A modified logarithmic Sobolev inequality for the Hamming cube and some applications
汉明立方体{0，1}^n的对数Sobolev不等式指出，对于立方体上的任何实值函数f，都有E（f，f）\ge 2 Ent（f^2），其中E（f，f）是适当的狄利克雷形式（也称为“影响之和”）。我们证明了这个不等式右边的常数C = 2可以用一个函数C（rho）代替，该函数依赖于rho = Ent（f^2）/（n Ef^2）。函数C是取[0，log 2]到[2，2/log 2]的递增凸函数。我们提出了这个修正的不等式的一些应用。特别是，它是用来获得离散版本的Faber-Krahn不等式的小子集的汉明立方体，回答一个问题的弗里德曼和蒂利希。我们按照弗里德曼和蒂利希的方法，引入了{0，1}^n的子集的分数边边界大小的概念，并证明了半径至多为n/2 - O（n^{3/4}）的汉明球是具有（渐近）最小分数边边界的集合。
2008-07-10 math.CO
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube
Institute for Systems Research and Department of ECE, University of Maryland（马里兰大学系统研究所和电子与计算机工程系）
研究了在具有顶点集V={0,1}^n且边连接汉明距离为1,2,…,k的图上的r-邻居bootstrap渗流过程，确定了r=2,3时渗流临界概率的渐进行为，并在确定性设定下获得了k≥2时最小渗流集大小的多个结果。
2026-03-25 math.CO
Maximal sets of a given diameter in Hamming cubes
研究汉明立方体中给定直径的极大集，证明每个$d$-极大集规模至多为$(n+o(n))^d$或含非平凡汉明球，并给出规模下界与有限性结论。
2025-07-14 math.CO
Weak isometries of the Boolean cube
考虑由配备海明距离的$n$维布尔立方体组成的度量空间$\mathcal{C}$。$\mathcal{C}$的弱等距是$\mathcal{C}$的保持给定汉明距离子集的置换。在\cite{Krasin} Krasin表明，在大多数情况下，保持一个单一的汉明距离部队弱等距是等距。在这篇文章中，我们研究那些弱等距，不自动等距，提供了一个完整的分类弱等距$\mathcal{C}$。
2014-11-13 math.CO
The number of colorings of the middle layers of the Hamming cube
本文研究了汉明立方体中间层诱导子图的正常着色计数问题，利用熵、图容器方法及簇展开技术刻画了着色的典型结构并给出数量的渐近公式。
2023-05-25 math.CO
On perfect colorings of the halved 24-cube
一个图的点2-染色称为参数为$(a_{ij})_{i,j=1}^k$的完美染色，如果对于每个$i,j\in\{1,...,k\}$，每个颜色为$i$的点恰好与颜色为$j$的点$a_{ij}$相邻.我们考虑24-立方体$\{0,1\}^{24}$的距离-2图的完美2-着色，参数为$((20+c,256-c)(c,276-c))$（即，特征值为20）。我们证明了这样的着色存在于所有的$c$从1到128除了1，2，4，5，7，10，13和不存在于$c=1, 2, 4, 5, 7$。关键词：完美染色，均匀划分，超立方体，半n-立方体
2008-07-17 math.CO
On Balanced Colorings of the n-Cube
n维欧几里得空间中的n立方图的2-着色可以被认为是给顶点分配1或0的权重。这样一个着色的n立方图如果其质心与几何中心重合，则称其为平衡的。令$B_{n,2k}$为具有2k个顶点且权重为1的n立方图的平衡2-着色数。Palmer、Read和Robinson指出，对于$n\geq 1$，序列$\{B_{n,2k}\}_{k=0, 1 ... 2^{n-1}}$是对称的和单峰的。我们给出了这个猜想的一个证明。对于固定的k，我们还提出了一个关于$B_{n,2k}$的对数正态性的猜想，并通过概率的方法证明了当n足够大时该猜想成立.
2009-10-06 math.CO
Eigenvalues of subgraphs of the cube
本文考虑给定阶的超立方体$Q_d$的子图的最大特征值问题。我们相信，在大多数情况下，汉明球是最大化，我们的结果支持这一信念。我们证明了半径为$o(d)$的Hamming球具有最大的本征值，该本征值在最大值的$1 + o(1)$内。我们还证明了固定半径的汉明球最大化的最大特征值准确，而不是渐近，当$d$是足够大的。我们的证明依赖于压缩的方法。
2016-05-20 math.CO
An isoperimetric inequality for the Hamming cube and some consequences
我们的基本结果，一个关于汉明立方体$Q_n$的等周不等式，可以写成：\[ \int h_A^βdμ\ge 2 μ(A)(1-μ(A)). \]这里$μ$是$V=\{0,1\}^n$上的一致测度（$=V(Q_n)$）; $β=\log_2(3/2)$ ;对于$S\subseteq V$和$x\in V$，\[ h_S(x) = \begin{cases} d_{V \setminus S}(x) &\mbox{ if } x \in S, 0 &\mbox{ if } x \notin S \end{cases} \]（其中$d_T(x)$是$x$在$T$中的邻居数）。这意味着不等式涉及混合的边缘和顶点边界，相关的稳定性结果，并提出了一些更一般的可能性。一个应用程序，一组边缘连接两个不相交的$V$的大小大致$|V|/2$的子集的稳定性结果，是一个关键步骤，表明在$Q_n$的最大独立集的数量是$(1+o(1))2n\exp_2[2^{n-2}]$。这一渐近陈述（其证明将单独出现）是本工作的原始动机。
2019-09-11 math.CO
On two $q$-ary $n$-cube coloring problems
令$χ'_d(n,q)$（分别$χ_d(n,q)$）表示对$q$元$n$立方体着色所需的最小颜色数，使得在至多$d$（分别为精确地$d$）得到相同的颜色。这两个问题是在光网络可扩展性研究中提出的。本文给出了当$q$是素数幂时，$χ'_d(n,q)$和$χ_d(n,q)$的上、下界.
2015-10-28 math.CO
On Robust Colorings of Hamming-Distance Graphs
定义$H_q(n,d)$为顶点集为${\mathbb Z}_q^n$且两个顶点的汉明距离至少为$d$的图.这些图的色数的各种参数$(q,n,d)$。对于图$H_2(n,n-1)$的$4$ -着色，引入了鲁棒性的概念.它是基于沿边交换颜色而不破坏着色适当性的公差。给出了$H_2(n,n-1)$的最大鲁棒$4$ -着色的显式描述.
2016-09-16 cs.DM cs.IT math.CO
On the connection between correlation-immune functions and perfect 2-colorings of the Boolean n-cube
如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅取决于$x$的颜色，则布尔$n$立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数对于布尔$n$立方体的每个$m$面取相同次数的值1，则该布尔函数被称为$n-m$度相关免疫。本文证明了每一个布尔函数$χ^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-ρ(S))\leq n,$$，其中${\rm cor}(S)$是$χ^S$的相关免疫度的最大值，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中的平均近邻数，$ρ(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度.此外，函数$χ^S$是完美着色当且仅当我们在上面的公式中获得等式。关键词：超立方体，完美染色，完美码，相关免疫函数。
2011-01-19 math.CO
An analogue of Gromov's waist theorem for coloring the cube
证明了如果将一个$d$维立方体划分为$n^d$个小立方体，并将这些小立方体着色为$m+1$颜色，则存在至少由$f(d, m) n^{d-m}$个小立方体组成的单色连通分支.
2011-11-17 math.AT math.CO
On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube
如果对于每个$n$ -元组$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则称$q$ -元$n$ -维立方体（超立方体）的着色为完美的。一个布尔值函数被称为$n-m$度相关免疫，如果它对超立方体的每个$m$维面取相同次数的值1。设$f=χ^S$是超立方体的某个子集$S$的特征函数。本文证明了不等式$ρ(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq α(S)$，其中${\rm cor}(f)$是$f$的相关免疫度的最大值，$α(S)$是集合$S$中$n$ -元组在集合$S$的补中的邻居的平均数，$ρ(S)=|S|/q^n$是集合$S$的密度.此外，还证明了函数$f$是完全着色的充要条件是得到了上述公式中的等式，并得到了$q>2$情形下完全着色分量和1-完全码分量基数的新下界.关键词：超立方体，完美着色，完美码，MDS码，比特率，公平分割，正交表。
2011-04-07 math.CO
Polynomial growth of Bohnenblust--Hille constants on the Hamming cube
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文证明Hamming立方体上Walsh多项式的Bohnenblust--Hille常数随次数至多多项式增长，给出了维度一致的界，指数27非最优。
2026-09-14 math.CO math.FA
Size of components of a cube coloring
假设一个尺寸为n^d的d维格子立方体被着色为几种颜色，使得它的三角剖分（将标准划分细分为n^d个小立方体）没有面被着色为m+2种颜色。然后一种颜色至少使用f（d，m）*n^（d-m）次。
2011-11-16 math.AT math.CO
Multidimensional necklaces and measurable colorings of R^n
由Longueville和Zivaljevic对Alon的“分裂nacklace定理”的一个众所周知的推广指出，每个k色的n维立方体可以在每个维度上只使用k个切割来公平地分裂。这里我们证明了对每个t，R^n存在有限染色（至少有（t+4）^d -（t+3）^d +（t +2）^d - 2^d + d（t+2）+3种不同的颜色），使得没有n维立方体可以在每个维上使用最多t个切割来公平地分裂。特别是，R^n存在有限着色，使得没有两个不相交的n维立方体具有每种颜色的相同度量。
2013-02-12 math.CO
Bi-Lipschitz Bijection between the Boolean Cube and the Hamming Ball
我们构造了一个从布尔立方体到等体积汉明球的双Lipschitz双射。更精确地说，我们证明了对于所有偶数n，存在从n维布尔立方体到嵌入在（n+1）维布尔立方体中的等体积汉明球的显式双射f，使得对于所有x和y，距离（x，y）/ 5 <=距离（f（x），f（y））<= 4距离（x，y），其中距离（，）表示汉明距离。特别地，这意味着汉明球是双李普希茨传递的。这一结果对Lovett和Viola [CC 2012]的一个开放问题给出了强烈的否定回答，他们在低级别复杂性类中的抽样分布的背景下提出了这个问题。概念上的含义是，在抽样分布的背景下证明下界的问题将需要一些新的想法，超出了Boppana [IPL 97]的基于灵敏度的结构结果。我们进一步研究了映射f，并证明了它（及其逆）在DLOGTIME-均匀TC 0中是可计算的，但在AC 0中不可计算。此外，我们证明，f是“近似本地”的意义上说，所有的，但最后一个输出位的f基本上是由一个单一的输入位。
2013-10-08 cs.CC math.CO math.MG
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube II: The critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛威尔分校）
本文在临界指数β=1/2处证明了Hamming立方体的锐利等周不等式，解决了Kahn和Park的猜想，并给出了布尔值函数的锐利L¹泊松不等式。
2026-02-24 cs.IT math.CA math.CO
Local distributions for eigenfunctions and for perfect colorings of q-ary hypercube
本文研究了$n$维$q$维Hamming空间的图的特征函数和完美染色。我们得到了两个正交面的本征函数的局部分布的相互依赖性。我们还证明了一个类似的结果完美着色。
2014-12-23 math.CO
Coloring the cube with rainbow cycles
对于每个偶数正整数$k\ge 4$，让$f(n,k)$表示对$n$维立方体$Q_n$的边着色所需的最小颜色数，使得$k$ -循环$C_k$的每个副本的边接收$k$不同的颜色. Faudree、Gyárfás、Lesniak和Schelp证明了$f(n,4)=n$对于$n=4$或$n>5$。我们考虑更大的$k$并证明如果$k \equiv 0$（mod 4），则存在仅取决于$k$的正常数$c_1, c_2$，使得$$c_1n^{k/4} < f(n,k) < c_2 n^{k/4}.$$我们的上界使用广义Sidon集的Bose和Chowla的旧构造。对于$k \equiv 2$（mod 4）来说，情况似乎更复杂。对于最小的情况k=6，我们表明，$$n \le f(n, 6) < n^{1+o(1)}.$$的上限是从Behrend的建设的一个子集的整数没有三项算术级数。
2012-12-07 math.CO
On multifold perfect codes and some other completely regular codes in the Doob graphs and quaternary Hamming graphs
本文研究 Doob 图与四元 Hamming 图中的完全 2-着色，刻画多重 1-完全码参数，并在标准条件下证明大参数时完全 (b,c)-着色存在，同时构造覆盖半径为 2 的完全正则码。
2023-12-12 math.CO
Perfect colorings of the 12-cube that attain the bound on correlation immunity
我们构造了$12$ -超立方体的完美$2$ -着色，达到了我们最近关于任意相关免疫函数维数的界。我们证明了当$x=0$，$2$，$3$时，这种带参数（$(x,12-x,4+x,8-x$）的着色存在，当$x=1$时，这种着色不存在.这是D. G. Fon-Der-Flaass，“Perfect colorings of the $12$ -cube that achieve the bound on correlation immunity”，以俄文发表于Siberian Electronic Mathematical Reports，第4卷（2007）292-295。
2014-03-31 cs.DM math.CO
Beyond trees: the metric geometry of subsets of weighted Hamming cubes
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Carnegie Mellon University in Qatar（卡内基梅隆大学卡塔尔分校）
本文研究加权汉明立方体子集的度量几何，揭示其关联几何量间的意外关系，推导距离矩阵行列式等公式，拓展此前的树与标准汉明立方体相关结果，并刻画其中的非平凡1-多边形等式。
2024-09-17 math.CO math.FA math.MG
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube near the critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
该研究证明汉明立方体上β≥0.50057的尖锐等周不等式，在β=0.5处获改进界，用计算机辅助证明等方法，推进Kahn-Park猜想并得到布尔值函数的尖锐庞加莱不等式。
2026-09-04 math.CA math.CO
On homomorphisms from the Hamming cube to {\bf Z}
对于从$\{0,1\}^d$到${\bf Z}$的同态的集合，将$\underline{0}$设为0（将${\cal F}$的成员视为$\{0,1\}^d$的标签，其中相邻字符串的标签恰好相差1），并将${\cal F}_i$用于那些恰好具有$i$值的成员。给出了$|{\cal F}|$和$|{\cal F}_i|$的渐近公式。特别是，我们表明，一个统一选择的成员${\bf f}$的${\cal F}$采取超过五个值的概率趋于0的$d \rightarrow \infty$。这就解决了J. Kahn的一个猜想。之前，Kahn已经证明存在恒定的$b$，使得${\bf f}$ a.s.最多取$b$值。这反过来证实了我的一个猜想。Benjamini { \em等}，对于每个$t > 0$，${\bf f}$ a.s.最多取$td$值。确定$|{\cal F}|$既等同于对布尔格$2^{[d]}$上的秩函数（对于所有$A \in 2^{[d]}$和$x \in [d]$，满足$f(\emptyset)=0$和$f(A) \leq f(A \cup x) \leq f(A)+1$的函数$f \colon 2^{[d]} \longrightarrow {\bf N}$）的数目进行计数，又等同于对离散立方体的适当3-着色的数目进行计数（即，从$\{0,1\}^d$到$K_3$的同态数，3个顶点…
2012-06-14 math.CO
Threshold-Coloring and Unit-Cube Contact Representation of Graphs
本文研究了图的阈值染色，其中用整数表示的顶点颜色描述给定图的任意生成子图如下。具有近颜色的顶点对意味着它们之间的边存在，而具有远颜色的顶点对意味着边不存在。不是所有的平面图都是阈值可着色的，但是一些子类，如树，一些平面网格和没有短圈的平面图总是可以阈值着色的。利用这些结果，我们得到了几个平面图子类的单位立方接触表示。阈值着色问题的变体与众所周知的图着色和其他图论问题有关。使用这些关系，我们显示的NP-完全的这些变种中的两个，并描述一个多项式时间算法的另一个。
2013-05-16 cs.DM math.CO
Slicing all Edges of an $n$-cube Requires $n^{2/3}$ Hyperplanes
考虑$n$ -立方体图，其顶点为$\{-1,1\}^n$，顶点之间的边具有汉明距离$1$ .在$\mathbb{R}^n$中需要多少个超平面才能剖分所有的边？我们发现，至少需要$\widetildeΩ(n^{2/3})$，这提高了以前的界的$Ω(n^{0.51})$由Yehuda和Yehudayoff。
2022-12-22 math.CO
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube \MakeUppercase{\romannumeral 2}
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文扩展Balogh等人2009年的主定理，得到广义汉明立方体Q_{k,n}上阈值为N/2的自举渗流临界概率的一阶和二阶项。
2026-09-15 math.CO math.PR
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
2015-09-23 cs.IT math.CO math.IT
Constraining the clustering transition for colorings of sparse random graphs
设$Ω_q$表示随机图$G_{n,m}, m=dn/2$的真$q$ -着色集，$H_q$表示具有顶点集$Ω_q$和边$\{σ,τ\}$的图，其中$σ,τ$是映射$[n]\to[q]$当且仅当$h(σ,τ)=1$ .这里$h(σ,τ)$是汉明距离$|\{v\in [n]:σ(v)\neqτ(v)\}|$。我们表明，w. h. p. $H_q$包含一个巨大的组成部分，几乎所有的着色$Ω_q$，如果$d$是足够大的和$q\geq \frac{cd}{\log d}$为常数$c>3/2$。
2018-01-09 math.CO
Two Approaches to the Construction of Deletion Correcting Codes: Weight Partitioning and Optimal Colorings
本文从图论的观点出发，研究了在二进制字母表上构造删除纠错码的问题。$n$位$s$删除校正码是特定图中的独立集。我们建议构造这样一个码采取工会的许多恒定汉明码重量。这导致代码具有额外的结构。在常汉明重量导出子图中搜索码比搜索原始图在计算上更容易。我们证明了一个下界的码本的大小构造这种方式为任何数量的删除，并表明，它只是一个很小的因素低于相应的下限不受限制的代码。在单删除的情况下，我们找到了常数汉明重量诱导子图的最优染色。我们证明了所得到的代码是渐近最优的。我们讨论了代码和着色之间的关系，并观察到VT码是最佳的着色意义。证明了删除通道图色数的一个新下界。与此界限相匹配的删除通道图的着色不一定产生渐近最优代码。
2012-11-16 cs.DM cs.IT math.CO
Size sensitive packing number for Hamming cube and its consequences
MPI for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）
我们证明了一个尺寸敏感版本的Haussler的包装引理~ \cite{Haussler92spherepacking}的集合系统有界的原始破碎维数，它有一个额外的{ \em尺寸敏感性质}。这回答了以斯拉~ \cite{Ezra-sizesendisc-soda-14}提出的一个问题。我们还部分解决了以斯拉提出的另一个问题，关于她的链接过程中的集合的过度计数。作为这些改进的结果，我们得到了一个改进的大小敏感的差异界的集合系统与上述性质。这些特殊集合系统的差异上的改进的界限也意味着{ \em相对$(\varepsilon, δ)$ -近似}和$(ν, α)$ -样本的大小的改进。
2014-12-12 cs.CG cs.DM cs.LG
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
The chromatic number of the square of the 8-cube
类立方图是阶为$2^n$的初等阿贝尔群的凯莱图。在类立方图的色数的研究中，经常考虑$n$维超立方图的$k$次幂，即$Q_n^k$.这个着色问题可以在编码理论的框架中考虑，因为图$Q_n^k$可以由每个长度为$n$的二进制字的一个顶点和当相应字之间的海明距离最多为$k$时顶点之间的边来构造。因此，$Q_n^k$的适当着色对应于将$n$维二进制汉明空间划分成具有至少$k+1$的最小距离的码。最小的开放情况，$Q_8^2$的色数，在这里解决了找到一个13-着色。这种具有特定对称性的13-着色被进一步分类。
2016-07-06 cs.IT math.CO math.IT
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
Induced bisecting families for hypergraphs
如果在每个坐标$i \in [n]$中，$A(i)$或$B(i)$中的至少一个为零，则称两个$n$维向量$A$和$B$，$A,B \in \mathbb{R}^n$为\emph{trivially orthogonal}.给定$n$维汉明立方体$\{0,1\}^n$，我们研究了$n$维$\{-1,0,1\}$向量的集合$\mathcal{V}$的最小基数，每个向量恰好包含$d$非零项，使得汉明立方体中的每个“可能”点$A \in \{0,1\}^n$都有一些与$A$正交但不是平凡正交的$V \in \mathcal{V}$。我们给出了渐近紧的下限和（建设性的）上界，这样一个集$\mathcal{V}$除了偶数值的$d \in Ω(n^{0.5+ε})$，任何$ε$，$0< ε\leq 0.5$。
2017-01-12 math.CO
The distinguishing number of the augmented cube and hypercube powers
图G的可区别数，记为D（G），是使G的顶点存在一个染色的最小颜色数，其中没有非平凡图自同构是保色的。本文证明了当2 < p < n-1时，n维超立方体的p次图幂的可区别数为2.从而完成了超立方幂的可区别数的研究。我们还计算了增广立方体的区别数，超立方体的一个变种，回答了一个公开的问题。
2006-01-14 math.CO
New Results on Two Hypercube Coloring Problems
本文研究了以下两个超立方体着色问题：给定$n$和$d$，求出最小颜色数，记为$χ'_{d}(n)$（分别为. $χ_{d}(n)$），需要对$n$立方体的顶点进行着色，使得汉明距离最大为$d$的任何两个顶点（分别确切地说是$d$）具有不同的颜色。这些问题最初出现在光网络的可扩展性研究中。利用编码理论中的方法，证明了对任意奇数$r\geq3$，$χ'_{4}(2^{r+1}-1)=2^{2r+1}$，$χ'_{5}(2^{r+1})=4^{r+1}$都成立，并给出了$χ_{d}(n)$的两个上界.第一个上界改进了Kim，Du和Pardalos的上界.对于小的$n$，第二个上界比第一个上界更好。进一步，我们得到了关于$χ_{d}(n)$和$χ'_{d}(n)$的一个不等式.
2010-01-13 math.CO
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
2013-07-04 cs.DM math.CO
The balanced upper chromatic number of linear hypergraphs and the $n$-cube over $t$ elements
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；California State University, Northridge（北岭加州州立大学）；Centro de Investigación y Estudios de Posgrado del IPN（墨西哥国立理工学院研究生研究与评价中心）
本文研究线性超图与n-立方体$C_t^n$的平衡上色数，针对任意线性超图给出该参数的通用上界，确定$t\geq4n-2$时$C_t^n$的精确值，并在2、3维情形下给出更小t值时的相关结果。
2026-08-14 math.CO
Borel Polychromatic Number of Grids
研究由自由$\mathbb{Z}^d$博雷尔作用产生的网格图的多色着色问题，证明每个自由$\mathbb{Z}^d$作用存在紧的博雷尔$(2^d-1)$-多色着色，并提出扩展理论的开放方向。
2025-08-25 math.CO math.LO
A Construction for Boolean cube Ramsey numbers
令$Q_n$是由固定$n$ -元素集合的所有子集组成的偏序集，按集合包含排序。偏序集立方Ramsey数$R(Q_n,Q_n)$被定义为最小$m$使得$Q_m$的元素的任何2-着色允许$Q_n$的单色拷贝。Cox和Stolee改进了平凡下界$R(Q_n,Q_n)\ge 2n$，他们使用概率存在性证明证明了$3\le n\le 8$和$n\ge 13$的$R(Q_n,Q_n)\ge 2n+1$。在本文中，我们提供了一个明确的建设，建立$R(Q_n,Q_n)\ge 2n+1$的所有$n\ge 3$。最著名的上界是由Lu和Thompson提出的$ R(Q_n, Q_n) \le n^2 - 2n + 2$。
2022-09-07 math.CO
Symmetric Layer-Rainbow Colorations of Cubes
我们是否可以用$n^2$颜色对$n\times n\times n$立方体的$n^3$单元进行着色，使得平行于每个面的每一层都只包含一种颜色，并且着色是对称的，使得$L_{ij\ell}=L_{j\ell i}=L_{\ell ij}$用于不同的$i,j,\ell \in \{1,\dots,n\}$，而$L_{iij}=L_{jj i}, L_{iji}=L_{jij}, L_{ij j}=L_{jii}$用于$i,j\in \{1,\dots,n\}$？使用运输网络，我们表明，这样的着色是可能的，当且仅当$n\equiv 0,2 \mod 3$（有两个例外，$n=1$和$n\neq 3$）。受实验设计的启发，Kishen和Fisher在20世纪40年代开始研究这些物体（不对称）。这些物体也与正交表密切相关，正交表的存在已被广泛研究，它们是对称拉丁方的自然三维类似物。
2022-05-04 cs.DM math.CO
On the connectivity threshold for colorings of random graphs and hypergraphs
设$Ω_q=Ω_q(H)$表示超图$H$的真$[q]$ -染色集.设$Γ_q$是顶点集为$Ω_q$，边为${σ,τ\}$的图，其中$σ,τ$是着色当且仅当$h(σ,τ)=1$ .这里$h(σ,τ)$是汉明距离$|\{v\in V(H):σ(v)\neqτ(v)\}|$。本文证明了：如果$H=H_{n,m;k},\,k\geq 2$，随机$k$ -一致超图$V=[n]$和$m=dn/k$是连通的，那么当$d$足够大且$q\gtrsim (d/\log d)^{1/(k-1)}$足够大时w. h. p. $Γ_q$是连通的.
2018-03-28 cs.DM math.CO math.PR
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
2026-08-13 math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
On the number of alternating paths in bipartite complete graphs
令$C \subseteq [r]^m$为使得$C$的任何两个字具有至少$t$的汉明距离的代码。不难看出，确定具有最大字数的代码$C$等同于找到最大的$n$，使得存在$K_{m, n}$的$r$ -边着色，其性质是大小为$n$的类中的任何一对顶点至少具有长度为$2$的$t$交替路径（相邻边具有不同的颜色）。在本文中，我们考虑一个更一般的问题，从一个略有不同的方向。我们感兴趣的是找到最大的$t$，使有一个$r$ -边染色的$K_{m,n}$，使任何一对顶点类的大小$n$是由$t$内部不相交和交替的路径长度$2k$。我们还研究了一个相关的问题，在这个问题中，我们放弃了路径内部不相交的假设。最后，我们引入了一个新的概念，我们称之为交替连接。我们的证明利用随机着色结合一些整数规划。
2016-03-16 math.CO
On the 1-switch conjecture in the Hypercube and other graphs
Feder和Subi证明，对于$n$维立方体的边的任何$2$ -着色，我们可以找到由最多改变一次颜色的路径连接的顶点对。我们讨论的情况下，随机着色，我们证明了猜想的广泛的一类着色。我们的方法可以应用到一个更一般的问题，其中$Q_n$可以被任何图形$G$，由一个固定的自同构$ϕ\in Aut(G)$的反足性的概念取代。因此，对于$E(G)$的任何$2$ -着色，我们都在寻找一对顶点$u,v$，使得$u= ϕ(v)$和它们之间有一条尽可能少的颜色变化的路径。我们解决了这个问题的环形网格$G=C_{2a} \square c_{2b}$的自同构，使每个顶点到其唯一的最远对。我们的结果指向一个更一般的猜想，原来是支持以前的定理Feder和Subi。
2015-04-22 math.CO
A variety of the mutual-visibility coloring problem for graphs
Cochin University of Science and Technology（科钦科技大学）；University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Universidad de Cádiz（加的斯大学）
本文研究图互可见性着色的变体，引入对偶、外部和整体互可见性色数，证明判定问题NP完全，并在块图、汉明图和强网格图上给出精确公式或刻画。
2026-09-28 math.CO
Polynomially superlinear growth of set-coloring Ramsey numbers
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文构造了特定参数的三元组，证明集合染色拉姆齐数 $R(q+1;r,s)$ 可达 $\Theta_q(r^{4/3})$，并肯定回答了 $q=3$ 时的相关问题，同时给出相应 $q$ 元码的最大规模。
2026-09-29 math.CO
The Terwilliger algebra of the halved cube
令$D\geq 3$表示整数。对于任何$x\in \mathbb F_2^D$，令$w(x)$表示$x$的汉明权重。令$X$表示$\mathbb F_2^D$的子空间，该子空间由具有偶数$w(x)$的所有$x\in \mathbb F_2^D$组成。$D$维半立方体$\frac{1}{2}H(D,2)$是一个有限简单连通图，其顶点集$X$和$x,y\in X$相邻当且仅当$w(x-y)=2$ .固定顶点$x\in X$。$\frac{1}{2}H(D,2)$关于$x$的Terwilliger代数$\mathcal T=\mathcal T(x)$是由邻接矩阵$A$和对偶邻接矩阵$A^*=A^*(x)$生成的${\rm Mat}_X(\mathbb C)$的子代数，其中$A^*$是与$$ A^*_{yy}=D-2w(x-y) \qquad \hbox{for all $y\in X$}. $$的对角矩阵。本文将标准$\mathcal T$ -模分解为不可约$\mathcal T$ -模的直和。
2021-09-05 math.CO math.RT
A Chain-Level Borsuk--Ulam Obstruction Proof of Norine's Antipodal-Coloring Conjecture
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
研究\(n\geq2\)时\(n\)维超立方体红 - 蓝边着色中连接顶点与其对映点的单色路径问题，通过构造特定链映射并利用链级博苏克 - 乌拉姆障碍予以证明。
2026-07-22 math.AT math.CO
