Linear \infty-Harmonic maps between Rienmannian manifolds
本文给出了欧氏空间与Heisenberg空间之间、Nil空间与Sol空间之间的线性$\infty$ -调和映射的完全分类。对Sol空间的所有$\infty$ -调和线性自同构进行了分类，并证明了在Sol空间的线性自同构群中存在$\infty$ -调和线性自同构的子群.
2007-11-05 math.AP math.DG
Jacobian determinants for (nonlinear) gradient of planar $\infty$-harmonic functions and applications
在2维空间中，我们引入了一个非线性复梯度$(x_1,x_2)\mapsto |Dv|^β(v_{x_1},-v_{x_2})$的分布雅可比行列式$\det DV_β(Dv)$，对于任何$β>-1$，只要$v\in W^{1,2 }_{\text{loc}}$和$β|Dv|^{1+β}\in W^{1,2}_{\text{loc}}$ .然后，对于任何平面$\infty$ -调和函数$u$，我们证明了这样的分布雅可比行列式是一个非负的Radon测度与一些定量的局部上下界。我们也给出了以下两个应用。(i)应用$β=0$，我们开发了一种建立Liouville定理的方法，改进了Savin [33]的方法。准确地说，如果$u$是$\infty$ -整个${\mathbb R}^2$中的调和函数，其中有$$ \liminf_{R\to\infty}\inf_{c\in\mathbb R}\frac1 {R^3}\int_{B(0,R)}|u(x)-c|\,dx<\infty,$$，则对于某些$b\in{\mathbb R}$和$a\in{\mathbb R}^2$，$u=b+a\cdot x$。(ii)用$u_p$表示具有与$u$相同的非常数边界条件的$p$ -调和函数，证明了在Radon测度空间中，$\det DV_β(Du_p) \to \det DV_β(Du)$是弱$\star$意义下…
2022-09-16 math.AP
Phragmén-Lindelöf theorem for infinity harmonic functions
研究了无界凸区域中方程$Δ_\infty u=0$解的Phragmén-Lindelöf定理.证明的方法是当$p$趋于$\infty$时，将这个无穷远调和方程看作是$p$ -调和方程的极限。
2015-02-26 math.AP
A remark on isolated removable singularity of harmonic maps in dimension two
本文研究二维调和映射在原点的孤立可去奇点问题，证明在梯度自相似界等充分条件下映射可光滑延拓，并推出全空间情形的平凡性。
2025-03-17 math.AP
The weak-$A_\infty$ property of harmonic and $p$-harmonic measures implies uniform rectifiability
设$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$是维数为$n$的Ahlfors-David正则集.证明了开集$Ω:= \mathbb{R}^{n+1}\setminus E$上调和测度的弱- $A_\infty$性质蕴涵了$E$的一致可求正性.更一般地，我们建立了一个类似的结果，Riesz测度，$p$ -调和测度，与$p$ -拉普拉斯算子，$1<p<\infty$ .
2015-11-30 math.AP math.CA
An example of $\infty$-harmonic function, which is not $C^2$ on a dense subset
我们表明，对于某些边界值的McShane-Whitney的最小扩展样函数是$\infty$ -调和边界附近，而不是$C^2$上的一个稠密子集。
2004-11-30 math.AP math.CA
Infinite time blow-up for half-harmonic map flow from $\mathbb{R}$ into $\mathbb{S}^1$
研究了具有函数$u:\mathbb{R}\times [0, \infty)\to \mathbb{S}^1$的半调和映射流\begin{equation}\label{e:main00} \left\{\begin{array}{ll} u_t = -(-Δ)^{\frac{1}{2}}u + \left(\frac{1}{2π}\int_{\mathbb{R}}\frac{|u(x)-u(s)|^2}{|x-s|^2}ds\right)u\quad\text{ in }\mathbb{R}\times (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0\quad\text{ in }\mathbb{R}, \end{array} \right. \end{equation}的无限时间爆破现象。设$q_1,\cdots, q_k$是$\mathbb{R}$中的不同点，存在初始数据$u_0$和光滑函数$ξ_j(t)\to q_j$，$0<μ_j(t)\to 0$，如$t\to +\infty$，$j = 1, \cdots, k$，使得问题（\ref{e:main00}）的解$u_q$具有\begin{equation*} u_q =ω_\infty +\sum_{j= 1}^k \left(ω(\frac{x-ξ_j(t)}{μ_j(t)} )-ω_\infty \ri…
2017-11-15 math.AP
Compactness and Bubbles Analysis for 1/2-harmonic Maps
本文研究了1/2-调和映射序列$u_k\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$的紧性和量子化性质，使得$|u_k|_{\dot H^{1/2}(\R,{\cal{S}}^{m-1})}\le C.$更精确地证明了在$\R$中存在弱1/2-调和映射$u_\infty\colon\R\to {\cal{S}}^{m-1}$和可能的空集${a_1,...,a_\ell}$，使得直到序列$$(|(-Δ)^{1/4}u_k|^2 \rightharpoonup |(-Δ)^{1/4}u_{\infty}|^2)dx+\sum_{i=1}^{\ell}λ_i δ_{a_i}, in Radon measure,$$为$k\to +\infty$，且$λ_i\ge 0.$.在$\dot W^{1/2,p}_{loc}(\R\setminus{a_1,...,a_\ell})$中，$u_k$到$u_\infty$的收敛是强的，对于每一个$p\ge 1.$我们量化的能量损失的弱收敛，我们表明，在非常数的1/2-调和映射的情况下，值在$ {\cal{S}}^2\,$一个有$λ_i=2 πn_i$，与$n_i$一个正整数。
2012-10-09 math.AP
An asymtotic sharp Sobolev regularity for planar infinity harmonic functions
给定任意平面$\infty$ -调和函数$u$，对于每个$α>0$，我们建立了$|Du|^α$的定量局部$W^{1,2}$ -估计，它与$α\to0$一样尖锐.我们还表明，分布行列式的$u$是一个氡措施享有一些定量的下限和上限。作为副产品，对于每个$p>2$，我们得到了$u$的一些定量的局部$W^{1,p}$ -估计，从而得到了全平面上$\infty$ -调和函数的$L^p$-Liouville性质。
2018-06-06 math.AP
Explicit Infinity-Harmonic Maps whose Interfaces have Junctions and Corners
给定一个映射$u : \Om \sub \R^n \larrow \R^N$，$\infty$ -拉普拉斯算子是系统\[ \label{1} \De_\infty u \, :=\, \Big(Du \ot Du + |Du|^2 [Du]^\bot \ \ot I \Big) : D^2 u\, = \, 0 \tag{1} \]，并作为最高泛函$E_\infty(u,\Om)= \|Du\|_{L^\infty(\Om)}.$的“欧拉-拉格朗日偏微分方程”而产生。\eqref{1}是$L^\infty$中向量值变分法的模型偏微分方程，首次出现在作者最近的工作\cite{K1,K2,K3}中。\eqref{1}的溶液呈现出自然的相分离，在每个相上具有定性的不同行为。此外，在界面上，\eqref{1}的系数是不连续的。在这里，我们构造了$n=N=2$的新的显式光滑解，其中界面具有三重连接和非光滑角。这些解决方案的高度复杂性提供了进一步的了解PDE \eqref{1}，并表明可能没有界面的规律性理论。
2013-03-07 math.AP
$L^\infty$-$BMO$ bounds for pseudo-multipliers associated to the harmonic oscillator
本文研究了谐振子的伪乘子的$L^\infty$ - ${\textnormal{BMO}}$有界性的Hörmander-Mihlin型条件.研究了Hermite乘子的$\textnormal{H}^1$ - $L^1$连续性.这篇论文的最终版本将出现在Rev.
2019-12-20 math.AP math.CA math.FA
Rotationally symmetric p-harmonic maps from D^2 to S^2
考虑从单位圆盘$D^2\subset\real^2$到单位球面$S^2\subset\real^3$的旋转对称$p$ -调和映射，该映射具有$1<p<\infty$和Dirichlet边界条件.我们发现，相关的能量泛函承认一个独特的极小是类$C^{\infty}$在内部和$C^1$的边界。我们还表明，存在无穷多个全球解决方案，相关的欧拉-拉格朗日方程，我们完全刻画他们。
2012-06-13 math.AP
A Weakly Turbulent solution to the cubic Nonlinear Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^2$ perturbed by a real smooth potential decaying to zero at infinity
本文构造了被衰减势扰动后的三次非线性谐振子的光滑解，其Sobolev范数呈对数增长，通过改编Faou-Raphael方法调制孤子实现弱湍流。
2023-06-20 math.AP
Dirichlet problem for weakly harmonic maps with rough data
研究了从域$Ω$（上半空间$\Rd$或有界$C^{1,α}$域，$α\in (0,1]$）到光滑闭流形的弱调和映射.指定小Dirichlet数据的类$L^{\infty}(\partialΩ)$或$BMO(\partialΩ)$，我们建立可解性所产生的边值问题通过非变分方法。作为一个副产品，解决方案被证明是局部光滑，$C^{\infty}_{loc}$。此外，我们表明，边界数据可以选择大的基础拓扑结构，如果$Ω$是光滑的，有界的扰动严格稳定的光滑调和映射。
2021-10-08 math.AP
Estimates of $p$-harmonic functions in planar sectors
设$p \in (1,\infty]$，$ν\in [1/2,\infty)$，$\mathcal{S}_ν= \left\{ (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}: |ϕ| < \fracπ{2ν}\right\}$，其中$ϕ$是$(x_1,x_2)$的极角。令$R>0$和$ω_p(x)$为在$x$处$\partial B(0,R) \cap \mathcal{S}_ν$相对于$B(0, R)\cap \mathcal{S}_ν$的$p$ -调和测度。我们证明了存在一个常数$C$，使得\begin{align*} C^{-1}\left(\frac{|x|}{R}\right)^{k(ν,p)} \, \leq ω_p(x) \, \leq C \left(\frac{|x|}{R}\right)^{k(ν,p)} \end{align*}，无论何时$x\in B(0,R) \cap \mathcal{S}_{2ν}$和其中的指数$k(ν,p)$明确给出作为$ν$和$p$的函数。使用这个估计，我们得到局部增长估计$p$ -次和$p$ -超调和函数在平面域是局部近似的部门，例如，我们得出了边界附近的收敛速度的界限，其中区域具有向内或向外指向的尖点。利用$p$ -调和测度的估计，我们还得到了无界扇区$\mathcal{S}_ν…
2022-08-13 math.AP
Endpoint estimates for harmonic analysis operators associated with Laguerre polynomial expansions
本文给出了一个判别准则，证明了当${α>-\frac12}$时，从$H^1((0,\infty),γ_α)$到$L^1((0,\infty),γ_α)$以及从$L^\infty((0,\infty),γ_α)$到$\BMO((0,\infty),γ_α)$的几个算子关于$(0,\infty)$上的概率测度$dγ_α(x)=\frac{2}{Γ(α+1)} x^{2α+1} e^{-x^2} dx$的有界性结果.我们将应用它来建立端点估计Riesz变换，极大算子，Littlewood-Paley函数，拉普拉斯变换类型的乘数，分数次积分和变分算子在Laguerre设置。
2022-10-26 math.AP math.CA
On forward self-similar heat flow of harmonic maps
本文证明当初始零次齐次映射的梯度在 $L^n$ 范数下足够小时，调和映射热流存在唯一的前向自相似光滑解，并给出其正则性刻画。
2024-09-30 math.AP
The Gradient Flow of Infinity-Harmonic Potentials
研究了平面凸环中$\infty$ -调和函数的流线。我们包括凸多边形。流线相交的点是有特征的：它们位于一定的曲线上。梯度具有恒定的范数沿流线以外的集合的交汇点，无限脊。
2020-06-27 math.AP
Semi-uniform domains and the $A_{\infty}$ property for harmonic measure
研究了半一致区域上的调和测度的性质。Aikawa和Hirata在\cite{AH08}中证明了，对于满足容量密度条件（CDC）的John域，调和测度的加倍性等价于该域是半一致的.我们的第一个结果表明，任何满足CDC的调和测度是加倍的域是半一致的，从而消除了约翰条件。其次，我们提出了一个非切可达域上的调和测度的经典估计的替代估计，它适用于半一致域。我们还证明了具有一致可求长边界的半一致区域具有大片的弦弧子域。由于我们在附录中回顾的一个Hrycak的例子，我们不能指望出现大片的Lipschitz子域（如David和Jerison \cite{DJ90}对弦弧域所示）。最后，我们结合这些工具研究了调和测度的$A_{\infty}$性质。对于具有Ahlfors-David正则边界的域，Hofmann和Martell证明了调和测度的$A_{\infty}$性质意味着边界\cite{HM15,HLMN17}的一致可求直性。由于$A_{\infty}$ -权重加倍，这也意味着域是半均匀的。我们的最终结果表明，这两个属性，半均匀性和一致可求长边界，也意味着$A_{\infty}$性质的调和测度，从而几何分类所有域，这一点成立。
2018-08-28 math.AP math.CA math.MG
p(x)-Harmonic functions with unbounded exponent in a subdomain
我们研究了$Ω$中的Dirichlet问题$-÷(|\nabla u|^{p(x)-2} \nabla u) =0 $，其中$u=f$在$\partial Ω$上，$p(x) = \infty$在$D$中，$Ω$是参考域$Ω$的一个子域.主要的问题是给一个正确的意义是什么解决方案。为此，我们认为作为$n \to \infty$的解决方案$u_n$相应的问题时，$p_n(x) =p(x) \wedge n$，特别是与$p_n = n$在$D$的限制。在适当的假设下的数据，我们发现，这样的限制存在，它可以被描述为唯一的解决方案的变分最小化问题，这是，此外，$\infty$ -调和内$D$。此外，我们检查这个极限的粘性意义，并找到它满足整个$Ω$的边值问题。
2009-08-24 math.AP
Upper Measure Bounds of Nodal Sets of Solutions to the Bi-Harmonic Equations on $C^{\infty}$ Riemannian Manifolds
该研究通过频率函数、加倍指数及小性传播等工具，建立光滑 Riemann 流形上双调和函数节点集的 Hausdorff 测度上界，并推广至紧流形上双调和特征函数。
2023-11-03 math.AP
On uniqueness for time harmonic anisotropic Maxwell's equations with piecewise regular coefficients
当磁导率$μ$和介电常数$\varepsilon$是$\mathbb{R}^{3}$中的对称正定矩阵值函数时，我们对麦克斯韦方程组解的唯一性感兴趣.我们表明，一个独特的连续性的结果，全球$W^{1,\infty}$系数在一个光滑的，有界域，允许一个证明的解决方案是唯一的情况下的系数是分段$W^{1,\infty}$相对于一个合适的可数收集的子域与$C^{0}$边界。这种合适的集合包括任何有界有限集合。这个证明依赖于一个一般的论证，而不是麦克斯韦方程组所特有的。这个结果，然后扩展到的情况下，在这些子域内的磁导率和介电常数只有$L^\infty$的小措施。
2012-01-10 math.AP
An $L^p$-comparison, $p\in (1,\infty)$, on the finite differences of a discrete harmonic function at the boundary of a discrete box
众所周知，对于定义在$d$维欧氏空间$d\geq 2$的单位球上的调和函数$u$，球上梯度$\nabla u$的切向分量和法向分量可通过$L^p$范数$p\in(1,\infty)$进行比较，直到乘法常数仅取决于$d,p$ .本文制定并证明了一个离散模拟这一结果的离散调和函数定义在一个离散框上的$d$ -维晶格与乘法常数，不依赖于大小的盒子。
2019-07-04 cs.NA math.AP math.CA
Infinity-harmonic functions and inverse mean curvature flow clusters
研究无穷调和函数，通过新理论将其与逆平均曲率流簇关联，证明了二维空间中无穷调和函数的结构和正则性等结果，如函数的光滑性、临界点性质及多项式增长的整体解性质等。
2026-07-09 math.AP math.DG
Trichotomy dynamics of the 1-equivariant harmonic map flow
对于从$ R^2$到$S^2$的1-等变调和映射流\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &v_t=v_{rr}+\frac{v_r}{r} - \frac{\sin(2v)}{2r^2} , ~\quad(r,t)\in R_+\times (t_0,+\infty),\\ &v(r,t_0)=v_0, \qquad\qquad\qquad\quad r\in R_+, \end{aligned} \right. \end{equation*}，我们构造了全局增长、有界和衰减解，其中初始数据$v_0(r)$满足\begin{equation*} \| v_r(\cdot,t) \|_{L^\infty ([0,\infty))} \sim \begin{cases} t^{\frac{γ-2}{2}}\ln t ~&\mbox{ if }~ 1<γ<2,\\ 1 ~&\mbox{ if }~ γ=2,\\ \ln t ~&\mbox{ if }~ γ>2,\\ \end{cases} ~\mbox{ as }~ t\to +\infty. \end{equation*}
2023-01-22 math.AP math.DG
Partial regularity for fractional harmonic maps into spheres
本文讨论了任意维上到$s\in(0,1)$阶球面上的平稳或极小分数调和映射的正则性问题。证明了这样的分数调和映射是$C^\infty$远离一个小的闭奇异集。奇异集的豪斯多夫维数也估计在$s\in(0,1)$和平稳/极小假设。
2020-01-16 math.AP
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$ solvability of the Dirichlet problem. Part II
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$是具有$n$ -AD-正则边界的开集.本文证明了如果PDMATHAMO的调和测度满足所谓的弱$A_\infty$条件，则$Ω$满足一个适当的连通性条件，即弱局部John条件.与Hofmann和Martell的其他结果一起，这意味着调和测度的弱- $A_\infty$条件成立当且仅当$\partialΩ$是一致$n$ -可求正的且满足弱局部John条件.这产生了调和测度的弱$A_\infty$条件的第一个几何特征，这是重要的，因为它与拉普拉斯方程的狄利克雷问题有关。
2018-07-09 math.AP math.CA
A characterisation of $\infty$-harmonic maps in terms of $1$-currents
University of Bath（巴斯大学）
本文通过向量值$1$-流刻画了黎曼流形间映射在$L^\infty$范数下的临界点，并证明了该流是广义质量泛函的临界点。
2026-06-09 math.AP math.DG
Failure of dimension drop for harmonic measure on Ahlfors regular flat boundaries
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究所）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究通过修改David-Jeznach-Julia的构造，证明对任意s∈(0,1/2)存在对应Ahlfors正则紧集，结合已有结果确定调和测度维数下降的阈值1/2是尖锐的。
2026-10-14 math.AP
Diffusive stability and self-similar decay for the harmonic map heat flow
本文研究了欧几里得空间$\mathbb{R}^d$上的调和映射热流，得到了齐次Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{p}}_{p,\infty}(\mathbb{R}^d)$中小初值映射的无条件唯一性结果，其中$d<p<\infty$ .作为结果，我们得到的形式$\|\nabla u(t) \|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)}\leq Ct^{-\frac12}$的调和映射流的解决方案的衰减率。此外，在较强的空间局部化的初始条件的假设下，我们表明，时间衰减发生在一个自相似的方式。我们还解释了类似的结果适用于双调和映射热流和具有幂型非线性项的半线性热方程。
2023-01-05 math.AP math.DG
Towards spaces of harmonic functions with traces in square Campanato space and its scaling invariant
对于$n\ge 1$和$α\in (-1,1)$，设$H^{α,2}$是上半空间$\mathbb{R}^{n+1}_+$上满足$$\displaystyle\sup_{(x_0,r)\in \mathbb R^{n+1}_+}r^{-(2α+n)}\int_{B(x_0,r)}\int_0^r|\nabla_{x,t} u(x,t)|^2t\,dt\,dx<\infty,$$的调和函数$u$的空间，$\mathcal{L}_{2,n+2α}$是$\mathbb R^n$上的Campanato空间.我们证明，对于所有的$α\in (-1,1)$，$H^{α,2}$与$e^{-t\sqrt{-Δ}}\mathcal{L}_{2,n+2α}$一致，其中$α\in [0,1)$最初是由Fabes、Johnson和Neri发现的[Indiana Univ. Math. J. 25（1976），159-170]，而$α\in (-1,0)$则是未解决的。此外，对于缩放不变版本的$H^{α,2}$，$\mathcal{H}^{α,2}$，其中包括所有调和函数$u$上$\mathbb R^{n+1}_+$满足$$\sup_{(x_0,r)\in\mathbb R^{n+1}_+}r^{-(2α+n)}\int_{B(x_0,r)} \int_0^r|\nabla_{x,t} u(x,t)|^2\,…
2014-02-06 math.AP
Limit as $p(x)\rightarrow \infty$ of $p(x)$-Harmonic functions for unbounded $p(x)$
The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）
研究无界 $p(x)$-调和函数在 $p(x)\rightarrow \infty$ 时的极限行为，证明解序列收敛于合适微分算子的粘性解。
2026-04-16 math.AP math.FA
Hölder continuity of harmonic functions for Hunt processes with Green function
设$(X,\mathcal W)$是平衡空间$1\in \mathcal W$，或等价地，设$\mathcal W$是局部紧空间$X$上Hunt过程的过剩函数的集合，$\mathcal W$具有可数基，使得$\mathcal W$分离点，$\mathcal W$中的每个函数是其连续子变量的上确界，并且存在严格正连续的$u,v\in \mathcal W$，使得$u/v\to 0$在无穷远处。我们假设存在一个$X$的格林函数$G>0$，一个$X$的度量$ρ$和一个具有加倍性质和温和上衰减的递减函数$g\colon[0,\infty)\to (0,\infty]$，使得$G\approx g\circρ$和半径为$r$的球的容量近似为$1/g(r)$ .证明了有界调和函数是Hölder连续的，如果常数函数$1$是调和的且跳出球允许多项式估计.后者被证明，如果缩放不变Harnack不等式成立。
2015-02-23 math.AP
Asymptotic statistical characterizations of p-harmonic functions of two variables
推广了著名的调和函数的均值性质，证明了二元p-调和函数在粘性意义下满足两个涉及局部统计量的渐近公式.进一步证明了当1 < p < \infty时，这些渐近公式刻画了p-调和函数.一个例子表明，在一般情况下，这些公式不持有在非渐近意义。
2011-08-09 math.AP
Square function estimates, BMO Dirichlet problem, and absolute continuity of harmonic measure on lower-dimensional sets
在最近的工作[DFM1，DFM2]中G.大卫，J.Feneuil，和第一作者已经推出了一个计划，致力于模拟调和测度的低维集。类似于经典环境下的椭圆型偏微分方程，一类相关的偏微分方程由线性退化方程给出，退化度适当地依赖于到边界的距离.本文继续这一研究路线，并侧重于新定义的调和测度的Hausdorff测度，$ω\in A_\infty(σ)$，在边值问题的可解性方面的定量绝对连续性的标准。作者建立，特别是，平方函数估计和解的狄利克雷问题在BMO域的低维边界下的基本假设$ω\in A_\infty(σ)$。更一般地，证明了在所有具有Ahlfors正则边界的域中，狄利克雷问题的BMO可解性对于调和测度的绝对连续性是必要且充分的。
2018-10-24 math.AP
On $p$-Harmonic Measures in Half Spaces
对所有的$1<p<\infty$和$N\ge 2$，我们证明了存在一个常数$α(p,N)>0$，使得$\R^{N-1}$中半径为$0 < δ\leq 1$的球的$p$ -调和测度在$\R^N_+$中的上下界为一个常数乘$δ^{α(p.N)}$ .我们提供了指数$α(p,N)$的显式估计
2018-07-26 math.AP
Semiregular and strongly irregular boundary points for $p$-harmonic functions on unbounded sets in metric spaces
对于完全度量空间中的无界开集，利用支持$p$ -Poincaré不等式的加倍测度，得到了$p$ -调和函数的正则、半正则和强非正则边界点之间的可分性.我们表明，这些都是当地的财产。我们还给出了半正则点和强非正则点的几个刻画。特别是，半正则点的特点是通过容量，$p$ -调和测度，可移动性，和semibarriers。
2019-12-04 math.AP
The nonlinear Schrödinger equations with harmonic potential in modulation spaces
在调制空间$M^{p,q}.$中研究了与谐振子$H=-Δ+|x|^2$相关联的非线性薛定谔方程$i\partial_tu-Hu=F(u)$（NLSH）当$F(u)= (|x|^{-γ}\ast |u|^2)u, $时，我们证明了（NLSH）在调制空间$M^{p,p}(\mathbb R^d)$ $ (1\leq p < 2d/(d+γ), 0<γ< \min \{ 2, d/2\}).$中的整体适定性当$F(u)= (K\ast |u|^{2k})u$与$K\in \mathcal{F}L^q $（Fourier-Lebesgue空间）或$M^{\infty,1}$（Sjöstrand类）或$M^{1, \infty},$在某些调制空间中的局部适定性和整体适定性.当$F$是实整函数且$F(0)=0$是实整函数时，我们证明了（NLSH）在$M^{1,1}.$中的局部适定性.由此，我们可以得到（NLSH）在比通常的$L^p_s-$ Sobolev空间大的函数空间$-$中的局部适定性和整体适定性.
2018-10-15 math.AP
Characterization of mean value harmonic functions on norm induced metric measure spaces with weighted Lebesgue measure
研究了具有加权Lebesgue测度和范数诱导度量的$\mathbb{R}^n$的开子集上的均值调和函数.我们的主要结果是一个必要条件说，所有这些功能解决了一定的齐次系统的椭圆偏微分方程。此外，在解析权的情况下，建立了一个相反的结果。假设Sobolev正则性的重量$w \in W^{l,\infty}$，我们表明，强调和函数，以及在$W^{l,\infty}$，他们是解析的，每当重量是解析的。通过在$\mathbb{R}^2$中找到$l^p$距离$1 \leq p \leq \infty$的所有均值调和函数来说明分析。基本的结果是一个特定的不连续性方面的$p$，即对于所有的$p \ne 2$只有100多个线性独立的平均值调和函数，而$p=2$有无穷多个。我们的结论是一个显着的观察，强调和函数在$\mathbb{R}^n$具有平均值的性质，从一个给定的重量获得的无穷多个重量的功能。
2018-12-09 math.AP math.MG
Harmonic extension technique for non-symmetric operators with completely monotone kernels
我们在半平面$\mathbb{R} \times (0, \infty)$中证明了一类非局部积分微分算子$K$，并证明了其Dirichlet-to-Neumann映射是$\mathbb{R}$中的椭圆算子$L$ .更准确地说，我们证明了一个双射之间的对应关系Lévy运营商$K$与非局部核的形式$ν(y - x)$，其中$ν(x)$和$ν(-x)$是完全单调的功能$(0, \infty)$，和椭圆算子$L = a(y) \partial_{xx} + 2 b(y) \partial_{x y} + \partial_{yy}$。这推广了以前在对称算子研究领域中的一些结果：$\mathbb{R} \times (0, \infty)$中Laplace算子的Dirichlet-to-Neumann算子与一维Laplace算子的平方根$-\sqrt{-\partial_{xx}}$的经典识别，$\nabla \cdot (y^{1 - α} \nabla)$中Dirichlet-to-Neumann算子与$α\in (0, 2)$中$(-\partial_{xx})^{α/2}$的Caffarelli-Silvestre识别;以及Mucha和作者关于算子$a(y) \partial_{xx} + \partial_{yy}$的Dirichlet-to-Neumann映射与$-\partia…
2019-08-01 math.AP
Failure of Fatou type theorems for solutions to PDE of $p$-Laplace type in domains with flat boundaries
令$ \mathbb{R}^{n} $表示欧几里得$ n $空间，并且给定$k$为正整数，令$ Λ_k \subset \mathbb{R}^{n} $，$ 1 \leq k < n - 1, n \geq 3, $为具有$ 0 \in Λ_k.$的$k$维平面。如果$n-k < p <\infty$，我们首先研究PDMATHAMT-Laplace方程解的Martin边值问题（称为$p$ -调和函数）在$ \mathbb{R}^{n} \setminus Λ_k $相对于$ \{0\}. $，我们然后使用我们的研究结果，以扩大工作的Wolff失败的Fatou型定理$p$ -$ \mathbb{R}^{2}_+ $中的调和函数到$p$-$ n-k < p <\infty$时$ \mathbb{R}^{n} \setminus Λ_k $中的调和函数。最后，我们讨论了$ p $ -Laplace型偏微分方程（称为$ \mathcal{A}$ -调和函数）解的推广.
2021-09-10 math.AP
Counterexamples in Calculus of Variations in $L^\infty$ through the vectorial Eikonal equation
证明了对任意正则有界域$Ω\subseteq \mathbb R^n$，$n=2,3$，存在无穷多个与$\partial Ω$上的恒等式相等的整体超同态解Eikonal方程.我们还提供了明确的例子，这样的映射的环形域。这意味着在$L^\infty$中的变分向量演算中产生的$\infty$ -Laplace系统不足以将$p$ -Harmonic映射的极限定义为$p\to \infty$，或者定义为Aronsson意义下的绝对极小。
2018-04-12 math.AP
On the structure of $\infty$-Harmonic maps
设$H \in C^2(\mathbb{R}^{N \times n})$，$H\geq 0$。PDE系统\[ \label{1} A_\infty u \, :=\, \Big(H_P \otimes H_P + H [H_P]^\bot H_{PP} \Big)(Du) : D^2 u\, = \, 0 \tag{1} \]作为定义在映射$u : Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$上的泛函$E_{\infty}(u,Ω) = \| H(Du) \|_{L^\infty(Ω)}$的向量变分问题的"欧拉-拉格朗日PDE”而产生。\eqref{1}首次出现在作者最近的工作\cite{K3}。标量的情况下，虽然有很长的历史，由Aronsson在\cite{A1}。在这里，我们研究\eqref{1}的解决方案，重点是$n=2\leq N$与$H$的情况下，$\mathbb{R}^{N \times n}$上的欧几里德范数，我们称之为“$\infty$ -拉普拉斯”。通过建立一个独立兴趣秩一映射的刚性定理，分析了性质不同的相的解的分离现象。作为推论，我们将关于$|Du|$的零点不存在的Aronsson-Evans-Yu定理推广到$N \geq 2$，并证明了一个极大值原理。我们进一步研究了所有$H$的\eqref{1}…
2014-01-07 math.AP math.CA
Regularity of solutions to time-harmonic Maxwell's system with various lower than Lipschitz coefficients
本文研究有界区域上麦克斯韦方程组解的正则性。我们考虑了几种不同类型的低正则性假设的系数都是小于Lipschitz。我们首先发展了一种新的方法，当系数是$\mathcal{L}^{\infty}$有界时，给出$\mathcal{H}^1$估计;然后，我们得到了每个$p > 2$的$\mathcal{W}^{1,p}$估计，当其中一个首项系数是简单连续的;最后，我们将结果推广到齐次麦克斯韦方程组的解的$\mathcal{C}^{1,α}$几乎处处不在时，系数是$\mathcal{W}^{1,p}, \, p>3$和接近单位矩阵的意义下的$\mathcal{L}^{\infty}$范数。最后两个估计是新的，这里开发的技术和方法也可以应用于其他类似困难的问题。
2019-02-12 math.AP
The Wiener Criterion at $\infty$ for Degenerate Elliptic Equations
本文为带幂权重的退化椭圆方程在无穷远点建立了Wiener准则，用以判定Dirichlet问题唯一可解性，并通过调和测度与细拓扑薄性给出等价刻画。
2025-10-17 math.AP
The convergence rate of $p$-harmonic to infinity-harmonic functions
本文证明带 Dirichlet 边界条件的 $p$-Laplace 方程解随 $p\to\infty$ 一致收敛到 infinity-Laplace 方程解，并给出 $p^{-1/4}$、正梯度情形 $p^{-1/2}$ 的速率及 $p^{-1}$ 下界。
2023-10-10 math.AP
On a Theorem of Wolff Revisited
研究了$ \mathbb{R}^{2}_+ = \{ z = x + i y : y > 0, - \infty < x < \infty \} $和$B( 0, 1 ) = \{ z : |z| < 1 \}$中的$p$ -调和函数$ 1 < p\neq 2 < \infty$.我们首先证明了固定$ p$，$1 < p\neq 2 < \infty$，并为所有大整数$N\geq N_0$，存在$p$ -调和函数，$ V = V ( r e^{iθ} )$，这是$ 2π/N $周期的$ θ$变量，Lipschitz连续$ \partial B (0, 1)$与Lipschitz规范$\leq c N$ $ \partial B ( 0, 1 )$满足$V(0)=0$和$ c^{-1} \leq \int_{-π}^π V ( e^{iθ} ) d θ\leq c$。在$2<p<\infty $的情况下，我们给出了一个或多或少明确的例子$V$和我们的工作是一个结果的推广沃尔夫对$ \mathbb{R}^{2}_+ $ $ B (0, 1)$。利用我们的第一个结果，我们延长沃尔夫的工作失败的Fatou型定理$ \mathbb{R}^{2}_+ $ $ B (0, 1)$ $p$ -调和函数，$1< p\neq 2<\infty$。最后，我们还概述了所需的修改扩展工作的Llorente，…
2020-02-11 math.AP math.CA
On the higher-dimensional harmonic analog of the Levinson log log theorem
令$M\colon (0,1) \to [e,+\infty)$为减函数，使得$\int\limits_{0}^{1}\log\log M(y)dy<+\infty$。考虑所有函数$u$调和于$P:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^n: x\in \mathbb{R}^{n-1}, y\in \mathbb{R}, |x|<1, |y|<1 \}$且满足$|u(x,y)| \leq M(|y|)$的集合$H_M$。证明了$H_M$是$P$中的正规族.
2014-08-05 math.AP math.CA math.CV
On the Characterization of p-Harmonic Functions on the Heisenberg Group by Mean Value Properties
我们用渐近均值性质刻画了海森堡群中的$p-$调和函数，其中$1<p<\infty$遵循Manfredi等人（2009）中描述的欧几里德情形的方案。让我们考虑亚椭圆情形的新工具是一个几何引理，下面的引理3.2，它将一个小的亚椭圆球上的函数的极大点和极小点的方向与该函数的单位水平梯度联系起来。
2012-10-10 math.AP
A Liouville theorem for $p$-harmonic functions on exterior domains
本文证明了$d$维欧氏空间外区域上$p$ -调和函数的Liouville型定理，其中$1<p<\infty$和$d\geq 2$ .证明了当$|x|$趋于无穷大时，满足零Dirichlet，Neumann或Robin边界条件且极限为零的正$p$ -调和函数恒为零.在Neumann边界条件为零的情况下，我们建立了任何半有界$p$ -调和函数是常数，如果$1<p<d$。如果是$p\ge d$，那么它要么是常数，要么它的行为类似于齐次$p$ -拉普拉斯方程的基本解。
2014-11-16 math.AP
Gradient estimates for heat kernels and harmonic functions
设$(X,d,μ)$是一个具有Dirichlet形式$\E$的二重度量测度空间，它是由“carré du champ”导出的.假设$(X,d,μ,\E)$支持尺度不变的$L^2$-Poincaré不等式。本文研究了$p\in (2,\infty]$的调和函数、热核和Riesz变换的下列性质：（i）$(G_p)$：$L^p$ -伴随热半群梯度的估计;（ii）$(RH_p)$：$L^p$ -调和函数梯度的逆Hölder不等式;（iii）$(R_p)$：$L^p$ -Riesz变换的有界性（$p<\infty$）;（iv）$(GBE)$：广义Bakry-Émery条件。证明了对于$p\in (2,\infty)$，（i），（ii），（iii）是等价的，而对于$p=\infty$，（i），（ii），（iv）是等价的.此外，其中一些等价性在比$L^2$ -Poincaré不等式更弱的条件下仍然成立。我们的结果给出了$p=\infty$的Li-Yau的热核梯度估计的特征，而对于$p\in (2,\infty)$，它是对Auscher-Coulhon-Duong-Hofmann [7]和Auscher-Coulhon [6]的早期结果的实质性改进和推广.给出了等周不等式和Sobolev不等式的应用。我们的结果适用于黎曼和次黎曼流形以及非光滑空间，并退化椭圆/抛物方程在这些设置。
2017-10-02 math.AP math.CA math.DG
On $p$-harmonic map heat flows for {$1\leq p< \infty$} and their finite element approximations
Imperial College London（帝国理工学院）；The University of Tennessee, Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文在统一框架下研究 $p$-调和映射热流（$1\leq p<\infty$）的全局弱解存在性，引入 $BV$-解概念并证明 $1$-调和映射热流的存在性，同时提出全离散有限元方法并建立收敛性。
2007-12-17 cs.NA math.AP math.NA
On the Numerical Approximation of $\infty$-Harmonic Mappings
University of Reading（雷丁大学）
本文研究了当n=2,N=2,3时，单位正方形上特定边界数据的Dirichlet问题的解的数值近似，探讨了∞-调和映射中出现的有趣现象及解的结构。
2015-11-05 cs.NA math.AP math.NA
Uniform rectifiability and $\varepsilon$-approximability of harmonic functions in $L^p$
设$E \subset \mathbb{R}^{n+1}$是余维$1$的一致可求长集.我们证明了对于每个$p \in (1,\infty)$，每个调和函数在$L^p(Ω)$中是$\varepsilon$ -可逼近的，其中$Ω:= \mathbb{R}^{n+1} \setminus E$ .结合许多作者的结果，证明了调和函数的点态、$L^\infty$和$L^p$型$\varepsilon$ -可逼近性都是等价的，它们刻画了余维$1$ Ahlfors-David正则集的一致可求长性.我们的结果和技巧是T. Hytönen和A. Rosén和第一作者J.M. Martell和S.梅博罗达
2019-05-17 math.AP math.CA
