AI 中文总结
研究n≥3顶点平面图的染色问题，核心方法是证明其能进行特定4染色且可在O(n log n)时间找到，贡献是给出最优界限并扩展到更多颜色及一般曲面图。
AI 中文摘要
我们证明，每个具有n≥3个顶点的平面图都能进行4染色，使得每种颜色使用的顶点数少于n/2个。此界限是最优的。此外，可在O(n log n)时间内找到这样的染色。我们还将这些结果扩展到五种或更多颜色以及一般曲面上的图。
英文摘要
We show that every planar graph with $n \geq 3$ vertices admits a 4-coloring in which each color is used on fewer than $n/2$ vertices. This bound is the best possible. Moreover, such a coloring can be found in $O(n \log n)$ time. We also extend these results to five or more colors and to graphs on general surfaces.
