空交单色三角形与Kneser Ramsey数
Monochromatic triangles with empty intersection and Kneser Ramsey numbers
- University of Memphis（孟菲斯大学）
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AI总结：
本研究证明当$n\ge 2k+1$且$k\ge 2$时，完全图的任何红蓝着色必含空交单色三角形，推进了Holmsen等人的问题，并改进了Kneser Ramsey数的下界。
AI中文摘要：
最近，Heath、McCourt、Parker、Schwieder和Zerbib发起了对$r$-Kneser Ramsey数$R_r^{KG}(s,t)$的系统研究，并探讨了相关的Ramsey型问题。他们工作的一个核心动机来自Holmsen、Hrusak和Roldán-Pensado提出的问题，该问题询问：对于$n=2k-1$且$k$充分大，顶点集$V = \binom{[n]}{k}$上的完全图的每个红/蓝边着色是否必然包含一个单色三角形$ABC$，其中$A,B,C \in V$且$A \cap B \cap C = \emptyset$。Heath、McCourt、Parker、Schwieder和Zerbib证明了当$n \ge \frac{7k}{3}$且$k\ge 12$时该结论成立。我们通过证明对于每个$k\ge 2$，只要$n\ge 2k+1$，该结论就已经成立，从而在Holmsen、Hrusak和Roldán-Pensado问题的方向上取得了实质性进展。此外，当$s$和$t$固定且$r$充分大时，我们获得了$R_r^{KG}(s,t)$的改进下界。
英文摘要：
Recently, Heath, McCourt, Parker, Schwieder, and Zerbib initiated the systematic study of the $r$-Kneser Ramsey number $R_r^{KG}(s,t)$ and investigated related Ramsey-type problems. A central motivation for their work comes from a question of Holmsen, Hrusak, and Roldán-Pensado, who asked whether, for $n=2k-1$ and sufficiently large $k$, every red/blue edge-coloring of the complete graph on the vertex set $V = \binom{[n]}{k}$ necessarily contains a monochromatic triangle $ABC$ with $A,B,C \in V$ and $A \cap B \cap C = \emptyset$. Heath, McCourt, Parker, Schwieder, and Zerbib established that this conclusion holds when $n \ge \frac{7k}{3}$ and $k\ge 12$. We make substantial progress toward the problem of Holmsen, Hrusak, and Roldán-Pensado by proving that the conclusion already holds for every $k\ge 2$ whenever $n\ge 2k+1$. In addition, we obtain improved lower bounds for $R_r^{KG}(s,t)$ when $s$ and $t$ are fixed and $r$ is sufficiently large.
