On the density of triangles and squares in regular finite and unimodular random graphs
我们明确地描述了r-正则有限单图的可能的三角形和正方形密度对。我们还证明了每一个r-正则幺模随机图都可以被r-正则有限图关于这些密度所逼近。作为推论，得到了r-正则幺模随机图的谱测度的可能的三阶矩和四阶矩对的明确描述。
2011-11-25 math.CO
Regular $K_3$-regular graphs
National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅莫希拉学院）；Kyiv School of Economics（基辅经济学院）；National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”（乌克兰国立技术大学“伊戈尔·西科斯基基辅理工学院”）；Kyiv Academic University（基辅学术大学）
本文研究同时满足顶点度和三角形度正则的图，探讨特定参数下此类图的存在性，并分析顶点与边三角形度的关系，特别关注图论中的Turán图。
2026-03-17 cs.DM math.CO
Tiling of regular polygon with similar right triangles
平铺是将一个多边形分解为许多不重叠的三角形。我们证明了，如果一个正n边形，$n \geq 5$，$n \neq 28$，可以平铺相似的直角三角形，那么这些三角形的角之一是在$\left\{\fracπ{n},\frac{2π}{n}, \fracπ {6}+\frac{2π}{3n}\right\}$。Laczkovich和B.塞格迪
2021-02-22 math.CO math.MG
On the minimum number of distinct eigenvalues of triangle-free strongly regular graphs
本文研究了七个已知无三角形强正则图的最小不同特征值数，证明Clebsch图可达两个，并确定Sims-Gewirtz图的最小值为三，从而回答了一个开放问题。
2025-02-07 math.CO
3-bounded property in a triangle-free distance-regular graph
设$Γ$表示具有经典参数$(D, b, α, β)$和$D\geq 3$的距离正则图.假设相交数$a_1=0$和$a_2\not=0$。我们证明了$Γ$在文章[D-bounded距离正则图，European Journal of Combinatorics（1997）18，211-229]的意义下是3-有界的。
2007-09-05 math.CO
Minimizing the number of independent sets in triangle-free regular graphs
最近，Davies，Jenssen，Perkins和Roberts给出了一个非常好的证明结果（由于Kahn，Galvin-Tetali和Zhao的不同部分），即$d$ -正则图的独立多项式通过$K_{d,d}$的不相交副本最大化。他们的证明使用了线性规划对一个巧妙选择的随机变量分布的限制。本文利用这种方法给出了正则图的独立多项式的下界。我们还给出了无三角形正则图中独立集个数的新的界。
2016-10-18 math.CO
Counting the number of isosceles triangles in rectangular regular grids
在一般的图论中，顶点之间的唯一关系是通过边来表达的。当顶点嵌入在欧几里得空间中时，顶点和边之间的几何关系可以是有趣的研究对象。我们看看等腰三角形的顶点是一个规则的网格上的点的数量，并表明，他们满足递归关系时，网格是足够大的。我们还推导出了锐角、钝角和直角等腰三角形个数的递推关系。
2017-02-06 math.CO
Recurrence sequences in the hyperbolic Pascal triangle corresponding to the regular mosaic $\{4,5\}
最近，Pascal三角形的一个新的推广，所谓的双曲杨辉三角形被引入。数学背景可以追溯到双曲平面上的规则镶嵌。本文研究了双曲杨辉三角形中对应于正则镶嵌$\{4,5\}$的路径，其中表示了二元递归序列$f_{n}=αf_{n-1}\pm f_{n-2}$（$α\in\mathbb{N}^+$）.
2017-01-21 math.CO math.NT
Cyclic triangle factors in regular tournaments
Cuckler和Yuster都独立地证明了当$n$是$3$的奇数正倍数时，$n$顶点上的每个正则竞赛图都包含循环三角形的$n/3$顶点不相交副本的集合。不久之后，Keevash和Sudakov证明了，如果$G$是一个$n$顶点上的图的定向，其中每个顶点的入度和出度都至少为$(1/2 - o(1))n$，则存在一个顶点不相交的循环三角形的集合，它覆盖了除最多$3$顶点之外的所有顶点。本文对充分大的$n$解决了Cuckler和Yuster猜想.
2018-06-18 math.CO
Symmetric binary Steinhaus triangles and parity-regular Steinhaus graphs
二进制斯坦豪斯三角形是一个由0和1组成的三角形，它指向下，并且具有与帕斯卡三角形模2相同的局部规则。一个二元斯坦豪斯三角形被称为旋转对称，水平对称或二面角对称，如果它是不变的120度旋转，水平反射或两者兼而有之。本文的第一部分主要研究旋转对称、水平对称和二面角对称二元Steinhaus三角形的线性子空间。我们得到简单的明确基地，他们每个人通过使用二项式系数的基本性质。Steinhaus图是一个简单的图，其邻接矩阵的上三角部分是二元Steinhaus三角形。一个Steinhaus图称为偶图或奇图，如果它的所有顶点度分别是偶的或奇的。本文的主要结果之一是偶Steinhaus图的线性子空间与二面对称二元Steinhaus三角形的某个线性子空间之间存在同构。这使我们能够在本文的第二部分中给出偶Steinhaus图和奇偶正则Steinhaus图的向量空间的一个显式基;即，Steinhaus图的线性子空间是偶数或奇数。最后，在本文的最后一部分，我们考虑了广义Pascal三角形，这是0和1的三角形，现在指向上，并且总是具有与Pascal三角形模2相同的局部规则。利用第一部分的结果，导出了对称广义Pascal三角形的每个线性子空间的新的单基。
2021-11-04 cs.DM math.CO math.NT
Regular graphs with linearly many triangles
$n$节点上的$d$ -正则图最多有$T_{\max} = \frac{n}{3} \tbinom{d}{2}$三角形.我们计算了一个大的随机$d$ -正则图至少有$c \cdot T_{\max}$三角形的概率的领先渐近，并提供了一个强有力的结构描述这样的图。当$d$是固定的，我们表明，这样的图通常由许多不相交的$d+1$ -集团和一个几乎三角形自由的一部分。当$d$被允许与$n$增长，我们表明，这样的图通常由$d+o(d)$大小几乎集团一起几乎三角形自由的一部分。这证实了Collet和Eckmann在2002年提出的一个猜想，并大大加强了他们的观察，即在具有许多三角形的正则图的典型例子中，三角形不能完全散布。
2021-04-14 math.CO math.PR
When are random regular triangle-free graphs bipartite?
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究随机正则无三角图，发现其在 $d=\frac{\sqrt 3}{2}\sqrt{n \log n}$ 处发生尖锐相变，较小 $d$ 时非二部，较大 $d$ 时二部。
2026-10-07 math.CO
Note on the sum of the smallest and largest eigenvalues of a triangle-free graph
设$G$是$n$顶点上的无三角形图，其邻接矩阵特征值为$μ_1(G)\geq μ_2(G)\geq \dots \geq μ_n(G)$ .本文研究了$$μ_1(G)+μ_n(G).$$的数量，证明了对任意无三角形图$G$，都有$$μ_1(G)+μ_n(G)\leq (3-2\sqrt{2})n.$$。这是Brandt对正则图所证明的，我们证明了正则性条件是不必要的。我们还证明了在无三角形的强正则图中，Higman-Sims图达到了$$\frac{μ_1(G)+μ_n(G)}{n}.$$的最大值
2022-05-18 math.CO
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
Structure and colour in triangle-free graphs
受第一作者最近的一个猜想的启发，我们证明了色数为$χ$的每一个正常着色的无三角形图都包含一个大小为$\lceil\frac12χ\rceil$的彩虹独立集。这是急剧上升到一个因素$2$。这一结果及其简短的证明对色差的相关概念具有启示意义。从结构图理论和极图理论中得到启发，我们猜想每一个色数为$χ$的无三角形图都包含一个长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导圈，其长度为$χ\to\infty$ .即使只需要长度为$Ω(χ\logχ)$的诱导路径，结论也会尖锐到常数倍。我们证明了正则围长$5$图和围长$21$图。作为该猜想的导出路形式和Johansson定理（1996）的共同加强，我们证明了存在一些$c >0$，使得对于$D$顶点上的每一个森林$H$，每一个无三角形和导出$H$ -free图的色数至多为$c D/\log D$ .我们证明了这一论断与'三角形自由'取代'定期周长$5$ '。
2020-03-15 cs.DM math.CO
Triangle-Free Equimatchable Graphs
一个图称为等匹配的，如果它的所有的最大匹配具有相同的大小。Frendrup等人[8]给出了围长至少为$5$的等匹配图的一个刻画。在本文中，我们通过提供围长至少为$4$的等匹配图的一个完整的结构特征，即，无三角形的等匹配图，通过识别等匹配的无三角形图族。我们的刻画推广了Akbari等人在[1]中给出的结果，证明了连通的无三角形等匹配$r$正则图只有$C_5$，$C_7$和$K_{r,r}$，其中$r$是正整数.给定一个非二部图，我们的特征意味着一个线性时间识别算法的三角形自由等匹配图。
2021-08-28 cs.DM math.CO
Triangle-Free 2-Matchings Revisited
无向图$G = (VG, EG)$中的\emph{2-matching}是函数$f \colon EG \to \set{0,1,2}$，使得对于每个节点$v \in VG$，与$v$关联的所有边$e$上的值$f(e)$的和不超过~2。$f$的\emph{size}是总和$\sum_e f(e)$。如果$\set{e \in EG \mid f(e) \ne 0}$不包含三角形，则$f$称为\emph{triangle-free}。Cornuéjols和Pulleyblank设计了一种组合$O(mn)$算法，该算法可以找到最大尺寸的无三角形2-匹配（以下称为$n := \abs{VG}$、$m := \abs{EG}$），并建立了最小-最大定理。我们声称，这种方法是，事实上，多余的，通过演示他们的结果可以直接从埃德蒙兹-Gallai分解。应用Micali和Vazirani的算法，我们能够在$O(m\sqrt{n})$时间内找到一个最大的无三角形的2-匹配。此外，我们给出了一个简短的自我包含的算法证明的最小最大定理。接下来，我们考虑正则图的情况。众所周知，每个正则图都允许完美2-匹配。人们可以很容易地加强这个结果，并证明每个$d$ -正则图（对于$d \geq 3$）包含一个完美的无三角形2-匹配。给出了在$d$ -正则图中寻找完美无三角形2-匹配的算法：$d = 3$的O（n）-算…
2010-04-27 math.CO
An Extremal Problem Motivated by Triangle-Free Strongly Regular Graphs
我们引入以下组合问题。设$G$是边密度为$ρ$的无三角正则图.对于总是存在两个不相邻的顶点使得它们的公共邻域的密度为$\leq a(ρ)$的最小值$a(ρ)$是多少？我们证明了各种上界的功能$a(ρ)$是紧的值$ρ=2/5,\ 5/16,\ 3/10,\ 11/50$，与$C_5$，Clebsch，彼得森和Higman-Sims是各自的极值配置。我们的证明是完全组合的，在很大程度上是基于计数密度的风格旗代数。对于小值的$ρ$，我们的边界附加组合意义的克莱因条件，可能是有趣的。我们还证明了，对于任何$ε>0$只有100多个值的$ρ$与$a(ρ)\geqε$，但这个有限性的结果是有点纯粹存在的（界是双指数在$1/ε$）。
2020-06-02 math.CO
Tilings and matroids on regular subdivisions of a triangle
本文研究了由Ardila和Billey引入的拟阵族，研究了$\mathbb{C}^n$的完全旗排列的一维交.通过将$\mathbb{R}^3$的非负圆锥与仿射超平面$x_1 + x_2 + x_3 = n-1$相交而获得的等边三角形$S_n$内部的格点集$P_n$是拟阵$\mathcal{T}_n$的基集，其独立集是$P_n$的子集$S$，对于集合$P_k$的每个平移$P$，满足该$|S \cap P| \le k$。在这里，我们研究的拟阵$\mathcal{T}_n$的结构与平铺的$S_n$到单位三角形，菱，和padriids。首先，我们刻画了$\mathcal{T}_n$的独立集，扩展了Ardila和Billey已经给出的$\mathcal{T}_n$的基的刻画。然后，我们探讨了$\mathcal{T}_n$的秩函数和$S_n$的单位三角形和菱形的镶嵌之间的联系。然后，我们提供了一个平铺表征的电路的$\mathcal{T}_n$。我们得出结论与几何表征的单位的$\mathcal{T}_n$。
2018-11-19 math.CO
Triangle-factors in pseudorandom graphs
本文证明了：对于一个小的常数$\varepsilon > 0$，若$d$ -正则图$G$在$n \in 3 \mathbb{Z}$顶点上的第二特征值$λ$至多为$\varepsilon d^2/(n \log n)$，则$G$包含一个三角形因子. Krivelevich，Sudakov和Szabó，扩展了阿隆的一个构造，证明了对于每个函数$O(\log n)$，使得$Ω(n^{2/3}) \le d \le n$和无穷多个$n \in \mathbb{N}$，存在一个$d$ -正则无三角形图$G$，其顶点为$Θ(n)$和$λ= Ω(d^2 / n)$。
2018-05-24 math.CO
Triangle-creation processes on cubic graphs
边切换是一种在图中进行局部改变同时保持每个顶点的度的操作。我们引入一个切换动作，称为三角形切换，它创建或删除至少一个三角形。具体地，使移动是选择长度为4的路径$zwvxy$并将其替换为三角形$vxwv$和边$yz$的三角形切换，而使移动执行相反的操作。我们考虑各种马尔可夫链执行随机三角开关，并假设每一个可能的使或打破移动有正概率被执行。我们的第一个结果是，任何这样的马尔可夫链是不可约的所有3-正则图的顶点集$\{1,2,\ldots, n\}$。对于一个特定的，自然的马尔可夫链的这种类型，我们得到了一个非平凡的线性上界和下界的三角形的数量在长期运行。这些界限几乎肯定是在线性时间内得到的，与起始图无关。
2019-05-11 cs.DM math.CO
Regular triangle unions with maximal number of sides
Institute of Computer Science, Department of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院计算机科学研究所）
研究n个三角形的并集的最大边数，提出序列A375986并证明其线性上下界，引入三角形转换方法。
2026-04-15 math.CO math.MG
Tilings of the sphere by congruent regular triangles and congruent rhombi
本文对使用全等正三角形和全等菱形对球面进行的所有边对边平铺进行了完整分类，包括参数化族和26个零散原型集，并提供了参数化平铺的模空间及所有几何数据。
2023-11-23 math.CO
Regular $K_3$-Irregular Graphs of Every Regularity at Least Nine
School of International Trade and Economics, Central University of Finance and Economics（中央财经大学国际经济贸易学院）
本文证明对每个正则度 $r\ge 9$ 存在正则 $K_3$-不规则图，通过构造 $2k$-正则图（$k\ge 15$）及补图得到 $(2k+1)$-正则图，利用阈值块和矩阵切换解决三角形度冲突，结合符号与有限验证，彻底回答了 Chartrand 等人的问题。
2026-10-07 math.CO
Typical structure of oriented graphs and digraphs with forbidden blow-up transitive triangle
本文利用有向图的正则引理建立了加权有向图的Erdös-Stone定理的一个类似结果。给出了定向图和具有禁止爆破传递三角形的有向图的稳定性结果，证明了几乎所有的定向图和几乎所有具有禁止爆破传递三角形的有向图都是几乎二部图.
2017-03-09 math.CO
Counting triangles in regular graphs
本文确定了奇数顶点偶数度正则图中三角形最小数量的精确值，将Lo的结果推广到整个范围$\frac{2n}{5}<k<\frac{n}{2}$，证实了Cambie等人的猜想。
2024-01-18 math.CO
A note on regular Ramsey graphs
我们证明了存在一个绝对常数$C>0$，使得对于每个自然$n$，都存在一个无三角形的\emph{regular}图，该图没有大小至少为$C\sqrt{n\log n}$的独立集.
2009-07-21 cs.DM math.CO
The minimum number of 4-cliques in graphs with triangle-free complement
f（n）表示n阶图中4-团的最小数目，且无三角形补。寻找f（n）是Erdos在1962年提出的一个问题的一个特例。当图接近正则时，我们给出了f（n）的一个上界和一个匹配的下界.
2005-01-14 math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
General Parity Result and Cycle-plus-Triangles Graphs
推广了Fleishner和Stiebitz的一个宇称结果，并结合Alon-Tarsi多项式方法证明了由一个哈密顿圈和若干个不相交的三角形构成的4-正则图总是3-可选的.此外，我们提出了一个修改的多项式方法，并显示它如何给稍微多的组合信息的着色比直接应用阿隆的组合零点。
2015-12-19 math.CO
Quintic graphs with every edge in a triangle
我们证明了五次（即5-正则）重图的每条边都在三角形内。这样的图或者来自一组小图，或者通过将完美匹配添加到三次图的线图作为双边来形成，或者可以通过一系列操作来减少到这些图中的一个。
2021-07-08 math.CO
Quartic graphs with every edge in a triangle
我们证明了四次（即4-正则）重图的每条边都在三角形内的性质。主要的结果是，这样的图要么是平方的周期，线重图的立方重图，或从这些由一些简单的子图替换操作。这一点的一个推论是，每条边都在三角形中的简单四次图要么是圈的平方，要么是三次图的线图，要么是通过用K_{1,1,3}的副本替换三角形而从三次多重图的线图获得的图。
2013-08-01 math.CO
No Dense Subgraphs Appear in the Triangle-free Graph Process
考虑无三角形图过程，它从$n$顶点上的空图和可能的${n \choose 2}$边的随机排序开始;如果图保持无三角形，则以这种顺序添加边。我们将证明存在一个常数$c$使得在$k$顶点上的任何固定的有限无三角形图的副本至少有$ck$边渐近几乎必然出现在无三角形图过程中。
2010-02-11 math.CO
Closing the Random Graph Gap in Tuza's Conjecture Through the Online Triangle Packing Process
Zsolt Tuza的一个长期存在的猜想断言三角形覆盖数$τ(G)$至多是三角形填充数$ν(G)$的两倍，其中三角形堆积数$ν(G)$是$G$中边不相交三角形集合的最大尺寸，三角形覆盖数$τ(G)$是与所有三角形相交的边集合的最小尺寸。在本文中，我们证明了Tuza的猜想成立的Erdens-Rényi随机图$G(n,m)$的所有范围的$m$，关闭了以前已知的差距。（最近，这一结果也被Jeff Kahn和Jinyoung Park独立证明。我们采用一个随机贪婪的过程，称为在线三角包装过程中产生的三角包装$G(n,m)$和分析这个过程中使用的微分方程方法。
2020-07-08 math.CO
Dynamic concentration of the triangle-free process
无三角形过程从n个顶点上的空图开始，并迭代地添加随机均匀选择的边，但要满足不形成三角形的约束。我们确定了极大无三角形图中无三角形过程终止的边的渐近个数。我们也限制了这个图的独立数，它给出了Ramsey数R（3，t）的改进的下界：我们证明了R（3，t）>（1-o（1））t^2 /（4 log t），它在最著名的上界的4+o（1）倍之内。我们以前的分析，这一过程的改进利用自我校正的过程中的关键统计数据的性质。此外，我们确定哪些有界大小的子图可能出现在最大的无三角形图的三角形的过程产生的：他们正是那些密度最多为2的无三角形图。
2019-09-04 math.CO
Efficient Removal without Efficient Regularity
三角形去除引理的有效界是极值组合学最突出的公开问题之一。也许实现这一目标的主要瓶颈是无三角形图可能是高度非结构化的。例如，无三角形图可能只有塔型大小的规则分区（在Szemerédi意义上）。事实上，基本上所有的图的性质${\cal P}$的去除引理与合理的界限，是这样的，每个图满足${\cal P}$有一个小的定期分区。因此，在某种意义上，获得性质${\cal P}$的有效移除引理的障碍是具有满足${\cal P}$的图的有效正则引理。在本文中，我们考虑的属性被诱导$C_4$ -免费的，这也遭受的事实，即一个图可能满足这一性质，但仍然只有塔型大小的常规分区。通过开发一种新的方法来解决这个问题，我们设法克服这个障碍，从而获得一个仅仅是指数界的诱导$C_4$删除引理。因此，我们得到了第一个有效的去除引理，不依赖于一个有效的版本的正则性引理。这是阿隆在2001年提出的一个问题的第一个实质性进展，最近阿隆，康伦和福克斯提出了这个问题。
2017-09-24 math.CO
On semi-transitive orientability of triangle-free graphs
一个图的方向是半传递的，如果它是无圈的，并且对于任何有向路径$v_0\rightarrow v_1\rightarrow \cdots\rightarrow v_k$，在$v_0$和$v_k$之间没有弧，或者对于所有$0\leq i<j\leq k$，$v_i\rightarrow v_j$是弧。一个无向图是半传递的，如果它允许一个半传递方向。半传递图推广了几类重要的图，它们正是文献中广泛研究的一类词表示图。判定一个无三角形图是否是半传递图是一个NP难问题。非半传递无三角形图的存在性是由Halldórsson和作者在2011年通过Erdens定理建立的。然而，没有明确的例子，这样的图是已知的，直到最近的工作的第一作者和斋藤谁计算表明，一定的子图的16个顶点的三角形自由Kneser图$K(8,3)$是不半传递的，并提出了一个问题，存在更小的三角形自由的非半传递图。本文证明了最小的11点无三角形的4-色图（Grötzsch图）和最小的12点无三角形的4-色4-正则图（Chvátal图）不是半传递的.因此，Grötzsch图是最小的无三角形的非半传递图。我们还证明了围长为4且色数为4的半传递图的存在性，包括小图（13点循环图$C(13;1,5)$）和稠密图（Toft图）.最后，我们证明了每个$4$ -正则循环图（可能包含三角形）是半传递的。
2020-11-15 math.CO
Triangle-free Subgraphs at the Triangle-Free Process
我们考虑无三角过程：给定一个整数n，从对完全n-顶点图K_n的边取一致随机序开始。然后，遍历有序的边，并将每个遍历的边添加到一个（最初为空的）演化图中-除非它的添加创建了一个三角形。我们研究了当任意固定ε \in（0，10 ^{-10}）的Θ（n^{3/2 + ε}）条边被遍历时的演化图.此时，对于任意固定的无三角形图F，我们给出了F在演化图中的期望拷贝数的渐近紧估计。对于平衡且密度小于2的F（例如，对于长度至少为4的圈F），我们的论证也给出了演化图中F的拷贝数的紧集中结果。我们的分析结合了Spencer的原始分支过程的方法来分析三角形的自由过程和半随机方法。
2009-07-06 math.CO
Cycle-maximal triangle-free graphs
我们猜想平衡完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor,\lceil n/2 \rceil}$比任何其它的$n$ -顶点无三角形图包含更多的圈，并且我们在证明这一点上取得了一些进展。我们给出了圈极大三角形自由图的等价条件;给出了圈数与顶点数、边数、围长以及与小固定图的同态之间的界限;并利用这些界限证明了在正则图中，猜想成立。我们还考虑了接近正则的图，其最小度和最大度最多相差一个正整数$k$。对于$k=1$，我们表明，任何这样的反例有$n\le 91$，并不同态$C_5$ ;和任何固定的$k$存在一个有限的上界的顶点数的反例。最后，我们描述了一个算法，有效地计算矩阵永久（一般是一个P-完全问题），在我们的界限使用的特殊情况下。
2014-10-29 math.CO
The triangle-free process
考虑下面的随机图过程。我们从n个顶点上的空图开始，每次添加一条边，其中每条边都是从添加到图中时不形成三角形的潜在边的集合中随机均匀选择的。该过程在最大无串图处终止。在这里，我们分析三角形的过程中，确定可能的数量级的数量级的边缘在最终的图形。作为推论，我们证明了无三角过程很可能产生Ramsey R（3，t）图，也就是说，我们对无三角过程的分析给出了Jeong Han Kim先前建立的R（3，t）上的下界的新证明.所介绍的技术扩展到K_4-free过程，从而建立一个小的改进，最有名的下界的Ramsey数R（4，t）。
2008-06-26 math.CO
More about sparse halves in triangle-free graphs
Erdos的一个定理指出，$n$顶点上的每个无三角形图都有一个在$n/2$顶点上的导出子图，它最多有$n^2/50$条边。我们报告了这个猜想的几个部分结果。特别地，我们建立了一般情况下边数的新界$\frac{27}{1024}n^2$。本文对围长为$\geq 5$的图、具有独立数$\geq 2n/5$的图和强正则图的图完全证明了猜想。这三个类中的每一个都包括已知的（已确定的）极值配置、5-圈和Petersen图。
2021-07-28 math.CO
Some results on double triangle descendants of $K_5$
双三角形展开是对至少有一个三角形的$4$ -正则图进行的一种操作，它以特定的方式用两个三角形替换一个三角形。本文从完全图$K_5$出发，研究了可由重复双三角展开得到的图类。这些称为$K_5$的双三角形后代。我们列举，与显式的有理生成函数，那些双三角形后代的$K_5$至多四个顶点比三角形。我们还证明了在任何$K_5$后代的三角形的最小数量是四个。双三角子图是一类重要的图，这是因为当它们被看作标量费曼图时，它们的费曼周期具有特殊的性质，也因为它们的$c_2$不变量具有特殊的性质，而$c_2$不变量是一种具有量子场论应用的算术图不变量.
2019-04-15 math-ph math.CO math.MP
Subdivision by bisectors is dense in the space of all triangles
从任何非退化三角形开始，我们可以使用三角形的明确定义的内点将其细分为六个更小的三角形。我们可以对每一个新的三角形重复这个过程，并一遍又一遍地重复。我们表明，从任何任意三角形，由此形成的三角形集由这个过程包含三角形任意接近（相似）任何给定的三角形时，我们使用的细分点是内心。我们还表明，在一个“典型的”三角形的最小角度经过多次细分代没有最小的角度为零。
2010-07-14 math.CO
Random regular graphs and the systole of a random surface
我们研究了随机曲面的收缩，这里的随机曲面是指由一个偶数三角形随机粘合而成的曲面。我们研究两种类型的度量在这些表面上，第一个来自使用理想的双曲三角形和第二个使用三角形进行一个给定的黎曼度量。在双曲线的情况下，我们计算当三角形的数量变为无穷大（约2.484）时收缩期的期望值的极限。我们还确定了任何有限长度的曲线的数量的渐近概率分布。这是一个泊松分布。在黎曼的情况下，我们给出了一个上限的极限上确界和下限的极限下确界的收缩期的期望值只依赖于度量的三角形。我们还表明，这个上界是尖锐的意义上说，有一个序列的度量的极限下确界来任意接近的上界。我们使用的主要工具是随机正则图。极限证明的难点之一是控制短闭曲线分离的概率。要做到这一点，我们首先证明了概率，一个随机三次图有一个短的分离电路趋于0的顶点数趋于无穷大，并表明，这适用于电路的长度高达$\log_2$的顶点数。
2016-04-27 math.CO math.DG math.GT
Triangle-Saturated Graphs in the Semi-Random Graph Process
University of Victoria（维多利亚大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
本文针对半随机图过程的在线与离线版本，研究构造三角饱和图所需轮次的上下界，明确了该图性质下算法的轮次需求范围。
2026-08-18 cs.DM math.CO math.PR
Families of Integral Cographs within a Triangular Arrays
\emph{determinant Hosoya triangle}是一个三角形数组，其中的元素是2乘2斐波那契矩阵的行列式。行列式Hosoya三角形$\bmod \,2$产生三个无限图族，它们由两个完全图与一个空图的完全积（并）形成。我们给出了这类图是整图的一个充要条件。这些图的一些特征是：它们是整余图，所有图最多有5个不同的特征值，所有图都是具有$d=2,4,6,\dots $的$d$ -正则图或几乎-正则图，其中有些图是Laplacian整图.最后，我们将这些结果推广到Hosoya三角形。
2020-09-06 math.CO
Triangle-free graphs with diameter 2
University of Western Australia（西澳大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）；University of Canterbury（坎特伯雷大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文研究了放宽围长条件后直径为2的无三角形图的存在性问题，探讨了无$K_{s,t}$子图的无孪生图是否有无限个，并给出了部分计算结果及Cayley图和概率构造。
2024-06-01 math.CO
Note on random Latin squares and the triangle removal process
这是一个同伴注意到的文件“几乎所有施泰纳三元系有完美的匹配（arXiv：1611.02246）。该论文包含有关随机斯坦纳三元系的几个一般引理;在本说明中，我们记录了随机拉丁方的这些引理的类似物，这些引理特别是我们最近的论文“随机拉丁方中的大偏差”（arXiv：2106.11932）的必要成分。最重要的是一致随机序- $n$拉丁方和完全三部图$K_{n,n,n}$上的三角形去除过程之间的关系。
2021-09-30 math.CO
On 3-regular 4-ordered graphs
一个单图$G$是\textit{k-ordered}（分别为\textit{k-ordered hamiltonian}），如果对于$G$的任何序列的$k$不同的顶点$v_1, ..., v_k$，存在一个循环（分别为哈密顿圈）在$G$包含这些$k$顶点在指定的顺序。1997年，Ng和Schultz引入了这些循环可序性的概念，并提出了除$K_4$和$K_{3, 3}$之外的3-正则4-序（Hamilton）图的存在性问题。Ng和Schultz观察到顶点数大于4的3-正则4-序图是无三角形的。证明了顶点数大于6的3-正则4-序图$G$是无平方图，并且证明了无三角形且无平方的最小图，即Petersen图，是4-序图.进一步证明了在$K_4$和$K_{3, 3}$之后的最小的3-正则4-序哈密尔顿图是Heawood图，并给出了顶点数大于10的3-正则4-序哈密顿图的禁止子图.最后，我们构造了一个3-正则4-序图的无限族。
2005-09-19 math.CO
Maximal induced matchings in triangle-free graphs
图的导出匹配是指一组边的端点导出一个$1$ -正则子图。已知任何$n$ -顶点图最多有$10^{n/5} \approx 1.5849^n$最大诱导匹配，并且这个界是最佳可能的.证明了任意$n$ -顶点无三角形图最多有$3^{n/3} \approx 1.4423^n$最大诱导匹配，且此界可由完全二部图$K_{3,3}$的任意不交并得到.我们的结果意味着所有的最大诱导匹配在$n$ -顶点三角形自由图可以列出的时间$O(1.4423^n)$，产生最快的已知算法寻找最大诱导匹配在一个三角形自由图。
2013-12-18 cs.DS math.CO
Conformability is NP-complete, even on connected regular graphs
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究网络-布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
证明判定图是否可 conformable 是 NP-完全问题，即使在连通正则图且最大度至少为顶点数一半时仍成立，通过从完美三角形填充归约。
2026-06-23 cs.CC math.CO
Clique complexes of strongly regular graphs, their eigenvalues, and cohomology groups
本文研究强正则图的团复形谱能否区分同参数非同构图，确定若干图族三角形复形谱，并证明一类图的第一上同调群平凡。
2025-08-07 math.CO
Triangle processes on graphs with given degree sequence
针对真实网络三角形多的特点，提出带三角形权重的改进型Metropolis开关链及三角形开关链，证明其在一定条件下快速混合，且截止值在多项式步数内对链行为影响不大。
2025-06-15 cs.DM math.CO math.PR
A degree preserving delta wye transformation with applications to 6-regular graphs and Feynman periods
我们研究了一个保持度的$Δ$ -Y变换的变体，该变换用一个新的6价顶点替换三角形，该顶点具有三角形中顶点的双边。这个操作与理解6维中的标量费曼积分有关。我们研究了这种操作下的等价类的结构及其逆，特别注意当等价类是有限的，当它们包含简单的6-正则图，当它们包含双重的3-正则图。其中最后一个，特别是相关的费曼积分计算，我们提出了一些意见，这些类的结构连接到费曼期间。此外，我们还研究了这些等价类中的极小图的性质。
2022-07-27 math-ph math.CO math.MP
