Triangle Ramsey numbers of complete graphs
本文针对Spiro的问题，证明了对于足够大的t，完全图K_t的三角形Ramsey数等于其Ramsey数选择3的组合数，并通过图染色中三角形计数下界的结果实现。
2025-10-01 math.CO
Anti-Ramsey numbers for vertex-disjoint triangles
一个边有色图称为彩虹图，如果它的边上的所有颜色都是不同的.给定一个正整数n和一个图G，反Ramsey数ar（n，G）是图G中没有彩虹拷贝的K_{n}的边染色的最大颜色数.用kC_{3}表示C_{3}的k个顶点不相交副本的并集。本文分别对n= 3 k和n \geq 2k^{2}-k+2确定了反Ramsey数ar（n，kC_{3}）.当3 k \leq n \leq 2 k ^{2}-k+2时，我们给出了ar（n，kC_{3}）的上界.
2022-01-10 math.CO
The Ramsey theory of the universal homogeneous triangle-free graph Part II: Exact big Ramsey degrees
建立在作者以前的工作，对于每一个有限的无三角形图$\mathbf{G}$，我们确定的等价关系的副本$\mathbf{G}$内的通用齐次无三角形图，$\mathcal{H}_3$，具有最小数量的等价类，使每一类坚持在每个同构的子副本$\mathcal{H}_3$。这是$\mathcal{H}_3$的精确大Ramsey度的特征。由此得出无三角形的Henson图是一个大的Ramsey结构。
2020-09-04 math.CO math.LO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
New Bounds on the Anti-Ramsey Number of Independent Triangles
本文研究 k 个顶点不交三角形 kK_3 的反 Ramsey 数，将已有结论成立的顶点数条件由 n≥2k^2−k+2 改进为 n≥15k+57。
2025-06-08 math.CO
On the Ramsey-Turán density of triangles
现代图论中最古老的结果之一，由于Mantel，断言每个$n$顶点上的无三角形图最多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边。大约半个世纪后，Andrásfai研究了稠密无三角形图，并证明了$n$顶点上的最大无三角形图不具有大小为$αn$的独立集，其中$2/5\le α< 1/2$是五边形的爆破。自Andrásfai的工作以来，又过去了50多年。在这篇文章中，我们朝着理解没有大独立集的稠密无三角形图的结构迈出了下一步。值得注意的是，我们用$α(G)\ge 3n/8$确定了$n$顶点上的无三角形图$G$的最大尺寸，并用$α(G) > n/3$提出了关于无三角形图$G$的结构的一个猜想.我们注意到，情况下$α(G) \le n/3$的行为不同，但由于工作的勃兰特这种情况是相当好的理解。
2020-12-17 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for two classes of unicyclic graphs
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文考虑了两类单圈图：有额外边的星形图和一端有三角形的路图。我们提供了这两类图的$2$ -色Ramsey数，并使用这些来获得一般的上界和下界的Gallai-Ramsey数。
2018-09-26 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey numbers for stars with extra independent edges
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了由$t$阶星得到的图$G = S_t^{r}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，该图是通过在该星的叶之间添加$r$额外独立边而得到的，从而使$S_t^{r}$中存在$r$三角形和$t - 2r - 1$悬垂边.当$t = 2$ .
2019-08-06 math.CO
Ramsey numbers R(K3,G) for graphs of order 10
本文给出了12 005 168个10阶图中12 005 158个的广义三角Ramsey数R（K3，G）.剩下的10个图我们无法确定Ramsey数。最有可能的是，这些图需要专注于每个单独的图的方法，以确定它们的三角拉姆齐数。通过结合新的计算和理论结果得到的结果。我们还描述了一个优化算法的所有最大的三角形自由图和三角Ramsey图的生成。所有Ramsey数到30都是通过我们的算法实现来计算的。我们还证明了一些理论结果，适用于确定几个三角形Ramsey数大于30。由于不仅图的数量增加得非常快，而且确定Ramsey数的难度也很大，我们认为10阶图的所有三角Ramsey数的表很可能是最后一个完整的表，可能会在很长一段时间内确定。
2012-11-26 cs.DM math.CO
Online Ramsey theory for a triangle on $F$-free graphs
给定一个图类$\mathcal{C}$和一个固定的图$H$，在$\mathcal C$上的$H$的在线拉姆齐游戏是两个玩家Builder和Painter之间的游戏，如下所示：给定一个无界顶点集作为初态，在每一轮Builder引入一个新的边，约束条件是结果图必须在$\mathcal C$中，Painter将新的边涂成红色或蓝色。如果Painter被迫在游戏中的某个时刻制作$H$的单色副本，则Builder赢得游戏。否则，Painter可以永远避免创建$H$的单色副本，我们说Painter赢得了比赛。我们开始研究的图形$F$的特征，这样对于一个给定的图$H$，画家赢得了$F$上的$H$的在线拉姆齐游戏。我们的特点是所有的图形$F$，使画家赢得了在线拉姆齐游戏$C_3$类的$F$ -免费的图形，除了当$F$是一个特定的图形。我们还表明，画家赢得了在线拉姆齐游戏的$C_3$类的$K_4$ -未成年人的自由图，扩展Grytczuk，Hauptuszczak，Kierstead的结果。
2019-01-10 math.CO
Book Ramsey numbers I
一本大小为q的书是q个三角形的并集，它们共享一条公共边。当p<q/6-o（q）时，我们找到了大小为q的书与大小为p的书的精确拉姆齐数。
2004-05-07 math.CO
The Ramsey theory of the universal homogeneous triangle-free graph
由Henson构造的泛齐次无三角形图（全称为$\mathcal{H}_3$）是Rado图的无三角形类似物。虽然Rado图的拉姆齐理论已经完全建立，从Erdens-Hajnal-Posá开始，并在Sauer和Laflamme-Sauer-Vuksanovic的工作中达到高潮，但$\mathcal{H}_3$的拉姆齐理论只发展到顶点着色（Komjáth-Rödl）和边着色（Sauer）的界限。这是由于缺乏广泛的技术。我们解决这个问题一般：对于每个有限的无三角形的图$G$，有一个有限的$T(G)$，使任何着色的所有副本的$G$在$\mathcal{H}_3$到100多种颜色，有一个子图的$\mathcal{H}_3$这又是普遍齐次无三角形的，其中着色不超过$T(G)$颜色。这是第一个这样的结果，一个同质结构省略副本的一些非平凡的有限结构。证明需要新的大规模技术的发展，包括一个灵活的方法来构建树的代码$\mathcal{H}_3$和他们的拉姆齐理论的发展。
2019-11-22 math.CO math.LO
The Four-Color Ramsey Multiplicity of Triangles
本文研究古德曼结果的推广，通过利用组合对称性的旗代数方法，证明完全图边四着色中单色三角形比例渐近至少为1/256，且大极值构造基于K₁₆的两种R(3,3,3)拉姆齐着色的膨胀，方法可用于研究相关问题。
2023-12-13 math.CO math.OC
Monochromatic triangles with empty intersection and Kneser Ramsey numbers
University of Memphis（孟菲斯大学）
本研究证明当$n\ge 2k+1$且$k\ge 2$时，完全图的任何红蓝着色必含空交单色三角形，推进了Holmsen等人的问题，并改进了Kneser Ramsey数的下界。
2026-09-24 math.CO
Canonical Ramsey: triangles, rectangles and beyond
本文解决了关于所有三角形和矩形是否满足典范Ramsey性质的开放问题，通过旋转球形链式论证、结构化归约及摄动框架给出了证明。
2025-10-14 math.CO math.MG
The triangle-free process and the Ramsey number $R(3,k)$
拉姆齐理论和随机图的领域一直密切相关，因为Erdibes '著名的证明，在1947年的“对角线”拉姆齐数$R(k)$增长指数$R(k)$。在20世纪90年代早期，引入了无三角过程作为一个模型，它可能为“非对角”Ramsey数$R(3,k)$提供良好的下界。在这个模型中，$K_n$的边被随机地一个接一个地引入，如果它们没有创建三角形，则添加到图中;最终（随机）图被表示为$G_{n,\triangle}$。2009年，Bohman成功地跟踪了这个过程的一个正部分，从而获得了Kim著名结果的第二个证明，即$R(3,k) = Θ\big( k^2 / \log k \big)$。本文改进了Bohman和Kim的结果，并遵循无三角形过程一直到其渐近结束。特别是，我们将证明$$e\big( G_{n,\triangle} \big) \,=\, \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} + o(1) \right) n^{3/2} \sqrt{\log n },$$很有可能是$n \to \infty$。我们还获得了几个伪随机性质的$G_{n,\triangle}$，并使用它们来绑定其独立数，这给作为一个直接的推论$$R(3,k) \, \ge \, \left( \frac{1}{4} - o(1) \right) \frac{k^2}{\log k}.$$这显着提高金的下限，并…
2018-03-24 math.CO math.PR
A note on Ramsey Numbers for Books
大小为N的书是共享一条公共边的N个三角形的并集。我们证明了，对于所有N>（10^6）M，一本大小为N的书与一本大小为M的书的拉姆齐数等于2N+3。我们的证明是基于计数的。
2004-05-10 math.CO
A New Upper Bound for the Ramsey Number of Fans
扇形$F_n$是由$n$三角形组成的图，所有三角形都恰好有一个公共顶点。目前，Ramsey数$R(F_n)$最著名的界是$9n/2-5 \leq R(F_n) \leq 11n/2+6$，由Chen，Yu和Zhao得到。我们将上界改进为$31n/6+O(1)$。
2021-09-16 math.CO
Two-round Ramsey games on random graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）
研究随机图中拉姆齐性质阈值的尖锐性，分析两轮博弈中扩展无三角形着色的临界密度，发现当p跨越n^{-3/5}时阈值q发生多项式跳跃。
2026-06-23 math.CO
The triangle-free process
考虑下面的随机图过程。我们从n个顶点上的空图开始，每次添加一条边，其中每条边都是从添加到图中时不形成三角形的潜在边的集合中随机均匀选择的。该过程在最大无串图处终止。在这里，我们分析三角形的过程中，确定可能的数量级的数量级的边缘在最终的图形。作为推论，我们证明了无三角过程很可能产生Ramsey R（3，t）图，也就是说，我们对无三角过程的分析给出了Jeong Han Kim先前建立的R（3，t）上的下界的新证明.所介绍的技术扩展到K_4-free过程，从而建立一个小的改进，最有名的下界的Ramsey数R（4，t）。
2008-06-26 math.CO
Ramsey-Turán Type Problem for Perfect Transitive Triangle Tilings in Digraphs
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
研究有向图在独立数较小条件下，通过最小度条件保证完美传递三角形铺砌的存在性，给出了渐近最优的最小度下界。
2026-06-15 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey number for wheels
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。与图中的Ramsey数非常相似，Gallai-Ramsey数通常被认为很难计算。到目前为止，人们所知道的精确结果仍然很少。本文给出了轮的Gallai-Ramsey数的界以及轮在$5$顶点上的精确值.
2019-05-28 math.CO
Small minimal $(3, 3)$-Ramsey graphs
我们称$G$是一个$(3, 3)$ -Ramsey图，如果$G$的边的每一个$2$ -染色都迫使一个单色三角形.如果$G$不包含一个真的$(3, 3)$ -Ramsey子图，则称$(3, 3)$-Ramsey图$G$是最小的.本文利用计算机找到了顶点数不超过13的所有极小$(3, 3)$ -Ramsey图，并得到了这类图的一些新结果。我们还获得了任意$(3, 3)$ -Ramsey图的独立数的新上界和最小度的新下界。
2016-04-13 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for graphs with five vertices of chromatic number four
给定一个图$H$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$被定义为最小整数$n$，使得$K_n$的每个$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$H$的单色副本。本文确定了具有5个色数为4的顶点的连通图的Gallai-Ramsey数。
2020-08-01 math.CO
Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles
1967年，Erdans和Hajnal提出了一个问题：是否存在一个$K_4$ -free图，它不是两个无三角形图的并？找到这样一个图涉及解决一个特殊情况下的经典拉姆齐箭头操作。Folkman在1970年证明了这些图的存在性，它们现在被称为Folkman图。Erdibs提供了100美元，用于确定是否存在一个小于$10^{10}$顶点。这个问题一直悬而未决，直到1988年，斯宾塞在一篇开创性的论文中使用概率技术证明了一个$3\times 10^9$阶的Folkman图的存在性（在一个勘误表之后），而没有明确地构造它。2008年，Dudek和Rödl开发了一个策略，通过近似相关图的最大割来构造新的Folkman图，并使用它将上界提高到941。我们改进这个界限首先使用他们的近似技术，然后进一步到786与MAX-CUT半定规划松弛中使用的Goemans-Williamson算法。
2013-03-20 cs.DM math.CO
Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
Turán and Ramsey Properties of Subcube Intersection Graphs
离散立方体$\{0,1\}^d$是一种基本的组合结构。$\{0,1\}^d$的子立方体是通过固定$k$坐标并允许其余的$d-k$自由变化而形成的其点的$2^k$的子集。离散立方体的子立方体结构非常复杂，有许多与之相关的问题尚未解决。沿着这条线的两个示例问题如下：给定一个子立方体族，其中没有$r+1$有非空交集，我们可以有多少个成对交集？如果其中没有具有非空交集的$k$，也没有成对不相交的$l$，那么我们可以有多少个子立方体？这些问题自然地表示为子立方体的交图中的Turán和Ramsey型问题，其中集合族的交图对于该族中的每个集合具有一个顶点，如果对应的子集相交，则两个顶点相邻。Turán和Ramsey型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机是与社会选择理论中的一些问题的联系，这些问题是由社会中的一个简单的协议模型引起的。具体地说，如果我们必须对每个$n$单独的问题进行二元选择，那么可以合理地假设，个人可以接受的选择集将由子立方体表示。因此，一个子立方体家庭中的交叉模式将对社会中的协议水平产生影响。我们提出了一些与Turán和Ramsey问题直接相关的问题和解答，并为子立方体交图的研究提出了一些进一步的方向.
2011-10-19 math.CO
Gallai-Ramsey numbers of $C_9$ with multiple colors
研究了Gallai着色中的Ramsey型问题。给定一个图$G$和一个整数$k\ge1$，Gallai-Ramsey数$gr_k(K_3,G)$是最小正整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每个$k$-染色包含彩虹三角形或$G$的单色副本。结果表明，$gr_k(K_3, G)$比经典的Ramsey数$r_k(G)$表现得更好。然而，找到$gr_k (K_3, G)$的精确值绝非易事。本文证明了对所有的$k\ge1$，都有$gr_k(K_3, C_9)= 4\cdot 2^k+1$.这一新结果为1973年Bondy和Erdans提出的三重奇循环猜想的第一个公开例子提供了部分证据。我们的技术在很大程度上依赖于结构的结果Gallai的边着色完全图没有彩虹三角形。我们相信，我们开发的方法可以用来确定$gr_k(K_3, C_n)$的奇数$n\ge11$的确切值。
2017-09-30 math.CO
On ordered Ramsey numbers of matchings versus triangles
本文研究有序匹配与三角形的有序拉姆齐数，证明区间色数为2的匹配满足上下界 Ω((n/log n)^{5/4}) 与 O(n^{7/4})，并构造区间色数至少为3的匹配达到 Ω((n/log n)^{4/3}) 下界，改进了已知结果。
2023-05-29 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for fans
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文得到了扇形$F_{m} = K_{1} + mK_{2}$的Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了对于$m = 2$和对于$k$为偶数的$m = 3$的Sharp结果.
2019-02-27 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文将欧氏拉姆齐理论与图的Gallai-拉姆齐理论结合起来，引入欧氏Gallai-拉姆齐理论.更确切地说，我们考虑以下问题：对于一个整数$r$和配置$K$和$K'$，是否存在一个整数$n_0$，使得对于任何$n$维欧几里得空间的点用$n \geq n_0$的$r$ -染色，存在一个与$K$全等的单色配置或一个与$K'$全等的彩虹配置？特别地，我们给出了一些配置$K$和$K'$，如三角形和矩形的$n_0$上的界。这些都是普通欧几里得拉姆齐理论的扩展，其目的是找到一个单色的配置。
2022-09-27 math.CO
Gallai-Ramsey number for the union of stars
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得完全图$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。本文给出了两星并的Gallai-Ramsey数在许多情况下的精确值和在其它情况下的界。这项工作代表了第一类不连通图被认为是所需的单色子图。
2020-07-11 math.CO
Gallai-Ramsey number for $K_{5}$
给定一个图$H$，定义$k$ -着色Gallai Ramsey数$gr_{k}(K_{3} : H)$为最小整数$n$，使得完全图的边在$n$顶点上的每一个$k$ -着色包含一个彩虹三角形或一个$H$的单色副本. Fox等人[J. Fox，A. Grinshpun和J. Pach。彩虹三角形的Erd{ \H o}s-Hajnal猜想J. Combin。理论系列B，111：75-125，2015.]证明了完全图的Gallai Ramsey数的值。最近，这一猜想已被验证的第一个开放的情况下，当$H = K_{4}$。在本文中，我们攻击下一种情况，当$H = K_5$。令人惊讶的是，该猜想的有效性取决于拉姆齐数$R(5,5)$的（尚未未知的）值。已知$43 \leq R(5,5) \leq 48$和证实$R(5,5)=43$ [B.D.麦凯和S. P. Radziszowski。子图计数恒等式和Ramsey数。J. Combin。Theory Ser. B，69：193-209，1997]。如果是$44 \leq R(5,5) \leq 48$，则Fox et al.的猜想是正确的，我们提出了一个完整的证明。然而，如果是$R(5,5)=43$，那么Fox et al.的猜想是假的，这意味着这两个猜想中至少有一个是假的。对于$R(5, 5) = 43$的情况下，我们显示的Gallai拉姆齐…
2019-01-11 math.CO
Ramsey numbers of large books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。1978年，Rousseau和Sheehan证明了Ramsey数满足$r(B_m,B_n)\le 2(m+n)+c$，其中有一个常数$c>0$。本文证明了对所有的$m\le n$和$n$，$r(B_m, B_n)\le 2(m+n)+o(n)$都是大的，从而渐近地证实了Rousseau和Sheehan的猜想.作为推论，我们的结果暗示了Faudree，Rousseau和Sheehan（1982）关于强正则图的一个相关猜想是渐近成立的.
2021-12-17 math.CO
Some exact values on Ramsey numbers related to fans
对于两个给定的图$F$和$H$，Ramsey数$R(F,H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的任何红-蓝边着色包含红色$F$或蓝色$H$。当$F=H$，我们简单地写$R_2(H)$。对于正整数$n$，设$K_{1,n}$是一个具有$n+1$个顶点的星形，$F_n$是一个具有$2n+1$个顶点的扇形，$2n+1$个顶点由$n$三角形共享一个公共顶点组成，$nK_3$是一个具有$3n$个顶点的图，$3n$个顶点由$n$三角形的不交并得到.在1975年，Burr，Erdés和Spencer \cite{B}证明了$R_2(nK_3)=5n$对于$n\ge2$。然而，确定$R_2(F_n)$的确切值是非常困难的。到目前为止，只有$R_2(F_2)=9$被证明。请注意，$F_n$和$nK_3$都包含$n$三角形和所有$n\ge 2$的$|V(F_n)|<|V(nK_3)|$。Chen、Yu和Zhao（2021）推测，$n$的$R_2(F_n)\le R_2(nK_3)=5n$足够大。在本文中，我们首先证明了$R(K_{1,n},F_n)=3n-\varepsilon$对于$n\ge1$，其中$\varepsilon=0$，如果$n$是奇数和$\varepsilon=1$，如果$n$是偶数。应用$R(K_{1,n},F_n)$的精确值，我们将通过证明$R_2(F_3)=14$来确认$n…
2022-11-07 math.CO
Turan and Ramsey numbers in linear triple systems
本文研究线性三元系中的Turan数和Ramsey数，定义为任意两个三元系至多相交于一个顶点的$3$ -一致超图. Ruzsa和Szemerédi的一个著名结果是，对于任何固定的$c>0$和足够大的$n$，下面的Turán型定理成立。如果一个在$n$顶点上的线性三元系至少有$cn^2$边，那么它包含一个{ \em三角形}：三个两两相交的三元组，没有一个公共顶点。本文将这一结果从三角形推广到其它三元系，称为{ \em $s$ -构型}.主要的工具是一个推广的诱导匹配引理从$aba$模式更一般的。我们将$s$ -配置稍微推广为{ \em扩展的$s$ -配置}。对于这些，我们不能证明相应的图兰型定理，但我们证明了它们具有较弱的拉姆齐性质：它们可以在任何足够大的斯坦纳三元系的块的任何$t$ -着色中找到。利用这一点，我们证明了，除了可能包含帆$C_{15}$的那些（具有123、345、561和147块的构形）之外，对于任何$t\geq 1$，所有不可避免的至多5块的构形都是$t$-Ramsey。其中最有趣的是{ \em wicket}，$D_4$，由$3\times 3$点矩阵的三行和两列组成。事实上，小门是$1$ -拉姆齐在一个非常强烈的意义：所有施泰纳三元系除了法诺平面必须包含一个小门。
2020-11-27 math.CO
Improved bounds on the Ramsey number of fans
对于给定的图$H$，Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_N$的任何2-边染色产生$H$的单色副本的最小$N$。给定一个正整数$n$，一个\emph{fan } $F_n$是由共享一个公共顶点的$n$三角形形成的图。我们表明，${9n}/{2}-5\le r(F_n)\le {11n}/{2} + 6$的任何$n$。这改进了Lin和Li的先前最佳边界$r(F_n) \le 6n$和Zhang、Broersma和Chen的最佳边界$r(F_n) \ge 4n+2$。
2021-05-11 math.CO
Ramsey numbers of large even cycles and fans
对于图$F$和$H$，Ramsey数$R(F, H)$是最小的正整数$N$，使得$K_N$的任何红/蓝边着色包含红色$F$或蓝色$H$。设$C_n$是长度为$n$的圈，$F_n$是由共享一个公共顶点的$n$三角形组成的扇形。本文证明了对所有充分大的$n$，\[ R(C_{2\lfloor an\rfloor}, F_n)= \left\{ \begin{array}{ll} (2+2a+o(1))n & \textrm{if $1/2\leq a< 1$,}\\ (4a+o(1))n & \textrm{if $ a\geq 1$.} \end{array} \right. \]
2022-10-25 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
On small Mixed Pattern Ramsey numbers
我们称任何完全图的最小阶数，使得对于任何边用$k$颜色着色都不可能避免单色或彩虹三角形，即混合Ramsey数。对于任何图$H$，如果我们考虑在上面的定义中排除$k$的条件，我们产生一个\emph{Mixed Pattern Ramsey number}，记为$M_k(H)$。对于所有着色的$4$ -圈和所有着色的$4$ -团，我们根据$k$确定这个函数。我们还发现的界限$M_k(H)$时$H$是一个单色奇数周期，或足够大的$k$的明星。我们提出几个未决问题。
2014-03-15 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for monochromatic $K_4^{+}$ or $K_{3}$
Gallai $k$ -染色是不含彩虹三角形的完全图的$k$ -边染色.对于两个给定的图$H, G$和具有该$s\leq k$的两个正整数$k,s$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: s\cdot H,~ (k-s)\cdot G)$是最小整数$n$，使得每个Gallai $k$着色的$K_{n}$包含由第一$s$颜色之一着色的$H$的单色副本或由其余$k-s$颜色之一着色的$G$的单色副本。本文确定了当$H=K_{4}^{+}$和$G=K_{3}$满足时的Gallai-Ramsey数.从而得到了Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: K_{4}^{+})$。
2020-07-04 math.CO
On a Problem of Ramsey Theory
本文研究完全三色图K17^(3)中同色单色三角形的最小数量问题，通过分析17个顶点的完全图的三色着色性质，推广了Greenwood和Gleason关于Ramsey数R(3,3,3)=17的经典结论。
2024-08-01 cs.DM math.CO
A note on regular Ramsey graphs
我们证明了存在一个绝对常数$C>0$，使得对于每个自然$n$，都存在一个无三角形的\emph{regular}图，该图没有大小至少为$C\sqrt{n\log n}$的独立集.
2009-07-21 cs.DM math.CO
Braid graphs in simply-laced triangle-free Coxeter systems are partial cubes
Northern Arizona University（北亚利桑那大学）；University of California Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
该研究针对单系Coxeter系统的辫子图结构，提出既约表达式的链唯一分解方法，借此证明无3-环Coxeter系统的辫子图为可等距嵌入超立方体的部分立方体，还证明Fibonacci链对应的辫子图是Fibonacci立方体。
2024-09-05 math.CO math.GR
Locally spherical hypertopes from generlised cubes
我们证明了每个非退化的正则多面体都可以用来构造一个具有尾三角Coxeter图的薄的、剩余连通的、腔传递的关联几何，即正则超拓扑。我们讨论了几个有趣的例子时，这种结构适用于广义立方体。特别是，我们给出了一个双曲型秩$5$有限局部球面真超拓扑的例子。
2020-01-29 math.CO
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
Packing nearly optimal Ramsey R(3,t) graphs
在1995年，Kim通过构造一个无三角形且独立数不超过C \sqrt{n \log n}的n-顶点图，证明了Ramsey界R（3，t）\ge c t^2/ \log t。通过将完全图K_n近似地分解为这种近似最优Ramsey R（3，t）图的一个packing，我们推广了这个著名的结果，这个结果最好是可能的，直到常数的值。更精确地说，对任意ε>0，我们找到一个n-顶点图G_i的边不交集合（G_i）_i，使得（a）每个G_i是无三角形的，且独立数至多为C_ε \subseteq，（b）所有G_i的并至少包含（1-ε）条\binom{n}{2}边.我们的算法证明通过经由半随机（即，Rodl nibble型）的三角形自由过程的变化。作为应用，我们证明了Fox，Grinshpun，Liebenau，Person和Szabo在拉姆齐理论中的一个猜想（关于Burr，Erdos，Lovasz在1976年引入的一个拉姆齐型参数）.也就是说，用s_r（H）表示H的r-Ramsey极小图的最小度，从而封闭了H=K_3的对数间隙，建立了s_r（K_3）= Θ（r^2 \log r）.
2017-11-16 cs.DM math.CO math.PR
Explicit geometric construction of Ramsey graphs
本文提出无k团且独立数有界的参数化图族的显式几何构造，推广相关拉姆齐图，给出独立数上界的新组合证明，建立下界与参数约束，提供线性时间近似算法，对无三角形图构造获R(3,t)的Ω(t^(3/2))下界。
2025-11-17 math.CO
A note on Gallai-Ramsey number of even wheels
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$ -着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个图$H$和一个整数$k\geq 1$，$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每一个Gallai $k$ -染色包含$H$的单色拷贝。令$W_{2n} $表示$2n+1\ge5$顶点上的偶数轮。本文研究了$W_{2n}$的Gallai-Ramsey数，并完全确定了所有$k\ge2$的$GR_k(W_4)$的精确值.
2019-10-28 math.CO
On the grid Ramsey problem and related questions
黑尔斯-朱厄特定理是拉姆齐理论的支柱之一，许多其他的结果都是从这个理论推导出来的。Shelah的一个著名定理说Hales-Jewett数是原始递归的。在他的证明中使用的一个关键工具，现在被称为立方体引理，已经因其本身而闻名。在最简单的形式中，这个引理说，如果我们用$r$的颜色对笛卡儿积$K_n \times K_n$的边着色，那么对于足够大的$n$，存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。Shelah的证明表明$n = r^{\binom{r+1}{2}} + 1$就足够了。二十多年前，Graham、Rothschild和Spencer提出了这样一个问题：这个界是否可以改进为$r$中的多项式。我们表明，这是不可能的，通过提供一个超多项式下界在$r$。我们还讨论了一些相关的问题。
2014-09-20 math.CO
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
2019-04-23 math.CO
On two problems in Ramsey-Turán theory
Alon，Balogh，Keevash和Sudakov证明了在所有的$n$ -顶点图中，对于所有固定的$k$和$r=2,3$，$(k-1)$ -分图Turán图最大化了不同的$r$ -边着色数，且没有单色的$K_k$.本文对具有次线性独立数的$n$ -顶点图中的$r=2$渐近地确定了这个函数。有些令人惊讶的是，与Alon-Balogh-Keevash-Sudakov的结果不同，Ramsey-Turán理论的极值构造作为一个自然的候选者，即使在2色的情况下，也不会最大化所有具有次线性独立数的图中没有单色团的不同边着色的数量。在第二个问题中，我们渐近地确定了具有$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点无$K_k$图$G$中三角形的最大数目.这些极图具有与经典Ramsey-Turán问题的极图类似的结构，即~当边缘的数量最大化时。
2017-04-24 math.CO
Ramsey numbers of 3-uniform loose paths and loose cycles
哈克塞尔等[ %P. Haxell，T. Luczak，Y. Peng，V. Rödl，A. % Rucibrski，M. Simonovits，J. Skokan，超图圈的Ramsey数I，J. Combin。Theory，Ser. A，113（2006），67 - 83]证明了$2n$顶点上的3-一致松弛圈的2-色Ramsey数是渐近的$\frac{5n}{2}$.他们的证明是基于正则引理的方法。在这里，不使用这种方法，我们推广了他们的结果，通过确定的确切值的2色Ramsey数涉及松散的道路和圈的3-一致超图。更准确地说，我们证明了，对于每个$n\geq m\geq 3$，$R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{P}^3_m)=R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{C}^3_m)=R(\mathcal{C}^3_n,\mathcal{C}^3_m)+1=2n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor$和$n>m\geq3$，$R(\mathcal{P}^3_m,\mathcal{C}^3_n)=2n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$。这些给出了一个积极的回答问题的Gyárfás和Raeisi [拉姆齐数松散的三角形和四边形在超图，电子。19（2012），#R30]。
2012-11-25 math.CO
