Size of components of a cube coloring
Marsel Matdinov
假设一个尺寸为n^d的d维格子立方体被着色为几种颜色，使得它的三角剖分（将标准划分细分为n^d个小立方体）没有面被着色为m+2种颜色。然后一种颜色至少使用f（d，m）*n^（d-m）次。
Suppose a d-dimensional lattice cube of size n^d is colored in several colors so that no face of its triangulation (subdivision of the standard partition into n^d small cubes) is colored in m+2 colors. Then one color is used at least f(d,m)*n^(d-m) times.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An analogue of Gromov's waist theorem for coloring the cube
证明了如果将一个$d$维立方体划分为$n^d$个小立方体，并将这些小立方体着色为$m+1$颜色，则存在至少由$f(d, m) n^{d-m}$个小立方体组成的单色连通分支.
On perfect colorings of the halved 24-cube
一个图的点2-染色称为参数为$(a_{ij})_{i,j=1}^k$的完美染色，如果对于每个$i,j\in\{1,...,k\}$，每个颜色为$i$的点恰好与颜色为$j$的点$a_{ij}$相邻.我们考虑24-立方体$\{0,1\}^{24}$的距离-2图的完美2-着色，参数为$((20+c,256-c)(c,276-c))$（即，特征值为20）。我们证明了这样的着色存在于所有的$c$从1到128除了1，2，4，5，7，10，13和不存在于$c=1, 2, 4, 5, 7$。关键词：完美染色，均匀划分，超立方体，半n-立方体
The number of 4-colorings of the Hamming cube
设$Q_d$是$d$维超立方体，$N=2^d$是$d$维超立方体.我们证明了$Q_d$的（真）4-着色数是渐近的\[6e2^N,\]，正如Engbers和Galvin在2012年所证明的那样.证明使用了信息论（熵）和起源于Sapozhenko在20世纪80年代工作的等周思想的组合。
On Balanced Colorings of the n-Cube
n维欧几里得空间中的n立方图的2-着色可以被认为是给顶点分配1或0的权重。这样一个着色的n立方图如果其质心与几何中心重合，则称其为平衡的。令$B_{n,2k}$为具有2k个顶点且权重为1的n立方图的平衡2-着色数。Palmer、Read和Robinson指出，对于$n\geq 1$，序列$\{B_{n,2k}\}_{k=0, 1 ... 2^{n-1}}$是对称的和单峰的。我们给出了这个猜想的一个证明。对于固定的k，我们还提出了一个关于$B_{n,2k}$的对数正态性的猜想，并通过概率的方法证明了当n足够大时该猜想成立.
On two $q$-ary $n$-cube coloring problems
令$χ'_d(n,q)$（分别$χ_d(n,q)$）表示对$q$元$n$立方体着色所需的最小颜色数，使得在至多$d$（分别为精确地$d$）得到相同的颜色。这两个问题是在光网络可扩展性研究中提出的。本文给出了当$q$是素数幂时，$χ'_d(n,q)$和$χ_d(n,q)$的上、下界.
Perfect colorings of the 12-cube that attain the bound on correlation immunity
我们构造了$12$ -超立方体的完美$2$ -着色，达到了我们最近关于任意相关免疫函数维数的界。我们证明了当$x=0$，$2$，$3$时，这种带参数（$(x,12-x,4+x,8-x$）的着色存在，当$x=1$时，这种着色不存在.这是D. G. Fon-Der-Flaass，“Perfect colorings of the $12$ -cube that achieve the bound on correlation immunity”，以俄文发表于Siberian Electronic Mathematical Reports，第4卷（2007）292-295。
On the connection between correlation-immune functions and perfect 2-colorings of the Boolean n-cube
如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅取决于$x$的颜色，则布尔$n$立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数对于布尔$n$立方体的每个$m$面取相同次数的值1，则该布尔函数被称为$n-m$度相关免疫。本文证明了每一个布尔函数$χ^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-ρ(S))\leq n,$$，其中${\rm cor}(S)$是$χ^S$的相关免疫度的最大值，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中的平均近邻数，$ρ(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度.此外，函数$χ^S$是完美着色当且仅当我们在上面的公式中获得等式。关键词：超立方体，完美染色，完美码，相关免疫函数。
Threshold-Coloring and Unit-Cube Contact Representation of Graphs
本文研究了图的阈值染色，其中用整数表示的顶点颜色描述给定图的任意生成子图如下。具有近颜色的顶点对意味着它们之间的边存在，而具有远颜色的顶点对意味着边不存在。不是所有的平面图都是阈值可着色的，但是一些子类，如树，一些平面网格和没有短圈的平面图总是可以阈值着色的。利用这些结果，我们得到了几个平面图子类的单位立方接触表示。阈值着色问题的变体与众所周知的图着色和其他图论问题有关。使用这些关系，我们显示的NP-完全的这些变种中的两个，并描述一个多项式时间算法的另一个。
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube
如果对于每个$n$ -元组$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则称$q$ -元$n$ -维立方体（超立方体）的着色为完美的。一个布尔值函数被称为$n-m$度相关免疫，如果它对超立方体的每个$m$维面取相同次数的值1。设$f=χ^S$是超立方体的某个子集$S$的特征函数。本文证明了不等式$ρ(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq α(S)$，其中${\rm cor}(f)$是$f$的相关免疫度的最大值，$α(S)$是集合$S$中$n$ -元组在集合$S$的补中的邻居的平均数，$ρ(S)=|S|/q^n$是集合$S$的密度.此外，还证明了函数$f$是完全着色的充要条件是得到了上述公式中的等式，并得到了$q>2$情形下完全着色分量和1-完全码分量基数的新下界.关键词：超立方体，完美着色，完美码，MDS码，比特率，公平分割，正交表。
Multidimensional necklaces and measurable colorings of R^n
由Longueville和Zivaljevic对Alon的“分裂nacklace定理”的一个众所周知的推广指出，每个k色的n维立方体可以在每个维度上只使用k个切割来公平地分裂。这里我们证明了对每个t，R^n存在有限染色（至少有（t+4）^d -（t+3）^d +（t +2）^d - 2^d + d（t+2）+3种不同的颜色），使得没有n维立方体可以在每个维上使用最多t个切割来公平地分裂。特别是，R^n存在有限着色，使得没有两个不相交的n维立方体具有每种颜色的相同度量。
The number of colorings of the middle layers of the Hamming cube
本文研究了汉明立方体中间层诱导子图的正常着色计数问题，利用熵、图容器方法及簇展开技术刻画了着色的典型结构并给出数量的渐近公式。
Coloring the cube with rainbow cycles
对于每个偶数正整数$k\ge 4$，让$f(n,k)$表示对$n$维立方体$Q_n$的边着色所需的最小颜色数，使得$k$ -循环$C_k$的每个副本的边接收$k$不同的颜色. Faudree、Gyárfás、Lesniak和Schelp证明了$f(n,4)=n$对于$n=4$或$n>5$。我们考虑更大的$k$并证明如果$k \equiv 0$（mod 4），则存在仅取决于$k$的正常数$c_1, c_2$，使得$$c_1n^{k/4} < f(n,k) < c_2 n^{k/4}.$$我们的上界使用广义Sidon集的Bose和Chowla的旧构造。对于$k \equiv 2$（mod 4）来说，情况似乎更复杂。对于最小的情况k=6，我们表明，$$n \le f(n, 6) < n^{1+o(1)}.$$的上限是从Behrend的建设的一个子集的整数没有三项算术级数。
The chromatic number of the square of the 8-cube
类立方图是阶为$2^n$的初等阿贝尔群的凯莱图。在类立方图的色数的研究中，经常考虑$n$维超立方图的$k$次幂，即$Q_n^k$.这个着色问题可以在编码理论的框架中考虑，因为图$Q_n^k$可以由每个长度为$n$的二进制字的一个顶点和当相应字之间的海明距离最多为$k$时顶点之间的边来构造。因此，$Q_n^k$的适当着色对应于将$n$维二进制汉明空间划分成具有至少$k+1$的最小距离的码。最小的开放情况，$Q_8^2$的色数，在这里解决了找到一个13-着色。这种具有特定对称性的13-着色被进一步分类。
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
Splitting multidimensional necklaces and measurable colorings of Euclidean spaces
Goldberg和West的项链分裂定理断言，任何k色（连续）项链都可以使用最多k个切割公平地分裂。受Erdos问题的启发，Alon等人证明了实数线存在（t+3）-着色，其中没有项链具有最多使用t切割的公平分裂。我们将这一结果推广到高维空间。更具体地说，我们证明了存在R^{d}的k-染色，使得没有立方体具有大小为t的公平分裂（使用最多t个与每个轴正交的超平面），条件是k>（t+4）^{d}-（t+3）^{d}+（t+2）^{d}-2 ^{d}+d（t+2）+3。我们还考虑了一个离散的变种的多维项链分裂问题的精神的定理的de Longueville和Ekivaljević。一个d维k色立方体的公平分裂需要多少个轴对齐的超平面的问题仍然是开放的。
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
Symmetric Layer-Rainbow Colorations of Cubes
我们是否可以用$n^2$颜色对$n\times n\times n$立方体的$n^3$单元进行着色，使得平行于每个面的每一层都只包含一种颜色，并且着色是对称的，使得$L_{ij\ell}=L_{j\ell i}=L_{\ell ij}$用于不同的$i,j,\ell \in \{1,\dots,n\}$，而$L_{iij}=L_{jj i}, L_{iji}=L_{jij}, L_{ij j}=L_{jii}$用于$i,j\in \{1,\dots,n\}$？使用运输网络，我们表明，这样的着色是可能的，当且仅当$n\equiv 0,2 \mod 3$（有两个例外，$n=1$和$n\neq 3$）。受实验设计的启发，Kishen和Fisher在20世纪40年代开始研究这些物体（不对称）。这些物体也与正交表密切相关，正交表的存在已被广泛研究，它们是对称拉丁方的自然三维类似物。
The distinguishing number of the augmented cube and hypercube powers
图G的可区别数，记为D（G），是使G的顶点存在一个染色的最小颜色数，其中没有非平凡图自同构是保色的。本文证明了当2 < p < n-1时，n维超立方体的p次图幂的可区别数为2.从而完成了超立方幂的可区别数的研究。我们还计算了增广立方体的区别数，超立方体的一个变种，回答了一个公开的问题。
The balanced upper chromatic number of linear hypergraphs and the $n$-cube over $t$ elements
本文研究线性超图与n-立方体$C_t^n$的平衡上色数，针对任意线性超图给出该参数的通用上界，确定$t\geq4n-2$时$C_t^n$的精确值，并在2、3维情形下给出更小t值时的相关结果。
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
New Results on Two Hypercube Coloring Problems
本文研究了以下两个超立方体着色问题：给定$n$和$d$，求出最小颜色数，记为$χ'_{d}(n)$（分别为. $χ_{d}(n)$），需要对$n$立方体的顶点进行着色，使得汉明距离最大为$d$的任何两个顶点（分别确切地说是$d$）具有不同的颜色。这些问题最初出现在光网络的可扩展性研究中。利用编码理论中的方法，证明了对任意奇数$r\geq3$，$χ'_{4}(2^{r+1}-1)=2^{2r+1}$，$χ'_{5}(2^{r+1})=4^{r+1}$都成立，并给出了$χ_{d}(n)$的两个上界.第一个上界改进了Kim，Du和Pardalos的上界.对于小的$n$，第二个上界比第一个上界更好。进一步，我们得到了关于$χ_{d}(n)$和$χ'_{d}(n)$的一个不等式.
Two-coloring cubic graphs with small monochromatic components, but without singletons
本文结合小单色分量与无孤立点两个染色性质，证明存在常数c使每个三次图可2-染色，使每个单色分量顶点数介于2和c之间，并给出非平衡版本，作为Wegner猜想工具的松弛。
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
Total coloring of regular graphs of girth = degree + 1
本文研究围长等于度数加1的正则图的高效全染色，构造了围长为4的三次图的高效全染色并提出四种基本运算猜想，同时给出若干非高效全染色实例及对3-路和3-星划分的应用。
Edge coloring complete uniform hypergraphs with many components
设$H$是一个超图。对于$k$ -边着色$c : E(H) \to \{1,...,k\}$，令$f(H,c)$为由具有最少分量的色类导出的子超图中的分量数.令$f_k(H)$为$H$的所有$k$ -边着色范围内的$f(H,c)$的最大可能值。如果$H$是完全图$K_n$，那么简单地说，就是$f_1(K_n)=f_2(K_n)=1$。本文证明了对于$n \geq 6$，$f_3(K_n)=\lfloor n/6 \rfloor+1$，并给出了$k \geq 4$情形下$f_k(K_n)$的上下界.还建立了关于$f_k(K_n^r)$的值的几个结果，其中$K_n^r$是$n$顶点上的完全$r$ -一致超图.
Neighborhood Variants of the KKM Lemma, Lebesgue Covering Theorem, and Sperner's Lemma on the Cube
本文提出了立方体上KKM引理、Lebesgue覆盖定理和Sperner引理的邻域变体，证明了对任意满足相对面颜色不同的着色，存在一个ℓ∞ ε-球包含至少(1+ε/(1+ε))^d种不同颜色。
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
Component sizes in the supercritical percolation on the binary cube
本文为二进制立方体超临界渗流的分量大小经典结果提供了简短自包含证明，覆盖Ajtai等人及Bollobás等人的工作。
Three lectures on random proper colorings of $\mathbb{Z}^d$
图的正确$q$ -着色是将$q$颜色之一分配给图的每个顶点，使得邻顶点被不同地着色。在整数格$\mathbb{Z}^d$中一个大的离散立方体的所有正确的$q$ -着色之间均匀采样。所得到的随机着色是否表现出任何大尺度结构？它的相关性衰减快吗？我们讨论这些问题和他们的答案取决于尺寸$d$和颜色的数量$q$的方式。这些问题的动机是统计物理学（反铁磁材料，方冰），组合学（适当的着色，独立集）和随机Lipschitz函数的研究在一个晶格。讨论介绍了一套不同的工具，用于这一目的和其他问题，包括空间混合，熵和耦合方法，吉布斯措施和他们的分类和细化轮廓分析。
Optimal cube factors of Fibonacci and matchable Lucas cubes
首先引入了图的最优立方因子，这是一种特殊的分支因子。进一步研究了Fibonacci立方体和匹配Lucas立方体的最优立方体因子，得到了关于Padovan序列和二项式系数的一些结果.
Large monochromatic components in colorings of complete hypergraphs
本文研究完全超图着色中最大单色连通分量的大小，推广了图论中的经典问题，给出了紧至$1+o(1)$因子的上下界，并探讨了顶点$s$-集合计数及两色特殊情形。
Symmetric colorings of polypolyhedra
多面体（后R. Lang）是边传递的1-β的化合物。有54个拓扑上不同的多面体，每个都有二十面体，立方八面体或四面体对称，所有这些都可以实现为每个骨架边缘一个模块的模块化折纸模型。考虑一个着色，其中给定组件的每条边接收不同的颜色，并且着色（直到全局颜色置换）在多面体的对称群下是不变的。在五个相交的四面体上，每种颜色的边缘在模型上形成视觉带，并对应于十二面体图上的匹配。我们统计了这类着色的数目，并给出了三个证明。对于每一个非多边形分量的多面体，都有一个对应的匹配着色，我们计算这些匹配着色的数量。对于某些非多边形分量的多面体，存在相应的视带着色，并统计了这些视带着色的个数。
Vertex-Coloring with Star-Defects
缺陷着色是传统顶点着色的一种变体，它允许相邻的顶点具有相同的颜色，只要相应的边诱导的单色分量具有一定的结构。由于其重要的应用，例如在图的二分图中，这种类型的着色已被广泛研究，主要是关于单色分量的大小，程度和无环性。在本文中，我们集中在亏色，其中单色分量是非循环的，有小的直径，即，他们形成的明星。对于外平面图，我们给出了一个线性时间算法来判定这种缺陷染色是否存在两种颜色，并且在肯定的情况下，构造一个缺陷染色。此外，我们证明了一个外路径（即，弱对偶是路的外平面图）总是允许这样的二染色。最后，我们给出了非平面图和平面图的有界度的两种和三种颜色的NP-完全性结果。
Coloring planar graphs with three colors and no large monochromatic components
证明了一个函数$f :\mathbb{N} \to \mathbb{N}$的存在性，使得每个可平面图的顶点都是3-着色的，并且使得每个单色分量至多有$Δ$顶点.这是最好的可能性（颜色的数量不能减少，对最大程度的依赖不能避免），并回答了Kleinberg，Motwani，Raghavan和Venkatasubramanian在1997年提出的问题。我们的结果扩展到有界亏格的图。
A Theory for Coloring Walks in a Digraph
该研究将有向图边着色推广到k游走的偏序集着色，结合下序理想构造与Birkhoff映射A，证明k游走P着色等价于迭代k-1次A的顶点偏序着色，推广并简化了有向色指数问题。
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
Component Edge Connectivity of Hypercube-like Networks
作为传统连通度的推广，非完全图G的g-分量边连通度cλg（G）是指使生成的图至少有g个分量的最小删除边数.类超立方体网络（Hypercube-like networks，简称HL-networks）是通过对超立方体中的一些边对进行操作而得到的网络，它包含了几种著名的互连网络，如扭曲立方体、Mobius立方体、交叉立方体、局部扭曲立方体等。本文确定了n维HL-网络的（g + 1）分支边连通度。
The Last Temptation of William T. Tutte
1999年，在他最后一次公开演讲中，图特讨论了一个他自四色猜想时代以来一直在考虑的问题。他问是否4着色复杂的平面三角可以有两个组成部分，其中所有着色有相同的奇偶性。在这份说明中，我们回答Tutte的问题，相反，他的猜测表明，有三角形的平面，其着色复合物有任意多的偶数和奇数组件。最后，我们得到了一个密切相关的猜想，这是基于一个广泛的计算，并声称，对于每一个平面三角形的4-着色复合体是不连通的有一个组成部分的偶宇称和一个奇宇称。
Monochromatic components with many edges
给定完全图$K_n$的一个$r$ -边染色，一个单色连通分支的最大边数是多少？这个自然的问题只是最近才得到应有的重视，两个不相交的子集的作者解决了它的前两个特殊情况下，当$r = 2$或$3$。在这里，我们介绍了一个通用的框架来研究这个问题，并将其应用到充分解决$r = 4$的情况下，显示任何$4$ -边着色的$K_n$包含一个单色组件，至少$\frac{1}{12}\binom{n}{2}$边缘，其中常数$\frac{1}{12}$是最佳的，只有当着色匹配一定的建设Gyárfás。
Large components in random induced subgraphs of n-cubes
本文研究二元$n$ -立方体$Q_2^n$的随机诱导子图.该随机图通过以独立概率$λ_n$选择每个$Q_2^n$ -顶点而获得。使用一种新的结构的子组件，我们研究了最大的组件$λ_n=\frac{1+χ_n}{n}$，其中$ε\ge χ_n\ge n^{-{1/3}+ δ}$，$δ>0$。我们证明存在a.s.唯一最大的组件$C_n^{(1)}$。我们还表明，$χ_n=ε$，$| C_n^{(1)}|\sim α(ε) \frac{1+χ_n}{n} 2^n$和$o(1)=χ_n\ge n^{-{1/3}+δ}$，$| C_n^{(1)}| \sim 2 χ_n \frac{1+χ_n}{n} 2^n$持有。这改进了考虑恒定$χ_n=χ$的\cite{Bollobas:91}的结果。特别地，在$λ_n=\frac{1+ε} {n}$的情况下，我们的分析暗示a.s.存在一个独特的巨型组件。
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
On connected components with many edges
证明了如果$H$是完全多部图$G$的一个子图，则$H$包含一个满足$|E(H')||E(G)|\geq |E(H)|^2$的连通分支$H'$.我们利用这一点证明了一个完全图的边的每一个三色都包含一个单色连通子图，其中至少有$1/6$条边。我们进一步表明，这样的着色有一个单色电路的一部分$1/6-o(1)$的边缘。这证实了Conlon和Tyomkyn的一个猜想。对一般的$k$，我们证明了$K_n$的边的每个$k$ -染色都包含一个至少有$\frac{1}{k^2-k+\frac{5}{4}}\binom{n}{2}$边的单色连通子图.
FIID Coloring Random Maps
本文证明方格渗流连通分量可被 FIID 因子 5-染色，临界概率之上可 4-染色，并推广了相关对应关系及平面性定义。
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
Large monochromatic components in almost complete graphs and bipartite graphs
Gyárfas证明了每一个着色的边缘$K_n$与$t+1$颜色包含一个单色连通组件的大小至少$n/t$。后来，Gyárfás和Sárközy询问了$γ=γ(t)$的哪些值对于几乎完全图是加强的：如果$G$是一个$n$ -顶点图，其最小度至少为$(1-γ)n$，则$G$的每个$(t+1)$ -边着色包含一个大小至少为$n/t$的单色分量。我们证明了$γ= 1/(6t^3)$是足够的，改进了DeBiasio、Krueger和Sárközy的结果。
A Simple Characterization of Proportionally 2-choosable Graphs
我们最近介绍了比例可选性，一个新的列表模拟公平着色。像是一种颜色，不像是一种颜色。公平的可选择性），比例的可选择性从上到下都限制了颜色类的大小。本文证明了一个图是比例2-可选的当且仅当它是一个线性森林，使得它的最大分支至多有5个顶点，并且它的所有其他分支都有两个或更少的顶点。我们还构造的例子表明，公平的2-可选图的特征仍然是开放的。
Graph coloring with no large monochromatic components
对于图G和整数t，设mcc_t（G）是最小的m，使得G的顶点有t个着色，且没有一个单色连通子图的顶点数大于m。设F是任意非平凡的次闭图族。证明了对任意n-顶点图G \in F，\mcc_2（G）= O（n^{2/3}）.这个界是渐近最优的，它是在平面图上得到的。更一般地，对于每个这样的F和每个固定的t，我们证明了mcc_t（G）=O（n^{2/（t+1）}）。另一方面，我们有图G没有K_{t+3}子图且mcc_t（G）=Ω（n^{2/（2 t-1）}）的例子。考虑有界度的图也很有趣。Haxell、Szabo和Tardos证明了对于每个最大度为5的图G，\mcc_2（G）\leq 20000。证明了存在n-顶点7-正则图G，使\mcc_2（G）=Ω（n），更尖锐的是，对每个ε>0，存在c_ε>0和n-顶点图G，其所有子图的最大度为7，平均度至多为6+ε，且mcc_2（G）\ge c_ \eps n.对于6-正则图，只知道\mcc_2的最大数量级在\sqrt n和n之间。我们还提供了一个数量\mcc_t（G）的拉姆齐理论的观点。
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
List-three-coloring graphs with no induced $P_6+rP_3$
对于整数$r$，图$P_6+rP_3$具有$r+1$分量，其中一个分量是$6$顶点上的路径，并且其他每个分量是$3$顶点上的路径。本文给出了一个多项式时间算法来检验一个无诱导子图同构于$P_6+rP_3$的图是否是三色图。我们还解决了这个问题的列表版本，其中每个顶点被分配一个列表的可能的颜色，这是一个子集的$\{1,2,3\}$。
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
Large Monochromatic Components in Colored Random Graphs
研究随机图边着色中最大单色连通分量大小，通过分析顶点划分上的连通结构，证明\(G(n,p)\)的\(2\)边着色中单色连通分量阶至少为\(n - \Theta(ne^{-h})\)，扩展到\(3\)边着色，二分图情况也有类似结论，且各结论在常数因子上最优。
Large monochromatic components in 3-edge-colored Steiner triple systems
已知在完全$r$ -一致超图的边的任何$r$ -染色中，都存在生成单色分支.给定一个$n$顶点上的Steiner三元系，在边的任意3-着色中可以保证的最大单色分量是什么？Gyárfás证明，$(2n+3)/3$是一个绝对下界，这个下界是最好的可能无限多$n$。另一方面，我们证明了几乎所有的Steiner三元系的下界实际上是$(1-o(1))n$。我们得到这一结果的一个更一般的定理的结果表明，下界取决于一个最大的\emph{3-partite hole}的大小（即，设置$X_1, X_2, X_3$与$|X_1|=|X_2|=|X_3|$，使没有边缘相交的所有$X_1, X_2, X_3$）在施泰纳三元系（Gyárfás以前观察到，上限取决于这个参数）。此外，我们证明了这个下界是紧的，除非着色有一个特定的结构。我们还提出了各种其他拉姆齐问题的设置施泰纳三元系。
Partitioning random graphs into monochromatic components
Erdás，Gyárfás，and Pyber（1991）证明了每个$r$着色的完全图最多可以被划分为$r-1$单色分量;这是对Lovász（1975）猜想的加强，在Lovász（1975）猜想中，分量只需要形成覆盖。Haxell和Kohayakawa（1995）的一个重要的部分结果表明，对于足够大的$r$ -着色完全图，划分成$r$单色分量是可能的。我们首先将Haxell和Kohayakawa的结果推广到最小度大的图，然后给出了随机图的一些部分类似结果。特别是，我们表明，如果$p\ge \left(\frac{27\log n}{n}\right)^{1/3}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每个$2$ -着色中，存在分成两个单色分量的分区，并且对于$r\geq 2$，如果$p\ll \left(\frac{r\log n}{n}\right)^{1/r}$，则a.a.s.存在$G(n,p)$的$r$ -着色，使得不存在具有有界分量数的覆盖。最后，我们考虑Gyárfás（1977）关于$r$ -着色完全图中大单色分量的经典结果的随机图形式。我们表明，如果$p=\frac{ω(1)}{n}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每一个$r$ -着色中，存在阶至少为$(1-o(1))\frac{n}{r-1}$的单色分量。
A Vizing-like theorem for union vertex-distinguishing edge coloring
本文研究了一种边着色变种，每条边被赋予颜色子集，顶点标签是其邻边颜色集的并集。研究了找到最小颜色数使每个顶点标签不同的问题，并证明对于任何图，该最小颜色数仅可能取3个值，针对路径、环和完全二叉树给出了精确值。
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
List-coloring embedded graphs
对于亏格为g的任意固定曲面Sigma，我们给出了一个算法，通过在时间O上分配一个长度为3的列表来判定嵌入Sigma的围长至少为5的图G是否可着色（|V（G）|).此外，我们可以允许至多具有s个分量的子图（任何大小）被预着色，代价是将算法的时间复杂度增加到O（|V（G）|^{K（g+s）+1}）;在这两种情况下，隐藏在O符号中的乘法常数取决于g和s。这也使我们能够找到这样一个着色时，它的存在。该算法的思想可以应用于其他类似的问题，例如，曲面上图的5-列表染色。
Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor
本文研究排除子图和/或子式的图的聚类着色问题，证明了多类图的有界聚类着色数最优界，改进了奇子式相关猜想的现有界值。
Kempe Equivalent List Colorings Revisited
本文证明对每个非完全的4-连通图及其任意度分配，所有列表着色在Kempe变换下均等价，回答了Cranston和Mahmoud的提问。
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