Well-posedness of Semilinear Heat Equations in $L^1$
对于具有单调增加源项$f$的半线性热方程，获得Lebesgue空间中非负解局部存在的充要条件的问题最近才得到解决（Laister et al.（2016））。在那里，对于更困难的情况下，初始数据在$L^1$，一个必要和充分的积分条件$f$出现。在这里，受此积分条件，我们考虑其他的基本性质的解与$L^1$初始数据的不定符号，即：唯一性，正则性，连续依赖性和比较。我们还建立了充分条件，为全球的时间延续的解决方案，小的初始数据在$L^1$。
2019-11-24 math.AP
A characteristic of local existence for fractional heat equations in Lebesgue spaces
本文考虑了球$B_{R}\subset \mathbb{R}^{d}$上具有Dirichlet边界条件的分数阶热方程$u_{t}=\triangle^{α/2}u+f(u)$，其中$\triangle^{α/2}$是分数阶拉普拉斯算子，$f:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$是连续的非减算子.我们给出了$f$的特征，以保证在非负初始数据$u_{0}\in L^{q}(B_{R})$的条件下，方程在$L^{q}(B_{R})$中存在局部解。对于$q>1$和$1<α\leq 2$，我们证明了方程在$L^{q}(B_{R})$中有局部解的充要条件是$\lim_{s\rightarrow \infty}\sup s^{-(1+αq/d)}f(s)=\infty$;对于$q=1$和$1<α\leq 2$的充要条件是$\int_{1}^{\infty}s^{-(1+α/d)}F(s)ds<\infty$，其中$F(s)=\sup_{1\leq t\leq s}f(t)/t$ .当$\lim_{s\rightarrow 0}f(s)/s<\infty$时，同样的特征也适用于整个$\mathbb{R}^{d}$空间上的分数阶热方程。
2016-06-05 math.AP
Blow-up of the critical norm for a supercritical semilinear heat equation
研究半线性热方程爆破解的尺度临界 Lebesgue 范数，证明在 p>p_S 时该范数临近爆破时刻必无界，且无需 I 型假设，并由 p=p_S 的 II 型反例说明范围最优。
2023-10-02 math.AP
Composition operators on Herz-type Triebel-Lizorkin spaces with application to semilinear parabolic equations
设$G:\mathbb{R\rightarrow R}$是一个连续函数。本文第一部分研究了$G$上\begin{equation*} \{G(f):f\in \dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s}\}\subset \dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s} \end{equation*}成立的充分条件。这里$\dot{K}_{p,q}^{α}F_{β}^{s}$是Herz型Triebel-Lizorkin空间。这些空间统一和推广了许多经典的函数空间，如Lebesgue空间，Sobolev空间和Triebel-Lizorkin空间。本文的第二部分研究了Herz型Triebel-Lizorkin空间中半线性抛物型方程\begin{equation*} \partial _{t}u-Δu=G(u) \end{equation*}的局部和整体Cauchy问题。我们的结果覆盖了在某些已知的函数空间如分数索伯列夫空间中用初始数据得到的结果。给出了一些极限情况。
2022-01-16 math.AP math.FA
Thresholds on growth of nonlinearities and singularity of initial functions for semilinear heat equations
设$N\ge 1$和$f\in C[0,\infty)$为非负非减函数，$u_0$为可能奇异的非负初始函数.在对半线性热方程$f$的适当假设下，研究了半线性热方程\[ \begin{cases} \partial_tu=Δu+f(u) & \textrm{in}\ \mathbb{R}^N\times(0,T),\\ u(x,0)=u_0(x) & \textrm{in}\ \mathbb{R}^N \end{cases} \]在一致局部Lebesgue空间中局部非负解的存在性和不存在性.详细研究了$f$的增长与$u_0$的可积性之间的关系。我们的存在性定理给出了$u_0$在临界和次临界情形下的一个尖锐的可积性条件，并且它可以应用于规则或快速变化的函数$f$ .在双临界情形下，非负解的存在性和不存在性可以通过特殊处理来确定。当满足$f(u)=u^{1+2/N}[\log(u+e)]^β$时，得到了非负解的存在性和不存在性的一个完全分类.我们还表明，在Laister等相同的表征。在空间$L^r_{\rm ul}(\mathbb{R}^N)$中有界一致连续函数空间的闭包中，[11]的结果仍然成立。主要技术工具是单调迭代法、$L^p$ - $L^q$估计、Jensen不等式和微分不等式。
2021-04-30 math.AP
Global existences and asymptotic behavior for semilinear heat equation
本文考虑了具有$h(0,x)=h_0$的$L^2$ -临界半线性热方程$ \partial_t h=Δh\pm |h|^{\frac4d}h, $的整体Cauchy问题，其中$h$是定义在$ \R^+\times\R^d$上的未知实函数.在大多数关于这一主题的研究中，初始数据$h_0$对于某些$p\ge 2$属于Lebesgue空间$L^p(\R^d)$，或者对于$s>0$属于亚临界Sobolev空间$H^{s}(\R^d)$。{ \it}首先证明了存在依赖于$d$的正常数$γ_0$，使得Cauchy问题对于任意径向的、远离原点的、负Sobolev空间$\dot H^{-γ_0}(\R^d)$中的初始数据$h_0$都是局部和全局适定的.特别地，它导致局部和整体存在的柯西问题考虑上述的初始数据在适当的子空间的$L^p(\R^d)$与一些$p<2$。{ \it其次，}解的尖锐渐近行为（即$L^2$ -衰减估计）作为$t\to +\infty$在散焦情况下和在聚焦情况下与适当小的初始数据$h_0$与任意大的初始数据$h_0\in \dot H^{-γ_0}(\R^d)$获得。
2020-12-28 math.AP
On the semilinear heat equation with the Grushin operator
本文研究Grushin算子的热方程，给出热核表达式并证明其衰减性与恒等逼近性质，进而估计热半群，并证明非线性Cauchy问题温和解的存在唯一性、连续依赖及爆破替代，还给出全局存在性结果。
2025-08-04 math-ph math.AP math.MP
Global rough solution for $L^2$-critical semilinear heat equation in the negative Sobolev space
本文考虑$L^2$ -临界半线性热方程$h(0,x)=h_0$的Cauchy整体问题，其中$h$是定义在$ \R^+\times\R^d$上的未知实函数.在这方面的研究中，大多数的初始数据$h_0$属于Lebesgue空间$L^p(\R^d)$（对于某些$p\ge 2$）或亚临界索伯列夫空间$H^{s}(\R^d)$（对于$s>0$）。本文证明了存在依赖于$d$的正常数$\varepsilon_0$，使得柯西问题对于任何初始数据$h_0$都是局部和全局适定的，该初始数据$h_0$是径向的，在负索伯列夫空间$\dot H^{-\varepsilon_0}(\R^d)$中，包括以某个$p<2$为子空间的$L^p(\R^d)$.此外，还考虑了无条件唯一性和$L^2$ -估计的时间$t\to0$和$t\to +\infty$.
2019-03-20 math-ph math.AP math.MP
On semilinear Grushin--Schrödinger equation in $\mathbb{R}^N$
Universidade Federal de Sergipe（塞尔希培联邦大学）；Universität Ulm（乌尔姆大学）
本文研究了 $\mathbb{R}^N$ 中半线性格鲁辛-薛定谔方程的非平凡非负弱解的存在性，建立了相关空间的嵌入关系并推导了正则性结果。
2026-03-06 math.AP math.FA
Compactness of Green operators with applications to semilinear nonlocal elliptic equations
本文研究C²有界域上积分微分算子的Green算子紧性，在加权空间中建立精确结果并用于证明半线性非局部椭圆方程可解性，还给出g(t)=|t|^{p-1}t时解存在的Bessel容量条件，贡献了统一技术与加权空间新结果。
2024-11-28 math.AP
A Probabilistic Approach to the Existence of Solutions to Semilinear Elliptic Equations
本文利用期望离开时间、占据时间及概率表示公式的不动点论证，建立半线性椭圆方程正解存在的新充分条件，并支持超临界指数与多解结果。
2023-09-24 math.AP math.PR
Space-Time Analyticity of Weak Solutions to Semilinear Parabolic Systems with Variable Coefficients
研究了$2m$阶一般强抛物半线性Cauchy问题在$\mathbb{R}^N\times (0,T)$中的解析光滑解，该问题具有解析系数（空间和时间变量）和解析初值（空间变量）.它们表示为在每个时刻值在$B^{s;p,p}$型的适当Besov插值空间$t\in [0,T]$的系统的整体（弱）解的全纯延拓。在给定$0 < T'< T\leq \infty$的条件下，证明了任何具有解析初值的$B^{s;p,p}$型解$u\colon \mathbb{R}^N\times (0,T)\to \mathbb{C}^M$在$\mathbb{C}^N\times \mathbb{C}$中的一个复域上有界全纯延拓$u(x + \mathrm{i}y, σ+ \mathrm{i}τ)$，该复域由$(x,σ)\in \mathbb{R}^N\times (T',T)$，$|y| < A'$和$|τ| < B'$定义，其中$A', B'> 0$是依赖于$T'$的常数.该证明使用了在$\mathbb{C}^N\times \mathbb{C}$中的区域中的$B^{s;p,p}$型解的弱解的扩展，使得该扩展满足Cauchy-Riemann方程。利用全纯半群和极大正则性理论，得到了嵌入（稠密连续）$L^p$型Lebesgue空间的$B^{s;p,p}$型Besov插值空间中抛物问题的全纯延拓.应用程序包括数…
2020-12-31 math.AP math.FA
Unconditional uniqueness and non-uniqueness for Hardy-Hénon parabolic equations
针对 Hardy-Hénon 抛物方程，采用加权 Lorentz 空间作为解空间，证明了无条件唯一性与非唯一性，并建立唯一性准则，推广了 Fujita 方程和 Hardy 方程的已有结果。
2024-03-18 math.AP
Sobolev regularity for nonlinear Poisson equations with Neumann boundary conditions on Riemannian manifolds
本文研究了补有Neumann边界条件的黎曼流形上的具有超线性一阶项的二阶非线性椭圆型方程，当方程的源项属于Lebesgue空间时，在不同的可积区域下解的Sobolev正则性.我们的方法是基于一个整体的完善的Bochner的身份，并导致“半线性Calderón-Zygmund”型的结果。本文还将讨论在欧几里得空间的凸区域上具有Neumann边界条件的平均场博弈系统解的光滑性问题。
2022-04-15 math.AP math.DG
Quantitative stratification and sharp regularity estimates for supercritical semilinear elliptic equations
针对超临界半线性椭圆方程，论文利用切函数、切测度及 Naber–Valtorta 的 Reifenberg 型定理，定量刻画奇异集分层，并得到导数的尖锐弱 $L^q$ 内部正则性估计。
2024-09-07 math.AP
On the Fujita exponent for a Hardy-Hénon equation with a spatial-temporal forcing term
本文研究了高阶抛物型半线性方程\[ u_t+(-Δ)^{d}u=|x|^α|u|^{p}+ζ(t){\mathbf w}(x) \ \quad\mbox{for } (x,t)\in\mathbb{R}^{N}\times(0,\infty), \]解的适定性和爆破性，其中$d\in (0,1)\cup \mathbb{N}$，$p>1$，$-α\in(0,\min(2d,N))$或$α\geq 0$，$ζ$和${\mathbf w}$是适当的给定函数.给定$p\geq \frac{N-2dσ+α}{N-2dσ-2d}$和设置$p_c=\frac{N(p-1)}{2d+α}$，$\ell=\frac{N p_c}{N+2(σ+1)d p_c}$，我们证明了，对于任何数据$u_0\in L^{p_c,\infty}(\mathbb{R}^N)$和$\textbf{w}\in L^{\ell,\infty}(\mathbb{R}^N)$与小范数存在唯一的全球时间的解决方案下的假设$ζ(t)=t^σ$，$σ\in (-1,0)$和$N>2d$在空间$C_{b}([0,\infty);L^{p_c,\infty}(\mathbb{R}^N))$。作为一个副产品，小勒贝格数据的全球存在性如下，特别是，无条件的唯一性保持在$C_{b}([0,\infty);L^{p_c}(\mathbb{R}…
2022-11-23 math.AP
