An example of $\infty$-harmonic function, which is not $C^2$ on a dense subset
Hayk Mikayelyan
我们表明，对于某些边界值的McShane-Whitney的最小扩展样函数是$\infty$ -调和边界附近，而不是$C^2$上的一个稠密子集。
We show that for certain boundary values McShane-Whitney's minimal-extension-like function is $\infty$-harmonic near the boundary and is not $C^2$ on a dense subset.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The weak-$A_\infty$ property of harmonic and $p$-harmonic measures implies uniform rectifiability
设$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$是维数为$n$的Ahlfors-David正则集.证明了开集$Ω:= \mathbb{R}^{n+1}\setminus E$上调和测度的弱- $A_\infty$性质蕴涵了$E$的一致可求正性.更一般地，我们建立了一个类似的结果，Riesz测度，$p$ -调和测度，与$p$ -拉普拉斯算子，$1<p<\infty$ .
The $\infty$-harmonic potential is not always an $\infty$-eigenfunction
本文证明了存在一个凸区域，其$\infty$ -调和势不是第一$\infty$ -本征函数.
Endpoint estimates for harmonic analysis operators associated with Laguerre polynomial expansions
本文给出了一个判别准则，证明了当${α>-\frac12}$时，从$H^1((0,\infty),γ_α)$到$L^1((0,\infty),γ_α)$以及从$L^\infty((0,\infty),γ_α)$到$\BMO((0,\infty),γ_α)$的几个算子关于$(0,\infty)$上的概率测度$dγ_α(x)=\frac{2}{Γ(α+1)} x^{2α+1} e^{-x^2} dx$的有界性结果.我们将应用它来建立端点估计Riesz变换，极大算子，Littlewood-Paley函数，拉普拉斯变换类型的乘数，分数次积分和变分算子在Laguerre设置。
$L^\infty$-$BMO$ bounds for pseudo-multipliers associated to the harmonic oscillator
本文研究了谐振子的伪乘子的$L^\infty$ - ${\textnormal{BMO}}$有界性的Hörmander-Mihlin型条件.研究了Hermite乘子的$\textnormal{H}^1$ - $L^1$连续性.这篇论文的最终版本将出现在Rev.
Some classifications of \infty-Harmonic maps between Riemannian manifolds
$\infty$ -调和映射是$\infty$ -调和函数的推广。当p趋于无穷大时，它们可以被看作是p-调和映射的极限情形。本文给出了球面上的线性和二次$\infty$ -调和映射以及欧几里得空间之间的二次$\infty$ -调和映射的完全分类。本文描述了Nil空间与欧几里得空间之间，Sol空间与欧几里得空间之间的所有线性和二次$\infty$ -调和映射.我们还研究了复欧几里得空间之间的全纯$\infty$ -调和映射。
Regularity from $p$-harmonic potentials to $\infty$-harmonic potentials in convex rings
本文在任意凸环域中研究从p-调和势到∞-调和势的正则性，证明了∞-调和势的内部C^1正则性及部分Sobolev正则性。
Linear \infty-Harmonic maps between Rienmannian manifolds
本文给出了欧氏空间与Heisenberg空间之间、Nil空间与Sol空间之间的线性$\infty$ -调和映射的完全分类。对Sol空间的所有$\infty$ -调和线性自同构进行了分类，并证明了在Sol空间的线性自同构群中存在$\infty$ -调和线性自同构的子群.
A New Characterisation of $\infty$-Harmonic and $p$-Harmonic Maps via Affine Variations in $L^\infty$
设$u: Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$是光滑映射，$n,N \in \mathbb{N}$是光滑映射。$\infty$ -拉普拉斯算子是PDE系统\[ \tag{1} \label{1} Δ_\infty u \, :=\, \Big(Du \otimes Du + |Du|^2[Du]^\bot\! \otimes I\Big) :D^2u\, =\, 0, \]，其中$[Du]^\bot := \text{Proj}_{R(Du)^\bot}$。\eqref{1}构成的基本方程的矢量变分法在$L^\infty$，相关的模型功能\[ \tag{2} \label{2} E_\infty (u,Ω')\, =\, \big\| |Du|^2\big\|_{L^\infty(Ω')} ,\ \ \ Ω' \Subset Ω. \]我们表明，广义的解决方案，\eqref{1}的特点是在\eqref{2}通过一组指定的仿射变化。对于标量情况下$N=1$，我们利用的Crandall-Ishii-Lions的粘度解决方案的理论。对于矢量的情况下$N\geq 2$，我们利用作者最近提出的理论的$\mathcal{D}$ -解决方案。此外，我们将上述结果推广到$p$ -Laplacian，$1<p<\infty$ .
Explicit $\infty$-harmonic functions in high dimensions
这项工作的目的是获得新的显式解的$\infty$ -拉普拉斯方程，在空间$L^\infty$的变分法中产生的基本PDE。这些解决方案服从一定的对称性条件，并在任意尺寸，包含作为特定的子情况下，已经知道的类二维无穷调和函数。
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$ solvability of the Dirichlet problem. Part II
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$是具有$n$ -AD-正则边界的开集.本文证明了如果PDMATHAMO的调和测度满足所谓的弱$A_\infty$条件，则$Ω$满足一个适当的连通性条件，即弱局部John条件.与Hofmann和Martell的其他结果一起，这意味着调和测度的弱- $A_\infty$条件成立当且仅当$\partialΩ$是一致$n$ -可求正的且满足弱局部John条件.这产生了调和测度的弱$A_\infty$条件的第一个几何特征，这是重要的，因为它与拉普拉斯方程的狄利克雷问题有关。
Semi-uniform domains and the $A_{\infty}$ property for harmonic measure
研究了半一致区域上的调和测度的性质。Aikawa和Hirata在\cite{AH08}中证明了，对于满足容量密度条件（CDC）的John域，调和测度的加倍性等价于该域是半一致的.我们的第一个结果表明，任何满足CDC的调和测度是加倍的域是半一致的，从而消除了约翰条件。其次，我们提出了一个非切可达域上的调和测度的经典估计的替代估计，它适用于半一致域。我们还证明了具有一致可求长边界的半一致区域具有大片的弦弧子域。由于我们在附录中回顾的一个Hrycak的例子，我们不能指望出现大片的Lipschitz子域（如David和Jerison \cite{DJ90}对弦弧域所示）。最后，我们结合这些工具研究了调和测度的$A_{\infty}$性质。对于具有Ahlfors-David正则边界的域，Hofmann和Martell证明了调和测度的$A_{\infty}$性质意味着边界\cite{HM15,HLMN17}的一致可求直性。由于$A_{\infty}$ -权重加倍，这也意味着域是半均匀的。我们的最终结果表明，这两个属性，半均匀性和一致可求长边界，也意味着$A_{\infty}$性质的调和测度，从而几何分类所有域，这一点成立。
C^1-Regularity of planar \infty-harmonic functions - REVISIT
在开创性的论文[Arch.Ration。机械肛门176（2005），351 - 361]，Savin证明了平面$\infty$-调和函数$u$的$C^1$-正则性.本文从容量的角度对它作了新的理解，并去掉了几个高技术性的论点。我们的论点基本上是基于一个拓扑引理的Savin，一个平坦的估计埃文斯和智能，%\cite{es11a}，$W^{1,2}_{loc}$-正则性的$|Du|$和Crandall的流动无穷调和函数。
The streamlines of $\infty$-harmonic functions obey the inverse mean curvature flow
本文证明了在较弱假设下，$\infty$-调和函数的 $w = -\log |\nabla u_\infty|$ 是逆平均曲率流的弱解，并通过 $p$-调和函数逼近等方法完成证明。
On the structure of $\infty$-Harmonic maps
设$H \in C^2(\mathbb{R}^{N \times n})$，$H\geq 0$。PDE系统\[ \label{1} A_\infty u \, :=\, \Big(H_P \otimes H_P + H [H_P]^\bot H_{PP} \Big)(Du) : D^2 u\, = \, 0 \tag{1} \]作为定义在映射$u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$上的泛函$E_{\infty}(u,Ω) = \| H(Du) \|_{L^\infty(Ω)}$的向量变分问题的"欧拉-拉格朗日PDE”而产生。\eqref{1}首次出现在作者最近的工作\cite{K3}。标量的情况下，虽然有很长的历史，由Aronsson在\cite{A1}。在这里，我们研究\eqref{1}的解决方案，重点是$n=2\leq N$与$H$的情况下，$\mathbb{R}^{N \times n}$上的欧几里德范数，我们称之为“$\infty$ -拉普拉斯”。通过建立一个独立兴趣秩一映射的刚性定理，分析了性质不同的相的解的分离现象。作为推论，我们将关于$|Du|$的零点不存在的Aronsson-Evans-Yu定理推广到$N \geq 2$，并证明了一个极大值原理。我们进一步研究了所有$H$的\eqref{1}…
An $L^p$-comparison, $p\in (1,\infty)$, on the finite differences of a discrete harmonic function at the boundary of a discrete box
众所周知，对于定义在$d$维欧氏空间$d\geq 2$的单位球上的调和函数$u$，球上梯度$\nabla u$的切向分量和法向分量可通过$L^p$范数$p\in(1,\infty)$进行比较，直到乘法常数仅取决于$d,p$ .本文制定并证明了一个离散模拟这一结果的离散调和函数定义在一个离散框上的$d$ -维晶格与乘法常数，不依赖于大小的盒子。
On a Theorem of Wolff Revisited
研究了$ \mathbb{R}^{2}_+ = \{ z = x + i y : y > 0, - \infty < x < \infty \} $和$B( 0, 1 ) = \{ z : |z| < 1 \}$中的$p$ -调和函数$ 1 < p\neq 2 < \infty$.我们首先证明了固定$ p$，$1 < p\neq 2 < \infty$，并为所有大整数$N\geq N_0$，存在$p$ -调和函数，$ V = V ( r e^{iθ} )$，这是$ 2π/N $周期的$ θ$变量，Lipschitz连续$ \partial B (0, 1)$与Lipschitz规范$\leq c N$ $ \partial B ( 0, 1 )$满足$V(0)=0$和$ c^{-1} \leq \int_{-π}^π V ( e^{iθ} ) d θ\leq c$。在$2<p<\infty $的情况下，我们给出了一个或多或少明确的例子$V$和我们的工作是一个结果的推广沃尔夫对$ \mathbb{R}^{2}_+ $ $ B (0, 1)$。利用我们的第一个结果，我们延长沃尔夫的工作失败的Fatou型定理$ \mathbb{R}^{2}_+ $ $ B (0, 1)$ $p$ -调和函数，$1< p\neq 2<\infty$。最后，我们还概述了所需的修改扩展工作的Llorente，…
Jacobian determinants for (nonlinear) gradient of planar $\infty$-harmonic functions and applications
在2维空间中，我们引入了一个非线性复梯度$(x_1,x_2)\mapsto |Dv|^β(v_{x_1},-v_{x_2})$的分布雅可比行列式$\det DV_β(Dv)$，对于任何$β>-1$，只要$v\in W^{1,2 }_{\text{loc}}$和$β|Dv|^{1+β}\in W^{1,2}_{\text{loc}}$ .然后，对于任何平面$\infty$ -调和函数$u$，我们证明了这样的分布雅可比行列式是一个非负的Radon测度与一些定量的局部上下界。我们也给出了以下两个应用。(i)应用$β=0$，我们开发了一种建立Liouville定理的方法，改进了Savin [33]的方法。准确地说，如果$u$是$\infty$ -整个${\mathbb R}^2$中的调和函数，其中有$$ \liminf_{R\to\infty}\inf_{c\in\mathbb R}\frac1 {R^3}\int_{B(0,R)}|u(x)-c|\,dx<\infty,$$，则对于某些$b\in{\mathbb R}$和$a\in{\mathbb R}^2$，$u=b+a\cdot x$。(ii)用$u_p$表示具有与$u$相同的非常数边界条件的$p$ -调和函数，证明了在Radon测度空间中，$\det DV_β(Du_p) \to \det DV_β(Du)$是弱$\star$意义下…
Phragmén-Lindelöf theorem for infinity harmonic functions
研究了无界凸区域中方程$Δ_\infty u=0$解的Phragmén-Lindelöf定理.证明的方法是当$p$趋于$\infty$时，将这个无穷远调和方程看作是$p$ -调和方程的极限。
Uniform rectifiability and $\varepsilon$-approximability of harmonic functions in $L^p$
设$E \subset \mathbb{R}^{n+1}$是余维$1$的一致可求长集.我们证明了对于每个$p \in (1,\infty)$，每个调和函数在$L^p(Ω)$中是$\varepsilon$ -可逼近的，其中$Ω:= \mathbb{R}^{n+1} \setminus E$ .结合许多作者的结果，证明了调和函数的点态、$L^\infty$和$L^p$型$\varepsilon$ -可逼近性都是等价的，它们刻画了余维$1$ Ahlfors-David正则集的一致可求长性.我们的结果和技巧是T. Hytönen和A. Rosén和第一作者J.M. Martell和S.梅博罗达
A remark on isolated removable singularity of harmonic maps in dimension two
本文研究二维调和映射在原点的孤立可去奇点问题，证明在梯度自相似界等充分条件下映射可光滑延拓，并推出全空间情形的平凡性。
On the higher-dimensional harmonic analog of the Levinson log log theorem
令$M\colon (0,1) \to [e,+\infty)$为减函数，使得$\int\limits_{0}^{1}\log\log M(y)dy<+\infty$。考虑所有函数$u$调和于$P:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^n: x\in \mathbb{R}^{n-1}, y\in \mathbb{R}, |x|<1, |y|<1 \}$且满足$|u(x,y)| \leq M(|y|)$的集合$H_M$。证明了$H_M$是$P$中的正规族.
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$-solvability of the Dirichlet problem
众所周知，调和测度关于曲面测度在具有Ahlfors-David正则边界的开集$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$的边界上的定量的、标度不变的绝对连续性（更准确地说，弱- $A_\infty$性质）等价于$Ω$中的狄利克雷问题的可解性，对于某些$p<\infty$，数据在$L^p(\partialΩ)$中。本文给出了调和测度的弱- $A_\infty$性质的一个几何刻划，从而给出了有限$p$的$L^p$狄利克雷问题的可解性.这种表征是在自然的背景假设（内部螺旋条件，以及边界的Ahlfors-David正则性）下获得的，并且在某种意义上是最优的：我们提供了反例，其中任何一个都不存在（或者甚至是两个中的一个，上或下，Ahlfors-David边界）;此外，这些例子表明，上下Ahlfors-David边界都是定量的。
A two-phase free boundary problem for harmonic measure and uniform rectifiability
我们假设$Ω_1, Ω_2 \subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 1$是两个不相交的整环，它们的补集满足容量密度条件，且它们边界的交$F$具有正的调和测度.证明了在以$F$为中心的固定球$B$中，如果$Ω_1$的调和测度关于$B$中的$Ω_2$的调和测度满足尺度不变的$A_\infty$型条件，则存在一致$n$ -可求积集$Σ$，使得包含在$B$中的$Σ\cap F$的调和测度在下有界于一个与$B$无关的固定常数.这个结果的一个显著特点是调和测度不需要满足任何加倍条件。在特定的情况下，$Ω_1$和$Ω_2$是互补的NTA域，我们得到的$A_\infty$条件的几何特征之间的各自的谐波谐波措施的$Ω_1$和$Ω_2$。
Infinite time blow-up for half-harmonic map flow from $\mathbb{R}$ into $\mathbb{S}^1$
研究了具有函数$u:\mathbb{R}\times [0, \infty)\to \mathbb{S}^1$的半调和映射流\begin{equation}\label{e:main00} \left\{\begin{array}{ll} u_t = -(-Δ)^{\frac{1}{2}}u + \left(\frac{1}{2π}\int_{\mathbb{R}}\frac{|u(x)-u(s)|^2}{|x-s|^2}ds\right)u\quad\text{ in }\mathbb{R}\times (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0\quad\text{ in }\mathbb{R}, \end{array} \right. \end{equation}的无限时间爆破现象。设$q_1,\cdots, q_k$是$\mathbb{R}$中的不同点，存在初始数据$u_0$和光滑函数$ξ_j(t)\to q_j$，$0<μ_j(t)\to 0$，如$t\to +\infty$，$j = 1, \cdots, k$，使得问题（\ref{e:main00}）的解$u_q$具有\begin{equation*} u_q =ω_\infty +\sum_{j= 1}^k \left(ω(\frac{x-ξ_j(t)}{μ_j(t)} )-ω_\infty \ri…
Compactness and Bubbles Analysis for 1/2-harmonic Maps
本文研究了1/2-调和映射序列$u_k\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$的紧性和量子化性质，使得$|u_k|_{\dot H^{1/2}(\R,{\cal{S}}^{m-1})}\le C.$更精确地证明了在$\R$中存在弱1/2-调和映射$u_\infty\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$和可能的空集${a_1,...,a_\ell}$，使得直到序列$$(|(-Δ)^{1/4}u_k|^2 \rightharpoonup |(-Δ)^{1/4}u_{\infty}|^2)dx+\sum_{i=1}^{\ell}λ_i δ_{a_i}, in Radon measure,$$为$k\to +\infty$，且$λ_i\ge 0.$.在$\dot W^{1/2,p}_{loc}(\R\setminus{a_1,...,a_\ell})$中，$u_k$到$u_\infty$的收敛是强的，对于每一个$p\ge 1.$我们量化的能量损失的弱收敛，我们表明，在非常数的1/2-调和映射的情况下，值在$ {\cal{S}}^2\,$一个有$λ_i=2 πn_i$，与$n_i$一个正整数。
Gradient estimates for heat kernels and harmonic functions
设$(X,d,μ)$是一个具有Dirichlet形式$\E$的二重度量测度空间，它是由“carré du champ”导出的.假设$(X,d,μ,\E)$支持尺度不变的$L^2$-Poincaré不等式。本文研究了$p\in (2,\infty]$的调和函数、热核和Riesz变换的下列性质：（i）$(G_p)$：$L^p$ -伴随热半群梯度的估计;（ii）$(RH_p)$：$L^p$ -调和函数梯度的逆Hölder不等式;（iii）$(R_p)$：$L^p$ -Riesz变换的有界性（$p<\infty$）;（iv）$(GBE)$：广义Bakry-Émery条件。证明了对于$p\in (2,\infty)$，（i），（ii），（iii）是等价的，而对于$p=\infty$，（i），（ii），（iv）是等价的.此外，其中一些等价性在比$L^2$ -Poincaré不等式更弱的条件下仍然成立。我们的结果给出了$p=\infty$的Li-Yau的热核梯度估计的特征，而对于$p\in (2,\infty)$，它是对Auscher-Coulhon-Duong-Hofmann [7]和Auscher-Coulhon [6]的早期结果的实质性改进和推广.给出了等周不等式和Sobolev不等式的应用。我们的结果适用于黎曼和次黎曼流形以及非光滑空间，并退化椭圆/抛物方程在这些设置。
Transversally Lipschitz Harmonic Functions are Lipschitz
设Ω \subset \mathbb{R}^n是具有C^ \infty边界的有界域.我们证明了Ω中的一个调和函数，如果它沿着一族横截于bΩ的曲线是Lipschitz的，那么它也是Ω中的Lipschitz.我们考虑的Lipschitz函数空间是使用优数的概念定义的，优数是幂函数t^α，0<α<1的某种推广。
An asymtotic sharp Sobolev regularity for planar infinity harmonic functions
给定任意平面$\infty$ -调和函数$u$，对于每个$α>0$，我们建立了$|Du|^α$的定量局部$W^{1,2}$ -估计，它与$α\to0$一样尖锐.我们还表明，分布行列式的$u$是一个氡措施享有一些定量的下限和上限。作为副产品，对于每个$p>2$，我们得到了$u$的一些定量的局部$W^{1,p}$ -估计，从而得到了全平面上$\infty$ -调和函数的$L^p$-Liouville性质。
Infinity-harmonic functions and inverse mean curvature flow clusters
研究无穷调和函数，通过新理论将其与逆平均曲率流簇关联，证明了二维空间中无穷调和函数的结构和正则性等结果，如函数的光滑性、临界点性质及多项式增长的整体解性质等。
Explicit Infinity-Harmonic Maps whose Interfaces have Junctions and Corners
给定一个映射$u : \Om \sub \R^n \larrow \R^N$，$\infty$ -拉普拉斯算子是系统\[ \label{1} \De_\infty u \, :=\, \Big(Du \ot Du + |Du|^2 [Du]^\bot \ \ot I \Big) : D^2 u\, = \, 0 \tag{1} \]，并作为最高泛函$E_\infty(u,\Om)= \|Du\|_{L^\infty(\Om)}.$的“欧拉-拉格朗日偏微分方程”而产生。\eqref{1}是$L^\infty$中向量值变分法的模型偏微分方程，首次出现在作者最近的工作\cite{K1,K2,K3}中。\eqref{1}的溶液呈现出自然的相分离，在每个相上具有定性的不同行为。此外，在界面上，\eqref{1}的系数是不连续的。在这里，我们构造了$n=N=2$的新的显式光滑解，其中界面具有三重连接和非光滑角。这些解决方案的高度复杂性提供了进一步的了解PDE \eqref{1}，并表明可能没有界面的规律性理论。
Trichotomy dynamics of the 1-equivariant harmonic map flow
对于从$ R^2$到$S^2$的1-等变调和映射流\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &v_t=v_{rr}+\frac{v_r}{r} - \frac{\sin(2v)}{2r^2} , ~\quad(r,t)\in R_+\times (t_0,+\infty),\\ &v(r,t_0)=v_0, \qquad\qquad\qquad\quad r\in R_+, \end{aligned} \right. \end{equation*}，我们构造了全局增长、有界和衰减解，其中初始数据$v_0(r)$满足\begin{equation*} \| v_r(\cdot,t) \|_{L^\infty ([0,\infty))} \sim \begin{cases} t^{\frac{γ-2}{2}}\ln t ~&\mbox{ if }~ 1<γ<2,\\ 1 ~&\mbox{ if }~ γ=2,\\ \ln t ~&\mbox{ if }~ γ>2,\\ \end{cases} ~\mbox{ as }~ t\to +\infty. \end{equation*}
Rotationally symmetric p-harmonic maps from D^2 to S^2
考虑从单位圆盘$D^2\subset\real^2$到单位球面$S^2\subset\real^3$的旋转对称$p$ -调和映射，该映射具有$1<p<\infty$和Dirichlet边界条件.我们发现，相关的能量泛函承认一个独特的极小是类$C^{\infty}$在内部和$C^1$的边界。我们还表明，存在无穷多个全球解决方案，相关的欧拉-拉格朗日方程，我们完全刻画他们。
A Weakly Turbulent solution to the cubic Nonlinear Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^2$ perturbed by a real smooth potential decaying to zero at infinity
本文构造了被衰减势扰动后的三次非线性谐振子的光滑解，其Sobolev范数呈对数增长，通过改编Faou-Raphael方法调制孤子实现弱湍流。
A characterisation of $\infty$-harmonic maps in terms of $1$-currents
本文通过向量值$1$-流刻画了黎曼流形间映射在$L^\infty$范数下的临界点，并证明了该流是广义质量泛函的临界点。
Dirichlet problem for weakly harmonic maps with rough data
研究了从域$Ω$（上半空间$\Rd$或有界$C^{1,α}$域，$α\in (0,1]$）到光滑闭流形的弱调和映射.指定小Dirichlet数据的类$L^{\infty}(\partialΩ)$或$BMO(\partialΩ)$，我们建立可解性所产生的边值问题通过非变分方法。作为一个副产品，解决方案被证明是局部光滑，$C^{\infty}_{loc}$。此外，我们表明，边界数据可以选择大的基础拓扑结构，如果$Ω$是光滑的，有界的扰动严格稳定的光滑调和映射。
Diffusive stability and self-similar decay for the harmonic map heat flow
本文研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^d$上的调和映射热流，得到了齐次Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{p}}_{p,\infty}(\mathbb{R}^d)$中小初值映射的无条件唯一性结果，其中$d<p<\infty$ .作为结果，我们得到的形式$\|\nabla u(t) \|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)}\leq Ct^{-\frac12}$的调和映射流的解决方案的衰减率。此外，在较强的空间局部化的初始条件的假设下，我们表明，时间衰减发生在一个自相似的方式。我们还解释了类似的结果适用于双调和映射热流和具有幂型非线性项的半线性热方程。
Estimates of $p$-harmonic functions in planar sectors
设$p \in (1,\infty]$，$ν\in [1/2,\infty)$，$\mathcal{S}_ν= \left\{ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}: |ϕ| < \fracπ{2ν}\right\}$，其中$ϕ$是$(x_1,x_2)$的极角。令$R>0$和$ω_p(x)$为在$x$处$\partial B(0,R) \cap \mathcal{S}_ν$相对于$B(0, R)\cap \mathcal{S}_ν$的$p$ -调和测度。我们证明了存在一个常数$C$，使得\begin{align*} C^{-1}\left(\frac{|x|}{R}\right)^{k(ν,p)} \, \leq ω_p(x) \, \leq C \left(\frac{|x|}{R}\right)^{k(ν,p)} \end{align*}，无论何时$x\in B(0,R) \cap \mathcal{S}_{2ν}$和其中的指数$k(ν,p)$明确给出作为$ν$和$p$的函数。使用这个估计，我们得到局部增长估计$p$ -次和$p$ -超调和函数在平面域是局部近似的部门，例如，我们得出了边界附近的收敛速度的界限，其中区域具有向内或向外指向的尖点。利用$p$ -调和测度的估计，我们还得到了无界扇区$\mathcal{S}_ν…
Limit as $p(x)\rightarrow \infty$ of $p(x)$-Harmonic functions for unbounded $p(x)$
研究无界 $p(x)$-调和函数在 $p(x)\rightarrow \infty$ 时的极限行为，证明解序列收敛于合适微分算子的粘性解。
On forward self-similar heat flow of harmonic maps
本文证明当初始零次齐次映射的梯度在 $L^n$ 范数下足够小时，调和映射热流存在唯一的前向自相似光滑解，并给出其正则性刻画。
Characterization of mean value harmonic functions on norm induced metric measure spaces with weighted Lebesgue measure
研究了具有加权Lebesgue测度和范数诱导度量的$\mathbb{R}^n$的开子集上的均值调和函数.我们的主要结果是一个必要条件说，所有这些功能解决了一定的齐次系统的椭圆偏微分方程。此外，在解析权的情况下，建立了一个相反的结果。假设Sobolev正则性的重量$w \in W^{l,\infty}$，我们表明，强调和函数，以及在$W^{l,\infty}$，他们是解析的，每当重量是解析的。通过在$\mathbb{R}^2$中找到$l^p$距离$1 \leq p \leq \infty$的所有均值调和函数来说明分析。基本的结果是一个特定的不连续性方面的$p$，即对于所有的$p \ne 2$只有100多个线性独立的平均值调和函数，而$p=2$有无穷多个。我们的结论是一个显着的观察，强调和函数在$\mathbb{R}^n$具有平均值的性质，从一个给定的重量获得的无穷多个重量的功能。
The Gradient Flow of Infinity-Harmonic Potentials
研究了平面凸环中$\infty$ -调和函数的流线。我们包括凸多边形。流线相交的点是有特征的：它们位于一定的曲线上。梯度具有恒定的范数沿流线以外的集合的交汇点，无限脊。
The Lavrentiev gap phenomenon for harmonic maps into spheres holds on a dense set of zero degree boundary data
本文证明了对每个正整数$N$，光滑零次映射$ψ\colon\mathbb{S}^2\to \mathbb{S}^2$的集合具有以下三个性质：（1）在单位球的边界上存在唯一的极小调和映射$u\colon \mathbb{B}^3\to \mathbb{S}^2$，它与$ψ$一致;（2）这个映射$u$在$\mathbb{B}^3$中至少有$N$奇点;（3）Lavrentiev空隙现象对$ψ$成立，即，$ψ$的所有光滑扩张$w\colon \mathbb{B}^3\to\mathbb{S}^2$的Dirichlet能量$E(w)$的下确界严格大于（不规则）极小元$u$的Dirichlet能量$\int_{\mathbb{B}^3} |\nabla u|^2$，在赋予$W^{1,p}$ -拓扑的所有光滑零次映射$ϕ\colon \mathbb{S}^2\to\mathbb{S}^2$的集合中是稠密的，其中$1\le p < 2$ .这个结果是尖锐的：它在所有光滑边界数据集上的$W^{1,2}$拓扑中失败。
p(x)-Harmonic functions with unbounded exponent in a subdomain
我们研究了$Ω$中的Dirichlet问题$-÷(|\nabla u|^{p(x)-2} \nabla u) =0 $，其中$u=f$在$\partial Ω$上，$p(x) = \infty$在$D$中，$Ω$是参考域$Ω$的一个子域.主要的问题是给一个正确的意义是什么解决方案。为此，我们认为作为$n \to \infty$的解决方案$u_n$相应的问题时，$p_n(x) =p(x) \wedge n$，特别是与$p_n = n$在$D$的限制。在适当的假设下的数据，我们发现，这样的限制存在，它可以被描述为唯一的解决方案的变分最小化问题，这是，此外，$\infty$ -调和内$D$。此外，我们检查这个极限的粘性意义，并找到它满足整个$Ω$的边值问题。
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
On uniqueness for time harmonic anisotropic Maxwell's equations with piecewise regular coefficients
当磁导率$μ$和介电常数$\varepsilon$是$\mathbb{R}^{3}$中的对称正定矩阵值函数时，我们对麦克斯韦方程组解的唯一性感兴趣.我们表明，一个独特的连续性的结果，全球$W^{1,\infty}$系数在一个光滑的，有界域，允许一个证明的解决方案是唯一的情况下的系数是分段$W^{1,\infty}$相对于一个合适的可数收集的子域与$C^{0}$边界。这种合适的集合包括任何有界有限集合。这个证明依赖于一个一般的论证，而不是麦克斯韦方程组所特有的。这个结果，然后扩展到的情况下，在这些子域内的磁导率和介电常数只有$L^\infty$的小措施。
A density problem for Sobolev spaces on planar domains
证明了对有界单连通域$Ω\subset \mathbb R^2$，索伯列夫空间$W^{1,\,\infty}(Ω)$对任何$1\le p<\infty$在$W^{1,\,p}(Ω)$中稠密.此外，我们证明了如果$Ω$是Jordan，那么对于$1\le p<\infty$，$C^{\infty}(\mathbb R^2)$在$W^{1,\,p}(Ω)$中是稠密的。
On $p$-harmonic map heat flows for {$1\leq p< \infty$} and their finite element approximations
本文在统一框架下研究 $p$-调和映射热流（$1\leq p<\infty$）的全局弱解存在性，引入 $BV$-解概念并证明 $1$-调和映射热流的存在性，同时提出全离散有限元方法并建立收敛性。
On the Numerical Approximation of $\infty$-Harmonic Mappings
本文研究了当n=2,N=2,3时，单位正方形上特定边界数据的Dirichlet问题的解的数值近似，探讨了∞-调和映射中出现的有趣现象及解的结构。
Sets of absolute continuity for harmonic measure in NTA domains
证明了若$Ω$是具有调和测度$w$的NTA整环，且$E\subseteq \partialΩ$包含在Ahlfors正则集中，则$w|_{E}\ll \mathscr{H}^{d}|_{E}$ .此外，这在定量意义上是成立的，即对于所有$τ>0$，$w$服从关于$\mathscr{H}^{d}|_{E'}$的$A_{\infty}$型条件，其中$E'\subseteq E$使得$w(E\backslash E')<τw(E)$，即使$\partialΩ$甚至可能不是局部$\mathscr{H}^{d}$有限的.我们还表明，对于均匀域的均匀补充，如果$E\subseteq\partialΩ$是Lipschitz图像的一个子集的$\mathbb{R}^{d}$，那么有$E'\subseteq E$与$\mathscr{H}^{d}(E\backslash E')<τ\mathscr{H}^{d}(E)$后，一个类似的$A_{\infty}$型条件成立。
Teichmüller harmonic map flow from cylinders
我们定义了一个几何流，旨在改变表面的圆柱型跨越两个不相交的边界曲线的道格拉斯-高原问题的解决方案，找到极小曲面与给定的边界曲线。我们证明，也在这个新的设置和任意的初始数据，解决方案的Teichmüller调和映射流存在的所有时间。此外，对于解决方案的三点条件不退化为$t\to\infty$，我们显示收敛沿序列$t_i\to\infty$的临界点的面积由一个最小的圆柱或由两个最小的磁盘跨越给定的边界曲线。
Failure of dimension drop for harmonic measure on Ahlfors regular flat boundaries
该研究通过修改David-Jeznach-Julia的构造，证明对任意s∈(0,1/2)存在对应Ahlfors正则紧集，结合已有结果确定调和测度维数下降的阈值1/2是尖锐的。
Absolute continuity between the surface measure and harmonic measure implies rectifiability
本文证明了对任何开连通集$Ω\subset{\mathbb R}^{n+1}$，$n\geq 1$，以及任何具有$0<{\mathcal H}^n(E)<\infty$的$E\subset \partialΩ$，调和测度$ω$关于$E$上的Hausdorff测度的绝对连续性蕴涵着$ω|_E$是可求长的.
Towards spaces of harmonic functions with traces in square Campanato space and its scaling invariant
对于$n\ge 1$和$α\in (-1,1)$，设$H^{α,2}$是上半空间$\mathbb{R}^{n+1}_+$上满足$$\displaystyle\sup_{(x_0,r)\in \mathbb R^{n+1}_+}r^{-(2α+n)}\int_{B(x_0,r)}\int_0^r|\nabla_{x,t} u(x,t)|^2t\,dt\,dx<\infty,$$的调和函数$u$的空间，$\mathcal{L}_{2,n+2α}$是$\mathbb R^n$上的Campanato空间.我们证明，对于所有的$α\in (-1,1)$，$H^{α,2}$与$e^{-t\sqrt{-Δ}}\mathcal{L}_{2,n+2α}$一致，其中$α\in [0,1)$最初是由Fabes、Johnson和Neri发现的[Indiana Univ. Math. J. 25（1976），159-170]，而$α\in (-1,0)$则是未解决的。此外，对于缩放不变版本的$H^{α,2}$，$\mathcal{H}^{α,2}$，其中包括所有调和函数$u$上$\mathbb R^{n+1}_+$满足$$\sup_{(x_0,r)\in\mathbb R^{n+1}_+}r^{-(2α+n)}\int_{B(x_0,r)} \int_0^r|\nabla_{x,t} u(x,t)|^2\,…
Hölder continuity of harmonic functions for Hunt processes with Green function
设$(X,\mathcal W)$是平衡空间$1\in \mathcal W$，或等价地，设$\mathcal W$是局部紧空间$X$上Hunt过程的过剩函数的集合，$\mathcal W$具有可数基，使得$\mathcal W$分离点，$\mathcal W$中的每个函数是其连续子变量的上确界，并且存在严格正连续的$u,v\in \mathcal W$，使得$u/v\to 0$在无穷远处。我们假设存在一个$X$的格林函数$G>0$，一个$X$的度量$ρ$和一个具有加倍性质和温和上衰减的递减函数$g\colon[0,\infty)\to (0,\infty]$，使得$G\approx g\circρ$和半径为$r$的球的容量近似为$1/g(r)$ .证明了有界调和函数是Hölder连续的，如果常数函数$1$是调和的且跳出球允许多项式估计.后者被证明，如果缩放不变Harnack不等式成立。
Asymptotic statistical characterizations of p-harmonic functions of two variables
推广了著名的调和函数的均值性质，证明了二元p-调和函数在粘性意义下满足两个涉及局部统计量的渐近公式.进一步证明了当1 < p < \infty时，这些渐近公式刻画了p-调和函数.一个例子表明，在一般情况下，这些公式不持有在非渐近意义。
Square function estimates, BMO Dirichlet problem, and absolute continuity of harmonic measure on lower-dimensional sets
在最近的工作[DFM1，DFM2]中G.大卫，J.Feneuil，和第一作者已经推出了一个计划，致力于模拟调和测度的低维集。类似于经典环境下的椭圆型偏微分方程，一类相关的偏微分方程由线性退化方程给出，退化度适当地依赖于到边界的距离.本文继续这一研究路线，并侧重于新定义的调和测度的Hausdorff测度，$ω\in A_\infty(σ)$，在边值问题的可解性方面的定量绝对连续性的标准。作者建立，特别是，平方函数估计和解的狄利克雷问题在BMO域的低维边界下的基本假设$ω\in A_\infty(σ)$。更一般地，证明了在所有具有Ahlfors正则边界的域中，狄利克雷问题的BMO可解性对于调和测度的绝对连续性是必要且充分的。
On $p$-Harmonic Measures in Half Spaces
对所有的$1<p<\infty$和$N\ge 2$，我们证明了存在一个常数$α(p,N)>0$，使得$\R^{N-1}$中半径为$0 < δ\leq 1$的球的$p$ -调和测度在$\R^N_+$中的上下界为一个常数乘$δ^{α(p.N)}$ .我们提供了指数$α(p,N)$的显式估计
On the finite element approximation of infinity-harmonic functions
本文研究p-调和函数的符合伽辽金近似在p趋近于无穷和h趋近于0时趋于无穷调和函数的性质。
Optimal estimates for the gradient of harmonic functions in the multidimensional half-space
在函数的边值属于$L^p$的假设下，得到了多维半空间中调和函数梯度的逐点估计中锐常数的一个表示.这种表示具体化为$p=1, 2,$和$\infty$两种情况。
Semiregular and strongly irregular boundary points for $p$-harmonic functions on unbounded sets in metric spaces
对于完全度量空间中的无界开集，利用支持$p$ -Poincaré不等式的加倍测度，得到了$p$ -调和函数的正则、半正则和强非正则边界点之间的可分性.我们表明，这些都是当地的财产。我们还给出了半正则点和强非正则点的几个刻画。特别是，半正则点的特点是通过容量，$p$ -调和测度，可移动性，和semibarriers。
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