Ramsey numbers for partially-ordered sets
通过考虑顶点具有偏序的图，我们给出了Ramsey数的一个改进.这是有序Ramsey数的自然扩张。我们形式化的情况下，我们可以使用任意家庭的偏序集，以形成主图的拉姆齐问题。我们探讨连接到研究图兰型问题的偏序集，特别是那些在布尔格。当图的偏序具有大的反链时，我们发现了布尔格上的Ramsey数与有序Ramsey数之间的一个很大的区别.
2016-11-28 math.CO
Almost homomorphisms between the Boolean cube and groups of prime order
我们证明了如果f是从一个n维布尔立方体（被认为是一个加法群）到一个素数阶群的一个注入，那么f（x+y）=f（x）+f（y）的概率是O（2^{-n/11}）.
2018-05-05 math.CO
Weak isometries of the Boolean cube
考虑由配备海明距离的$n$维布尔立方体组成的度量空间$\mathcal{C}$。$\mathcal{C}$的弱等距是$\mathcal{C}$的保持给定汉明距离子集的置换。在\cite{Krasin} Krasin表明，在大多数情况下，保持一个单一的汉明距离部队弱等距是等距。在这篇文章中，我们研究那些弱等距，不自动等距，提供了一个完整的分类弱等距$\mathcal{C}$。
2014-11-13 math.CO
Ramsey Properties for $V$-shaped Posets in the Boolean Lattices
给定偏序集$\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k$，设{ \em布尔拉姆齐数} $R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)$是最小数$n$，使得无论我们如何用$k$颜色对布尔格$\mathbf{B}_n$中的元素着色，总存在包含在$\mathbf{B}_n$中的偏序集$\mathbf{P}_i$，其元素都用$i$着色。这个函数最早是由Axenovich和Walzer~ \cite{AW}提出的。最近，已经发表了许多关于测定$R(\mathbf{B}_m,\mathbf{B}_n)$的结果。本文研究了函数$R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)$，其中每个$\mathbf{P}_i$是$V$ -形偏序集.也就是说，通过识别两个链的最小元素而获得的偏序集。本文给出的另一个主要结果是确定$\mathbf{B}_n$中包含的极小偏序集$\mathbf{Q}$，当确定了$R(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2,\ldots,\mathbf{P}_k)=n$时，具有前面段落中描述的Ramsey性质.另外，我们定义了{ \em布尔彩虹拉姆齐数} $RR(\mathbf{P},\mathbf{Q})$最小数$n$，使…
2021-08-18 math.CO
Poset Ramsey numbers: large Boolean lattice versus a fixed poset
给定偏序集$(P, \leq_P)$和$(P', \leq_{P'})$，我们说$P'$包含$P$的一个拷贝，如果对某个内射函数$f: P\rightarrow P'$和对任何$X, Y\in P$，$X\leq _P Y$当且仅当是$f(X)\leq_{P'} f(Y)$的一个拷贝。对于任何偏序集$P$和$Q$，偏序集Ramsey数$R(P,Q)$是最小正整数$N$，使得无论$N$维布尔格的元素如何着色为蓝色和红色，都存在一个$P$的副本和所有蓝色元素，或者一个$Q$的副本和所有红色元素.我们专注于一个偏序集Ramsey数$R(P, Q_n)$的固定偏序集$P$和$n$维布尔格$Q_n$，$n$增长大。我们表现出一个急剧跳跃的行为，这个数字作为一个函数的$n$取决于是否$P$包含一个副本的偏序集$V$，即偏序集上的元素$A, B, C$，$B>C$，$A>C$，$A$和$B$不可比，或偏序集$Λ$，其对称对应物。具体来说，我们证明，如果$P$包含$V$或$Λ$的副本，那么$R(P, Q_n) \geq n +\frac{1}{15} \frac{n}{\log n}$。否则，$R(P, Q_n) \leq n + c(P)$为常数$c(P)$。这给出了偏序集Ramsey数的下界的第一个非边际改进，并因此给出了$R(Q_2, Q_n) = n + Θ(\frac{n}{\log n…
2021-10-14 math.CO
Ramsey numbers of Boolean lattices
偏序集拉姆齐数$R(Q_m,Q_n)$是最小整数$N$，使得布尔格$Q_N$的任何蓝-红着色的元素都有$Q_m$的蓝色诱导副本或$Q_n$的红色诱导副本。弱偏序集Ramsey数$R_w(Q_m,Q_n)$的定义类似，弱副本，而不是诱导副本。很容易看出，$R(Q_m,Q_n) \ge R_w(Q_m,Q_n)$。Axenovich和Walzer证明了$n+2 \le R(Q_2,Q_n) \le 2n+2$。最近，Lu和Thompson将上界改进为$\frac{5}{3}n+2$。在本文中，我们解决了这个问题的渐近表明，$R(Q_2,Q_n)=n+O(n/\log n)$。在对角情形下，Cox和Stolee使用概率构造证明了$R_w(Q_n,Q_n) \ge 2n+1$。在诱导的情况下，Bohman和Peng使用显式结构展示了$R(Q_n,Q_n) \ge 2n+1$。改进这些结果，我们表明，$R_w(Q_m,Q_n) \ge n+m+1$的所有$m \ge 2$和大$n$给出一个明确的建设，特别是，我们证明了$R_w(Q_2,Q_n)=n+3$。
2021-04-05 math.CO
Friedgut--Kalai--Naor theorem for slices of the Boolean cube
Friedgut-Kalai-Naor定理指出，如果一个布尔函数$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$接近（在$L^2$ -距离中）一个仿射函数$\ell(x_1,...,x_n) = c_0 + \sum_i c_i x_i$，那么$f$接近一个布尔仿射函数（它必须依赖于最多一个坐标）。对于定义在$\binom{[n]}{k} = \{(x_1,...,x_n) \in \{0,1\}^n : \sum_i x_i = k \}$上的函数，我们证明了一个类似的定理.
2016-05-01 math.CO
Ramsey property for Boolean algebras with ideals and $\mathcal{P}(ω_1)/\rm{fin}$
本文应用Graham和Rothschild的对偶Ramsey定理证明了一类具有特殊理想的有限布尔代数的Ramsey性质。这使我们能够计算通用的最小流的自同构群的$\mathcal{P}(ω_1)/\rm{fin},$应同构到$\mathcal{P}(ω)/\rm{fin}$或不，以及其他的继承人的幂集代数。利用这些类的Fraïssé极限，我们可以计算康托尔集的同胚群的泛极小流，这些同胚群固定在某些闭子集上.
2013-01-16 math.CO math.DS math.LO
On the connection between correlation-immune functions and perfect 2-colorings of the Boolean n-cube
如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅取决于$x$的颜色，则布尔$n$立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数对于布尔$n$立方体的每个$m$面取相同次数的值1，则该布尔函数被称为$n-m$度相关免疫。本文证明了每一个布尔函数$χ^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-ρ(S))\leq n,$$，其中${\rm cor}(S)$是$χ^S$的相关免疫度的最大值，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中的平均近邻数，$ρ(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度.此外，函数$χ^S$是完美着色当且仅当我们在上面的公式中获得等式。关键词：超立方体，完美染色，完美码，相关免疫函数。
2011-01-19 math.CO
Poset Ramsey Numbers for Boolean Lattices
偏序集$Q$的子集$Q'$是\textit{copy of a poset} $P$，如果在$P$和$Q'$的元素之间存在双射$f$，使得$x \le y$ in $P$当且仅当$f(x) \le f(y)$ in $Q'$。对于偏序集$P, P'$，令\textit{poset Ramsey number} $R(P,P')$是最小的$N$，使得无论布尔格$Q_N$的元素如何被着色为红色和蓝色，都有一个$P$的副本，其中所有元素都是红色的，或者$P'$的副本，其中所有元素都是蓝色的。Axenovich和Walzer在\textit{Order}（2017）中引入了这个概念，在那里他们证明了$R(Q_2, Q_n) \le 2n + 2$和$R(Q_n, Q_m) \le mn + n + m$，其中$Q_n$是维度$n$的布尔格。他们后来证明了$2n \le R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 2n$。沃尔泽后来证明了$R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 1$。我们提供了一些改进的界限$R(Q_n, Q_m)$各种$n,m \in \mathbb{N}$。特别是，我们证明了$R(Q_n, Q_n) \le n^2 - n + 2$，$R(Q_2, Q_n) \le \frac{5}{3}n + 2$，和$R(Q_3, Q_n) \le \frac{37}{16}n…
2019-09-18 math.CO
The $k$-color poset Ramsey number of the diamond is $2k$
该研究确定j维钻石的k色偏序集拉姆齐数上界为jk，且通过特定着色方式为j=2、3、4时提供了匹配下界。
2026-10-14 math.CO
On Vanishing Properties of Polynomials on Symmetric Sets of the Boolean Cube, in Positive Characteristic
有限次Z-闭包是一个经典的代数对象，在组合数学中多项式方法的几个应用中占有重要地位。在这项工作中，我们刻画了布尔立方体的对称集（在坐标排列下不变的子集）的子类的有限度Z-闭包的正特征。我们的研究结果subsequently多个声明有限度Z-闭包，发现应用于极值组合问题，例如，有关集系统（Hegedlings，研究。数学。洪。2010; Hegedbes，arXiv 2021）和布尔电路（Hrkebes等人，ICALP 2019）。我们的特征还建立了对称集的子类，我们认为，有限度Z-闭包有低的计算复杂性。在我们的特征的一个关键成分是一个新的变种有限度Z-闭包，使用消失条件定义的只有对称多项式满足一定程度的限制。
2021-11-09 math.CO
Covering Symmetric Sets of the Boolean Cube by Affine Hyperplanes
Alon和Füredi（European J. Combin.，1993）证明了任何覆盖布尔立方体$\{0,1\}^n$上除一点外的所有点的超平面族必须至少包含$n$超平面。我们得到两个扩展的这一结果，在零特征，超平面覆盖的对称集的布尔立方体（子集是封闭的置换下的坐标），以及为“多项式覆盖”的“权重确定”集的“严格单峰均匀”（SU $^2$）网格。作为解决问题的主要工具，我们给出了布尔立方体对称集的（有限次）Zeromki（Z-）闭包的一个组合刻画--对称集的Z-闭包是对称的.事实上，我们得到的表征，关注，更一般地说，重量确定的SU $^2$网格集。然而，在这种普遍性中，我们的特征不是Z闭包-与布尔立方体不同，权重确定集合的Z闭包不需要权重确定。我们引入了一个新的闭包算子，专门用于权确定集-（有限度）Z*-闭包-定义为Z-闭包中的最大权确定集。(This与布尔立方体上的Z闭包一致，对于对称集。）我们得到了SU $^2$网格的权确定集的有限度Z*-闭包的组合特征。这一特征也可能是独立的利益。事实上，作为进一步的应用，我们（i）给出了Alon等人（IEEE Trans. Inform.理论，1988年），以及（二）特征的“证明度”的权重确定集。在布尔立方体上，我们的上述表征也可以使用Bernasconi和Egidi（Inf. Comput.，1999年）。然而，我们的证明是独立于这个结…
2023-01-02 math.CO
The Borsuk Problem for Subsets of the Vertices of the 10-Dimensional Boolean Cube
本文证明Borsuk猜想对10维布尔立方体顶点子集成立，通过开发启发式方法缩减搜索树并利用SAT求解器kissat剪枝，在合理时间内完成了高复杂度的计算验证。
2025-04-01 math.CO
On the Number of Hamiltonian Cycles in a Boolean Cube
该研究分析n维布尔立方体的圈分解与哈密顿圈数量的对数渐近行为，证明特定完美匹配可扩展为哈密顿圈，为相关组合结构研究提供了关键渐近结果。
2026-10-09 math.CO
Boolean lattice without small rainbow subposets
Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学部）；College of Science, China Jiliang University（中国计量大学理学院）
本文研究了布尔格子中不含小彩虹子偏序集的精确着色结构，并给出了布尔加拉-拉姆齐数和彩虹拉姆齐数的精确值和界限。
2026-01-31 math.CO
Turán and Ramsey Properties of Subcube Intersection Graphs
离散立方体$\{0,1\}^d$是一种基本的组合结构。$\{0,1\}^d$的子立方体是通过固定$k$坐标并允许其余的$d-k$自由变化而形成的其点的$2^k$的子集。离散立方体的子立方体结构非常复杂，有许多与之相关的问题尚未解决。沿着这条线的两个示例问题如下：给定一个子立方体族，其中没有$r+1$有非空交集，我们可以有多少个成对交集？如果其中没有具有非空交集的$k$，也没有成对不相交的$l$，那么我们可以有多少个子立方体？这些问题自然地表示为子立方体的交图中的Turán和Ramsey型问题，其中集合族的交图对于该族中的每个集合具有一个顶点，如果对应的子集相交，则两个顶点相邻。Turán和Ramsey型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机是与社会选择理论中的一些问题的联系，这些问题是由社会中的一个简单的协议模型引起的。具体地说，如果我们必须对每个$n$单独的问题进行二元选择，那么可以合理地假设，个人可以接受的选择集将由子立方体表示。因此，一个子立方体家庭中的交叉模式将对社会中的协议水平产生影响。我们提出了一些与Turán和Ramsey问题直接相关的问题和解答，并为子立方体交图的研究提出了一些进一步的方向.
2011-10-19 math.CO
Big Ramsey combinatorics of the Cantor set and a simple proof of Blass' perfect set theorem
University of Novi Sad（诺维萨德大学）；Faculty of Sciences（理学院）
本文通过研究康托尔集的大Ramsey组合学，证明了其有限的大Ramsey度，并给出了Blass完美集定理的简单证明，同时展示了完整布尔代数的有限大Ramsey度。
2026-02-21 math.CO math.LO
Boolean algebras and Lubell functions
令$2^{[n]}$表示$[n]:=\{1,2,..., n\}$的幂集。一个集合$\B\subset 2^{[n]}$形成一个$d$ -维{ \em布尔代数}，如果存在成对不相交的集合$X_0, X_1,..., X_d \subseteq [n]$，除了$X_0$之外都是非空的，使得$\B={X_0\cup \bigcup_{i\in I} X_i\colon I\subseteq [d]}$。令$b(n,d)$是不包含$d$维布尔代数的$\F\subset 2^X$族的最大基数。Gunderson、Rödl和Sidorenko证明了$b(n,d) \leq c_d n^{-1/2^d} \cdot 2^n$，其中$c_d= 10^d 2^{-2^{1-d}}d^{d-2^{-d}}$。在本文中，我们使用Lubell函数作为一个新的测量大家庭，而不是基数。一族集合$\F$和$\F\subseteq \tsupn$的Lubell值由$h_n(\F):=\sum_{F\in \F}1/{n\choose |F|}$定义。我们证明了下面的图兰型定理。如果$\F\subseteq 2^{[n]}$不包含$d$维布尔代数，则对于足够大的$n$，有$h_n(\F)\leq 2(n+1)^{1-2^{1-d}}$.该结果意味着存在$b(n,d) \leq C n^{-1/2^d} \cdot…
2013-07-12 math.CO
Query complexity of Boolean functions on the middle slice of the cube
本文研究布尔函数在中间层切片上的查询复杂度，证明存在一个函数即使已知输入中0和1数量相同，仍需查询除7位外的所有输入位，回答了Byramji的问题，并给出候选函数及与差异类型问题的联系。
2024-06-06 cs.CC math.CO
Edge-isoperimetric inequalities and influences
我们给出了一个组合证明的结果Kahn，Kalai，和Linial，其中指出，每一个平衡的布尔函数的$n$维布尔立方体有一个变量的影响，至少欧米茄（\frac{log n}{n}）。证明的方法，然后用于恢复额外的等周结果的立方体，改进的常数。本文还对最佳常数作了一些说明，并讨论了它们可能的含义
2005-12-29 math.CO
Bi-Lipschitz Bijection between the Boolean Cube and the Hamming Ball
我们构造了一个从布尔立方体到等体积汉明球的双Lipschitz双射。更精确地说，我们证明了对于所有偶数n，存在从n维布尔立方体到嵌入在（n+1）维布尔立方体中的等体积汉明球的显式双射f，使得对于所有x和y，距离（x，y）/ 5 <=距离（f（x），f（y））<= 4距离（x，y），其中距离（，）表示汉明距离。特别地，这意味着汉明球是双李普希茨传递的。这一结果对Lovett和Viola [CC 2012]的一个开放问题给出了强烈的否定回答，他们在低级别复杂性类中的抽样分布的背景下提出了这个问题。概念上的含义是，在抽样分布的背景下证明下界的问题将需要一些新的想法，超出了Boppana [IPL 97]的基于灵敏度的结构结果。我们进一步研究了映射f，并证明了它（及其逆）在DLOGTIME-均匀TC 0中是可计算的，但在AC 0中不可计算。此外，我们证明，f是“近似本地”的意义上说，所有的，但最后一个输出位的f基本上是由一个单一的输入位。
2013-10-08 cs.CC math.CO math.MG
Poset Ramsey Number $R(P,Q_n)$. II. Antichains
本文研究反链与布尔格之间的偏序集 Ramsey 数，证明了当 $3\le t\le \log \log n$ 时 $R(A_t,Q_n)=n+3$，从而确定了小参数 $t$ 下的精确值。
2023-07-05 math.CO
On the grid Ramsey problem and related questions
黑尔斯-朱厄特定理是拉姆齐理论的支柱之一，许多其他的结果都是从这个理论推导出来的。Shelah的一个著名定理说Hales-Jewett数是原始递归的。在他的证明中使用的一个关键工具，现在被称为立方体引理，已经因其本身而闻名。在最简单的形式中，这个引理说，如果我们用$r$的颜色对笛卡儿积$K_n \times K_n$的边着色，那么对于足够大的$n$，存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。Shelah的证明表明$n = r^{\binom{r+1}{2}} + 1$就足够了。二十多年前，Graham、Rothschild和Spencer提出了这样一个问题：这个界是否可以改进为$r$中的多项式。我们表明，这是不可能的，通过提供一个超多项式下界在$r$。我们还讨论了一些相关的问题。
2014-09-20 math.CO
Boolean formulae, hypergraphs and combinatorial topology
为了研究布尔公式空间的同伦类型，我们引入了一个与超图相关联的单纯复形，称为θ复形，它是著名的独立复形的Alexander对偶.特别地，具有小于或等于n个变量的k-合取范式中的可满足公式的集合具有Theta（Cube（n，n-k））的同伦类型，其中Cube（n，n-k）是与n-立方体的（n-k）-骨架相关联的超图。我们在计算这些三次超图的同伦型θ方面取得了部分进展，并给出了其他超图的同伦型θ的计算和例子。事实上，研究超图的θ复形本身就是一个有趣的问题。
2010-08-23 math.AT math.CO
The complexity of the $q$-analog of the $n$-cube
我们提出了一个积极的，组合的，良好的公式的复杂性（=生成树的数量）的$q$ -模拟的$n$ -立方体。我们的方法还产生了布尔代数的$q$ -模拟上的$GL(n,F_q)$作用的交换子的显式块对角化。
2011-11-12 math.CO
On the expressive power of mod-$p$ linear forms on the Boolean cube
本文研究布尔立方体稠密子集上模 $p$ 线性形式的分布相关性，证明当子集个数为超多项式时存在两个子集使所有模 $p$ 线性形式的分布几乎正相关，并在个数足够大时给出仅依赖于 $p$ 的正重叠下界。
2023-09-25 cs.IT math.CO math.IT
Octopuses in the Boolean cube: families with pairwise small intersections, part II
本文研究布尔立方体中多个集族两两交集大小受限时集族规模乘积的极值问题，在前期渐近结果基础上，进一步给出了极值集族的强结构性刻画。
2023-09-19 math.CO
Octopuses in the Boolean cube: families with pairwise small intersections, part I
设$\mathcal F_1, \ldots, \mathcal F_\ell$是$\{1, \ldots, n\}$的子集族。假设对于不同的$k, k'$和任意的$F_1 \in \mathcal F_{k}, F_2 \in \mathcal F_{k'}$，我们有$|F_1 \cap F_2|\le m.$，$|\mathcal F_1|\ldots |\mathcal F_\ell|$的最大值是多少？在这项工作中，我们发现这个产品的渐近$n$趋于无穷大常数$\ell$和~ $m$。这个问题与Bohn等人的一个猜想有关，这个猜想出现在二层多面体理论中，并要求在一个二层多面体中的面数和顶点数的最大乘积。这个猜想最近被Weltge和第一作者解决了。主要结果可以用着色来重新表述。我们对下面的问题给出一个渐近的答案。给定一个完全$m$ -均匀超图的边着色为$\ell$颜色，其中$M_i$为第$i$颜色中单色团的个数，那么$\prod M_i$的最大值是多少？
2022-09-10 cs.DM math.CO
New bounds for some small multicolor Ramsey numbers
该研究利用SAT求解器搜索结构化着色，推导了两组多色Ramsey数的下界，收紧了环相关多色Ramsey数的上界并确定两组精确值，还枚举了两类含星图的Ramsey数的临界图。
2025-09-04 math.CO
Poset Ramsey number $R(P,Q_n)$. I. Complete multipartite posets
偏序集$(P',\le_{P'})$包含其他偏序集$(P,\le_P)$的副本，如果存在注入$f\colon P'\to P$，其中对于每个$X,Y\in P$，$X\le_P Y$当且仅当$f(X)\le_{P'} f(Y)$。对于任何偏序集$P$和$Q$，偏序集拉姆齐数$R(P,Q)$是最小整数$N$，使得维度为$N$的布尔格的任何蓝色/红色着色包含所有元素为蓝色的$P$的副本或所有元素为红色的$Q$的副本。我们用$K_{t_1,\dots,t_\ell}$表示一个完全$\ell$-部偏序集，即由大小为$t_i$，$1\le i\le \ell$的$\ell$成对不相交集合$A^i$组成的偏序集，使得对于任何$i,j\in\{1,\dots,\ell\}$和任何两个$X\in A^{i}$和$Y\in A^{j}$，$X<Y$当且仅当$i<j$。在本文中，我们表明，$R(K_{t_1,\dots,t_\ell},Q_n)\le n+\frac{(2+o_n(1))\ell n}{\log n}$。
2022-04-06 math.CO
A Lower Bound of the Number of Threshold Functions in Terms of Combinatorial Flags on the Boolean Cube
令$ E=\{ (1, b_1, \ldots , b_n)\in R^{n+1} \mid \; b_i= \pm 1 ,\; i=1, \ldots, n \}$，$E^{\times n}_{\ne 0} := \{ W=(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n}) \mid w_{i_k}\in E, \, k=1, \ldots, n, \, dim \, span(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n}) = n \},$和$q^W_l := |span(w_{i_{n-l+1}}, \ldots , w_{i_n}) \cap E|.$然后对于任何权重$p=(p_1, \ldots, p_{2^n})$，$p_i\in R$，$\sum_{i=1}^{2^n}{p_i} =1$，对于门限函数$P(2,n)$的数量，我们具有以下下界$$P(2, n) \geq 2\sum_{W\in E^{\times n}_{\ne 0}}{\frac{1- p_{i_1} -p_{i_2} - \cdots - p_{i_{q_n^W}}}{q_n^W\cdot q_{n-1}^W\cdots q_1^W}},$$，并且不等式的右侧不依赖于$p$的选择。这里，分子中使用的索引对应于来自$span(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n})\cap E…
2018-11-25 math.AT math.CO
Homology of coloured posets: a generalisation of Khovanov's cube construction
我们定义了一类具有表示的偏序集的同调论。我们表明，当限制到布尔格这种同源性是同构的“立方体”复杂的Khovanov定义的同源性。
2008-03-09 math.CO math.GT
On the Statistics of the Number of Fixed-Dimensional Subcubes in a Random Subset of the n-Dimensional Discrete Unit Cube
本文由两个独立但相关的部分组成。在第一部分中，我们展示了如何使用符号计算来推导出显式表达式的前几个时刻的数量的蕴涵，一个随机布尔函数，或等价的固定维子立方体的数量包含在随机子集的$n$维立方体。这些明确的表达式表明，但不能证明，这些随机变量总是渐近正态的。第二部分提出了一个完整的，人类产生的证明，这个渐近正态性，首先证明了乌尔苏拉Konieczna。
2023-02-17 math.CO
Counting and Covering in Nearest-Neighbour Representations of Boolean Functions
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本研究探讨布尔函数最近邻表示所需原型数，强化下界并给出VC维界，通过覆盖设计精确刻画对称阈值函数，并证明随机函数需约半数原型，对称函数需11/20。
2026-09-22 cs.DM cs.LG math.CO
Equitable [[2,10],[6,6]]-partitions of the 12-cube
本文利用计算机辅助完成了12-方体具有商矩阵[[2,10],[6,6]]的均衡划分的分类，发现103个等价类及40个不相交简单正交阵列对的等价类，并探讨了非简单正交阵列的存在性。
2023-10-01 cs.DM math.CO
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube II: The critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛威尔分校）
本文在临界指数β=1/2处证明了Hamming立方体的锐利等周不等式，解决了Kahn和Park的猜想，并给出了布尔值函数的锐利L¹泊松不等式。
2026-02-24 cs.IT math.CA math.CO
Comparing Dushnik-Miller Dimension, Boolean Dimension and Local Dimension
偏序集的维数的最初概念是由Dushnik和Miller提出的，并在文献中得到了广泛的研究。最近，有相当大的兴趣在两个变化的维度称为布尔维度和局部维度。对于偏序集$P$，$P$的布尔维数和$P$的局部维数都由$P$的维数从上到下有界，并且可以小得多。作为一个例子，已知偏序集的维数作为其高度和其覆盖图的树宽度的函数而有界。一个偏序集的布尔维数是有界的覆盖图的树宽度，它的高度无关。我们证明了偏序集的局部维数不能以其覆盖图的树宽为界，而与高度无关。我们还证明了偏序集的局部维数是有界的覆盖图的路宽。在我们的几个结果中，Ramsey理论方法将被应用。
2019-06-22 math.CO
FKN theorem for the multislice, with applications
Friedgut-Kalai-Naor（FKN）定理指出，如果$f$是布尔立方体上的一个接近1度的布尔函数，则$f$接近于独裁者，一个依赖于单个坐标的函数。作者把这个定理推广到了切片上，切片是由所有具有固定汉明重量的向量组成的布尔立方体的子集。我们将定理进一步扩展到多切片，即切片的多色版本。作为应用，我们证明了边-等周不等式的一个稳定性版本的参数设置，其中的最佳集是独裁者。
2018-09-10 cs.DM math.CO
Oscillating subalgebras of the atomless countable Boolean algebra
University of Florida（佛罗里达大学）；Charles University（查理大学）；Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences（捷克科学院数学研究所）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；TU Dresden（德累斯顿工业大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Institut de Mathématiques de Jussieu, CNRS（巴黎第七大学/法国国家科学研究中心儒勒·让塞数学研究所）；Matematički Institut, SANU（塞尔维亚科学与艺术学院数学研究所）
该研究证明了具有3个原子的布尔代数在可数无原子布尔代数中的大拉姆齐度为无穷，推进了拉姆齐理论在布尔代数领域的相关研究
2026-08-11 cs.DM math.CO math.LO
Some Problems and Algorithms Related to the Weight Order Relation on the $n$-dimensional Boolean Cube
问题“给定一个布尔函数$f$的$n$变量由其真值表向量。找到（如果存在）最大（或最小）权重的向量$α\in \{0,1\}^n$，使得$f(α)= 1$。”在这里考虑。它与布尔函数代数次数的快速计算问题密切相关。它是一个重要的密码参数，用于设计的S盒在现代分组密码，PRNG在流密码，在Reed-Muller码等，为了找到有效的解决方案，这个问题，我们探索的顺序的$n$维布尔立方体$\{0,1\}^n$的向量按照其权重。$\{0,1\}^n$的“$k$ -第层”概念涉及“权序”关系的定义和检验。它与已知的关系“先于”。解决了与这些关系有关的几个枚举问题，并在OEIS（OnlineEncyclopediaofSequences）中为3个序列添加了相应的注释。一个特殊的顺序（众多的重量订单）的定义和详细检查。字典序是等权向量的排序的第二个标准。因此，一个总的顺序称为重量字典顺序（WLO）。提出了两种生成WLO序列的算法和两种生成各层特征向量的算法。他们的结果被用于在OEIS中创建2个新序列：A294648和A305860。两种算法用于解决所考虑的问题的开发-第一个作品在字节的方式，并使用WLO序列，和第二个作品在按位的方式，并使用的特征向量作为掩码。经过多次测试的实验结果证实了这些算法的有效性。还讨论了所获得的算法的一些其他应用-例如，当表示，生成和排名其他组合对象。
2020-02-14 cs.DM math.CO
Lower bounds on geometric Ramsey functions
我们继续最近的工作序列研究拉姆齐函数的半代数谓词$\mathbb{R}^d$。$k$上的$k$元半代数谓词$Φ(x_1,\ldots,x_k)$是$k$点$x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^d$的$kd$坐标中的多项式方程和不等式的布尔组合。$\mathbb{R}^d$中的点序列$P=(p_1,\ldots,p_n)$称为$Φ$ -齐次，如果$Φ(p_{i_1}, \ldots,p_{i_k})$对所有选择$1\le i_1 < \cdots < i_k\le n$都成立，或者不对任何选择成立。Ramsey函数$R_Φ(n)$是最小的$N$，使得每个长度为$N$的点序列包含长度为$n$的$Φ$ -齐性子序列。Conlon、Fox、Pach、Sudakov和Suk构建了第一个半代数谓词的例子，其中Ramsey函数从下到上被一个任意高度的塔函数所限制：对于每个$k\ge 4$，它们在维度$2^{k-4}$上表现出一个$k$元$Φ$，其中$R_Φ$从下到上被一个高度为$k-1$的塔所限制。我们减少了在他们的建设，获得一个$k$ -ary半代数谓词$Φ$ $\mathbb{R}^{k-3}$与$R_Φ$有界的高度$k-1$塔以下。我们还提供了一个自然的几何拉姆齐型定理与一个大的拉姆齐函数。我们称$\mathbb{R}^d$中的点序列$P$为序型齐次的，如果$P$中的所…
2014-01-07 math.CO
Counterexamples to conjectures about Subset Takeaway and counting linear extensions of a Boolean lattice
我们开发了一个算法，有效地计算递归定义的函数偏序集。我们说明了这个算法的反证有关的游戏子集Takeaway（Chomp的超立方体）和计算的线性扩展的7-立方体的格和相关的格的数量。
2017-07-10 cs.GT math.CO
On SAT Solvers and Ramsey-type Numbers
本文通过并行化SAT求解器研究Ramsey型数，得到$R_3(L)$的新界$21 \leq R_3(L) \leq 2593$，并首次确定$R_4(VS)=58$及$R_5(VS)>180$、$R_6(VS)>333$、$R_3(VC)>521$等新结果。
2023-12-02 math.CO
Erdős-Gyárfás problem for partially ordered sets
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Academy of Plateau Science and Sustainability, and School of Mathematics and Statistics, Qinghai Normal University（青海师范大学高原科学与可持续发展学院、数学与统计学院）
本文研究了布尔晶格的强着色问题，证明了有限偏序集可嵌入布尔晶格，并利用对称洛vasz局部引理给出了着色数的上界，同时通过极值估计和计数方法给出了下界。
2026-05-13 math.CO
Computing the partition function of a polynomial on the Boolean cube
对于多项式f：{-1，1}^n --> C，我们将配分函数定义为e^{lambda f（x）}在{-1，1}^n中所有点x上的平均值，其中C中的lambda是一个参数。我们提出了一个拟多项式算法，在给定f，lambda和λ>0的情况下，只要|lambda| < 1/（2 L sqrt{deg f}），该算法在N^{O（ln n -ln n）}时间内以相对误差λ逼近配分函数，其中L=L（f）是从上面限定f的Lipschitz常数的参数，N是f中单项式的个数.作为推论，我们获得了一个准多项式算法，给定系数为+1和-1的f，并且每个变量输入不超过4个单式，该算法在O（sqrt{deg f}/delta）的因子内逼近{-1，1}^n上f的最大值，如果对于某些0< delta 4，最大值为N delta<1. If every variable enters not more than k monomials for some fixed k >，则当delta >（k-1）/k时，我们能够建立类似的结果。
2016-11-29 cs.DS math.CO math.OC
Poset Ramsey number $R(P,Q_n)$. II. N-shaped poset
本文研究偏序集 Ramsey 数 $R(P,Q_n)$，提出利用 blocker 对偶性的新方法改进上界，并证明 N 形四元素偏序集满足 $R(\mathcal{N},Q_n)=n+\Theta(n/\log n)$。
2023-07-05 math.CO
Ehrhart Polynomials of Generic Orthotopes
本文为整泛型正交体建立Ehrhart多项式理论，揭示其格点数与各类花型单位立方体数量之间的关系，并通过为只读一次布尔函数引入局部多项式来实现。
2023-09-16 math.CO
The largest projective cube-free subsets of $\mathbb{Z}_{2^n}$
在布尔格中，Sperner、Erdés、Kleitman和Samotij定理指出，不包含许多链的族必须具有非常特定的分层结构。我们表明，如果不是$\mathbb{Z}_2^n$，我们工作在$\mathbb{Z}_{2^n}$，几个类似的语句，如果一个取代字$k$链的投影立方体的尺寸$2^{k-1}$。我们说，$B_d$是一个投影立方体的尺寸$d$如果有一些$a_1, a_2, \ldots, a_d$，使$$B_d = \left\{\sum_{i\in I} a_i \bigg\rvert \emptyset \neq I\subseteq [d]\right\}.$$作为一个模拟的Sperner的和Erdalos的定理，我们表明，只要$d=2^{\ell}$是一个权力2，最大的$d$ -立方体自由集在$\mathbb{Z}_{2^n}$是工会的最大$\ell$层。作为Kleitman定理的一个类比，Samotij和Sudakov提出了一个问题：在给定$M$大小的$\mathbb{Z}_{2^n}$的子集中，使舒尔三元组（2-立方体）的数量最小化的集合是否是通过连续填充最大层而获得的集合。我们证明了第一个非平凡的情况下，其中$M=2^{n-1}+1$，并推测，模拟Samotij的定理也成立。还给出了几个悬而未决的问题和猜想。
2018-10-02 math.CO
Erdos-Szekeres-type statements: Ramsey function and decidability in dimension 1
一个经典且广泛使用的Erdos和Szekeres引理断言，对于每个n，存在N使得每个实数的N项序列a包含一个n项递增子序列或一个n项非递减子序列;定量地说，具有此性质的最小N等于（n-1）^2+1。在本文的背景下，我们把这个引理表示为谓词集Phi={x_1<x_2，x_1 \ge x_2}$是Erdos-Szekeres，其中Ramsey函数ES_Phi（n）=（n-1）^2+1.一般来说，我们考虑任意有限集Phi={Phi_1，.，Phi_m}，意味着每个Phi_j=Phi_j（x_1，.，x_k）是多项式方程和不等式的布尔组合，其中有k个实变量。我们将Phi定义为Erdos-Szekeres，如果对于每个n存在N，使得每个实数的N项序列a具有n项子序列b，使得Phi_j中的至少一个在b上处处成立，这意味着Phi_j（b_{i_1}，.，b_{i_k}）对于索引i_1，i_2，.，i_k，1<=i_1<i_2<. <i_k<= n.对于具有上述性质的最小N，我们将ES_Phi（n）写成。我们证明了两个主要结果。首先，在这种情况下，拉姆齐函数至多是双指数的（有时它们确实是双指数的）：对于每个Erdens-Szekeres的Φ，存在一个常数C，使得ES_Phi（n）< exp（exp（Cn））。第二，有一个算法，给定φ，决定它是否是埃尔多斯-塞凯雷斯;因此，一维埃尔多斯-塞凯雷斯式定…
2013-11-21 math.CO
Ramsey numbers for partially ordered sets
本论文研究偏序集拉姆齐数，给出固定偏序集P下R(P,Q_n)的渐近紧界与二分性结论，改进了R(Q_n,Q_n)的上下界，并探索了偏序集拉姆齐问题的多种变体。
2024-09-13 math.CO
Deviation inequality for monotonic Boolean functions with application to a number of k-cycles in a random graph
利用离散立方体{0，1}^m上的Talagrand浓度不等式，我们证明了给定{0，1}^m上的一个实值函数Z（x）满足一定的单调性条件，可以通过Z（x）在点x处的局部Lipschitz范数来控制Z（x）在其中值以上的偏差.作为一个应用，我们给出了随机图中k-圈数的一个近似最优偏差不等式的简单证明。
2004-05-18 math.CO math.PR
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
Weak hypergraph regularity and applications to geometric Ramsey theory
令$Δ=Δ_1\times\ldots\times Δ_d\subseteq\mathbb{R}^n$，其中$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n_1}\times\cdots\times\mathbb{R}^{n_d}$，其中每个$Δ_i\subseteq\mathbb{R}^{n_i}$是$n_i$点的非退化单形。我们证明了任何集合$S\subseteq \mathbb{R}^n$，与$n=n_1+\cdots +n_d$的正上Banach密度必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的配置$Δ$。特别地，对于所有$λ\geq λ_0(S)$，任何这样的集合$S\subseteq \mathbb{R}^{2d}$包含边长为$λ$的$d$维立方体。我们也证明了类似的结果与基础空间是整数格。证明是基于一个弱超图正则引理和相关的计数引理的背景下，欧几里德空间和整数格。
2023-01-26 math.CA math.CO math.NT
