A new result for the local well-posedness of the generalized Camassa-Holm equations in critial Besov spaces $B^{\frac{1}{p}}_{p,1},1\leq p<+\infty$
研究了临界Besov空间$B^{\frac{1}{p}}_{p,1}$中广义Camassa-Holm方程的局部适定性（存在性、唯一性和连续依赖性），改进了\cite{linb,tu-yin4}中的指标$s> \max\{\frac{1}{2},\frac{1}{p}\}$或$s=\frac{1}{p},\ p\in[1,2],\ r=1$.主要困难是证明唯一性，需要用到Moser型不等式。为了克服这一困难，我们利用拉格朗日坐标变换来获得唯一性。
2022-01-23 math.AP
Uniform in time $L^{\infty}$-estimates for nonlinear aggregation-diffusion equations
我们得到了具有吸引-排斥势和完全吸引势的聚集-扩散模型解的时间一致$L^\infty$ -界。我们分析两个案例：或者排斥非局部项支配吸引部分，或者扩散项支配完全吸引非局部部分。当吸引势具有较弱的奇异性（$2-n\leq B<A\leq2$）时，利用Sobolev不等式和Young不等式以及微分迭代不等式的经典方法，证明了解具有一致的时间$L^{\infty}$ -界.当排斥势具有较强的奇异性（$-n<B<2-n\leq A\leq 2$）时，我们利用分数阶算子的性质给出了一致的界。
2018-07-16 math.AP
Life Span of Solutions for a Semilinear Heat Equation with Initial Data Non-Rarefied at $\infty$
研究了初值在$\infty$上非稀疏的半线性热方程的Cauchy问题。我们的兴趣在于讨论非稀疏因子对解的寿命的影响，并建立了寿命的一些精确估计。
2015-01-13 math.AP
Algebra properties for Besov spaces on unimodular Lie groups
本文研究了具有次拉普拉斯算子$Δ$的幺模李群$G$上的Besov空间$B^{p,q}_α(G)$.利用与$Δ$有关的热核的估计，我们给出了Besov空间的几个特征，并证明了$B^{p,q}_α(G) \cap L^\infty(G)$对于$α>0$，$1\leq p\leq+\infty$和$1\leq q\leq +\infty$的一个代数性质.这些结果适用于多项式以及球的指数体积增长。
2015-05-26 math.AP
New characterization of the duals of Hardy-amalgam spaces
本文继续研究Hardy-amalgam空间$\mathcal H^{(q,p)}$和$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$（$0<q,p<+\infty$），当$0<q\leq 1<p<+\infty$ .此外，当$0<q\leq p\leq 1$，这些特征与我们以前的论文中得到的一致。从而得到了当$0<q\leq1$和$0<q\leq p<+\infty$ .
2020-08-16 math.AP
The localized characterization for the singularity formation in the Navier-Stokes equations
本文研究了Navier-斯托克斯方程解$u$在位势奇点附近的局部化行为。我们用$3\leq p\leq\infty$建立了$u$的$L^{p,\infty}$标准的集中率。也就是说，我们表明，如果$z_0=(t_0,x_0)$是一个奇点，那么对于任何$r>0$，它持有\begin{align} \limsup_{t\to t_0^-}||u(t,x)-u(t)_{x_0,r}||_{L^{3,\infty}(B_r(x_0))}>δ^*,\notag \end{align}和\begin{align} \limsup_{t\to t_0^-}(t_0-t)^{\frac{1}μ}r^{\frac{2}ν-\frac{3}{p}}||u(t)||_{L^{p,\infty}(B_r(x_0))}>δ^*\notag for~3<p\leq\infty, ~\frac{1}μ+\frac{1}ν=\frac{1}{2}~and~2\leqν\leq\frac{2}{3}p,\notag \end{align}，其中$δ^*$是一个独立于$p$和$ν$的正常数。我们的主要工具是$L^{p,\infty}$空间中的一些$\varepsilon$ -正则性准则和从$L^{p,\infty}$空间到Morrey型空间的嵌入定理。这些都是独立的利益。
2021-07-09 math.AP
A regularity criterion for the solution of the nematic liquid crystal flows in terms of $\dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}$-norm
本文研究了三维和二维双折射液晶流动解的正则性判据。我们证明了解$(u,d)$是光滑的直到时间$T$，只要存在正的常数$\varepsilon_{0}>0$使得（i）对于n=3，|（u，\nabla d）|_{L^{ \infty }（0，T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}）} \leq \varepsilon_{0}，以及（ii）对于$n=2$，|\nabla d|_{L^{ \infty }（0，T; \dot{B}^{-1}_{\infty,\infty}）} \leq \varepsilon_{0}。
2012-11-30 math.AP
A new blow-up criterion for the 2D full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction in a bounded domain
本文利用密度$P$和压力$ρ$导出了不考虑热传导的二维完全可压缩Navier-斯托克斯方程的一个新的爆破准则。更精确地说，它表明在有界区域中，强解的全局存在性，如果范数$\|ρ||_{{L^\infty(0,t;L^{\infty})}}+||P||_{L^{p_0}(0,t;L^\infty)}<\infty$对某个常数$p_0$满足$1<p_0\leq 2$ .边界条件采用Navier滑移边界条件，允许初始真空。我们的结果推广了以前的一个结果，称为$\|ρ||_{{L^\infty(0,t;L^{\infty})}}+||P||_{L^{\infty}(0,t;L^\infty)}<\infty$。
2022-10-28 math.AP
Regularity Criterion to the axially symmetric Navier-Stokes Equations
轴对称Navier-斯托克斯方程的光滑解服从如下的最大值原理：$\|ru_θ(r,z,t)\|_{L^\infty}\leq\|ru_θ(r,z,0)\|_{L^\infty}.$我们首先证明了当$\|ru_θ(r,z,0)\|_{L^\infty}$或$ \|ru_θ(r,z,t)\|_{L^\infty(r\leq r_0)}$与一定的无量纲初值相比很小时，解的整体正则性。这一结果改进了Zhen Lei和Qi S的结果。张\cite{1}。作为推论，我们还证明了在假设$|ru_θ(r,z,t)|\leq\ |\ln r|^{-3/2},\ \ \forall\ 0<r\leqδ_0\in(0,1/2).$
2015-08-13 math.AP
Sharp well-posedness and ill-posedness for the 3-D micropolar fluid system in Fourier-Besov spaces
研究了$\mathbb{R}^{3}$中不可压缩微极流体系统的Cauchy问题。在第一作者和赵继红\cite{ZhuZ18}的近期工作中，证明了不可压缩微极流体系统的Cauchy问题对于$1<p\leq\infty$和$1\leq r<\infty$在Fourier-Besov空间$\F^{2-\frac{3}{p}}_{p,r}$中是局部适定的，而对于小初值在这些空间中是整体适定的.在这项工作中，我们认为关键的情况下$p=1$。我们证明了这个问题在$1\leq r\leq 2$的$\F^{-1}_{1,r}$中是局部适定的，并且在这些空间中是全局适定的。进一步证明了该问题在$2< r\leq \infty$中是不适定的，这意味着函数空间$\F^{-1}_{1,2}$是适定性的尖的。此外，利用类似的论证，我们还证明了该问题在Besov空间$\B^{-1}_{\infty,r}$中是不适定的，其中$2<r\leq\infty$ .
2018-05-08 math.AP
Gaussian lower bounds on the Dirichlet heat kernel and non-existence of local solutions for semilinear heat equations of Osgood type
我们给出了一个简单的证明的一个下界的Dirichlet热核的高斯热核。利用这一结果，我们建立了半线性热方程在$L^q(Ω)$中具有零Dirichlet边界条件和初始数据的不存在性结果，当源项$f$是非减的，并且对于某些$γ>q(1+2/n)$是$\limsup_{s\to\infty}s^{-γ}f(s)=\infty$.这使我们能够构建一个局部Lipschitz $f$满足Osgood条件$\int_{1}^{\infty}1/f(s)\ \,\d s =\infty$，这确保了有界初始数据的全局存在性，使得对于每个$q$与$1\le q<\infty$有一个初始条件$u_0\in L^q(\Om)$，相应的半线性问题没有局部时间解。
2013-07-25 math.AP
Regularity of extremal solutions of semilinear elliptic problems with non-convex nonlinearities on general domains
考虑半线性椭圆方程$-Δu =λf(u)$在$R^{n}$的光滑有界区域$Ω$中的Dirichielt边界条件，其中$f$是$[0,\infty)$中的$C^{1}$正非减函数，使得$\frac{f(t)}{t}\rightarrow\infty$为$t\rightarrow\infty$ .当$Ω$是一个任意区域，$f$不一定是凸的，极值解$u^{*}$的有界性只知道$n= 2$，由X建立。Cabré \cite{C1}。在本文中，我们证明了这对于更高的维度依赖于非线性$f$。特别地，我们证明了，如果$$\frac{1}{2}<β_{-}:=\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}\leq β_{+}:=\limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{f'(t)F(t)}{f(t)^{2}}<\infty$$，其中$F(t)=\int_{0}^{t}f(s)ds$，那么$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$，对于$n\leq 6$。此外，如果为$β_{-}=β_{+}>\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}<β_{-}\leqβ_{+}<\frac{7}{10}$，则为$n\leq 9$的$u^{*}\in L^{\infty}(Ω)$。此外，如果$β_{-}>\fr…
2015-08-26 math.AP
A characteristic of local existence for fractional heat equations in Lebesgue spaces
本文考虑了球$B_{R}\subset \mathbb{R}^{d}$上具有Dirichlet边界条件的分数阶热方程$u_{t}=\triangle^{α/2}u+f(u)$，其中$\triangle^{α/2}$是分数阶拉普拉斯算子，$f:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$是连续的非减算子.我们给出了$f$的特征，以保证在非负初始数据$u_{0}\in L^{q}(B_{R})$的条件下，方程在$L^{q}(B_{R})$中存在局部解。对于$q>1$和$1<α\leq 2$，我们证明了方程在$L^{q}(B_{R})$中有局部解的充要条件是$\lim_{s\rightarrow \infty}\sup s^{-(1+αq/d)}f(s)=\infty$;对于$q=1$和$1<α\leq 2$的充要条件是$\int_{1}^{\infty}s^{-(1+α/d)}F(s)ds<\infty$，其中$F(s)=\sup_{1\leq t\leq s}f(t)/t$ .当$\lim_{s\rightarrow 0}f(s)/s<\infty$时，同样的特征也适用于整个$\mathbb{R}^{d}$空间上的分数阶热方程。
2016-06-05 math.AP
Beurling-Ahlfors extension by heat kernel, ${\rm A}_\infty$-weights for VMO, and vanishing Carleson measures
研究了由热核卷积给出的实直线的拟对称同胚的Beurling-Ahlfors扩张的一个变形，证明了强对称同胚的拟共形扩张（即其导数是对数为VMO的${\rm A}_\infty$ -权）的复扩张在上半平面上诱导出一个消失的Carleson测度.
2020-08-03 math.AP math.CV
Decay Rates of global weak solutions for the MHD equations in $\dot{\mbox{\boldmath{$H$}}}^{s}(\mathbb{R}^n)$
我们证明了不可压MHD方程的Leray解$t^{s/2} \Vert (\mbox{\boldmath $ u $}, \mbox{\boldmath $ b $})(.,t)\Vert_{\dot{H}(\mathbb{R}^{n})} \rightarrow 0,$ as $t\rightarrow \infty$，其中$2 \leq n \leq 4$和$s \geq 0.$作为前面主要结果的推论，我们还得到了$\lim_{t\rightarrow\infty} t^{\frac{n}{2} - \frac{n}{2q}} \Vert(\mbox{\boldmath $ u $},\mbox{\boldmath $ b $})(.,t)\Vert_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} = 0, 2\leq q\leq \infty.$
2017-03-19 math.AP
A regularity criterion of the 3D MHD equations involving one velocity and one current density component in Lorentz space
本文研究三维磁流体动力学方程弱解的正则性准则。证明了当解的一个速度分量和一个电流密度分量满足% \begin{equation} u_{3}\in L^{\frac{30α}{7α-45}}\left( 0,T;L^{α,\infty }\left( \mathbb{R}^{3}\right) \right) \text{ \ \ \ with \ \ }\frac{45}{7}% \leq α\leq \infty , \label{eq01} \end{equation} %和\begin{equation} j_{3}\in L^{\frac{2β}{2β-3}}\left( 0,T;L^{β,\infty }\left( \mathbb{R}^{3}\right) \right) \text{ \ \ \ with \ \ }\frac{3}{2}\leq β\leq \infty , \label{eq02} \end{equation} %时，解$(u,b)$是正则的，推广了一些已知结果.
2020-05-07 math.AP
Some applications of the dual spaces of Hardy-amalgam spaces
在本文中，由于我们在前面的文章中得到的Hardy-amalgam空间$\mathcal H^{(q,p)}$和$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$的对偶空间对于$0<q\leq1$和$q\leq p<\infty$的推广，我们证明了$\mathcal H^{(1,p)}$在$(L^1,\ell^p)$中对于$1\leq p<\infty$的包含是严格的，并且更一般地，$\mathcal H^{(q,p)}$在$\mathcal{H}_{\mathrm{loc}}^{(q,p)}$中对于$0<q\leq1$和$q\leq p<\infty$的包含是严格的。此外，作为其他应用，我们得到的结果的有界性的Calderón-Zygmund和卷积算子，推广那些已知的背景下的空间$\mathcal H^1$和$BMO(\mathbb{R}^d)$。
2021-03-06 math.AP
Singularity formation to the 2D Cauchy problem of the full compressible Navier-Stokes equations with zero heat conduction
研究了具有零热传导的二维可压缩Navier-斯托克斯方程Cauchy问题的奇性形成和强解的破裂.结果表明，当初始密度为真空时，当密度$ρ$和压力$P$满足$\|ρ\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}<\infty$时，强解整体存在.此外，初始密度甚至可以具有紧凑的支撑。Lam{é}系统的Lam型估计和一些加权估计在证明中起着至关重要的作用。
2017-06-07 math.AP
Interior regularity criteria for suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations
我们提出了三维Navier-斯托克斯方程弱解的新的内部正则性准则：一个适当的弱解在内点$z$附近是正则的，如果速度的标度$L^{p,q}_{x,t}$ -范数与$3/p+2/q\leq 2$，$1\leq q\leq \infty$，或涡度的$L^{p,q}_{x,t}$ -范数与$3/p+2/q\leq 3$，$1 \leq q < \infty$，或涡度梯度的$L^{p,q}_{x,t}$ -范数与$3/p+2/q\leq 4$，$1 \leq q$，$1 \leq p$在$z$附近足够小。
2006-07-05 math.AP
On the boundedness and compactness of weighted Green operators of second-order elliptic operators
对于一个允许正极小Green函数的二阶线性椭圆算子$L$和一个给定的正权函数$W$，我们引入了一族加权Lebesgue空间$L^p(ϕ_p)$及其对偶空间，其中$1\leq p\leq \infty$ .我们研究了这些空间上相应的（加权）Green算子的一些基本性质。特别地，我们证明了这些Green算子对任何具有一致界的$1\leq p\leq \infty$在$L^p(ϕ_p)$上是有界的.我们研究了在这些空间中这些算子的主本征函数的存在性，以及相应的主本征值的简单性。我们还证明了这样的Green算子是一个稠密定义的闭算子的预解式，该闭算子等于$C_0^\infty$上的$(-W^{-1})L$，并且该闭算子生成一个强连续的压缩半群。最后，证明了若$W$是$L$的（半）小扰动，则对任何$1\leq p\leq \infty$，其相应的Green算子在$L^p(ϕ_p)$上是紧的，且相应的谱是$p$ -无关的.
2016-01-07 math.AP
Note for global existence of semilinear heat equation in weighted $L^\infty$
在加权$L^\infty (\mathbb R^n)$框架下，通过一个简单的压缩变元，研究了小数据半线性热方程Cauchy问题解的局部和整体存在性.收缩的论点是基于一个加权的统一控制的解决方案有关的自由解决方案和第一次迭代的初始数据的负功率。
2018-04-25 math.AP
On a comparison method for a parabolic-elliptic system of chemotaxis with density-suppressed motility and logistic growth
本文考虑一类具有趋化性和逻辑增长的抛物-椭圆型偏微分方程组，由系统$$ \left\{ \begin{array}{l} u_t -Δ(u γ(v)= μu(1-u), \\ - Δv +v=u, \end{array} \right. $$在Neumann边界条件和适当的初始数据下在$\R^N$的有界正则区域$Ω$中给出（对于$N \geq 1)$，其中$γ\in C^3([0, \infty))$和满足假设$γ(s) > 0$，$γ^{\prime}(s) \leq 0$，$γ^{\prime \prime} (s) \geq 0$，对任意$s \geq 0$ $$-2 γ^{\prime}(s) + γ^{\prime \prime}(s)s \leq μ_0< μ$$ $γ^{\prime \prime \prime}(s) \leq 0$我们得到了在时间上有界解的整体存在唯一性和下列渐近性态$$\|u- 1\|_{L^{\infty}(Ω)} +\|v- 1\|_{L^{\infty}(Ω)} \rightarrow 0, \quad \mbox{ when } t \rightarrow +\infty.$$
2021-11-12 math.AP
Very weak solutions to the boundary-value problem of the homogenous heat equation
考虑了具有零初值和Dirichlet边界条件的区域$Ω$在$\mathbb{R}^n$中的齐次热方程.我们正在寻找解决方案在$W^{r,s}_{p,q}(Ω\times(0,T))$，其中$r < 2$，$s < 1$，$1 \leq p < \infty$，$1 \leq q \leq \infty$ .由于我们在$L_{p,q}$框架中工作，因此不可能对边界数据进行任何扩展并按部分进行集成。因此，该解以积分形式表示，并被称为\emph{very weak}解。在半空间中进行关键估计，并限于$L_q(0,T;W^α_p(Ω))$、$0 \leq α< \frac{1}{p}$和$L_q(0,T;W^α_p(Ω))$、$α\leq 1$。有界域$Ω$的存在性和估计遵循扰动和不动点参数。
2012-04-26 math.AP
Pointwise Bounds and Blow-up for Systems of Semilinear Parabolic Inequalities and Nonlinear Heat Potential Estimates
本文研究了系统\[0\leq u_t-Δu\leq v^λ\] \[0\leq v_t-Δv\leq u^σ\]在$Ω\times (0,1)$中的$t$小且正的$C^{2,1}$非负解$u(x,t)$和$v(x,t)$的行为，其中$λ$和$σ$是非负常数，$Ω$是${\mathbb R}^n$，$n\ge 1$的开子集.我们提供了最优的条件$λ$和$σ$，使该系统的解决方案满足点态界的紧子集$Ω$作为$t\to 0^+$。我们的方法依赖于新的逐点边界的非线性热势，这是类似的非线性Riesz势的边界的抛物线模拟。
2015-04-19 math.AP
Ill-posedness of basic equations of fluid dynamics in Besov spaces
我们构造了一个无发散向量场$u_0 \in H^s \cap B^{-1}_{\infty,\infty}$，对所有的$s<1/2$，使得从$u_0$出发的Navier-Stokes方程的任何Leray-Hopf解在$B^{-1}_{\infty,\infty}$度量的$t=0$处是不连续的.对于欧拉方程，在所有的Besov空间$B^s_{r,\infty}$中证明了类似的结果，其中$s>0$如果$r>2$，$s>n(2/r-1)$如果$1 \leq r \leq 2$。
2009-04-14 math.AP
Solvability of a Keller-Segel system with signal-dependent sensitivity and essentially sublinear production
本文考虑$\mathbb{R}^2$的光滑有界区域$Ω$中的零通量趋化系统\begin{equation*} \begin{cases} u_{t}=Δu-\nabla \cdot (u χ(v)\nabla v) & \textrm{in}\quad Ω\times (0,\infty), \\ 0=Δv-v+g(u) & \textrm{in}\quad Ω\times (0,\infty),\\ \end{equation*}.趋化敏感性$χ$是来自$C^1((0,\infty))$的一般非负函数，而$g$，化学信号$v$的产生，属于$C^1([0,\infty))$并满足$λ_1\leq g(s)\leq λ_2(1+s)^β$，对于所有$s\geq 0$，$0\leqβ\leq \frac{1}{2}$和$0<λ_1\leq λ_2.$已经确定，细胞分布$u$没有发生趋化性崩溃，因为任何任意的非负的和充分规则的初始数据$u(x,0)$都发出一对独特的整体和一致有界的函数$(u,v)$，经典地解决相应的初边值问题。最后，我们通过数值模拟说明了趋化系统内存在的动态范围。
2018-07-26 math.AP
Infinite time blow-up for the 3-dimensional energy critical heat equation
我们构造了三维能量临界热方程$$ u_t = Δu + u^5 , \quad {\mbox {in}} \quad \R^3 \times (0,\infty), \ \ u(x, 0)= u_0 (x)\inn \R^3. $$在时间上全局定义的无界正解。对于每个$γ>1$，我们找到了初始数据（不一定是径向对称的）与$\lim\limits_{r \to \infty} |x|^γu_0 (x) >0$，使得作为$t \to \infty$ $$ \| u(\cdot ,t ) \|_\infty \sim t^{γ-1 \over 2} , \quad {\mbox {if}} \quad 1<γ<2, \quad \| u(\cdot ,t ) \|_\infty \sim \sqrt{t}, \quad {\mbox {if}} \quad γ>2, \quad $$和$$ \| u(\cdot , t)\|_\infty \sim \sqrt{t}\, (\ln t )^{-1} , \quad {\mbox {if}} \quad γ= 2. $$。Fila和King推测了此类解的存在性。
2018-10-31 math.AP
Sharp well-posedness and ill-posedness in Fourier-Besov spaces for the viscous primitive equations of geophysics
研究了描述大尺度海洋和大气动力学的三维粘性原始方程Cauchy问题的适定性和不适定性。利用Littlewood-Paley分析技巧，特别是Chemin-Lerner局部化方法，证明了Prandt数为$P=1$的Cauchy问题在Fourier-Besov空间中是局部适定的，当初始数据$(u_0,θ_0)$较小时，在空间$[\dot{FB}^{2-\frac{3}{p}}_{p,r}(\mathbb{R}^3)]^4$（$1<p\leq\infty,1\leq r<\infty$）和$[\dot{FB}^{-1}_{1,r}(\mathbb{R}^3)]^4$（$1\leq r\leq 2$）中是全局适定的.我们还证明了该问题在$[\dot{FB}^{-1}_{1,r}(\mathbb{R}^3)]^4$ for $2<r\leq\infty$中是不适定的，表明上述结果是尖锐的.
2015-10-24 math.AP
Asymptotic behaviour of the Bessel heat kernels
考虑半直线$(a,\infty)$，$a>0$中Bessel微分算子$L^{(μ)}=\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2μ+1}{2x}$，$μ\in\mathbb{R}$的Dirichlet热核$p_a^{(μ)}(t,x,y)$，并给出了$xy/t\rightarrow\infty$的渐近展开式.
2017-09-18 math.AP
Well-posedness for the Navier-Stokes equations with datum in Sobolev-Fourier-Lorentz spaces
本文对$s \in \mathbb R$和$1 \leq p, r \leq \infty$引入并研究了Sobolev-Fourier-Lorentz空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$ .在族空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$中，Navier-斯托克斯方程的临界不变空间对应于值$s = \frac{d}{p} - 1$ .当初始数据属于临界空间$\dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p,r}}(\mathbb{R}^d)$，$d \geq 2, 1 \leq p <\infty$和$1 \leq r < \infty$时，我们建立了Navier-斯托克斯方程的Cauchy问题在具有任意初值的$L^\infty([0, T]; \dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d))$空间中局部温和解的存在性，以及当Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{\tilde p} - 1, \infty}_{\mathcal{L} ^{\tilde p,\infty}}(\mathbb{R}^d)$中的初值范数足够小时，在$L^\infty([0, …
2016-01-07 math-ph math.AP math.MP
Convergence problem of Schrödinger equation in Fourier-Lebesgue spaces with rough data and random data
本文考虑了薛定谔方程的收敛性问题。首先，我们证明了在Fourier-Lebesgue空间$\hat{H}^{\frac{1}{p},\frac{p}{2}}(\mathbb{R})(4\leq p<\infty),$ $\hat{H}^{\frac{3 s_{1}}{p},\frac{2p}{3}}(\mathbb{R}^2)(s_{1}>\frac{1}{3},3\leq p<\infty),$ $\hat{H}^{\frac{2 s_{1}}{p},p}(\mathbb{R}^n)(s_{1}>\frac{n}{2(n+1)},2\leq p<\infty,n\geq3)$中薛定谔方程在粗糙数据下的几乎处处点态收敛性.其次，我们证明了与一个薛定谔方程相关的极大函数估计在$\hat{H}^{s,\frac{p}{2}}(\mathbb{R})(s<\frac{1}{p})$数据下可能失效。最后，我们证明了薛定谔方程在$\hat{L}^{r}(\mathbb{R}^n)(2\leq r<\infty)$中具有随机数据的随机连续性.主要成分是引理2.4，2.5，3.2-3.4。
2021-01-12 math.AP
Exponential decay for fractional Schrödinger parabolic problems
该研究针对带局部一致可积势的分数阶薛定谔抛物方程，分析其解在$L^p(R^N)$空间的指数衰减性、解半群指数型对p的依赖，刻画了使解指数衰减的势函数类。
2024-05-14 math.AP
Pointwise Bounds and Blow-up for Systems of Semilinear Elliptic Inequalities at an Isolated Singularity via Nonlinear Potential Estimates
研究了系统$0\leq -Δu\leq f(v)$ $0\leq -Δv\leq g(u)$在$B_1(0)\backslash\{0\}$中的$C^2$正解$u(x)$和$v(x)$在原点附近的行为，其中$f,g:(0,\infty)\to (0,\infty)$是连续函数.我们在$f$和$g$在$\infty$上提供了最优条件，使得该系统的解在原点附近满足逐点界。在维度$n=2$，我们表明，如果$\log^+ f$或$\log^+g$增长最多线性无穷大，此属性成立。在维数$n\geq 3$中，在假设$f(t)=O(t^λ)$，$g(t)=O(t^σ)$为$t\to \infty$，（$λ, σ\geq 0$）的条件下，得到了一条新的临界曲线，它最优地描述了这种逐点界的存在性.我们的方法部分依赖于尖锐的估计自然出现在这种情况下的非线性潜力。
2014-02-01 math.AP
Approximation of smooth functions on compact two-point homogeneous spaces
建立了Sobolev类$B_p^r$，（$r>0$，$1\leq p\leq \infty$）在紧两点齐性空间（CTPHS）上的Kolmogorov $n$-宽度$d_n(B_p^r, L^q)$和线性$n$ -宽度$\da_n(B_p^r, L^q)$，（$1\leq q\leq \infty$）的估计.对于$(p, q)\in[1,\infty]\times[1,\infty]$的一部分，Bordin，Kushpel，Levesley和Tozoni在最近的一篇论文“J. Funct.”中获得了$d_n(B_p^r, L^q)$或$\da_n (B_p^r, L^q) $的精确顺序。Anal. 202（2）（2003），307- 326“。在本文中，我们得到了所有剩余的$ (p,q)$的$d_n(B_p^r, L^q)$和$\da_n (B_p^r, L^q)$的锐阶。我们的证明是基于CTPHS上的正体积公式和Marcinkiewicz-Zygmund型不等式。
2005-09-30 math.AP math.CA
A complete characterisation of local existence for semilinear heat equations in Lebesgue spaces
考虑标量半线性热方程$u_t-Δu=f(u)$，其中$f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$是连续的非减的但不一定是凸的.当$Ω\subset{\mathbb R}^d$是一个具有Dirichlet边界条件的有界区域时，对于所有非负初值$u_0\in L^q(Ω)$，我们完全证明了方程的局部解在$L^q(Ω)$中有界的函数$f$.对于$q\in(1,\infty)$，当且仅当$\limsup_{s\to\infty}s^{-(1+2q/d)}f(s)<\infty$成立;对于$q=1$，当且仅当$\int_1^\infty s^{-(1+2/d)}F(s)\,{\rm d}s<\infty$成立，其中$F(s)=\sup_{1\le t\le s}f(t)/t$。这第一次表明，模型非线性$f(u)=u^{1+2q/d}$是真正的“边界情况”时，$q\in(1,\infty)$，但这是不正确的$q=1$。对于整个空间${\mathbb R}^d$上的方程，只要加上$\limsup_{s\to0}f(s)/s<\infty$，同样的特征化结果也成立。
2015-01-08 math.AP
Ill-posedness for the Hamilton-Jacobi equation in Besov spaces $B^0_{\infty,q}$
本文研究了如下Hamilton-Jacobi方程的Cauchy问题：\bbal \bca \pa_t u- \De u=| \na u| ^2，\quad t>0，| x \in \R^d，|| u（0，x）=u_0，\quad \quad x \in \R^d .证明了Besov \end{align*}中的解映射在原点是不连续的.也就是说，我们可以构造满足$||u^N_0||_{B^0_{\infty,q}(\R^d)}\rightarrow 0, \ N\rightarrow \infty$的序列初始数据$\{u^N_0\}$，使得具有$u^N(0)=u^N_0$的对应解$\{u^N\}$满足\bbal|| u^N||_{L^ \infty_T（B^0_{ \infty，q}（\R^d））} \geq c_0，\qquad \forall \ T>0，\quad N \gg 1，\end{align*}具有独立于$N$的常数$c_0>0$。
2017-10-21 math.AP
Some new iterated hardy-type inequalities: The case $θ= 1$
本文刻画了Hardy型不等式\begin{equation*} \left\|\left\|\int_s^{\infty}h(z)dz\right\|_{p,u,(0,t)}\right\|_{q,w,\infty}\leq c \,\|h\|_{1,v,\infty} \end{equation*}的有效性，其中$0<p< \infty$，$0<q\leq +\infty$，$u$，$w$和$v$是$(0,\infty)$上的权函数.指出该刻画可用于单调函数锥上Hardy型算子和广义Stieltjes算子加权Lebesgue空间有界性的新刻画.
2013-02-14 math.AP math.CA math.FA
On formation of singularity of the full compressible magnetohydrodynamic equations with zero heat conduction
研究了具有零热传导的三维完全可压缩磁流体动力学方程组Cauchy问题的奇性形成和强解的破裂。证明了当初始密度为真空时，当变形张量$\mathfrak{D}(\mathbf{u})$和压力$P$满足$\|\mathfrak{D}(\mathbf{u})\|_{L^{1}(0,T;L^\infty)}+\|P\|_{L^{\infty}(0,T;L^\infty)}<\infty$时，强解整体存在.特别是，该标准是独立的磁场。Lam{é}系统的能量估计和一些精细的能量估计在证明中起着至关重要的作用。
2017-09-14 math.AP
Pointwise Bounds and Blow-up for Systems of Nonlinear Fractional Parabolic Inequalities
研究了非线性不等式组\[0\leq(\partial_t -Δ)^αu\leq v^λ\] \[ 0\leq (\partial_t -Δ)^βv\leq u^σ\]在$\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}$，$n\geq 1$中的非负解$u(x,t)$和$v(x,t)$，其中$λ,σ,α$，$β$为正常数，满足初始条件\[ u=v=0\quad\text{ in }\mathbb{R}^n \times(-\infty,0) \].具体而言，使用的分数热算子$(\partial_t-Δ)^α$的定义给出\cite{T}，我们得到，当它们存在时，最佳逐点上界$\mathbb{R}^n \times(0,\infty)$的非负解$u$和$v$的这个初始值问题，特别强调这些边界作为$t\to0^+$和作为$t\to\infty$。
2019-03-28 math.AP
Ill-posedness of the hyperbolic Keller-Segel model in Besov spaces
本文给出了一种新的构造$u_0\in B^σ_{p,\infty}$的方法，使得从$u_0$出发的双曲Keller-Segel模型的相应解在$B^σ_{p,\infty}(\R^d)$度量下的$t = 0$处是不连续的，同时具有$d\geq1$和$1\leq p\leq\infty$，这意味着该方程在$B^σ_{p,\infty}$中是不适定性的.我们的结果推广了\cite{Zhang01}（J. Differ.当量ag 334（2022）），其中考虑了病例$d=1$和$p=2$。
2022-12-27 math.AP
The Hartree and Hartree-Fock equations in Lebesgue $L^p$ and Fourier-Lebesgue $\hat{L}^p$ spaces
在Lebesgue空间$L^p \cap L^2 $（$1\leq p \leq \infty$）中利用Cauchy数据建立了$N$粒子（HFP）的Hartree-Fock方程的局部和整体适定性.在Fourier-Lebesgue空间$ \hat{L}^p \cap L^2 \ (1\leq p \leq \infty).$中证明了分数阶HFP的类似结果。另一方面，我们证明了如果我们简单地在$\hat{L}^p \ (2<p\leq \infty).$中工作，则HFP的Cauchy问题是不适定的。在这个过程中，我们证明了各种三线性估计的Hartree型非线性在这些空间中的有界性，这可能是独立的利益。因此，我们在基于$L^2-$的Sobolev空间中得到了Hartree方程和Hartree-Fock方程的经典适定性理论的自然$L^p$和$\hat{L}^p$推广.
2022-09-07 math.AP
Sharp mixed norm spherical restriction
令$d\geq 2$为整数，令$2d/(d-1) < q \leq \infty$。本文研究了L. 1988年的维加设$\mathcal{A}_d \subset (2d/(d-1), \infty]$是指数的集合，$\mathbb{S}^{d-1}$上的常数函数是这个不等式的唯一极值，我们证明了：（i）$\mathcal{A}_d$包含偶数和$\infty$ ;（ii）$\mathcal{A}_d$是扩展拓扑中的开集;（iii）$\mathcal{A}_d$包含无穷$(q_0(d), \infty]$与$q_0(d) \leq \left(\tfrac{1}{2} + o(1)\right) d\log d$的邻域。在低维，我们表明，$q_0(2) \leq 6.76\,;\,q_0(3) \leq 5.45 \,;\, q_0(4) \leq 5.53 \,;\, q_0(5) \leq 6.07$。特别是，这打破了第一次在尖锐的傅立叶限制理论的偶数指数障碍。问题的关键是在我们的方法是建立一个层次之间的某些加权规范的贝塞尔函数，一个非平凡的问题的特殊函数理论内的独立利益。
2018-04-18 math.AP math.CA
Dichotomy of stable radial solutions of $-Δu=f(u)$ outside a ball
本文研究了$-Δu=f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^N\setminus B_1=\{ x\in \mathbb{R}^N : \vert x\vert\geq 1\}$的稳定径向解，其中$f\in C^1(\mathbb{R})$和$N\geq 2$ .我们证明，这样的解决方案要么大[在这个意义上，$\vert u(r)\vert \geq M r^{-N/2+\sqrt{N-1}+2}\ $，如果$2\leq N\leq 9$ ; $\vert u(r)\vert \geq M \log (r)\ $，如果$N=10$ ; $\vert u(r)-u_\infty \vert \geq M r^{\-N/2+\sqrt{N-1}+2}\ $，如果$N\geq 11$ ; $\forall r\geq r_0$，对于一些$M>0$，$r_0\geq 1$ ]或小[在这个意义上，$\vert u(r)\vert \leq M\log (r)\ $，如果$N=2$ ; $\vert u(r)-u_\infty \vert \leq M r^{\-N/2-\sqrt{N-1}+2}$ ;\，如果$N\geq 3$ ; $\forall r\geq 2$，对于一些$M>0$ ]，其中$u_\infty=\lim_{r\rightarrow \infty}u(r)\…
2014-04-07 math.AP
Well-posedness and global existence of 2D viscous shallow water system in Besov spaces
本文考虑Besov空间中二维粘性浅水方程组的Cauchy问题。首先利用Littlewood-Paley理论、Bony分解、迁移方程和迁移扩散方程理论证明了该问题在$B^s_{p,r}(\mathbb{R}^2)$、$s>max\{1,\frac{2}{p}\}$、$1\leq p,r\leq \infty$中的局部适定性.然后在$B^s_{p,r}(\mathbb{R}^2)$、$1\leq p\leq2$、$1\leq r<\infty$和$s>\frac{2}{p}$中证明了具有足够小初始数据的系统的全局存在性。所得结果推广和覆盖了\cite{W}中的最新结果.
2014-11-27 math.AP
Prescribing Oscillation Behavior of Solutions to the Heat Equation on $\mathbb{R}^n$ via the Initial Data and its Average Integral
\begin{abstract} Motivated by a classical stabilization result for solution to the Cauchy problem of the heat equation$\ \partial_{t}u=\bigtriangleup u\ $on $\mathbb{R}^{n}$, we consider its oscillation behavior with radial initial data $φ\left( x\right) =φ\left( \left\vert x\right\vert \right) \in C^{0}\left( \mathbb{R}^{n}\right) \bigcap L^{\infty}\left( \mathbb{R}^{n}\right) .\ $Given four arbitrary finite numbers $r<α <β<s,$ one can construct a radial $φ\in C^{0}\left( \mathbb{R}% ^{n}\right) \bigcap L^{\infty}\left( \mathbb{R}^{n}\right) $ so that $φ $together with its corresponding solut…
2021-03-11 math.AP
Ill_posedness for a two_component Novikov system in Besov space
本文考虑了两分量Novikov系统在直线上的Cauchy问题。通过在$B_{p, \infty}^{s-1}(\mathbb{R})\times B_{p, \infty}^s(\mathbb{R})$中用$s>\max\{2+\frac{1}{p}, \frac{5}{2}\}$和$1\leq p \leq \infty$特殊构造初始数据$(ρ_0, u_0)$，证明了从$(ρ_0, u_0)$出发的任何能量有界解在$B_{p, \infty}^{s-1}(\mathbb{R})\times B_{p, \infty}^s(\mathbb{R})$度量下，当时间趋于零时不收敛回$(ρ_0, u_0)$，从而导致数据-解映射的不连续性和不适定性.
2022-02-13 math.AP
A heat flow for the mean field equation on a finite graph
受Castéras（Pacific J. Math.，2015），Li-Zhu（Calc.变量，2019）和孙朱（Calc.变量，2020），我们提出了一个热流的平均场方程上的连接有限图$G=(V,E)$。即$$ \left\{\begin{array}{lll} \partial_tϕ(u)=Δu-Q+ρ\frac{e^u}{\int_Ve^udμ}\\[1.5ex] u(\cdot,0)=u_0, \end{array}\right. $$，其中$Δ$是标准图拉普拉斯算子，$ρ$是实数，$Q:V\rightarrow\mathbb{R}$是满足$\int_VQdμ=ρ$的函数，而$ϕ:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是包括$ϕ(s)=e^s$的某些光滑函数之一。证明了对于任意的初始数据$u_0$和$ρ\in\mathbb{R}$，上述热流存在唯一解$u:V\times[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$，并且$u(x,t)$在$x\in V$中一致收敛于某个函数$u_\infty:V\rightarrow\mathbb{R}$，$t\rightarrow+\infty$，$u_\infty$是平均场方程$Q\equiv 0$的解。我们的做法如下：根据常微分方程理论，给出了热流的短时存在性，各种积分估计给出了热流的长时…
2021-08-03 math.AP math.CO
On the ill-posedness for the Navier--Stokes equations in the weakest Besov spaces
本文通过构造初始数据证明解映射在零点不连续，解决了全可压缩Navier--Stokes方程在最弱Besov空间端点情形下的不适定性，并附带证明了不可压缩方程的不适定性。
2024-01-09 math.AP
Two-sided heat kernel estimates for Schrödinger operators with unbounded potentials
考虑$\R^d$上的薛定谔算子$ \mathcal L^V=-Δ+V $，其中$V:\R^d\to [0,\infty)$是$\R^d$上的非负且局部有界的势，使得对于所有具有$|x|\ge 1$的$x\in \R^d$，本文研究了具有某些常数$c_1g(|x|)\le V(x)\le c_2g(|x|)$和一个非减严格正函数$g:[0,\infty)\to [1,+\infty)$的Schr dinger半群的热核的时间上和定性上的精确界，其中$g:[0,\infty)\to [1,+\infty)$对所有$r>0$和$\lim_{r\to \infty} g(r)=\infty.$满足$g(2r)\le c_0 g(r)$。概率方法特别地，即使薛定谔半群不是内在超压缩的，我们也可以给出热核在空间和时间上的整体双边界。此外，还得到了相应格林函数的双边估计。
2023-01-17 math.AP math.FA math.PR
Some $s$-numbers of an integral operator of Hardy type in Banach function spaces
设$s_{n}(T)$表示由$$ Tf(x)=v(x)\int_{a}^{x}u(t)f(t)dt,\,\,\,x\in(a,b)\,\,(-\infty<a<b<+\infty) $$给出的映射为Banach函数空间$E$的Hardy型积分算子$T$的$n$次逼近、同构、Gelfand数、Kolmogorov数或Bernstein数.本文研究了$E$的一些几何性质，在适当的条件下，$$ C_{1}\int_{a}^{b}u(x)v(x)dx \leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}ns_{n}(T) \leq \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}ns_{n}(T)\leq C_{2}\int_{a}^{b}u(x)v(x)dx $$在$u$和$v.$上的常数$C_{1},C_{2}>0$只依赖于空间$E.$
2015-07-31 math.AP math.CA math.FA
New a priori estimates for semistable solutions of semilinear elliptic equations
考虑半线性椭圆型方程$-L u = f(u)$在一般光滑有界区域$Ω\subset R^{n}$中的Dirichlet边界条件为零，其中$L$是一致椭圆算子，$f$是$[0,\infty)$中的正的、非减的凸函数，使得$\frac{f(t)}{t}\rightarrow\infty$为$t\rightarrow\infty$ .我们证明，如果$u$是一个正半稳定的解决方案，然后对每一个$0\leqβ<1$，我们有$$f(u)\int_{0}^{u}f(t)f"(t)~e^{2β\int_{0}^{t}\sqrt{\frac{f"(s)}{f(s)}}ds}~dt\in L^{1}(Ω),$$由一个常数独立的$u$。正如我们将看到的，文献中关于先验界的大量结果都是这个估计的直接结果。特别是，在其他结果中，我们建立了先验$L^{\infty}$约束尺寸$n\leq 9$，额外的假设下，$\limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{f(t)f"(t)}{f'(t)^{2}} < \frac{2}{9-2\sqrt{14}}\cong 1.318$。此外，我们建立了一个先验$L^{\infty}$界时，$n\leq 5$在很弱的假设下，对于一些$ε>0$，$\liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{(tf(t))^{2-ε}}{f'(t…
2015-08-19 math.AP
Boundedness of Schroedinger type propagators on modulation spaces
已知在求解薛定谔型算子时产生的傅里叶积分算子在调制空间$\cM^{p,q}$上有界，对于$1\leq p=q\leq\infty$，只要它们的符号属于Sjöstrand类$M^{\infty,1}$。但是，对于$p\not=q$，它们通常不能在$\cM^{p,q}$上绑定。在本文中，我们研究了几个额外的条件，施加在相位或符号，保证$\cM^{p,q}$上的有界性$p\not=q$，和之间的$\cM^{p,q}\to\cM^{q,p}$，$1\leq q< p\leq\infty$。我们还研究了类似的问题，运营商的Wiener汞齐空间，夺回，特别是最近的一些结果为metaplectic运营商。我们的论证大量使用了测不准原理。
2009-08-28 math.AP math.FA
Large time decay properties of solutions to a viscous Boussinesq system in a half space
利用$n\geq3$研究了半空间中n维粘性Boussinesq方程组的弱解和强解的长时间行为.结合Stokes算子的分数次幂的性质和$L^q-L^r$估计，得到了强解及其前三阶导数的$L^r(R^n_+)$ -渐近性和$1\leq r\leq\infty$.对于二阶导数的$L^\infty-$渐近性，通过对非线性项的适当分解，讨论了投影算子$P: L^\infty(R^n_+)\rightarrow L^\infty_σ(R^n_+)$的无界性。
2013-09-17 math.AP
Maximal and minimal solutions of an Aronsson equation: $L^{\infty}$ variational problems versus the game theory
狄利克雷问题$$ \begin{cases} Δ_{\infty}u-|Du|^2=0 \quad \text{on $Ω\subset \Rset ^n$} u|_{\partial Ω}=g \end{cases} $$可能有许多解，其中$Δ_{\infty}u=\sum_{1\leq i,j\leq n}u_{x_i}u_{x_j}u_{x_ix_j}$。本文利用$L^{\infty}$的变分法证明了最大解是$H(p,z)={1\over 2}|p|^2-z$的唯一绝对极小元，最小解是拔河游戏的连续值函数.我们还将刻画既不是绝对极小值也不是值函数的解的图。剩下的一个有趣的问题是如何解释这些中间解决方案。我们的大多数方法都是基于Barles-Busca [BB]的思想。
2009-06-03 math.AP
