An analogue of Gromov's waist theorem for coloring the cube
证明了如果将一个$d$维立方体划分为$n^d$个小立方体，并将这些小立方体着色为$m+1$颜色，则存在至少由$f(d, m) n^{d-m}$个小立方体组成的单色连通分支.
2011-11-17 math.AT math.CO
Closed Neighborhood Balanced k-Coloring of Graphs
本文定义图的闭邻域平衡 k-着色，给出其存在的若干充要条件，分析相关图运算，并证明该图类不能通过禁用子图刻画。
2025-10-18 math.CO
Neighborhood Balanced k-Coloring of Graphs
BITS Pilani, K K Birla Goa Campus（比蒂斯皮拉尼大学，K K 比尔拉果阿校区）；The Institute of Mathematical Sciences, HBNI（数学科学研究所，HBNI）
本文研究图的邻域平衡k-着色，推导其存在的必要/充分条件，讨论可实现该着色的图类，证明该判定问题为NP-完全且该图类无禁子图刻画。
2026-08-20 math.CO
Neighborhood Balanced 3-Coloring
该研究围绕邻域3平衡图展开，给出其阶数约束，明确广义Petersen图与Pappus图中的3平衡类型，分析3平衡性质在图构造中的保持情况，提出三次3平衡图的两种刻画并完成小阶数分类。
2024-10-07 math.CO
Size of components of a cube coloring
假设一个尺寸为n^d的d维格子立方体被着色为几种颜色，使得它的三角剖分（将标准划分细分为n^d个小立方体）没有面被着色为m+2种颜色。然后一种颜色至少使用f（d，m）*n^（d-m）次。
2011-11-16 math.AT math.CO
On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube
如果对于每个$n$ -元组$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则称$q$ -元$n$ -维立方体（超立方体）的着色为完美的。一个布尔值函数被称为$n-m$度相关免疫，如果它对超立方体的每个$m$维面取相同次数的值1。设$f=χ^S$是超立方体的某个子集$S$的特征函数。本文证明了不等式$ρ(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq α(S)$，其中${\rm cor}(f)$是$f$的相关免疫度的最大值，$α(S)$是集合$S$中$n$ -元组在集合$S$的补中的邻居的平均数，$ρ(S)=|S|/q^n$是集合$S$的密度.此外，还证明了函数$f$是完全着色的充要条件是得到了上述公式中的等式，并得到了$q>2$情形下完全着色分量和1-完全码分量基数的新下界.关键词：超立方体，完美着色，完美码，MDS码，比特率，公平分割，正交表。
2011-04-07 math.CO
Multidimensional necklaces and measurable colorings of R^n
由Longueville和Zivaljevic对Alon的“分裂nacklace定理”的一个众所周知的推广指出，每个k色的n维立方体可以在每个维度上只使用k个切割来公平地分裂。这里我们证明了对每个t，R^n存在有限染色（至少有（t+4）^d -（t+3）^d +（t +2）^d - 2^d + d（t+2）+3种不同的颜色），使得没有n维立方体可以在每个维上使用最多t个切割来公平地分裂。特别是，R^n存在有限着色，使得没有两个不相交的n维立方体具有每种颜色的相同度量。
2013-02-12 math.CO
The number of colorings of the middle layers of the Hamming cube
本文研究了汉明立方体中间层诱导子图的正常着色计数问题，利用熵、图容器方法及簇展开技术刻画了着色的典型结构并给出数量的渐近公式。
2023-05-25 math.CO
Note on the number of balanced independent sets in the Hamming cube
令$Q_d$是$d$维汉明立方体，而$N=|V(Q_d)|=2^d$ . $Q_d$中的独立集$I$称为平衡的，如果$I$包含相同数量的偶数和奇数顶点。证明了$Q_d$中平衡独立集个数的对数为\[(1-Θ(1/\sqrt d))N/2.\]。证明的关键是改进了Sapozhenko的图容器引理。"
2021-03-20 math.CO
A note on balanced independent sets in the cube
Ramras证明了当n为奇数时，在包含偶数和奇数个数相等的集合的离散立方体中，独立集的最大大小为2^（n-1）-（n-1 choose（n-1）/2）。我们证明了这个猜想，并找到了类似的界限时，n是偶数。这个结果是由立方中的一个等周不等式得出的。
2012-10-15 math.CO
Coloring the cube with rainbow cycles
对于每个偶数正整数$k\ge 4$，让$f(n,k)$表示对$n$维立方体$Q_n$的边着色所需的最小颜色数，使得$k$ -循环$C_k$的每个副本的边接收$k$不同的颜色. Faudree、Gyárfás、Lesniak和Schelp证明了$f(n,4)=n$对于$n=4$或$n>5$。我们考虑更大的$k$并证明如果$k \equiv 0$（mod 4），则存在仅取决于$k$的正常数$c_1, c_2$，使得$$c_1n^{k/4} < f(n,k) < c_2 n^{k/4}.$$我们的上界使用广义Sidon集的Bose和Chowla的旧构造。对于$k \equiv 2$（mod 4）来说，情况似乎更复杂。对于最小的情况k=6，我们表明，$$n \le f(n, 6) < n^{1+o(1)}.$$的上限是从Behrend的建设的一个子集的整数没有三项算术级数。
2012-12-07 math.CO
Perfect colorings of the 12-cube that attain the bound on correlation immunity
我们构造了$12$ -超立方体的完美$2$ -着色，达到了我们最近关于任意相关免疫函数维数的界。我们证明了当$x=0$，$2$，$3$时，这种带参数（$(x,12-x,4+x,8-x$）的着色存在，当$x=1$时，这种着色不存在.这是D. G. Fon-Der-Flaass，“Perfect colorings of the $12$ -cube that achieve the bound on correlation immunity”，以俄文发表于Siberian Electronic Mathematical Reports，第4卷（2007）292-295。
2014-03-31 cs.DM math.CO
$(2k+1)$-Neighborhood Balanced Coloring
本文针对素数 $(2k+1)$ 定义并研究 $(2k+1)$-邻域平衡着色，为常见图族建立结果并给出具有该性质的图族示例。
2026-10-19 math.CO
On the balanced upper chromatic number of finite projective planes
本文研究了所有色类大小相差至多一个的超图的顶点着色（平衡着色）和每个超边至少包含两个相同颜色的顶点的超图的顶点着色（无彩虹着色）。对于任何超图$H$，使$H$有平衡的无彩虹$k$ -染色的最大数称为超图的平衡上色数。通过对所有$q$确定Deskeresian射影平面$\mathrm{PG}(2,q)$的平衡上色数，证实了Araujo-Pardo，Kiss和Montejano的猜想.此外，我们还渐近地确定了几类非Deskenesian射影平面的平衡上色数，并利用概率方法给出了任意射影平面的平衡上色数的一般下界，该下界确定了直到乘法常数的参数.
2020-05-25 math.CO
Threshold-Coloring and Unit-Cube Contact Representation of Graphs
本文研究了图的阈值染色，其中用整数表示的顶点颜色描述给定图的任意生成子图如下。具有近颜色的顶点对意味着它们之间的边存在，而具有远颜色的顶点对意味着边不存在。不是所有的平面图都是阈值可着色的，但是一些子类，如树，一些平面网格和没有短圈的平面图总是可以阈值着色的。利用这些结果，我们得到了几个平面图子类的单位立方接触表示。阈值着色问题的变体与众所周知的图着色和其他图论问题有关。使用这些关系，我们显示的NP-完全的这些变种中的两个，并描述一个多项式时间算法的另一个。
2013-05-16 cs.DM math.CO
Distance-balancing of cube-connected cycles graphs
该研究证明立方体连接循环图$CCC_n$具有距离平衡性，且仅当$n$为偶数时具备良好距离平衡性。
2024-01-29 math.CO
On Balanced Coloring Games in Random Graphs
考虑平衡的拉姆齐游戏，其中一个玩家有r种颜色，并且在每一步中，r条随机边出现在n个顶点上的初始空图中。玩家必须立即为每条边分配不同的颜色，她的目标是尽可能长时间地避免创建某个固定图F的单色副本。Achlioptas游戏类似，但玩家只有在创建一个F的副本时才会输。我们表明，有一个无限的家庭的非森林F的平衡拉姆齐游戏有一个不同的阈值比Achlioptas游戏，解决一个悬而未决的问题Krivelevich等人。我们还考虑了自然的顶点模拟这两个游戏，并表明他们的阈值一致的所有图F，在对比我们的结果的边缘的情况下。
2013-04-26 math.CO
Extremal bipartite independence number and balanced coloring
本文研究二分图极值问题，得到两个算法性的最优（差2倍内）结果：大平均度二分图的平衡独立集大小下界，以及最大度有界平衡二分图的平衡着色划分数上界，分别改进了已有定理。
2023-05-22 math.CO
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
2015-09-23 cs.IT math.CO math.IT
Extremal diameters of 3-coloring graphs of trees
Santa Clara University（圣克拉拉大学）
研究3染色图的极值直径，通过平衡标记的概念，确定树的3染色直径的最大和最小值及极值树的特征。
2026-01-03 math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
Rainbow Subgraphs in Edge-colored Complete Graphs -- Answering two Questions by Erdős and Tuza
一个具有$C$颜色集的完全图的边染色称为完全平衡的，如果任意顶点与$C$中每种颜色的相同数目的边关联。Erdwors和Tuza问在$1993$是否为任何图形$F$上的$\ell$边缘和任何完全平衡着色的任何足够大的完全图使用$\ell$颜色包含彩虹副本的$F$。这个问题是重申Erdés在他的清单“一些我最喜欢的问题周期和着色”。我们回答这个问题的否定，大多数集团$F=K_q$给出明确的建设各自的完全平衡着色。此外，我们回答了一个相关的问题，关于完全平衡染色的颜色比在图$F$中的边的数量的完全图。
2022-11-28 math.CO
Interval colorings of complete balanced multipartite graphs
一个图$G$称为完全$k$ -部（$k\geq 2$）图，如果它的顶点可以被划分成$k$独立集$V_{1},...,V_{k}$，使得$V_{i}$中的每个顶点都与$1\leq i<j\leq k$的$V_{j}$中的所有其他顶点相邻.完全$k$ -部图$G$是完全平衡$k$ -部图，如果$|V_{1}| = |V_{2}| =... = |V_{k}|$ .一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。本文证明了一个完全平衡$k$ -部图$G$是区间可着色的当且仅当$nk$是偶图。证明了如果$nk$是偶数且$(k-1)n\leq t\leq ((3/2)k-1)n-1$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$允许区间$t$ -染色.此外，若$k=p2^{q}$，其中$p$是奇数，且$q\in \mathbb{N}$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$对每个满足$(k-1)n\leq t\leq (2k-p-q)n-1$的正整数$t$都有区间$t$ -染色.
2012-11-22 cs.DM math.CO
The balanced upper chromatic number of linear hypergraphs and the $n$-cube over $t$ elements
Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；California State University, Northridge（北岭加州州立大学）；Centro de Investigación y Estudios de Posgrado del IPN（墨西哥国立理工学院研究生研究与评价中心）
本文研究线性超图与n-立方体$C_t^n$的平衡上色数，针对任意线性超图给出该参数的通用上界，确定$t\geq4n-2$时$C_t^n$的精确值，并在2、3维情形下给出更小t值时的相关结果。
2026-08-14 math.CO
Balanced colorings of Erdős-Rényi hypergraphs
本文研究了稀疏 $r$-一致 $r$-部 Erdős-Rényi 超图的平衡着色问题，确定了其平衡色数的渐近行为，并将 Feige 和 Kogan 关于二部图的结果推广到了更一般的超图情形。
2025-04-06 cs.DM math.CO
The vertex-pancyclicity of the simplified shuffle-cube and the vertex-bipancyclicity of the balanced shuffle-cube
本文定义了顶点泛圈与双泛圈图，并证明了$n$维简化洗牌立方体在$n\geqslant 6$时顶点泛圈，$n$维平衡洗牌立方体在$n\geqslant 2$时顶点双泛圈。
2024-09-21 cs.DM math.CO
Balanced Black and White Coloring Problem on knights chessboards
图反着色问题是部分着色问题，其主要特征是与图着色问题的规则相反，即，如果两个顶点相邻，则它们的指定颜色必须相同，或者其中至少一个顶点未着色。同样，Berge在1972年提出了在$n \times n$棋盘上放置b个黑皇后和w个白皇后的问题，使得没有两个不同颜色的皇后可以相互攻击，这个问题的复杂性仍然是开放的。在这项工作中，我们处理骑士片下的平衡属性，因为这种特殊情况下是最困难的暴力算法。
2018-03-28 cs.DM math.CO
The strong equitable vertex 1-arboricity of complete bipartite graphs and balanced complete k-partite graphs
图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$G$的$q$ -着色，使得由每个颜色类导出的子图是最大度至多为$r$的森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多为$1.$。设图$G,$的\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}用$va^\equiv_r (G)$表示，是最小$p$，使得$G$具有公平的$(q, r)$树，Tao和Lin以及Wu，Zhang和Li研究了$q\geq p.$的值，其中在某些特殊情况下发现了$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在本文中，我们推广了他们的结果，给出了所有情况下的$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在这个过程中，我们引入了一个与均匀着色有关的新函数，并通过确定每个$va^\equiv_1 (K_{m,n})$和$va^\equiv_1 (G)$的精确值得到了一个更一般的结果，其中$G$是一个平衡的完全$k$ -部图$K_{n,\ldots,n}.$
2023-02-22 math.CO
The chromatic number of the square of the 8-cube
类立方图是阶为$2^n$的初等阿贝尔群的凯莱图。在类立方图的色数的研究中，经常考虑$n$维超立方图的$k$次幂，即$Q_n^k$.这个着色问题可以在编码理论的框架中考虑，因为图$Q_n^k$可以由每个长度为$n$的二进制字的一个顶点和当相应字之间的海明距离最多为$k$时顶点之间的边来构造。因此，$Q_n^k$的适当着色对应于将$n$维二进制汉明空间划分成具有至少$k+1$的最小距离的码。最小的开放情况，$Q_8^2$的色数，在这里解决了找到一个13-着色。这种具有特定对称性的13-着色被进一步分类。
2016-07-06 cs.IT math.CO math.IT
Multiply Balanced Edge Colorings of Multigraphs
本文证明了一个定理，以不同的方式推广了已有的几个合并结果。其主要目的是解开一个给定的边着色的合并图，使结果是一个图，其中的边是共享的方式，是公平的几个概念的平衡（如对顶点之间，度的顶点在两个图和每个颜色类，等）的顶点之间。还讨论了颜色类的连接性。关于合并图的研究主要集中在合并完全图和完全多部图的解纠缠上。许多这样的结果遵循直接推论的主要结果在本文中，它解决了合并的图形一般，例如，允许最终的图形有重边。一个新的推论的主要定理是解决存在的汉密尔顿分解的家庭图$K(a_1,\dots, a_p;λ_1, λ_2)$ ;这样的图表自然出现在统计设置。
2017-10-10 math.CO
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
Balanced independent sets and colorings of hypergraphs
本文研究了超图的平衡独立集与着色，给出了平衡独立数关于平均度的下界及平衡色数关于最大度的上界，并推广了现有相关研究。
2024-07-25 cs.DM math.CO
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
2019-10-09 math.CO
Closed Neighborhood Balanced Coloring of Graphs
本文研究图的闭邻域平衡着色（CNBC），证明其非遗传性、与补图 NBC 的等价关系及多种图积的封闭性，并刻画树、超立方体、广义 Petersen 图和循环图。
2024-12-03 math.CO
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
2013-07-04 cs.DM math.CO
Remarks on a theorem of Erdős and Szemerédi
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文重新审视埃尔多斯-塞梅尔里定理，明确参数依赖关系，改进了原定理中隐含的 $n$ 与 $\varepsilon$ 之间的依赖关系。
2026-02-13 math.CO
Lower Bound Theorems and a Generalized Lower Bound Conjecture for balanced simplicial complexes
一个$(d-1)$维单纯复形称为平衡复形，如果它的基础图允许一个适当的$d$ -染色.我们发现，许多著名的人脸计数结果有自然的平衡类似物（或至少是结构类似物）。具体地说，我们证明了著名的伪流形下界定理的平衡模拟，并刻画了等式的情形;我们引入并刻画了Walkup类的平衡模拟;我们提出了广义下界猜想的平衡模拟，并建立了一些相关的结果.最后，我们用几个顶点的平衡流形的构造来结束。
2015-05-23 math.CO
Symmetric Layer-Rainbow Colorations of Cubes
我们是否可以用$n^2$颜色对$n\times n\times n$立方体的$n^3$单元进行着色，使得平行于每个面的每一层都只包含一种颜色，并且着色是对称的，使得$L_{ij\ell}=L_{j\ell i}=L_{\ell ij}$用于不同的$i,j,\ell \in \{1,\dots,n\}$，而$L_{iij}=L_{jj i}, L_{iji}=L_{jij}, L_{ij j}=L_{jii}$用于$i,j\in \{1,\dots,n\}$？使用运输网络，我们表明，这样的着色是可能的，当且仅当$n\equiv 0,2 \mod 3$（有两个例外，$n=1$和$n\neq 3$）。受实验设计的启发，Kishen和Fisher在20世纪40年代开始研究这些物体（不对称）。这些物体也与正交表密切相关，正交表的存在已被广泛研究，它们是对称拉丁方的自然三维类似物。
2022-05-04 cs.DM math.CO
On the balanced decomposition number
图$G$的{ \em平衡着色}表示顶点集$V(G)$的互不相交子集的三元组$\{P_1,P_2,X\}$，使得$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$和$|P_1|=|P_2|$。与$G$的平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$相关联的{ \em平衡分解}被定义为$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$（对于某些$r$）的划分，使得对于每个$i \in \{1,\cdots,r\}$，$G$的子图$G[V_i]$是连通的，并且$|V_i \cap P_1| = |V_i \cap P_2|$。定义图$G$的{ \em平衡分解数}为最小整数$s$，使得对$G$的每一个平衡着色$V(G)=P_1 \uplus P_2 \uplus X$，存在一个平衡分解$V(G)=V_1 \uplus \cdots \uplus V_r$，其每个元素$V_i (i=1, \cdots, r)$最多有$s$个顶点. S. Fujita和H. Liu [1/SIAM J. Discrete Math.24，（2010），pp. 1597--1616\/]证明了一个很好的定理：图$G$的平衡分解数至多为$3$当且仅当$G$是$\lfloor\frac{|V(G)|}{2}\rfloor$ -连通的.不幸的是，他们的证明是冗长的（…
2014-02-20 cs.DM math.CO
The Balanced Four-Color Theorem
The University of Tokyo（东京大学）；National Institute of Informatics（信息学国立研究所）
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
2026-07-15 cs.DS math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
2025-05-22 math.CO
New Results on Two Hypercube Coloring Problems
本文研究了以下两个超立方体着色问题：给定$n$和$d$，求出最小颜色数，记为$χ'_{d}(n)$（分别为. $χ_{d}(n)$），需要对$n$立方体的顶点进行着色，使得汉明距离最大为$d$的任何两个顶点（分别确切地说是$d$）具有不同的颜色。这些问题最初出现在光网络的可扩展性研究中。利用编码理论中的方法，证明了对任意奇数$r\geq3$，$χ'_{4}(2^{r+1}-1)=2^{2r+1}$，$χ'_{5}(2^{r+1})=4^{r+1}$都成立，并给出了$χ_{d}(n)$的两个上界.第一个上界改进了Kim，Du和Pardalos的上界.对于小的$n$，第二个上界比第一个上界更好。进一步，我们得到了关于$χ_{d}(n)$和$χ'_{d}(n)$的一个不等式.
2010-01-13 math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
Octopuses in the Boolean cube: families with pairwise small intersections, part I
设$\mathcal F_1, \ldots, \mathcal F_\ell$是$\{1, \ldots, n\}$的子集族。假设对于不同的$k, k'$和任意的$F_1 \in \mathcal F_{k}, F_2 \in \mathcal F_{k'}$，我们有$|F_1 \cap F_2|\le m.$，$|\mathcal F_1|\ldots |\mathcal F_\ell|$的最大值是多少？在这项工作中，我们发现这个产品的渐近$n$趋于无穷大常数$\ell$和~ $m$。这个问题与Bohn等人的一个猜想有关，这个猜想出现在二层多面体理论中，并要求在一个二层多面体中的面数和顶点数的最大乘积。这个猜想最近被Weltge和第一作者解决了。主要结果可以用着色来重新表述。我们对下面的问题给出一个渐近的答案。给定一个完全$m$ -均匀超图的边着色为$\ell$颜色，其中$M_i$为第$i$颜色中单色团的个数，那么$\prod M_i$的最大值是多少？
2022-09-10 cs.DM math.CO
A balanced non-partitionable Cohen-Macaulay complex
在最近的一篇论文中，Duval、Goeckner、Klivans和Martin反驳了Stanley长期以来的猜想，即每个Cohen-Macaulay单纯复形都是可分的。我们构造了这个猜想的反例，它们是偶数\emph{balanced}，即，它们的基础图具有最小着色。这回答了Duval等人的一个问题。
2017-11-15 math.AC math.CO
Automorphisms of the Cube $n^d$
考虑一个超图$H_n^d$，其中顶点是$d$维组合立方体$n^d$的点，边是所有$n$点的集合，使得它们在一条线上.我们研究了$H_n^d$的自同构群的结构，即，保持边缘的$n^d$的点的排列。在本文中，我们提供了一个完整的表征。此外，我们考虑的有色立方体同构问题，决定是否有两个着色的顶点$H_n^d$有一个自同构的$H_n^d$保持颜色。我们证明了这个问题是${\sf GI}$ -完全的。
2020-12-10 cs.DM math.CO
On the 1-switch conjecture in the Hypercube and other graphs
Feder和Subi证明，对于$n$维立方体的边的任何$2$ -着色，我们可以找到由最多改变一次颜色的路径连接的顶点对。我们讨论的情况下，随机着色，我们证明了猜想的广泛的一类着色。我们的方法可以应用到一个更一般的问题，其中$Q_n$可以被任何图形$G$，由一个固定的自同构$ϕ\in Aut(G)$的反足性的概念取代。因此，对于$E(G)$的任何$2$ -着色，我们都在寻找一对顶点$u,v$，使得$u= ϕ(v)$和它们之间有一条尽可能少的颜色变化的路径。我们解决了这个问题的环形网格$G=C_{2a} \square c_{2b}$的自同构，使每个顶点到其唯一的最远对。我们的结果指向一个更一般的猜想，原来是支持以前的定理Feder和Subi。
2015-04-22 math.CO
H-coloring tori
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持邻接的函数。$H$ -着色编码图论概念，如独立集和适当的着色，并且是统计物理学中硬约束模型研究的自然环境。本文研究了偶离散环面${\mathbb Z}^d_m$的$H$ -染色集，即顶点集${0, ..., m-1}^d$（$m$偶）上的图，如果两个相邻的字符串在一个坐标上相差1（mod $m$），而在其他坐标上都一致.这是一个二分图，具有二分类${\mathcal E}$和${\mathcal O}$。在$m=2$的情况下，偶数离散环面是离散超立方体或汉明立方体$Q_d$，${0,1}^d$上通常的最近邻图。对任何$H$和固定的$m$，我们得到了${\mathbb Z}^d_m$的$H$ -着色空间的结构特征.我们表明，它可以被划分成一个特殊的子集可以忽略不计的大小（$d$增长）和集合的子集索引的某些对$(A,B) \in V(H)^2$，每个$H$着色的子集索引的$(A,B)$有所有，但一个消失的比例的顶点从${\mathcal E}$映射到顶点从$A$，和所有，但一个消失的比例的顶点从${\mathcal O}$映射到顶点从$B$。这意味着对于$m$固定和$d$增长的${\mathbb Z}^d_m$的均匀选择的$H$着色的长程相关现象。我们的证明是通过分析一致选择的$H$ -染色的熵来进行的，并…
2012-06-14 math.CO
Proving Norine's Conjecture holds for $n=7$ via SAT solvers
针对 $n$ 维立方体图对跖红/蓝边着色中是否必有对跖顶点由单色路径相连的问题，本文使用 SAT 求解器将 Norine 猜想的成立范围从 $n\le 6$ 推进到 $n=7$。
2024-08-05 math.CO
Local Distance Antimagic Labeling of Neighborhood Balanced Colored Graphs
BITS Pilani, K K Birla Goa Campus（比茨皮拉尼大学，K K 比尔拉果阿校区）；Rosary College of Commerce and Arts（玫瑰商业与艺术学院）
本文针对无孤立顶点的图定义局部距离反幻标号及相应色数 χ_ld(G)，并研究邻域平衡着色图的标号问题。
2026-10-20 math.CO
A Chain-Level Borsuk--Ulam Obstruction Proof of Norine's Antipodal-Coloring Conjecture
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
研究\(n\geq2\)时\(n\)维超立方体红 - 蓝边着色中连接顶点与其对映点的单色路径问题，通过构造特定链映射并利用链级博苏克 - 乌拉姆障碍予以证明。
2026-07-22 math.AT math.CO
Growth rates of the bipartite Erdős-Gyárfás function
本文研究非平衡完全二分图下二分Erdős-Gyárfás函数的渐近行为，给出增长率的阈值与上下界，改进平衡情形已有结果，证明基于颜色能量法的二分推广及Corrádi经典结果的推广。
2024-06-08 math.CO
Sharp isoperimetric inequalities on the Hamming cube II: The critical exponent
Chapman University（查普曼大学）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛威尔分校）
本文在临界指数β=1/2处证明了Hamming立方体的锐利等周不等式，解决了Kahn和Park的猜想，并给出了布尔值函数的锐利L¹泊松不等式。
2026-02-24 cs.IT math.CA math.CO
