Internally $4$-connected binary matroids with every element in three triangles
Carolyn Chun, James Oxley
设$M$是一个内$4$连通二元拟阵，其每个元素都在三个三角形中.则$M$具有至少四个元素$e$，使得si $(M/e)$内部4-连接。
Let $M$ be an internally $4$-connected binary matroid with every element in three triangles. Then $M$ has at least four elements $e$ such that si$(M/e)$ is internally 4-connected.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Towards a splitter theorem for internally 4-connected binary matroids VIII: small matroids
我们的内部4连通二元拟阵的分裂定理研究形式为（M，N）的对，其中N和M是内部4连通二元拟阵，M有一个真的N-子式，如果M'是一个内部4连通拟阵，使得M有一个真的M'-子式，M'有一个N-子式，则|E（M）|-|E（M '）|>3.分裂定理中的分析需要这样的约束，|E（M）|15岁以上。在这篇文章中，我们补充说，分析使用详尽的计算机搜索，以找到所有这样的对满足|E（M）|<16.
The internally 4-connected binary matroids with no M(K3,3)-minor
本文给出了与M（K3，3）没有子式同构的内部4-连通二元拟阵的一个刻划。任何这样的拟阵要么是上图的，要么同构于三次或四次莫比乌斯梯的键拟阵的一个特定的单元素扩张，或者同构于十八个散在拟阵之一。
Internally Perfect Matroids
1977年Stanley证明了拟阵的$h$ -向量是一个$\mathcal{O}$ -序列，并证明了它是一个纯$\mathcal{O}$ -序列。在随后的几年里，这个猜想的有效性已经被证明是各种类的拟阵，虽然一般情况下仍然是开放的。本文利用Las Vergnas的内部序引入了一类新的拟阵，我们称之为内部完美拟阵。我们证明，这些拟阵满足斯坦利猜想，并将它们与其他类的拟阵的猜想是已知的持有。我们还证明了，在一定的限制删除，每一个小的内部完美有序拟阵是内部完美的。
Towards a splitter theorem for internally 4-connected binary matroids II
设M和N是内部4-连通二元拟阵，使得M有一个真N-子阵，|E（N）|至少有七个。作为我们发展内部4-连通二元拟阵分裂定理的一部分，我们证明了如下结果：如果M \e当e在M的三角形中时没有N-子阵，且当e在M的三元组中时M/e没有N-子阵，则M有一个子阵M '，使得M'内部4-连通且0 <|E（M）|-|E（M '）|< 3.
The internally 4-connected binary matroids with no M(K5\e)-minor
设AG（3，2）xU（1，1）表示由AG（3，2）与一个圈的直和通过完成AG（3，2）中每个元素与圈之间的三点直线而得到的二元拟阵。本文证明了任何内部4-连通二元拟阵若没有同构于M（K5 \e）的子式，则同构于（AG（3，2）xU（1，1））* 的子式.
The smallest $I_5$-free and triangle-free binary matroids
我们确定了最小的简单无三角形二元拟阵，没有五个元素的独立平坦。这解决了Nelson和Norin猜想的一个特例。
Detecting minors in matroids through triangles
本文研究了拟阵次结构的一些结果。特别是，我们提出了充分条件，在{ \em三角形}，为拟阵有$U_{2,4}$或$F_7$或$M(K_5)$作为一个小的。
Towards a Splitter Theorem for Internally $4$-connected Binary Matroids VII
设$M$是$3$连通的二元拟阵;如果每个$3$ -分离的一边是三角形或三元组，则$M$是内部$4$连通的;如果每个$3$ -分离的一边是三角形、三元组或$4$ -元扇，则$M$是$(4,4,S)$ -连通的.假设$M$是内部$4$连通的，并且$M$及其对偶都不是立方莫比乌斯或平面梯或其某种余扩张。设$N$是$M$的内部$4$连通真子式.我们的目的是表明，$M$有一个适当的内部$4$ -连接的未成年人与$N$ -未成年人，可以从$M$通过删除最多四个元素，或通过删除元素在一个容易描述的方式从一个特殊的子结构的$M$。当这个目标不能满足时，本系列的早期论文表明，直到对偶，$M$有一个很好的蝴蝶结，也就是说，一对$\{x_1,x_2,x_3\}$和$\{x_4,x_5,x_6\}$，不相交的三角形和一个上回路$\{x_2,x_3,x_4,x_5\}$，其中$M\backslash x_3$有一个$N$ -子式，是\ffsc。我们还表明，当$M$有一个好的蝴蝶结时，要么$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，$M\backslash x_6$是$(4,4,S)$ -连通的;要么$M\backslash x_3/x_2$有一个$N$ -子式，是\ffsc。在本文中，我们表明，当$M\backslash x_3,x_6$没有$N$ -子式，$M$有一个内部$4$ -连接…
Towards a Splitter Theorem for Internally $4$-connected Binary Matroids VI
设$M$是一个$3$连通的二元拟阵;如果每个$3$ -分离的一条边是三角形或三元组，则$M$称为内部$4$ -连通的;如果每个$3$ -分离的一条边是三角形、三元组或$4$ -元扇，则$M$称为$(4,4,S)$ -连通的.假设$M$是内部$4$连通的，并且$M$及其对偶都不是三次莫比乌斯或平面梯或其某种余扩张。让$N$成为$M$的内部$4$连接的真小调。我们的目的是表明，$M$有一个适当的内部$4$连接的子与$N$ -子，可以从$M$通过删除最多四个元素，或通过删除元素在一个容易描述的方式从一个特殊的子结构的$M$。当这个目标不能满足时，本系列的早期论文表明，直到对偶，$M$有一个好的蝴蝶结，即一对$\{x_1,x_2,x_3\}$和$\{x_4,x_5,x_6\}$，不相交的三角形和一个上回路$\{x_2,x_3,x_4,x_5\}$，其中$M\backslash x_3$有一个$N$ -子式并且是$(4,4,S)$ -连通的。我们还表明，当$M$有一个好的蝴蝶结时，要么$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，要么$M\backslash x_3/x_2$有一个$N$ -子式，并且是$(4,4,S)$ -连通的。在本文中，我们表明，当$M\backslash x_3,x_6$有一个$N$ -子式，但不是$(4,4,S)$ -连接，$M$有一个内部$4$ …
Triangle-roundedness in matroids
一个拟阵$N$在一类拟阵$\mathcal{M}$中被称为三角舍入的，如果每个具有三角形$T$和$N$ -子式的$3$ -连通拟阵$M\in \mathcal{M}$都有一个以$T$为三角形的$N$ -子式.里德给出了一个有用的结果，以确定这样的拟阵如下所述：假设$M$是一个二元$3$ -连接拟阵与$3$ -连接的小$N$，$T$是一个三角形的$M$和$e\in T\cap E(N)$ ;然后$M$有一个$3$ -连接的小$M'$与$N$ -小这样的$T$是一个三角形的$M'$和$|E(M')|\le |E(N)|+2$。我们加强了这一结果的下降的条件，这样的元素$e$存在，并证明有一个$3$连接的小$M'$的$M$与$N$ -小$N'$，使$T$是一个三角形的$M'$和$E(M')-E(N')\subseteq T$。将这一结果推广到非二元情形，作为应用，我们证明了$M(K_5)$在正则拟阵类中是三角舍入的。
The critical number of $I_{1,t}$-free triangle-free binary matroids
一个简单的二元拟阵，被看作是有限二元射影几何$PG(n-1,2)$的一个限制，如果对于$PG(n-1,2)$的任何秩- $t$平坦，它与拟阵的交不是一个单元素集，则它是$I_{1,t}$ -free的.本文证明了无$I_{1,t}$和无三角形的简单二元拟阵对任何$t \geq 1$都有界临界数。
Excluding Kuratowski graphs and their duals from binary matroids
我们考虑我们的内部4-连通二元拟阵没有M（K3，3）-子矩阵的特性的一些应用。我们将不含子阵的内4连通二元拟阵映射到{M（K3，3），M *（K3，3），M（K5），M *（K5）}的某个子集中，该子集包含M（K3，3）或M *（K3，3）.我们还描述了一个实用的算法，用于测试是否一个二元拟阵有一个未成年人的子集。此外，我们还研究了不含M（K3，3）-子式的二元拟阵的增长率，证明了不含M（K3，3）-子式的二元拟阵在GF（2）上的临界指数至多等于4。
Applications of the Strong Splitter Theorem: decomposition results
我们利用强分裂定理对不含$E_4$ -子式的二元拟阵的排除子式类进行分解。利用这一定理，我们可以得到3-分解和极值内部4-连通拟阵以及这类拟阵中的任何重要的拟阵。拟阵$E_4$是一个自对偶的10元二元3连通拟阵，在结构结果中起着重要的作用。它是$P_9$的单元素协同扩展，而$P_9$是四轮的单元素扩展。我们发现，在这一类的极值拟阵是二元秩$r$尖峰$Z_r$，秩3和4射影几何$F_7$和$PG(3,2)$，分别为17元内部4-连通拟阵$R_{17}$，和一个12元秩6拟阵。所有其他3-连通成员都有$P_9$或$P_9^*$作为3-分解子。作为直接推论，我们得到了$EX[P_9^*]$和$EX[P_9]$以及这些类的内部4-连通成员的分解结果。
On the structure of dense triangle-free binary matroids
通过严格的结构描述，证明了每个具有$|M| > \tfrac{33}{128}2^{r(M)}$的简单无三角形二元拟阵$M$最多存在临界数$2$ .
The structure of $I_4$-free and triangle-free binary matroids
如果一个简单的二元拟阵的4阶单位都不是独立集，则该拟阵被称为$I_4$ -free。这些对象可以等价地定义为$PG(n-1,2)$中的点的集合$E$，对于这些点，对于任何四维平面$F$，$|E \cap F|$不是$F$的基础。我们证明了一个分解定理，它精确地确定了所有$I_4$自由和三角自由拟阵的结构。特别地，我们的定理暗示了无$I_4$和无三角形拟阵的临界数至多为$2$。
The critical number of dense triangle-free binary matroids
证明了对每个实数$ε> 0$，都存在一个整数$c$，使得如果$M$是一个简单的无三角形二元拟阵，且有$|M| \ge (\tfrac{1}{4} + ε) 2^{r(M)}$，则$M$至多有$c$的临界数.我们还给出了一个结构，表明没有这样的结果成立的任何实数小于$\tfrac{1}{4}$。这表明三角形的“临界阈值”是$\tfrac 1 4$。本文将临界阈值的概念推广到所有简单二元拟阵$N$，并猜想：如果$N$有临界数$c\ge 3$，则对于某些$i\in \{2,3,4\}$，$N$有临界阈值$1-i\cdot 2^{-c}$.我们通过建立下界来支持这个猜想。
Tilings and matroids on regular subdivisions of a triangle
本文研究了由Ardila和Billey引入的拟阵族，研究了$\mathbb{C}^n$的完全旗排列的一维交.通过将$\mathbb{R}^3$的非负圆锥与仿射超平面$x_1 + x_2 + x_3 = n-1$相交而获得的等边三角形$S_n$内部的格点集$P_n$是拟阵$\mathcal{T}_n$的基集，其独立集是$P_n$的子集$S$，对于集合$P_k$的每个平移$P$，满足该$|S \cap P| \le k$。在这里，我们研究的拟阵$\mathcal{T}_n$的结构与平铺的$S_n$到单位三角形，菱，和padriids。首先，我们刻画了$\mathcal{T}_n$的独立集，扩展了Ardila和Billey已经给出的$\mathcal{T}_n$的基的刻画。然后，我们探讨了$\mathcal{T}_n$的秩函数和$S_n$的单位三角形和菱形的镶嵌之间的联系。然后，我们提供了一个平铺表征的电路的$\mathcal{T}_n$。我们得出结论与几何表征的单位的$\mathcal{T}_n$。
A binary-matroid analogue of a graph connectivity result of Jamison and Mulder
本文针对满足“两顶点间有三条内部不相交路径则相邻”的图的结构刻画结论，证明了二元拟阵领域的对应类比结果，拓展了相关结论的适用范围。
Higher dimensional electrical circuits and the matroid dual of a nonplanar graph
在本文中，我们描述了一个物理问题，电磁场的基础上，其拓扑约束是高维版本的基尔霍夫定律，涉及$2-$单纯复形嵌入在$\mathbb{R} ^3$，而不是图形。然而，我们表明，这个复杂的骨架，只涉及三角形和边缘，我们可以建立一个拟阵对偶，这是一个图。在这个图上，我们建立了一个“普通”电路，解决了这个问题，我们就得到了原来问题的解决方案。该图的构造是通过“滑动”算法，该算法模拟在三角形的表面上滑动，从一个三角形移动到另一个三角形，该另一个三角形与该三角形共享一个边，但是该另一个三角形也相对于在$\mathbb{R} ^3.$中的复合体的嵌入是相邻的。为此目的，唯一需要的信息是我们遇到在边处入射的三角形的顺序，当我们相对于边缘的方向顺时针旋转时。对偶图的构造是关于$2-$复合体的大小的线性时间。
Splitters and Decomposers for Binary Matroids
令$EX[M_1\dots, M_k]$表示没有子式同构于$M_1, \dots, M_k$的二元拟阵类。本文给出了$EX[S_{10}, S_{10}^*]$的一个分解定理，其中$S_{10}$是一个10元秩4拟阵.作为推论，我们得到的分解定理的类，通过排除Kuratowski图$EX[M(K_{3,3}), M^*(K_{3,3}), M(K_5), M^*(K_5)]$和$EX[M(K_{3,3}), M^*(K_{3,3})]$。这些分解定理包含了Zhou [ \ref{Zhou2004} ]，Qin和Zhou [ \ref{Qin2004} ]，以及Mayhew，Royle和Whitte [ \ref{Mayhewsubmitted} ]关于内部$4$连通拟阵的结果.
Characterizing binary matroids with no $P_9$-minor
本文给出了不含$P_9$ -子式的二元拟阵的一个完整刻画.一个3连通二元拟阵$M$没有$P_9$ -子阵当且仅当$M$是一个特殊的16元拟阵$Y_{16}$的内部4连通非正则子阵之一，一个3连通正则拟阵，一个秩至少为4的二元spike拟阵，或一个通过将Fano拟阵的副本3求和到一个3连通余图拟阵$M^*(K_{3, n})$，$M^*(K_{3, n}^{\prime})$，$M^*(K_{3, n}^{\prime\prime})$，或$M^*(K_{3, n}^{\prime\prime\prime})$（$n\ge 2$）。这里，简单图$K_{3, n}^{\prime}, K_{3, n}^{\prime\prime}$和$K_{3, n}^{\prime\prime\prime}$分别通过在大小为3的颜色类中添加一个、两个或三个边而从$K_{3, n}$获得。
Dense PG(n-1,2)-free binary matroids
对于每一个整数$n \geq 2$，证明了：如果$M$是一个具有$|M|>\left(1-\frac{3}{2^n}\right)2^r$的简单秩- $r$ $PG(n-1,2)$ -free二元拟阵，则存在$M$的一个无三角秩- $(n-2)$平坦.
Pattern Recognition on Oriented Matroids: Three-Tope Committees
简单定向拟阵M的三拓扑群K* 是其极大余向量的3-子集，使得M的每个正半空间至少包含两个来自K* 的拓扑.我们把三顶点委员会看作是图中与顶点有关的三角形的顶点集，并利用M的基集的凸子集的偏序集的性质对它们进行了计数。
A decomposition theorem for binary matroids with no prism minor
棱柱图是五点完全图的对偶图，其中删除了一条边，$K_5\backslash e$。本文确定了一类无棱柱子式的二元拟阵。这个问题的动机是1963年的结果狄拉克在那里他确定了简单的3-连通图没有小同构的棱镜图。证明了除了Dirac无限图族和Oxley确定的四个无限非正则拟阵族之外，该类拟阵只存在三种可能：同构于$F_7$与自身在三角形上的广义平行联络的对偶，且三角形中的一个元素被删除，其秩有界于5;或者它允许由$P_9$中的3-分离性诱导的非极小正合3-分离性。由于棱柱图的秩为5，所以该类必须分别包含秩为3和4的二元射影几何$F_7$和$PG(3, 2)$。我们证明了类中只有一个秩为5的极值拟阵。它有17个元素，是$R_{10}$的扩展，$R_{10}$是正则拟阵的唯一分裂器。作为推论，我们得到了Dillon，Mayhew和Royle关于无棱柱子阵的二元内4-连通拟阵的判别结果[5]。
Small cocircuits in minimally vertically $4$-connected matroids
Halin证明了每一个极小$k$ -连通图都有一个度为$k$的顶点.更一般地说，是否每个极小垂直$k$连通拟阵都有一个$k$元上回路？Murty和Wong的结果在$k \le 3$ .我们表明，每一个最小垂直$4$连接拟阵至少有6个元素有一个$4$元素上回路，或一个$5$元素上回路，其中包含一个三角形，与特定的非二进制$9$元素拟阵的例外。因此，每个至少有6个元素的极小垂直$4$ -连通二元拟阵都有一个$4$ -元素上回路。
Tuza's conjecture for binary geometries
Tuza（A conceptual，in Proceedings of the Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai，1981）证明了对于所有图$G$，有$τ(G) \le 2ν(G)$，其中$τ(G)$是边集的最小尺寸，其去除使得$G$无三角形，而$ν(G)$是成对边不相交三角形的集合的最大尺寸。在这里，我们概括Tuza的猜想简单的二进制拟阵不包含法诺平面作为限制。我们证明了几何版本的猜想持有上图拟阵。
Circuit-partition of infinite matroids
本文为Komjáth等人关于有限匹配可扩展拟阵环划分的紧致性定理提供了简短证明，并推广了Thomassen猜想，证明了有限二元有向拟阵划分为有向环的充要条件。
On $K_5$ and $K_{3,3}$-minors of graphs and regular matroids
本文证明了关于图的平面性的障碍的两个主要结果。一个是，如果$G$是一个3-连通图，它有一个$K_5$ -minor，$T$是$G$的一个三角形，那么$G$有一个$K_5$ -minor $H$，使得$E(T)\cont E(H)$ .另一个是，如果$G$是一个3-连通简单非平面图，它不同构于$K_5$和$e,f\in E(G)$，则$G$有一个次$H$使得$e,f\in E(H)$和直到同构为止的$H$是由$K_{3,3}$通过添加1、0、1或2条边得到的四个非同构简单图之一.我们将第二个结果推广到正则拟阵类。
A splitter theorem on 3-connected matroids and graphs
我们建立了图的分裂定理及其在拟阵上的推广：设$G$和$H$是$3$连通简单图，使得$G$有$H$ -子图和$k:=|V(G)|-|V(H)|\ge 2$ .令$n:=\left\lceil k/2\right\rceil+1$。则存在成对不交集$X_1,\dots,X_n\subseteq E(G)$使得每个$G/X_i$是具有$H$ -子式的$3$ -连通图，每个$X_i$是$G$的具有$3$度- $3$顶点的三角形的单点集或边集，并且$X_1\cup\cdots\cup X_n$不包含$G$的除$X_i$以外的边集.这个结果推广了Whittle（对于$k=1,2$）和Costalonga（对于$k=3$）的先前结果。
Excluded $t$-factors in Bipartite Graphs: Unified Framework for Nonbipartite Matchings, Restricted 2-matchings, and Matroids
我们提出了一个框架，最佳的$t$ -匹配不包括规定的$t$ -因素在二部图。建议的框架是一个推广的非二分匹配问题，包括几个问题，如三角形的自由$2$匹配，平方自由$2$匹配，甚至因素，和树状问题。在本文中，我们展示了这些问题的统一理解，共同推广以前的重要结果。我们在一个合理的假设下解决我们的问题，这个假设足够广泛，可以包括上面列出的具体问题。我们首先提出了一个极小极大定理和组合算法的未加权版本。然后，我们提供了一个线性规划制定与对偶积分和原始对偶法的加权版本。该算法的一个关键组成部分是一种技术，以缩小禁止结构，这对应于技术的奇循环，三角形，正方形，并在埃德蒙兹的开花算法，三角形的自由$2$匹配算法，无平方$2$匹配算法，和树形算法，分别有向循环。
Computing distances in braid-move graphs, higher Bruhat orders, and oriented-matroid mutation graphs is NP-hard
本文证明计算辫子移动图、高阶 Bruhat 序及定向拟阵突变图中的距离是 NP 困难的，通过从顶点覆盖归约构造实例，并推广到所有固定秩和余秩。
(Theta, triangle)-free and (even hole, $K_4$)-free graphs. Part 2 : bounds on treewidth
本文证明了无（theta，三角形）图与无（偶洞，pyramid，$K_t$）图在排除特定导出子图后具有有界树宽，并通过证明大树宽图必含大团或大基数极小分离集来界定树宽。
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