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非线性heat equation分裂法的收敛性分析

Convergence analysis of the splitting method to the nonlinear heat equation

Hyung Jun Choi, Woocheol Choi, Youngwoo Koh

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摘要：

本文在$Ω\subset\mathbb{R}^d$（$d\geq 1$）中分析了非线性热方程的一个算子分裂格式：$Ω\times(0,\infty)$中的$\partial_t u = Δu + λ|u|^{p-1} u$，$\partialΩ\times(0,\infty)$中的$u=0$，$Ω$中的$u ({\bf x},0) =ϕ({\bf x})$.其中$λ\in\{-1,1\}$和$ϕ\in W^{1,q}(Ω)\cap L^{\infty} (Ω)$与$2\leq p < \infty$和$d(p-1)/2<q<\infty$。我们建立了$u$在$L^r$ -空间中的逼近（$r\geq q$）的适定性，并进一步得到了它在时间步$τ>0$上的$\mathcal{O}(τ)$阶收敛速度.最后，我们给出了一些数值例子来验证分析结果的可靠性。

英文摘要：

In this paper, we analyze an operator splitting scheme of the nonlinear heat equation in $Ω\subset\mathbb{R}^d$ ($d\geq 1$): $\partial_t u = Δu + λ|u|^{p-1} u$ in $Ω\times(0,\infty)$, $u=0$ in $\partialΩ\times(0,\infty)$, $u ({\bf x},0) =ϕ({\bf x})$ in $Ω$. where $λ\in\{-1,1\}$ and $ϕ\in W^{1,q}(Ω)\cap L^{\infty} (Ω)$ with $2\leq p < \infty$ and $d(p-1)/2<q<\infty$. We establish the well-posedness of the approximation of $u$ in $L^r$-space ($r\geq q$), and furthermore, we derive its convergence rate of order $\mathcal{O}(τ)$ for a time step $τ>0$. Finally, we give some numerical examples to confirm the reliability of the analyzed result.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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