Triply Existentially Complete Triangle-Free Graphs
一个无三角形图G称为k-存在完全图，如果对G的每一个k-顶点导出子图H，H到一个（k+1）-顶点无三角形图的每一个扩张都可以通过在H上添加G的另一个顶点来实现. Cherlin问k-存在完全无三角形图是否对每个k都存在。在这里，我们提出了已知的和新的3-存在完全三角形自由图的结构。
2014-05-06 math.CO
Transitive Triangle Tilings in Oriented Graphs
本文证明了Corrádi和Hajnal经典定理的一个类似定理。存在$n_0$，使得对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，当$n \ge n_0$时，以下成立。若$G$是$n$顶点上的定向图，且每个顶点的入度和出度都至少为$7n/18$，则$G$包含一个完美传递三角形镶嵌，它是覆盖$G$的每个顶点的顶点不相交的传递三角形的集合.这个结果是最佳可能的，因为对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，存在$n$顶点上的定向图$G$，而不存在完美传递三角形镶嵌，其中每个顶点的入度和出度至少为$\lceil 7n/18\rceil - 1.$
2017-01-09 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Fractional triangle decompositions in almost complete graphs
证明了对于$n \ge 7$，每个至少有$\binom{n}{2} - (n - 4)$边的$n$ -顶点图都有一个分数三角分解.这是一个关键因素，在我们的证明，在一个配套文件中，每一个$n$ -顶点$2$ -着色完全图包含$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形，这证实了一个猜想的Erdlas。
2020-08-14 math.CO
On a problem of Erdős and Rothschild on edges in triangles
埃尔德斯和罗斯柴尔德要求估计最大数目，记为H（N，C），使得每个至少有CN ^2条边的N-顶点图，其中每条边至少包含在一个三角形中，必须包含至少H（N，C）个三角形中的一条边。1987年，埃尔德什特别提出了一个问题：对于所有的C>0，是否存在ε>0，使得H（N，C）> N^ε。我们证明了对于每个固定的C < 1/4，H（N，C）= N^{O（1/log log N）}。这给出了Erdos问题的否定答案，并且在C的范围方面是最好的可能，因为已知每个具有超过（N^2）/4条边的N-顶点图包含至少N/6个三角形中的边。
2011-06-05 math.CO
Triangle-degree and triangle-distinct graphs
本文构造了每个顶点三角度均不同的无限图族，并研究了此类图的顶点度与规模性质。
2023-08-30 math.CO
Spanning Triangle-trees and Flows of Graphs
本文研究了含有生成三角树的图的流性质。我们的主要结果提供了一个图的结构特征与生成三角树承认无处零$3$ -流。所有这些没有无处为零的$3$ -流的图都是通过所谓的牛生长操作从$K_4$构造的。这推广了Fan等人在2008年关于三角连通图的一个结果，并特别证明了每个具有生成三角树的$4$边连通图都有无处为零的$3$流. Jaeger在1979年给出的一个著名的经典定理证明了每个具有两个边不相交生成树的图都存在一个无处为零的$4$流。证明了具有两个边不相交生成三角树的图的流严格小于$3$。
2019-10-11 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
2021-03-22 math.CO
Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
Reconstruction and Edge Reconstruction of Triangle-free Graphs
由Kelly和Ulam提出的重构猜想指出，每个顶点数至少为3的图都由它的多子图集$\{G-v: v\in V(G)\}$唯一确定。令$diam(G)$和$κ(G)$分别表示图$G$的直径和连通度，令$\mathcal{G}_2:=\{G: \textrm{diam}(G)=2\}$和$\mathcal{G}_3:=\{G:\textrm{diam}(G)=\textrm{diam}(\overline{G})=3\}$。已知重构猜想为真当且仅当它对$\mathcal{G}_2\cup \mathcal{G}_3$中的每个2-连通图为真。Balakumar和Monikandan证明了重构猜想对每个无三角形图$G$在有$κ(G)=2$的$\mathcal{G}_2\cup \mathcal{G}_3$中成立。此外，他们还询问，如果使用$κ(G)\ge 3$，结果是否仍然有效。(If是的，对于解决重构猜想至关重要的图类被限制为$\mathcal{G}_2\cup\mathcal{G}_3$中包含三角形的2-连通图。）本文通过证明重构猜想对$\mathcal{G}_3$中的每个无三角形图$G$和用$κ(G)=3$对$\mathcal{G}_2$中的每个无三角形图$G$都成立，从而部分地解决了这个问题.我们还证明了类似的结果的边缘重建猜想。
2022-10-04 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Diameter-Ramsey triangles below the $135^\circ$
School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学数学与统计学院）
研究证明所有非退化三角形，其最大角严格小于135度均为直径-拉姆齐，填补了135度两侧的分类缺口。
2026-04-23 math.CO
A sharp threshold for random graphs with a monochromatic triangle in every edge coloring
设$\R$是所有有限图$G$的集合，它具有Ramsey性质，即$G$的边被两种颜色着色都产生单色三角形.在本文中，我们建立了一个尖锐的阈值随机图的性质。设$G(n,p)$是$n$顶点上边概率为$p$的随机图.我们证明，存在一个功能$\hat c=\hat c(n)$与$0<c<\hat c<C$，使任何$\eps > 0$，$n$趋于无穷大$$Pr[G(n,(1-\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 0$$和$$Pr [ G(n,(1+\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 1.$$一个重要的工具，用于证明和独立的兴趣是一个推广的Szemerédi的正则引理，以一定的超图设置。
2004-10-18 math.CO
Partitioning triangle-free planar graphs into a forest and a linear forest
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
本文改进了无三角形平面图的划分结果，证明其可划分为森林和线性森林。
2025-11-24 math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
Cyclic triangle factors in regular tournaments
Cuckler和Yuster都独立地证明了当$n$是$3$的奇数正倍数时，$n$顶点上的每个正则竞赛图都包含循环三角形的$n/3$顶点不相交副本的集合。不久之后，Keevash和Sudakov证明了，如果$G$是一个$n$顶点上的图的定向，其中每个顶点的入度和出度都至少为$(1/2 - o(1))n$，则存在一个顶点不相交的循环三角形的集合，它覆盖了除最多$3$顶点之外的所有顶点。本文对充分大的$n$解决了Cuckler和Yuster猜想.
2018-06-18 math.CO
On the minimum degree required for a triangle decomposition
我们证明了，对于足够大的$n$，每一个图的顺序$n$的最小度至少$0.852n$有一个分数边分解成三角形。我们通过改进Dross用来建立$0.9n$的一个界限的方法来做到这一点。利用Barber，Kühn，Lo和Osthus的一个结果，我们的结果意味着：对于每个$ε>0$，每个最小度至少为$(0.852+ε)n$的足够大阶$n$图都有三角分解当且仅当它的度都是偶数，且边数是3的倍数.
2020-01-16 math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
A Note on Bipartite Subgraphs and Triangle-independent Sets
令$α_{1} (G)$表示包含来自$G$的每个三角形的至多一条边的边集合的最大大小。令$τ_{B} (G)$表示其删除使$G$二分的边集的最小大小。Lehel和Puleo分别独立地证明了对每个$n$ -顶点图$G$都有$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le n^2/4$. Puleo证明了$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le 5n^2/16$对于每个$n$ -顶点图$G$ .在本文中，我们证明了对于每个$n$ -顶点图$G$，都有$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le 4403n^2/15000$.
2016-01-31 math.CO
Fractional Triangle Decompositions at Partite Minimum Degree $4n/5$
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文证明部分最小度为 $4n/5$ 的平衡三部图存在分数三角分解，并借此将部分拉丁方阵的可完成性阈值改进至 $\varepsilon<1/5$，优于此前 $2/25$ 的界。
2026-09-29 math.CO
On the number of edge-disjoint triangles in $K_4$-free graphs
我们证明了四分之一个世纪前的猜想，即每一个具有$n$顶点和$\lfloor n^2/4 \rfloor +k$边的$K_4$ -free图都包含$k$成对边不相交的三角形。
2015-06-10 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Universality of graphs with few triangles and anti-triangles
本文研究3-类随机图，即三角形和反三角形的密度收敛于1/8的图序列。由于随机图${\mathcal G}_{n,1/2}$特别地是3-随机类的，这可以被视为准随机性的弱版本。我们首先证明了3-类随机图是4-泛图，也就是说，它们包含所有4-顶点图的诱导副本。这解决了Linial和Morgenstern的问题。然后，我们表明，对于较大的子图，3-类随机序列表现出完全不同的行为。我们证明了对于每个在$n\geq R(10,10)$顶点上的图$H$，存在3-random like图，而不存在$H$的导出副本。此外，我们还证明了对于每个$\ell$，当$m$比$\ell$大时，存在3-类随机图是$\ell$ -泛图而不是$m$ -泛图.
2014-01-22 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
Constructing Triangle Decomposable Multigraphs with Minimum Multi-edges
研究了图的三角分解。我们考虑的建设类图的每一个边缘在于一个三角形和添加的最小数量的重边之间已经邻顶点的结果在一个强三角形整除图，也是三角形可分解的。我们探讨了几类可平面图以及一类环形图。
2021-08-19 math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
The $2nd-$convex hull of every optimal rectilinear drawing of $K_{n}$ is a triangle
图$G$的直线图是最优的，如果它在$G$的所有直线图中具有最小的交叉数。本文证明了对于$n\geq 8$，完全图$K_n$的每一个最优直线图的第二个凸包都是三角形.
2016-06-15 math.CO math.MG
Sharp asymptotics for triangle independence and covering numbers
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
该研究确定了图论中三角形独立数与覆盖数之和的渐近常数，证明其极限值为$3/2$，解决了Erdős等人提出的相关渐近常数问题。
2026-08-18 math.CO
A tamed family of triangle-free graphs with unbounded chromatic number
构造了一个具有无界色数的无三角形图遗传类，其中每个非平凡图含不相邻孪生顶点或大小至多2的无边顶点割集，反面回答了Chudnovsky等人的问题，并证明twincut图是边临界的。
2023-04-09 math.CO
Max Cuts in Triangle-free Graphs
一个著名的猜想由Erdens指出，每个三角形自由图的$n$顶点可以成为二分的最多删除$n^2/25$边。这个猜想是已知的图的边缘密度至少$0.4$和边缘密度最多$0.172$。在这里，我们将扩展的边缘密度，这个猜想是真的，我们证明了猜想的图的边缘密度最多$0.2486$和图的边缘密度至少$0.3197$。此外，我们证明了每个无三角形图都可以通过删除最多$n^2/23.5$边来使其成为二分图，从而提高了$n^2/18$之前的最佳界。
2021-03-25 math.CO
Suns in triangle-free graphs of large chromatic number
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究三角自由图中色数较大时是否存在诱导子图为特定太阳结构，证明色数至少为48的图存在特定太阳结构或近似结构。
2026-03-08 math.CO
Induced trees in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上的连通无三角形图都含有$\exp(c\sqrt{\log n})$顶点上的诱导树，其中$c$是正常数.最著名的上界是$(2+o(1))\sqrt n$。这部分回答了鄂尔多斯、萨克斯、索斯和普尔特尔的问题。
2007-11-30 math.CO
On triangles in K_r-minor free graphs
本文研究了与小度顶点（分别为7和9）相邻的每条边属于多个三角形（分别为4和5）的图，并证明了这些图包含一个完全图（分别为K_6和K_7）作为子图。第二个案例解决了Nevo问题（Nevo，2007）。如果图的每条边都属于6个三角形，则该图含有一个K_8-子图或含有K_{2,2,2,2,2}作为诱导子图.然后，我们展示了这些结构性质的应用程序，以应力自由度和着色的图形。特别地，在Hadwiger猜想的启发下，我们证明了每个K_7-子自由图是8-可着色的，每个K_8-子自由图是10-可着色的。
2013-04-19 math.CO
On the structure of dense triangle-free binary matroids
通过严格的结构描述，证明了每个具有$|M| > \tfrac{33}{128}2^{r(M)}$的简单无三角形二元拟阵$M$最多存在临界数$2$ .
2015-09-08 math.CO
Maximal and Maximum Dissociation Sets in General and Triangle-Free Graphs
图$G$中的顶点子集$F$称为\emph{dissociation set}，如果$G$的诱导子图$G[F]$的最大度至多为1。$G$的\emph{maximal dissociation set}是一个解离集，它不是任何其他解离集的真子集。\emph{maximum dissociation set}是最大大小的解离集。证明了$n$阶图至多有$10^{\frac{n}{5}}$最大解离集，$n$阶无三角形图至多有$6^{\frac{n}{4}}$最大解离集.我们还刻画了这些上界达到的极值图。在一般图和无三角形图中，得到了最大解离集个数的紧上界。
2021-03-02 math.CO
Triangle Ramsey numbers of complete graphs
本文针对Spiro的问题，证明了对于足够大的t，完全图K_t的三角形Ramsey数等于其Ramsey数选择3的组合数，并通过图染色中三角形计数下界的结果实现。
2025-10-01 math.CO
Sparse chromatic graphs and the complete-graph triangle bound
Department of Mathematics, University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文证明稀疏色图（边数至多 $cr^3\log^2 r$）必含 $\binom r3$ 个三角形，通过稀疏核、阶均匀稳定性和稠密公共调色板列表方法给出完整证明。
2026-09-23 math.CO
On the Ramsey number of the triangle and the cube
Ramsey数r（K_3，Q_n）是使完全图K_N的边的红-蓝染色包含一个红色n维超立方体或一个蓝色三角形的最小整数N。大约30年前，Burr和Erdans证明了对于每n个\in \N，r（K_3，Q_n）= 2^{n+1} - 1，但是直到最近，Conlon、Fox、Lee和Sudakov才得到了第一个非平凡上界，他们证明了r（K_3，Q_n）\le 7000 \cdot 2 ^n。本文证明了r（K_3，Q_n）=（1 + o（1））2^{n+1}为n \to \infty .
2013-02-15 math.CO
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
2014-07-25 math.CO
Sub-exponentially many 3-colorings of triangle-free planar graphs
Rassen证明了任意n阶无三角形可平面图都有指数多个3-染色，并证明了它至少有2^[n^（1/12）/20000]个不同的3-染色.我们证明了它至少有2^sqrt（n/362）个不同的3-着色。
2011-03-30 math.CO
On stability of the Erdős-Rademacher Problem
Mantel定理指出每个有$\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor +t$边的$n$ -顶点图，其中$t>0$包含一个三角形。确定这样的图中三角形的最小数目的问题通常被称为Erdens-Rademacher问题。Lovász和Simonovits证明了在每个图中至少有$t\lfloor n/2 \rfloor$三角形。Katona和Xiao在没有覆盖所有三角形的$s-1$顶点的附加条件下考虑了同样的问题。他们解决了$t=1$和$s=2$的案件。解决了他们的猜想，当$n$足够大时，我们确定了每个固定的$s$和$t$对的最小三角形个数.此外，解决了Katona和Xiao的另一个猜想，我们将理论推广到考虑团而不是三角形。
2021-06-11 math.CO
A counterexample to a conjecture about triangle-free induced subgraphs of graphs with large chromatic number
证明了对每个$n$，存在一个具有$χ(G) \geq n$和$ω(G) \leq 3$的图$G$，使得具有$ω(H) \leq 2$的$G$的每个诱导子图$H$满足$χ(H) \leq 4$ .这就否定了一个众所周知的猜想。我们的构造是一个团数有界，二色数大，且不存在长度至少为5的诱导有向圈的有向图。
2022-09-15 math.CO
A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
ON $(\triangle, 1)$-GRAPHS
设$G = (V, E)$是一个图，$λ$是非负整数.一个图$G$称为$(λ, 1)$-{\em图}，如果PDMATHABMRFDMATHABMO既不是完全图也不是边空图，PDMATHABMRFDMATHABMO中的每条边恰好属于$λ$三角形，且$G$中每两个不相邻的顶点恰好是$G$中一条两边路的端点.结果是存在无穷多个可行的4元组$(v, d, λ, 1)$，其中$λ\ge 1$。另一方面（这是我们的主要结果），不存在具有$λ\ge 1$的$(v, d, λ, 1)$-图。作为副产品，我们得到了经典友谊定理的推广。
2018-10-12 math.CO
Triangle-Free Graphs of Toughness Approaching Two Without a 2-Factor
Auburn University（奥本大学）
本文证实了Bauer等人1996年的猜想，构造出坚韧度趋近于2且不含2-因子的无三角形图，说明存在2-因子的阈值2在无三角形图类中仍为最优界限。
2026-08-17 math.CO
Decomposing a triangle-free planar graph into a forest and a subcubic forest
我们加强了Dross，Montassier and Pinlou（2017）的一个结果，即每个无三角形的可平面图的顶点集可以分解为一个诱导森林的集合和一个诱导森林的集合，最大度至多为$5$，证明了$5$可以用$3$代替。
2023-02-05 math.CO
Bounds for the Vertex Chromatic Number of Connected Triangle-Free Graphs
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
本文证明了连通无三角形图（除五圈外）的色数上界为 $\lceil m/\sqrt{5.5n}\rceil+1$，并指出常数最优，等号在 Grötzsch 图和特定奇圈上成立。
2026-09-09 math.CO
Counting independent sets in triangle-free graphs
Ajtai，Komlós和Szemerédi证明了对于足够大的$t$，每个具有$n$顶点和平均度$t$的无三角形图都有一个大小至少为$\frac{n}{100t}\log{t}$的独立集。我们通过证明这样的图中的独立集的数目至少是\[ 2^{(1/2400)\frac{n}{t}\log^2{t}}. \]来扩展这个结果。这个结果对于除了常数之外的无穷多个$t,n$是尖锐的。我们的结果的一个简单的结果是存在$c'>0$使得每个$n$ -顶点无三角形图至少有\[ 2^{c'\sqrt n \log n} \]独立集。我们推测上述指数可以改进为$\sqrt{n}(\log{n})^{3/2}$。这将是尖锐的著名结果金表明，拉姆齐数$R(3,k)$有数量级$k^2/\log k$。
2011-11-16 math.CO
Triangle-Free 2-Matchings Revisited
无向图$G = (VG, EG)$中的\emph{2-matching}是函数$f \colon EG \to \set{0,1,2}$，使得对于每个节点$v \in VG$，与$v$关联的所有边$e$上的值$f(e)$的和不超过~2。$f$的\emph{size}是总和$\sum_e f(e)$。如果$\set{e \in EG \mid f(e) \ne 0}$不包含三角形，则$f$称为\emph{triangle-free}。Cornuéjols和Pulleyblank设计了一种组合$O(mn)$算法，该算法可以找到最大尺寸的无三角形2-匹配（以下称为$n := \abs{VG}$、$m := \abs{EG}$），并建立了最小-最大定理。我们声称，这种方法是，事实上，多余的，通过演示他们的结果可以直接从埃德蒙兹-Gallai分解。应用Micali和Vazirani的算法，我们能够在$O(m\sqrt{n})$时间内找到一个最大的无三角形的2-匹配。此外，我们给出了一个简短的自我包含的算法证明的最小最大定理。接下来，我们考虑正则图的情况。众所周知，每个正则图都允许完美2-匹配。人们可以很容易地加强这个结果，并证明每个$d$ -正则图（对于$d \geq 3$）包含一个完美的无三角形2-匹配。给出了在$d$ -正则图中寻找完美无三角形2-匹配的算法：$d = 3$的O（n）-算…
2010-04-27 math.CO
10 Problems for Partitions of Triangle-free Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
该研究针对三角自由图提出10个问题，解决其中部分问题，证明了关于图划分的结论，并探讨了K₄自由图中的类似问题。
2022-03-29 math.CO
On Induced Colourful Paths in Triangle-free Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，其顶点已被适当着色，我们说$G$中的一条路是“彩色的”，如果没有两个顶点在路径具有相同的颜色。它是Gallai-Roy-Vitaver定理的一个推论，即每一个适当着色的图在$χ(G)$顶点上都含有一条着色路。本文提出了一个猜想，即每一个适当着色的无三角形图$G$在其$χ(G)$顶点上都含有一条诱导色路，并证明了当$G$的围长至少为$χ(G)$时，这个猜想是正确的. Gyárfás和Sárközy以及Scott和Seymour最近对这个猜想的研究表明存在一个函数$f$，使得如果$χ(G)\geq f(k)$，则在$k$顶点上的诱导彩色路保证存在于任何正确着色的无三角形图$G$中。
2019-01-18 math.CO
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
2017-06-09 math.CO
Regular $K_3$-Irregular Graphs of Every Regularity at Least Nine
School of International Trade and Economics, Central University of Finance and Economics（中央财经大学国际经济贸易学院）
本文证明对每个正则度 $r\ge 9$ 存在正则 $K_3$-不规则图，通过构造 $2k$-正则图（$k\ge 15$）及补图得到 $(2k+1)$-正则图，利用阈值块和矩阵切换解决三角形度冲突，结合符号与有限验证，彻底回答了 Chartrand 等人的问题。
2026-10-07 math.CO
