A modified logarithmic Sobolev inequality for the Hamming cube and some applications
汉明立方体{0，1}^n的对数Sobolev不等式指出，对于立方体上的任何实值函数f，都有E（f，f）\ge 2 Ent（f^2），其中E（f，f）是适当的狄利克雷形式（也称为“影响之和”）。我们证明了这个不等式右边的常数C = 2可以用一个函数C（rho）代替，该函数依赖于rho = Ent（f^2）/（n Ef^2）。函数C是取[0，log 2]到[2，2/log 2]的递增凸函数。我们提出了这个修正的不等式的一些应用。特别是，它是用来获得离散版本的Faber-Krahn不等式的小子集的汉明立方体，回答一个问题的弗里德曼和蒂利希。我们按照弗里德曼和蒂利希的方法，引入了{0，1}^n的子集的分数边边界大小的概念，并证明了半径至多为n/2 - O（n^{3/4}）的汉明球是具有（渐近）最小分数边边界的集合。
2008-07-10 math.CO
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube
Institute for Systems Research and Department of ECE, University of Maryland（马里兰大学系统研究所和电子与计算机工程系）
研究了在具有顶点集V={0,1}^n且边连接汉明距离为1,2,…,k的图上的r-邻居bootstrap渗流过程，确定了r=2,3时渗流临界概率的渐进行为，并在确定性设定下获得了k≥2时最小渗流集大小的多个结果。
2026-03-25 math.CO
Beyond trees: the metric geometry of subsets of weighted Hamming cubes
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Carnegie Mellon University in Qatar（卡内基梅隆大学卡塔尔分校）
本文研究加权汉明立方体子集的度量几何，揭示其关联几何量间的意外关系，推导距离矩阵行列式等公式，拓展此前的树与标准汉明立方体相关结果，并刻画其中的非平凡1-多边形等式。
2024-09-17 math.CO math.FA math.MG
Maximal sets of a given diameter in Hamming cubes
研究汉明立方体中给定直径的极大集，证明每个$d$-极大集规模至多为$(n+o(n))^d$或含非平凡汉明球，并给出规模下界与有限性结论。
2025-07-14 math.CO
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube II: The critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛威尔分校）
本文在临界指数β=1/2处证明了Hamming立方体的锐利等周不等式，解决了Kahn和Park的猜想，并给出了布尔值函数的锐利L¹泊松不等式。
2026-02-24 cs.IT math.CA math.CO
Weak isometries of the Boolean cube
考虑由配备海明距离的$n$维布尔立方体组成的度量空间$\mathcal{C}$。$\mathcal{C}$的弱等距是$\mathcal{C}$的保持给定汉明距离子集的置换。在\cite{Krasin} Krasin表明，在大多数情况下，保持一个单一的汉明距离部队弱等距是等距。在这篇文章中，我们研究那些弱等距，不自动等距，提供了一个完整的分类弱等距$\mathcal{C}$。
2014-11-13 math.CO
Polynomial growth of Bohnenblust--Hille constants on the Hamming cube
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文证明Hamming立方体上Walsh多项式的Bohnenblust--Hille常数随次数至多多项式增长，给出了维度一致的界，指数27非最优。
2026-09-14 math.CO math.FA
Eigenvalues of subgraphs of the cube
本文考虑给定阶的超立方体$Q_d$的子图的最大特征值问题。我们相信，在大多数情况下，汉明球是最大化，我们的结果支持这一信念。我们证明了半径为$o(d)$的Hamming球具有最大的本征值，该本征值在最大值的$1 + o(1)$内。我们还证明了固定半径的汉明球最大化的最大特征值准确，而不是渐近，当$d$是足够大的。我们的证明依赖于压缩的方法。
2016-05-20 math.CO
An isoperimetric inequality for the Hamming cube and some consequences
我们的基本结果，一个关于汉明立方体$Q_n$的等周不等式，可以写成：\[ \int h_A^βdμ\ge 2 μ(A)(1-μ(A)). \]这里$μ$是$V=\{0,1\}^n$上的一致测度（$=V(Q_n)$）; $β=\log_2(3/2)$ ;对于$S\subseteq V$和$x\in V$，\[ h_S(x) = \begin{cases} d_{V \setminus S}(x) &\mbox{ if } x \in S, 0 &\mbox{ if } x \notin S \end{cases} \]（其中$d_T(x)$是$x$在$T$中的邻居数）。这意味着不等式涉及混合的边缘和顶点边界，相关的稳定性结果，并提出了一些更一般的可能性。一个应用程序，一组边缘连接两个不相交的$V$的大小大致$|V|/2$的子集的稳定性结果，是一个关键步骤，表明在$Q_n$的最大独立集的数量是$(1+o(1))2n\exp_2[2^{n-2}]$。这一渐近陈述（其证明将单独出现）是本工作的原始动机。
2019-09-11 math.CO
The number of colorings of the middle layers of the Hamming cube
本文研究了汉明立方体中间层诱导子图的正常着色计数问题，利用熵、图容器方法及簇展开技术刻画了着色的典型结构并给出数量的渐近公式。
2023-05-25 math.CO
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube near the critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
该研究证明汉明立方体上β≥0.50057的尖锐等周不等式，在β=0.5处获改进界，用计算机辅助证明等方法，推进Kahn-Park猜想并得到布尔值函数的尖锐庞加莱不等式。
2026-09-04 math.CA math.CO
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube \MakeUppercase{\romannumeral 2}
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文扩展Balogh等人2009年的主定理，得到广义汉明立方体Q_{k,n}上阈值为N/2的自举渗流临界概率的一阶和二阶项。
2026-09-15 math.CO math.PR
Size sensitive packing number for Hamming cube and its consequences
MPI for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）
我们证明了一个尺寸敏感版本的Haussler的包装引理~ \cite{Haussler92spherepacking}的集合系统有界的原始破碎维数，它有一个额外的{ \em尺寸敏感性质}。这回答了以斯拉~ \cite{Ezra-sizesendisc-soda-14}提出的一个问题。我们还部分解决了以斯拉提出的另一个问题，关于她的链接过程中的集合的过度计数。作为这些改进的结果，我们得到了一个改进的大小敏感的差异界的集合系统与上述性质。这些特殊集合系统的差异上的改进的界限也意味着{ \em相对$(\varepsilon, δ)$ -近似}和$(ν, α)$ -样本的大小的改进。
2014-12-12 cs.CG cs.DM cs.LG
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Cubes and adjoints of cross-polytopes
我们描述了定向立方体和交叉多面体的伴随之间的双射。这种对应关系被用来证明，真正的仿射立方体是，直到在同一类中的重定向，唯一的定向立方体是可实现的。此外，它的基本拟阵，直到同构，是唯一的组合立方体，是现实的。
2020-12-15 math.CO
On homomorphisms from the Hamming cube to {\bf Z}
对于从$\{0,1\}^d$到${\bf Z}$的同态的集合，将$\underline{0}$设为0（将${\cal F}$的成员视为$\{0,1\}^d$的标签，其中相邻字符串的标签恰好相差1），并将${\cal F}_i$用于那些恰好具有$i$值的成员。给出了$|{\cal F}|$和$|{\cal F}_i|$的渐近公式。特别是，我们表明，一个统一选择的成员${\bf f}$的${\cal F}$采取超过五个值的概率趋于0的$d \rightarrow \infty$。这就解决了J. Kahn的一个猜想。之前，Kahn已经证明存在恒定的$b$，使得${\bf f}$ a.s.最多取$b$值。这反过来证实了我的一个猜想。Benjamini { \em等}，对于每个$t > 0$，${\bf f}$ a.s.最多取$td$值。确定$|{\cal F}|$既等同于对布尔格$2^{[d]}$上的秩函数（对于所有$A \in 2^{[d]}$和$x \in [d]$，满足$f(\emptyset)=0$和$f(A) \leq f(A \cup x) \leq f(A)+1$的函数$f \colon 2^{[d]} \longrightarrow {\bf N}$）的数目进行计数，又等同于对离散立方体的适当3-着色的数目进行计数（即，从$\{0,1\}^d$到$K_3$的同态数，3个顶点…
2012-06-14 math.CO
Slicing all Edges of an $n$-cube Requires $n^{2/3}$ Hyperplanes
考虑$n$ -立方体图，其顶点为$\{-1,1\}^n$，顶点之间的边具有汉明距离$1$ .在$\mathbb{R}^n$中需要多少个超平面才能剖分所有的边？我们发现，至少需要$\widetildeΩ(n^{2/3})$，这提高了以前的界的$Ω(n^{0.51})$由Yehuda和Yehudayoff。
2022-12-22 math.CO
Stability for vertex isoperimetry in the cube
证明了Harper立方体顶点等周不等式的稳定性，证明了顶点边界接近最小值的立方体子集接近（广义）Hamming球.此外，我们得到了一个局部稳定性的结果，使一个尖锐的估计的顶点边界的距离，从一个球，所以我们的稳定性结果基本上是紧的（模的非单调现象）。我们也给出了类似的结果Kruskal-Katona定理和应用程序的新的稳定性版本的一些其他结果在极值组合。
2018-07-25 math.CO
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
2015-09-23 cs.IT math.CO math.IT
Forbidding Exactly One Hamming Distance
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS-R029-C4)（韩国基础科学研究院）
研究固定整数s≥2和偶数r≥2时，布尔立方体上的r距离图H_r(n)的s独立数的渐进行为，证明其为Θ(2^n /n^{r/2})。通过极值问题和代数构造得出上下界。
2026-04-07 math.CO
On the bi-Lipschitz geometry of lamplighter graphs
本文系统地研究了点灯图的双Lipschitz几何。证明了树上的点灯图是双Lipschitzly嵌入到汉明立方体中的，其变形最多为~ $6$ .由此得出可数树上的点灯图是双Lipschitzly嵌入到$\ell_1$中的.研究了两个图的顶点合并上取点灯图的操作的度量行为。在此基础上，我们给出了星图或玫瑰图上的点灯图的超自反性的度量刻画。最后，我们证明了图中团的存在意味着其上的点灯图中Hamming立方体的存在.一个应用是对任意度量空间的平凡Bourgain-Milman-Wolfson型的概念的一致有界度的图序列的刻画，类似于Ostrovskii以前在\cite{ostrovskii:11}中得到的刻画.
2020-04-13 math.CO math.FA math.MG
Boundary rigidity of finite CAT(0) cube complexes
本文证明有限 CAT(0) 立方体复形可由 1-骨架上的边界距离唯一重构，解决了 Haslegrave 等人的猜想，关键工具是其与中位数图的双射及角剥离。
2024-07-10 cs.DM math.CO
A Bijective Proof of Richard Stanley's Observation that the sum of the cubes of the n-th row of Stern's Diatomic array equals 3 times 7 to the power n-1
在一篇令人愉快的文章中，理查德·斯坦利用代数方法推导出了一个令人惊讶的简单公式，即3乘以7的n-1次方，用于计算斯特恩双原子阵列第n行的立方体之和。在这篇文章中，我们找到了这个令人惊讶的事实的一个优雅的双射证明，解释了它并给出了见解。新颖之处在于，这种华丽的双射是由计算机（SBE）发现的，人类（DZ）的指导很少。这就推翻了一些人类至上主义者所持有的传统智慧，即计算机只能计算，但不能提供洞察力
2021-03-23 math.CO
FKN theorem for the multislice, with applications
Friedgut-Kalai-Naor（FKN）定理指出，如果$f$是布尔立方体上的一个接近1度的布尔函数，则$f$接近于独裁者，一个依赖于单个坐标的函数。作者把这个定理推广到了切片上，切片是由所有具有固定汉明重量的向量组成的布尔立方体的子集。我们将定理进一步扩展到多切片，即切片的多色版本。作为应用，我们证明了边-等周不等式的一个稳定性版本的参数设置，其中的最佳集是独裁者。
2018-09-10 cs.DM math.CO
Hypercubes and Isometric Words based on Swap and Mismatch Distance
维数为n的超立方体是这样的图，其顶点是长度为n的2^n个二进制字，如果它们之间的汉明距离为1，则它们之间存在一条边。我们考虑基于交换和不匹配的编辑距离，我们称之为波浪线距离，并定义波浪线超立方体，其边以波浪线距离1连接单词。然后，我们引入并研究了波浪线超立方体的一些等距子图，这些子图是由波浪线等距字得到的。子图只保留避免给定波浪线等距字的顶点作为因子。在字11的情况下，子图被称为波浪线-斐波那契立方体，作为经典斐波那契立方体的推广。波浪线超立方体和波浪线斐波那契立方体可以递归地定义;这同样适用于它们的边数。这允许渐进估计波浪线-斐波那契立方体中的边的数量，与波浪线-超立方体中的总数相比。
2023-03-17 cs.FL math.CO
Medians in median graphs and their cube complexes in linear time
图$G$的顶点集$P$的中值是使$G$的所有顶点$x$到$P$的所有顶点的距离之和最小化的$x$的所有顶点的集合。在本文中，我们提出了一个线性时间算法来计算中位数图中的中位数，改进了现有的二次时间算法。我们还提出了一个线性时间算法来计算中位数的$\ell_1$立方体复合体与中位数图。中值图构成了度量图论中研究的主要图类，并且由于它们与CAT（0）立方复形和事件结构域的双射而具有丰富的几何和组合结构。我们的算法是基于多数规则的中位数在中位数图的特征和并行类的边缘（$Θ$ -类或超平面）的快速计算，通过字典广度优先搜索（LexBFS）。为了证明算法的正确性，我们证明了$G$的任意顶点的LexBFS排序满足以下独立兴趣的同路者性质：$G$的任意两个相邻顶点的父节点也是相邻的.利用$Θ$类的快速计算，我们还计算了线性时间内$G$的Wiener指标（总距离）和最优二次时间内的距离矩阵。
2020-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
Extremal Lipschitz functions in the deviation inequalities from the mean
我们得到一个最佳的偏差从平均上界\begin{equation} D(x)\=\sup_{f\in \F}μ\{f-\E_μ f\geq x\},\qquad\ \text{for}\ x\in\R\label{abstr} \end{equation}其中$\F$是类的可积，Lipschitz函数的概率距离（产品）空间。作为推论，我们得到了具有测地距离和归一化Haar测度的欧氏单位球$S^{n-1}$，具有高斯测度的$\R^n$，以及具有均匀测度和Hamming距离的多维立方体、矩形、环面或Diamond图的$\eqref{abstr}$的精确解.我们还证明了在一般概率距离空间中，$\eqref{abstr}$中的$\sup$是在一族距离函数上实现的。
2013-05-18 math.CO math.FA math.PR
Log-Sobolev under random monotone censoring
Division of Science, NYU Abu Dhabi（纽约大学阿布扎比分校科学系）；Center for Interdisciplinary Data Science and AI, NYUAD Research Institute（NYUAD研究院跨学科数据科学与人工智能中心）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
本文证明布尔立方体的对数Sobolev不等式在随机单调删失下保持稳定，并推导出典型单调子集上的超收缩性、高斯集中和O(n log n)混合时间，解决了Ding和Mossel的猜想。
2026-06-08 cs.DM math.CO math.FA
Subspace Uncertainty and Sharp Sampling Thresholds on the Boolean Cube
School of Computer and Communication Sciences, EPFL（计算机与通信科学学院，洛桑联邦理工学院）
该研究针对布尔立方体上至多k次函数的高斯回归，改进了Polyanskiy-Samorodnitsky不确定性原理，得到了极小极大误差对应的尖锐采样阈值，揭示了噪声带来的指数级样本代价。
2026-11-03 cs.IT cs.LG math.CO
Set families: restricted distances via restricted intersections
Institute for Basic Science（基础科学研究所）；University of Warwick（华威大学）；Peking University（北京大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文研究了集合族在限制距离下的最大规模，通过转换问题为限制交集问题，确定了等差数列$D$的渐进行为，并改进了$t$-距离集的上界。
2026-09-09 cs.DM math.CO
