The Gradient Flow of Infinity-Harmonic Potentials
Erik Lindgren, Peter Lindqvist
研究了平面凸环中$\infty$ -调和函数的流线。我们包括凸多边形。流线相交的点是有特征的：它们位于一定的曲线上。梯度具有恒定的范数沿流线以外的集合的交汇点，无限脊。
We study the streamlines of $\infty$-harmonic functions in planar convex rings. We include convex polygons. The points where streamlines can meet are characterized: they lie on certain curves. The gradient has constant norm along streamlines outside the set of meeting points, the infinity-ridge.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Phase separation of n dimensional infinity Harmonic mappings
在其他有趣的结果，在最近的一篇论文中，Katzourakis分析了现象的分离的解决方案的无限拉普拉斯系统的阶段与定性不同的行为的情况下，2维无穷调和映射。无穷Laplace系统的解称为无穷调和映射。本文通过研究n维无穷调和映射的相分离性，将上述Katzourakis结果推广到高维。
Infinity harmonic functions over exterior domains
本文研究了定义在外区域上的无穷远调和函数在无穷远点具有线性增长率。我们证明了这样的函数在无穷远处对平面或锥是渐近的。我们还建立了外部区域的狄利克雷问题的可解性。
On expansions of Ricci flat ALE metrics in harmonic coordinates about the infinity
本文研究了调和坐标中Ricci平坦度量关于ALE流形无穷远点的展开。
Phragmén-Lindelöf theorem for infinity harmonic functions
研究了无界凸区域中方程$Δ_\infty u=0$解的Phragmén-Lindelöf定理.证明的方法是当$p$趋于$\infty$时，将这个无穷远调和方程看作是$p$ -调和方程的极限。
Absolutely Minimizing Lipschitz Extensions and Infinity Harmonic Functions on the Sierpinski gasket
本文的目的是研究无限Laplace算子和相应的绝对极小Lipschitz扩张问题的Sierpinski垫片的精神的经典建设的Kigami的拉普拉斯算子。我们引入了一个概念的无穷调和函数的预分形集，我们表明，这些功能解决了Lipschitz扩展问题的离散设置。证明了无穷多个调和函数在准分形集上的极限解Sierpinski垫片上的绝对极小Lipschitz扩张问题。
An easy proof of Jensen's theorem on the uniqueness of infinity harmonic functions
给出了无穷调和函数唯一性的Jensen定理的一个新的、简单的初等证明。这个想法是通过在小球上取最大值和最小值来传递到有限差分方程。
Infinity-Harmonic Potentials and Their Streamlines
本文研究了平面凸环上无穷拉氏方程的某些解。它们的上升流线是唯一的，而下降的可能分叉。我们证明了分歧发生在一般的情况下，因此，解决方案不能有Lipschitz连续梯度。
Infinity-harmonic maps and morphisms
提出了黎曼流形之间的\emph{infinity-harmonic maps}概念。这些都是无穷调和函数概念的自然推广，也是$p$ % -调和映射作为$p\to \infty $的极限情况。无限和谐出现在许多熟悉的语境中。例如，从管状邻域到等距群作用的轨道上的度量投影是无穷调和的。不幸的是，在合成中，无穷调和性并不被保持。那些在拉回下始终保持无穷调和性的无穷调和映射称为无穷调和态射。我们证明了无穷调和态射是精确的水平位似质量。给出了无穷调和映射的许多例子，包括黎曼流形之间的一些非常重要和著名的映射类。
An asymtotic sharp Sobolev regularity for planar infinity harmonic functions
给定任意平面$\infty$ -调和函数$u$，对于每个$α>0$，我们建立了$|Du|^α$的定量局部$W^{1,2}$ -估计，它与$α\to0$一样尖锐.我们还表明，分布行列式的$u$是一个氡措施享有一些定量的下限和上限。作为副产品，对于每个$p>2$，我们得到了$u$的一些定量的局部$W^{1,p}$ -估计，从而得到了全平面上$\infty$ -调和函数的$L^p$-Liouville性质。
The convergence rate of $p$-harmonic to infinity-harmonic functions
本文证明带 Dirichlet 边界条件的 $p$-Laplace 方程解随 $p\to\infty$ 一致收敛到 infinity-Laplace 方程解，并给出 $p^{-1/4}$、正梯度情形 $p^{-1/2}$ 的速率及 $p^{-1}$ 下界。
A Weakly Turbulent solution to the cubic Nonlinear Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^2$ perturbed by a real smooth potential decaying to zero at infinity
本文构造了被衰减势扰动后的三次非线性谐振子的光滑解，其Sobolev范数呈对数增长，通过改编Faou-Raphael方法调制孤子实现弱湍流。
On splitting complete manifolds via infinity harmonic functions
本文证明了支撑至多单侧线性增长的非常数无穷调和函数的流形的分裂结果，考虑了非负Ricci或截面曲率流形，并在2维情形下将Savin定理推广至非负截面曲率曲面。
On the finite element approximation of infinity-harmonic functions
本文研究p-调和函数的符合伽辽金近似在p趋近于无穷和h趋近于0时趋于无穷调和函数的性质。
Discontinuous gradient constraints and the infinity Laplacian
受拔河游戏和某些变分问题的渐近分析的启发，我们考虑了一个包含无穷拉普拉斯算子的梯度约束问题。我们证明了这个问题总是有一个解决方案，是唯一的，如果一定的正则性条件的约束得到满足。如果这个正则性条件失败，那么从对策论和$L^p$ -近似得到的解不需要重合。
Asymptotic expansion of 2-dimensional gradient graph with vanishing mean curvature at infinity
本文建立了在无穷远处中曲率为零的2维梯度图在无穷远处的渐近展开式。这对应于我们以前的结果，在高维和推广的结果，最小梯度图的外部区域在2维。与更高维度的策略不同，我们应用Bao-Li-Zhang [Calc.Var PDE，52（2015），pp. [39-63]通过球谐展开来改进，以提供比已知结果更明确的渐近行为。
An infinity Laplace equation with gradient term and mixed boundary conditions
我们得到了修正的1-齐次无穷Laplace方程\[ -Δ_\infty u - β|Du| = f, \]在Dirichlet或混合Dirichlet-Neumann边界条件下解的存在性、唯一性和稳定性结果.我们的论点依赖于比较解决方案的偏微分方程的子解和上解的某个有限差分近似。
Explicit Infinity-Harmonic Maps whose Interfaces have Junctions and Corners
给定一个映射$u : \Om \sub \R^n \larrow \R^N$，$\infty$ -拉普拉斯算子是系统\[ \label{1} \De_\infty u \, :=\, \Big(Du \ot Du + |Du|^2 [Du]^\bot \ \ot I \Big) : D^2 u\, = \, 0 \tag{1} \]，并作为最高泛函$E_\infty(u,\Om)= \|Du\|_{L^\infty(\Om)}.$的“欧拉-拉格朗日偏微分方程”而产生。\eqref{1}是$L^\infty$中向量值变分法的模型偏微分方程，首次出现在作者最近的工作\cite{K1,K2,K3}中。\eqref{1}的溶液呈现出自然的相分离，在每个相上具有定性的不同行为。此外，在界面上，\eqref{1}的系数是不连续的。在这里，我们构造了$n=N=2$的新的显式光滑解，其中界面具有三重连接和非光滑角。这些解决方案的高度复杂性提供了进一步的了解PDE \eqref{1}，并表明可能没有界面的规律性理论。
An obstacle problem for Tug-of-War games
考虑无穷大Laplace方程的障碍问题.给定Lipschitz边界函数和Lipschitz障碍，证明了约束在障碍上方的超无穷调和函数的存在性和唯一性，该超无穷调和函数是严格位于障碍上方的无穷调和函数.此外，我们表明，这个功能是一个游戏，我们称之为障碍拔河的价值函数的极限。
Infinity-harmonic functions in the plane: Regularity by injectivity
本文通过梯度单射性条件，利用无穷拉普拉斯方程与一维热方程的联系，证明了平面中无穷调和函数的梯度具有1/3-Hölder连续性。
Harnack inequality and principal eigentheory for general infinity Laplacian operators with gradient in $\mathbb{R}^N$ and applications
在缺乏变分结构和非退化性的条件下，研究了一类带梯度项和齐次项的一般无穷Laplacian算子的三个\textit{generalized principal eigenvalue}概念。证明了一个Harnack不等式和边界Harnack不等式支持我们的分析。这是我们的第一个工作[3]的延续，也是对\textit{generalized principal eigenvalue}理论发展的贡献。利用这些概念刻画了最大值原理的有效性，并研究了Fisher-KPP型方程在全空间上正解的存在性、不存在性和唯一性.对滑动法进行了本质上的改进，使之适合于无穷大拉普拉斯算子求解。结果与Liouville型结果有关，这将被详细解释。
Liouville theorems for infinity Laplacian with gradient and KPP type equation
本文证明了一类含有无穷Laplacian算子的非线性方程的新的Liouville型结果，其梯度形式为$$Δ^γ_\infty u + q(x)\cdot \nabla{u} |\nabla{u}|^{2-γ} + f(x, u)\,=\,0\quad \text{in}\; \mathbb{R}^d,$$，其中$γ\in [0, 2]$和$Δ^γ_\infty$是与无穷Laplacian算子相关的$(3-γ)$ -齐次算子.在假设$\liminf_{|x|\to\infty}\lim_{s\to0}f(x,s)/s^{3-γ}>0$和$q$是无穷远为零的连续函数的条件下，构造了方程的一个有界正解，并且当$f(x,s)/s^{3-γ}$在$s$中递减时，通过改进滑动法得到了该解的唯一性.否则，如果是$\limsup_{|x|\to\infty}\sup_{[δ_1,δ_2]}f(x,s)<0$，则不存在的结果保持额外提供一些适当的条件。为此，我们开发了新的技术来克服的困难，从退化的无穷大拉普拉斯算子和非线性的梯度项。我们的方法是基于一个新的正则性结果，强极大值原理，和Hopf引理无穷拉普拉斯涉及梯度和潜在的。我们还构造了一些例子来说明我们的结果。我们进一步研究了光滑有界区域上相应的非线性算子$$Δ^γ_\infty u + q(x)\cdot \nabla{u} |\nabla{u}…
Estimates of gradient of $\mathcal{L}$-harmonic functions for nonlocal operators with order $α>1$
在Lévy测度的极小假设下，得到了阶严格大于1的Lévy算子的调和函数梯度的Grönwall型估计.
Gradient walk and $p$-harmonic functions
本文考虑一类随机过程，并建立了它与$p$ -调和函数的联系。特别是，我们得到的随机逼近一致收敛到一个$p$ -调和函数，具有明确的收敛速度，也得到一个精确的扩散表示在连续时间。其主要难点是如何处理底层函数梯度的零点集。
Masses at null infinity for Einstein's equations in harmonic coordinates
在这项工作中，我们给出了一个完整的图片，如何在一个直接的简单的方式定义在零无穷大的质量在调和坐标在三种不同的方式，我们满足邦迪质量损失定律。第一种和第二种方法只涉及度量的极限（Trautman质量），分别是零第二基本形式沿着渐近特征曲面（渐近霍金质量），只依赖于ADM质量。最后，在一个原始的方式涉及建设的特殊特征坐标在零无穷大（邦迪质量）。这里的结果依赖于[24]中导出的度量的渐近性。
Sphericalization and p-harmonic functions on unbounded domains in Ahlfors regular metric spaces
利用球化方法研究了Ahlfors正则度量空间中无界集上p-调和函数的狄利克雷问题、Perron解和边界正则性.特别注意无穷远点的边界正则性。特别是，我们允许几个“接近方向”的无穷大，并考虑到他们的补充。2005年，Llorente-Manfredi-Wu证明了上半空间$R^n_+, n \ge 2$上的p-调和测度，当$p \neq 2$ .利用他们的结果和球面反演，我们在单位球$B \subset R^n$中建立了类似的有界例子，表明当$n \ge 3$，n-调和测度在空集上不是次可加的，并且$B$中的p-调和测度也不是由依赖于$p\neq 2$和$n \ge 2$的某些权重生成的.
A gradient estimate for harmonic functions sharing the same zeros
设u，v是半径为2的圆上的两个调和函数，它们具有完全相同的零点集Z。我们观察到\log的梯度|u/v|在单位圆盘内，由一个只依赖于Z的常数所限定。在Z为空的情况下，这回到了李-丘对正调和函数的梯度估计。广义边界Harnack原理给出了\log上的Hölder估计|u/v|.
Generic transversality of radially symmetric stationary solutions stable at infinity for parabolic gradient systems
本文研究了一类非线性抛物型方程组的径向对称定常解的通有横截性，其中空间变量$x$是多维无界的，其形式为\[ \partial_t w(x,t) = -\nabla V\bigl(w((x,t))\bigr) + Δ_x w(x,t) \,, \].它被证明，一般相对于潜在的$V$，径向对称的稳定的解决方案是稳定的在无穷远（换句话说，接近一个极小点的$V$在无穷远的空间）是横向的，因此，这样的解决方案是离散的。这一结果可以被看作是扩展到更高的空间维度的通用elementarity对称常设脉冲，证明了在配套文件。它证明了通用字符的离散性假设有关这一套固定的解决方案，在另一个同伴文件致力于全球性的行为（不定常）径向对称的解决方案稳定在无穷远这样的系统。
Uniqueness theorems for weighted harmonic functions in the upper half-plane
本文研究上半平面中α-调和函数在边界和无穷远处消失条件下的唯一性问题，揭示非经典情形允许更宽松的无穷远条件，并给出沿测地线和射线的最佳唯一性结果。
Infinity-harmonic functions and inverse mean curvature flow clusters
研究无穷调和函数，通过新理论将其与逆平均曲率流簇关联，证明了二维空间中无穷调和函数的结构和正则性等结果，如函数的光滑性、临界点性质及多项式增长的整体解性质等。
Uniqueness and Regularity of the Fractional Harmonic Gradient Flow in $S^{n-1}$
本文研究$S^1$上的分数阶调和梯度流，对每个$n \geq 2$取$S^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$中的值，特别是在所谓的能量足够小的能量类中解决解的唯一性和正则性，增加了现有的知识体系，包括解的存在性和某些冒泡现象.
Global behaviour of radially symmetric solutions stable at infinity for gradient systems
本文研究了多维梯度系统中在无穷远处稳定的径向对称解的渐近行为，证明了此类解趋近于向无穷远传播的径向对称双稳态波前堆叠族。
Leading terms of velocity and its gradient of the stationary rotational viscous incompressible flows with nonzero velocity at infinity
考虑了具有Oseen项和旋转项的Navier-Stokes方程组，描述了粘性不可压缩流体绕作匀速运动和作常角速度旋转的刚体的定常流动。在以前的文章中，我们证明了该系统的弱解的一个表示公式。利用该表示式分别得到了速度及其梯度的渐近展开，并建立了余项的逐点衰减估计。我们的结果是基于Guenther和J.Math.FluidMech.提出的基本解，8（2006），77-98.因此，除了Kyed J. Math. Soc. Japan，66（2014），1-16给出的方法之外，我们提出了一种不同的方法来解决这个结果。
Existence, Uniqueness and Regularity of the Fractional Harmonic Gradient Flow in General Target Manifolds
本文继续研究$S^{n-1}$上取一般闭流形$N \subset \mathbb{R}^n$上的分数阶调和梯度流，讨论了具有足够小能量的能量类解的整体存在性和唯一性，增加了与半调和梯度流有关的现有知识，扩展了我们以前在[34]中的工作.我们将Struwe在[30]和Rivière在[22]中的技巧推广到类似于[34]的非局部框架中来推导唯一性，使用[8]中的交换子估计来获得正则性，并遵循[30]获得一般的存在性结果。
A Local Lewy Theorem for $p$-Harmonic Function with Non-zero Gradient in $R^3$
针对三维空间中梯度非零的弱p-调和函数，研究人员建立局部Lewy型定理，证明其梯度映射为局部同胚时必为局部微分同胚，拓展了p-调和函数的相关理论。
Level Spacings and Nodal Sets at Infinity for Radial Perturbations of the Harmonic Oscillator
本文研究了谐振子径向微扰的高频本征函数和准模的节集性质。特别是，我们认为节点集上的领域的大半径（在经典的禁止区域）的准模式的能量位于一个固定的能量$E$周围的间隔。对于精心选择的间隔，我们表明，这些节点集表现出定量不同的行为相比，未扰动的谐振子。这些能量区间的定义通过仔细分析的扰动算子的本征值间距，基于解析扰动理论和线性化公式的Laguerre多项式。
On fractional harmonic functions
本文主要研究与分数次拉普拉斯算子有关的调和函数的定性性质。首先对定义在无穷远处的主值意义下的分数阶拉普拉斯算子在全空间和半空间中的多项式进行了分类。其次，我们研究了半空间中边界上具有奇点的分数阶调和函数及其分布恒等式。
Explicit $\infty$-harmonic functions in high dimensions
这项工作的目的是获得新的显式解的$\infty$ -拉普拉斯方程，在空间$L^\infty$的变分法中产生的基本PDE。这些解决方案服从一定的对称性条件，并在任意尺寸，包含作为特定的子情况下，已经知道的类二维无穷调和函数。
Gradient regularity for $(s,p)$-harmonic functions
本文研究$(s,p)$-调和函数的局部正则性，证明其弱可微、弱梯度任意阶局部可积，并得到任意Hölder连续性及分数阶可微性，且估计在$s\to1$时稳定并恢复$p$-调和函数的已知正则性。
Topology at infinity of complete gradient Schouten solitons
本文研究完备梯度Schouten孤立子的无穷远拓扑，无额外假设下证明收缩型有有限个端、扩张型无穷远连通，并补充两类情形下端的性质与势函数、体积增长相关结果。
A density property for tensor products of gradients of harmonic functions and applications
本文证明k≥3时调和函数梯度的张量积在C(Ω̄)中稠密，并应用此结果证明耦合拟线性椭圆系统逆边界值问题的唯一性，最后讨论与线性化各向异性Calderón问题的关联。
Lp-gradient harmonic maps into spheres and SO(N)
我们考虑能量$E(v) := \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla^s v|^{\frac{n}{s}}$的临界点，其中$v$局部映射到球体或$SO(N)$中，并且$\nabla^s = (\partial_1^s,\ldots,\partial_n^s)$是形式分数梯度，即$\partial_α^s$是分数拉普拉斯算子与$α$ th Riesz变换的组合。我们证明了这个能量的临界点是Hölder连续的。作为特殊情况，对于$s = 1$，我们得到了Fuchs和Strzelecki关于球面上$n$ -调和映射的正则性结果的一个新的、更稳定的证明，这个结果本身就很有趣.
Half-Harmonic Gradient Flow: Aspects of a Non-Local Geometric PDE
本文的目标是讨论[31]和[32]中的一些结果，并通过证明全局弱存在性结果以及有限时间内的第一个冒泡分析来扩展其中的工作。此外，一个替代的局部存在性证明的基础上提出了一个不动点的论点。这导致了两种可能的前景，直到Sire，Wei和Zheng的猜想得到解决，见[27]：要么总是存在全局光滑解（因此这里构造的解实际上是期望的正则解），要么有限时间冒泡可能以类似于调和梯度流的方式发生。此外，本文还对梯度流，特别是调和梯度流和半调和梯度流作了简要的总结，并指出了两者的相似之处。为了清楚起见，我们仅限于球形目标流形的情况，但我们的整个讨论在考虑技术细节之后扩展到任意闭合目标流形。
Global behaviour of solutions stable at infinity for gradient systems in higher space dimension: the no invasion case
本文研究高维抛物型梯度系统在无穷远处稳定解的全局渐近行为，依据解偏离平衡态区域的平均增长速度，给出渐近能量的符号判定，并用于后续径向对称解的分析。
Liouville--Type Results for Infinity Elliptic Equations Involving Gradient and Hardy--Hénon Nonlinearities
本文研究了涉及分数无穷 Laplace算子和非线性项的退化椭圆方程的Liouville型性质，通过加权比较原理和局部Lipschitz估计，得出了关于有界非负解的精确增长条件和部分结论。
Gradient estimates for $p\left(\cdot\right)$-harmonic differential forms
本文在 Coulomb 型规范条件下，建立了 $p(\cdot)$-调和微分形式的梯度界，并在变量指数满足对数 Hölder 连续性假设时，推导了 Meyers 类的更高积分性估计，从而在自然能量空间之外获得更高级的正则性。此外，在指数函数满足 Hölder 连续性更强的假设下，证明了解的梯度具有 Hölder 连续性。这些结果将经典常数指数 $p$-调和系统的正则性理论扩展到变量指数情形，这对于建模非均匀和各向异性介质至关重要。
C^1-Regularity of planar \infty-harmonic functions - REVISIT
在开创性的论文[Arch.Ration。机械肛门176（2005），351 - 361]，Savin证明了平面$\infty$-调和函数$u$的$C^1$-正则性.本文从容量的角度对它作了新的理解，并去掉了几个高技术性的论点。我们的论点基本上是基于一个拓扑引理的Savin，一个平坦的估计埃文斯和智能，%\cite{es11a}，$W^{1,2}_{loc}$-正则性的$|Du|$和Crandall的流动无穷调和函数。
On a gradient term for a class of second-order PDEs and applications to the infinity Laplace equation
本文提出一类二阶偏微分方程的自然梯度项，统一了Laplace、m-Laplace和k-Hessian算子的研究，并扩展到更广泛的非线性PDE，包括无穷Laplace算子，同时研究了粘性解和变号解。
Uniqueness and nonuniqueness of limits of Teichmueller harmonic map flow
从一个闭的常曲率曲面到一个闭的目标流形的调和映射能量可以看作是映射空间和域度量上的泛函。我们考虑这种能量的梯度流。在没有奇点的情况下，以前的理论建立了流收敛到分支的最小浸入，但只有在一个时间序列收敛到无穷大，并且只有在被一系列的非同态拉回之后。在本文中，我们研究是否有必要拉回由这些同胚，以及是否是一致收敛的时间趋于无穷大。
A non-Kähler expanding Ricci soliton with a Kähler tangent cone at infinity
研究构造了一个非Kähler扩张梯度Ricci流形的例子，其在无限远处具有Kähler切锥，展示了Kähler锥可通过光滑AC扩张梯度Ricci流形去奇异化，但无法通过光滑AC扩张梯度Kähler-Ricci流形实现。
A Liouville theorem for $p$-harmonic functions on exterior domains
本文证明了$d$维欧氏空间外区域上$p$ -调和函数的Liouville型定理，其中$1<p<\infty$和$d\geq 2$ .证明了当$|x|$趋于无穷大时，满足零Dirichlet，Neumann或Robin边界条件且极限为零的正$p$ -调和函数恒为零.在Neumann边界条件为零的情况下，我们建立了任何半有界$p$ -调和函数是常数，如果$1<p<d$。如果是$p\ge d$，那么它要么是常数，要么它的行为类似于齐次$p$ -拉普拉斯方程的基本解。
Gradient estimate for harmonic functions on Kähler manifolds
证明了非紧Kähler流形上调和函数的一个尖锐的积分梯度估计.作为应用，我们得到了p-Laplacian谱底的一个精确估计，并证明了实现这一估计的流形的一个分裂定理。
Local gradient estimate for harmonic functions on Finsler manifolds
在加权里奇曲率有下界的条件下，证明了完备非紧Finsler测度空间上调和函数的局部梯度估计.作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的Finsler流形上的Liouville型定理.
Asymptotic behavior of positive harmonic functions in certain unbounded domains
我们推导了一大类非光滑无界区域中正调和函数在无穷远点的渐近估计。这些包括其截面在重新缩放后类似于Lipschitz圆柱体或Lipschitz圆锥体的域，例如，各种抛物面和喇叭形。
Optimal estimates for the gradient of harmonic functions in the multidimensional half-space
在函数的边值属于$L^p$的假设下，得到了多维半空间中调和函数梯度的逐点估计中锐常数的一个表示.这种表示具体化为$p=1, 2,$和$\infty$两种情况。
Infinity-Minimal Submanifolds
我们确定了无穷调和映射的变分原理，即无穷拉普拉斯算子的解。该系统首先在[K2]中在p-Laplacian的极限中导出为p-> iniu，最近在[K3]中进行了研究。这里我们证明了对于梯度的L-不等式范数，它是L-不等式中向量值变分的“Euler-Lagrange偏微分方程”。本文引入了无穷极小映射的概念，即值域子流形的具有无穷极小面积的秩一绝对极小映射，并证明了它们解无穷拉普拉斯算子。沉浸式的情况正好相反。我们还建立了解的|Du|的最大值原理。进一步刻画了三维空间中的极小曲面为具有无穷小面积的等温浸入局部可参数化的曲面，并证明了等温无穷小调和映射是刚性的.
Exterior stability of Minkowski space in generalized harmonic gauge
我们给出了一个简短的证明存在一小片零无穷的$(3+1)$维时空演化渐近平坦的初始数据作为解决方案的爱因斯坦真空方程。我们介绍了一个修改的标准波坐标规范，其中所有的非物理度规自由度在零无穷大有很强的衰减。使用规范固定的爱因斯坦真空方程，实现约束阻尼的制定，我们建立这种强衰减的约束方程的有效性无关。在技术层面上，我们使用几何奇异分析的概念，给出了一个简化的证明半奇异存在的相关拟线性双曲型方程。
Gradient estimates for $(p,V)$-harmonic functions on Riemannian manifolds
本文基于$(p,V)$-调和函数的梯度估计，利用Moser迭代方法在黎曼流形上建立了体积比较定理和Sobolev嵌入定理，并得到了显式全局梯度估计。
Structure at infinity for shrinking Ricci solitons
本文主要研究完全梯度收缩Ricci孤子在无穷远处的结构。结果表明，对于这样一个有界曲率的孤子，如果圆柱$\mathbb{R}\times \mathbb{S}^{n-1}/Γ$出现作为一个极限的一系列点走向无穷远沿一端，那么结束是渐近的同一圆柱在无穷远。然后将所得结果应用于四维梯度收缩Ricci孤子在无穷远处的结构结果。我们已经知道，这种在无穷远处具有接近于零的数量曲率的孤子必须光滑地渐近于一个圆锥。对于数量曲率从下到上有界的情况，我们得出结论：沿着势函数的梯度向量场的每一条积分曲线，孤子沿每一端渐近于$\mathbb{R}\times \mathbb{S}^{3}$的商或收敛于$\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{S}^{2}$的商.
Gradient estimates and blow-up analysis for stationary harmonic maps
对于黎曼流形之间的平稳调和映射，我们给出了内部和边界梯度一致估计的一个充要条件。我们还证明了，如果解析目标流形不携带任何调和S ^2，则平稳映射的奇异集是m \leq n - 4可求长的。这两个结果都来自于对弱收敛平稳调和映射序列的亏损测度和能量集中集的一般分析。
On the Gradient of Harmonic Functions
对欧几里得空间上的调和函数u，本文证明了它的梯度本质上由它的水平超曲面的几何决定.具体来说，|grad（u）|沿梯度流的变化完全由与流相交的水平超曲面的中曲率决定。
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