发表机构
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造了特定参数的三元组，证明集合染色拉姆齐数 $R(q+1;r,s)$ 可达 $\Theta_q(r^{4/3})$，并肯定回答了 $q=3$ 时的相关问题，同时给出相应 $q$ 元码的最大规模。
AI 中文摘要
集合染色拉姆齐数 $R(k;r,s)$ 是使得对 $K_N$ 的每条边赋予 $[r]$ 的一个 $s$ 元子集后，必存在一个 $K_k$ 副本且其所有边共享一种颜色的最小 $N$。对于每个固定的素数幂 $q$，我们构造了无穷多个正整数三元组 $(r,j,s)$，满足 $j\sim(q-1)^{-2/3}r^{1/3}$ 且 $s=(1-1/q)(r-j)$，使得 $R(q+1;r,s)=\Theta_q(r^{4/3})$。当 $q=3$ 时，这肯定地回答了 Conlon、Fox、Pham 和 Zhao 提出的一个问题，表明 $R(4;r,2(r-j)/3)$ 的多项式超线性增长已经在尺度 $j=\Theta(r^{1/3})$ 上出现。此外，沿着同一序列，长度为 $r$、最小汉明距离至少为 $s$ 的 $q$ 元码的最大规模为 $(1+o(1))(q-1)^{4/3}r^{4/3}$。
英文摘要
The set-coloring Ramsey number $R(k;r,s)$ is the least $N$ such that every assignment of an $s$-element subset of $[r]$ to each edge of $K_N$ yields a copy of $K_k$ whose edges share a common color. For every fixed prime power $q$, we construct infinitely many positive integer triples $(r,j,s)$ with $j\sim(q-1)^{-2/3}r^{1/3}$ and $s=(1-1/q)(r-j)$ such that $R(q+1;r,s)=Θ_q(r^{4/3})$. For $q=3$, this answers in the affirmative a question of Conlon, Fox, Pham and Zhao, showing that polynomially superlinear growth for $R(4;r,2(r-j)/3)$ already occurs at the scale \(j=Θ(r^{1/3})\). Moreover, along the same sequence, the maximum size of a $q$-ary code of length $r$ and minimum Hamming distance at least $s$ is $(1+o(1))(q-1)^{4/3}r^{4/3}$.
