，回答了Wood的一个问题。
2021-11-13 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
The exact minimum number of triangles in graphs of given order and size
一个给定阶数和大小的图中三角形的最小数目是多少？动机早期的结果曼特尔和图兰，拉德马赫解决了第一个非平凡的情况下，这个问题在1941年。这个问题在1955年被埃尔德什重新提出，现在被称为埃尔德什-拉德马赫问题。在引起广泛关注之后，它在2008年由Razborov的一项重大突破中渐近解决。本文给出了边密度在~ $1$之外有界的所有大型图的精确解，在此范围内证实了Lovász和Simonovits在1975年提出的一个猜想.此外，我们给出了极图的描述。
2020-04-24 math.CO
Triangle-Free Equimatchable Graphs
一个图称为等匹配的，如果它的所有的最大匹配具有相同的大小。Frendrup等人[8]给出了围长至少为$5$的等匹配图的一个刻画。在本文中，我们通过提供围长至少为$4$的等匹配图的一个完整的结构特征，即，无三角形的等匹配图，通过识别等匹配的无三角形图族。我们的刻画推广了Akbari等人在[1]中给出的结果，证明了连通的无三角形等匹配$r$正则图只有$C_5$，$C_7$和$K_{r,r}$，其中$r$是正整数.给定一个非二部图，我们的特征意味着一个线性时间识别算法的三角形自由等匹配图。
2021-08-28 cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
2020-08-19 cs.DM math.CO
Triangle-free intersection graphs of line segments with large chromatic number
在20世纪70年代，Erdos提出了平面上线段的交图的色数是否受其团数的函数限制的问题。我们的答案是否定的。具体来说，对于每个正整数$k$，我们构建了一个三角形的免费家庭的线段在平面上的色数大于$k$。我们的结构反驳了Scott的一个猜想，即不包括任何固定图的诱导剖分的图的色数由它们的团数的函数有界。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
2020-11-05 cs.DM math.CO
Clique-width and Well-Quasi-Ordering of Triangle-Free Graph Classes
Daligault，Rao和Rassé提出了一个问题，即是否每个遗传的图类都有界的宽度，这些遗传的图类是由诱导子图关系良准序的. Lozin，Razgon和Zamaraev（JCTB 2017+）对这个问题给出了否定的答案，但他们的反例是一类只能由无限多个禁止诱导子图表征的图。这就提出了一个问题，是否有一个肯定的答案，为非线性定义的遗传图类。除了两个顽固的情况下，这已被证实时，最多有两个诱导子图$H_1,H_2$是禁止的。我们确认它的两个顽固的情况下，即为$(H_1,H_2)=(\mbox{triangle},P_2+P_4)$的情况下，通过证明类的$(\mbox{triangle},P_2+P_4)$ -免费的图有界的宽度和良好的准有序。我们的技术是基于一个特殊的分解的$3$ -部图。我们还使用这种技术来证明类的$(\mbox{triangle},P_1+P_5)$ -免费的图，这是已知的有界的宽度，是良好的准有序。我们的结果使我们能够完成的分类图$H$的类$(\mbox{triangle},H)$ -自由图是良好的准有序。
2017-11-23 cs.DM cs.DS math.CO
Dynamic choosability of triangle-free graphs and sparse random graphs
图$G$的\textit{$r$-dynamic choosability}，写作${\rm ch}_r(G)$，是最小的$k$，使得每当每个顶点被分配至少$k$颜色的列表时，可以从列表中选择适当的着色，使得每个顶点$v$至少有不同颜色的$\min\{d_G(v),r\}$邻居。令${\rm ch}(G)$表示$G$的选择数。本文证明了当$\frac{Δ(G)}{δ(G)}$有界时，${\rm ch}_r(G)\leq (1+o(1)){\rm ch}(G)$是有界的.我们还证明了存在一个常数$C$，使得对于具有$\frac{2}{n}<p\leq \frac{1}{2}$的随机图$G=G(n,p)$，它保持${\rm ch}_2(G)\leq {\rm ch}(G) + C$，渐近几乎必然。如果$G$是无三角正则图，则${\rm ch}_2(G)\leq {\rm ch}(G)+86$成立。
2018-01-22 math.CO
Locally identifying coloring in bounded expansion classes of graphs
如果图的任意两个相邻的非孪生顶点的闭邻域中的颜色集是不同的，则称图的真顶点染色是局部可标识的。图的lid-色数是图的局部可标识点染色所用的最小颜色数。本文证明了对任何有界扩张的图类，其lid-色数是有界的。有界扩张类包括图的次闭类。对于后一类，我们给出了另一种证明，证明了盖-色数是有界的。这导致了可平面图的盖色数的一个明确的上界。这以肯定的方式回答了Esperet等人[L.埃斯佩雷Gravier，M. Montassier，P. Ochem和A. Parreau。图的局部可识别着色。Electronic Journal of Combinatorics，19（2），2012.]。
2013-07-10 cs.DM math.CO
Removal Lemmas with Polynomial Bounds
在图论的许多极值问题中，一个共同的主题是图的局部性质和整体性质之间的关系。这类最著名的结果之一是Ruzsa-Szemerédi三角形移除引理，它指出如果一个图是$\varepsilon$ -远不是三角形自由的，那么大多数大小为$C(\varepsilon)$的顶点子集都不是三角形自由的。不幸的是，$C(\varepsilon)$上最著名的上界是由塔型函数给出的，并且已知$C(\varepsilon)$在$\varepsilon^{-1}$中不是多项式。三角形去除引理已被推广到许多其他的图形属性，其中一些相应的函数$C(\varepsilon)$是多项式。这提出了一个自然的问题，由Goldreich在2005年提出，最近由Alon和Fox提出，描述了可以用多项式边界证明移除引理的性质。本文的主要结果是保证一个图的性质允许多项式界的移除引理的新的充分必要准则。虽然两者都是简单的组合标准，他们意味着几乎所有的这种类型的积极和消极的结果。此外，我们的新的充分条件，使我们能够获得多项式有界删除引理的许多属性，以前已知的界限是塔型。特别地，我们证明了每一个{ \em半代数}图的性质允许多项式有界的删除引理。这证实了阿隆的一个猜想。
2016-11-30 math.CO
Graph structure via local occupancy
第一作者与Jenssen，Perkins和Roberts（2017）一起展示了无三角形图上硬核模型的局部性质如何保证大独立集的存在，其大小与Shearer（1983）最着名的渐近性相匹配。目前的工作加强这在两个方面：第一，通过保证更强的图结构的着色通过应用的Lovász局部引理;第二，通过扩展超出三角形自由图的局部稀疏性，治疗例如图的有界局部边缘密度，有界局部霍尔比，和有界团数。这概括并改进了许多其他早期工作，包括Shearer（1995），Alon（1996）和Alon，Krivelevich和Sudakov（1999），以及Molloy（2019），Bernshteyn（2019）和Achlioptas，Iliopoulos和Sinclair（2019）的最新结果。我们的研究结果来自一个共同的框架，围绕核心模型。它以一个我们称之为局部占用的属性为支点，将用概率信息导出图结构的方法与验证必要的概率信息本身的方法进行了清晰的分离。
2020-03-31 math.CO
Asymmetric results about graph homomorphisms
Department of Mathematics, University of Toronto（多伦多大学数学系）；Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Institute for Theoretical Studies, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院理论研究所）
研究图同态非对称结果，探讨\(G\)和\(\Gamma\)假设不匹配时的情况，如给出特定条件下\(G\)同态于特定无三角形图的证明，还发现非对称近似同态定理中界的“双相变”，运用多种技术得出结论。
2026-07-27 math.CO
Bounded chromatic number of graphs with small clique number and large minimum degree
School of Mathematical Sciences and LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院和LPMC）
本文证明最小度至少为n/3的无三角形图色数至多为4，并推广到更一般的K_r-自由图，给出色数上界及结构分解，解决了Brandt和Thomassé的猜想。
2026-09-22 math.CO
Local Resilience for Containment of Bounded Degree Spanning Subgraphs
Department of Mathematics, The London School of Economics（伦敦政治经济学院数学系）
本文证明了随机图生成子图在最小度条件下可包含所有满足特定三角形外顶点条件的有界度图，给出了Sauer-Spencer定理的稀疏局部韧性版本，并允许H为扩张图。
2026-09-15 math.CO
Bounds on median eigenvalues of graphs of bounded degree
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Stanford University（斯坦福大学）
研究证明了最大度数为d的图的中位特征值上界为√(d-1)，并针对三种情况给出了下界，解决了Mohar关于图中位特征值的问题。
2026-03-28 math.CO
The Maximum Number of Three Term Arithmetic Progressions, and Triangles in Cayley Graphs
设$G$是有限阿贝尔群。对于子集$S \subseteq G$，令$T_3(S)$表示$S$和Prob[ $S$ ] $= \frac{1}{|S|^2}\sum_{x,y \in S} 1_S(x+y)$中长度为3的算术级数的数目。对于任何$q \ge 1$和$α\in [0,1]$，以及任何具有$|S| = \frac{|G|}{q+α}$的$S \subseteq G$，我们证明了$\frac{T_3(S)}{|S|^2}$和Prob[ $S$ ]上界为$\max\left(\frac{q^2-αq+α^2}{q^2},\frac{q^2+2αq+4α^2-6α+3}{(q+1)^2},γ_0\right)$，其中$γ_0 < 1$是绝对常数。因此，我们验证了一个图论猜想GAN，洛，Sudakov凯莱图。
2018-09-11 math.CO math.NT
Rigidity of complements of bounded-degree graphs
本文证明补图最大度不超2且无三角形或正方形分量的图在允许的最大维度中刚性，确定K₂ₘ删完美匹配图的刚性最大维度，解决Lew猜想并改进有界度图补图的刚性界。
2026-09-07 math.CO
On expectations and variances in the hard-core model on bounded degree graphs
本文在有界度图上研究硬核模型，给出基于顶点度数的占据比例紧下界，并界定独立集大小的方差，进而在无三角形图中推进相关猜想，有望改进 Ramsey 数界并揭示稀疏随机图中的算法障碍。
2025-09-18 cs.DM math.CO
Regions without complex zeros for chromatic polynomials on graphs with bounded degree
本文证明了最大度为$\D$的有限图$\mathbb{G}$的色多项式$P_\mathbb{G}(q)$对于具有$$ C^*(\D) = \min_{0<x<2^{1\over \D}-1} {(1+x)^{\D-1}\over x [2-(1+x)^\D]} $$的$\card q\ge C^*(\D)$是无零点的，改进了Sokal（2001）和Borgs（2005）的结果.此外，我们提出了一个加强这个条件的图没有三角形自由顶点。
2007-04-19 math-ph math.CO math.MP
Coloring triangle-free rectangle overlap graphs with $O(\log\log n)$ colors
最近，证明了平面上$n$线段的无三角形交图的色数可以达到$Θ(\log\log n)$。基本上相同的建设产生$Θ(\log\log n)$ -色三角形的各种其他几何形状的交叉图-那些属于任何类的紧凑的弧连接集在$\mathbb{R}^2$关闭水平缩放，垂直缩放，平移，除了轴平行矩形。我们证明了这种构造对于平行轴矩形的边界相交图是渐近最优的，而平行轴矩形的边界相交图又可以描述为平行轴矩形的重叠图。也就是说，我们证明了无三角形的矩形重叠图具有色数$O(\log\log n)$，改进了以前的界$O(\log n)$。为此，我们利用离线着色的矩形重叠图和区间重叠图的在线着色之间的关系。我们的着色方法分解成一个有界数量的子图的树状结构，“编码”的对手在在线着色问题的战略。然后，使用来自在线算法（首次拟合）和数据结构设计（重-轻分解）的技术的组合，用$O(\log\log n)$颜色对这些子图着色。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Outerstring graphs are $χ$-bounded
外弦图是位于公共半平面中的曲线的交图，并且有一个端点在该半平面的边界上。我们证明了这类外弦图是$χ$ -有界的，这意味着它们的色数是由它们的团数的函数有界的。这推广了一系列以前的结果$χ$ -有界的outerstring图与各种额外的限制曲线的形状或次数对曲线可以交叉。直线段的无三角形交图可以有任意大的色数，这一事实证明了每条曲线在半平面边界上有端点的假设是合理的。
2018-12-02 cs.CG cs.DM math.CO
Multi-transversals for Triangles and the Tuza's Conjecture
本文研究了关于三角形的一种原始和对偶关系：对于任何图$G$，设$ν(G)$是$G$中边不相交三角形的最大数目，$τ(G)$是使得$G \setminus F$是无三角形的边的最小子集$F$.很容易看出，$ν(G) \leq τ(G) \leq 3 ν(G)$，事实上，这个相当明显的不等式对于$k$ -超图中的超匹配和覆盖之间的更一般的原始-对偶关系成立。Tuza在$1981$中推测了$τ(G) \leq 2 ν(G)$，这个问题受到了离散数学各个研究小组的关注，解决了平面图等各种特殊情况，并推广到有界最大平均度图、无次图的某些情况和非常稠密的图。尽管有这些努力，一般图中的猜想在近四十年来一直是开放的。本文证明了该猜想的一个非平凡推论，即对于每个$k \geq 2$，存在一个（多）集$F \subseteq E(G): |F| \leq 2k ν(G)$，使得$G$中的每个三角形至少与$F$中的$k$元素重叠.我们的结果可以看作是Krivelevich的结果的加强声明的分数版本的Tuza猜想（我们给出了一些例子说明这一点）。我们的结果的主要技术成分是一个充电参数，本地识别边缘$F$的包装解决方案的本地视图的基础上。这一思想对于进一步研究原始对偶关系，特别是图扎猜想，可能是有用的。
2021-02-03 cs.DM cs.DS math.CO
Limit theorems for walks and triangles on Erdös-Rényi random graphs with large interaction radius
Université de Versailles - Saint-Quentin（凡尔赛圣康坦大学）
本文研究了Erdös-Rényi随机图中q步行走数量的累积量，在顶点数N、浓度c和相互作用半径R趋于无穷时，通过树型图示来关联这些累积量，并证明了非闭合行走和三角形数量的极限定理，同时指出了三角形数量在随机图中的渐近阈值。
2026-06-04 math-ph math.CO math.MP
