Gradient regularity for $(s,p)$-harmonic functions
本文研究$(s,p)$-调和函数的局部正则性，证明其弱可微、弱梯度任意阶局部可积，并得到任意Hölder连续性及分数阶可微性，且估计在$s\to1$时稳定并恢复$p$-调和函数的已知正则性。
2024-09-03 math.AP
A density property for tensor products of gradients of harmonic functions and applications
本文证明k≥3时调和函数梯度的张量积在C(Ω̄)中稠密，并应用此结果证明耦合拟线性椭圆系统逆边界值问题的唯一性，最后讨论与线性化各向异性Calderón问题的关联。
2020-11-07 math.AP
Lp-gradient harmonic maps into spheres and SO(N)
我们考虑能量$E(v) := \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla^s v|^{\frac{n}{s}}$的临界点，其中$v$局部映射到球体或$SO(N)$中，并且$\nabla^s = (\partial_1^s,\ldots,\partial_n^s)$是形式分数梯度，即$\partial_α^s$是分数拉普拉斯算子与$α$ th Riesz变换的组合。我们证明了这个能量的临界点是Hölder连续的。作为特殊情况，对于$s = 1$，我们得到了Fuchs和Strzelecki关于球面上$n$ -调和映射的正则性结果的一个新的、更稳定的证明，这个结果本身就很有趣.
2014-04-03 math.AP
Half-Harmonic Gradient Flow: Aspects of a Non-Local Geometric PDE
本文的目标是讨论[31]和[32]中的一些结果，并通过证明全局弱存在性结果以及有限时间内的第一个冒泡分析来扩展其中的工作。此外，一个替代的局部存在性证明的基础上提出了一个不动点的论点。这导致了两种可能的前景，直到Sire，Wei和Zheng的猜想得到解决，见[27]：要么总是存在全局光滑解（因此这里构造的解实际上是期望的正则解），要么有限时间冒泡可能以类似于调和梯度流的方式发生。此外，本文还对梯度流，特别是调和梯度流和半调和梯度流作了简要的总结，并指出了两者的相似之处。为了清楚起见，我们仅限于球形目标流形的情况，但我们的整个讨论在考虑技术细节之后扩展到任意闭合目标流形。
2021-12-16 math.AP
Gradient estimates for $p\left(\cdot\right)$-harmonic differential forms
University Bielefeld（比勒费尔德大学）；Indian Institute of Science, Bangalore（印度科学学院）；Keldysh Institute of Applied Mathematics（开尔迪什应用数学研究所）
本文在 Coulomb 型规范条件下，建立了 $p(\cdot)$-调和微分形式的梯度界，并在变量指数满足对数 Hölder 连续性假设时，推导了 Meyers 类的更高积分性估计，从而在自然能量空间之外获得更高级的正则性。此外，在指数函数满足 Hölder 连续性更强的假设下，证明了解的梯度具有 Hölder 连续性。这些结果将经典常数指数 $p$-调和系统的正则性理论扩展到变量指数情形，这对于建模非均匀和各向异性介质至关重要。
2026-05-21 math.AP
Gradient estimate for harmonic functions on Kähler manifolds
证明了非紧Kähler流形上调和函数的一个尖锐的积分梯度估计.作为应用，我们得到了p-Laplacian谱底的一个精确估计，并证明了实现这一估计的流形的一个分裂定理。
2019-05-07 math.AP math.DG
Local gradient estimate for harmonic functions on Finsler manifolds
在加权里奇曲率有下界的条件下，证明了完备非紧Finsler测度空间上调和函数的局部梯度估计.作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的Finsler流形上的Liouville型定理.
2013-12-17 math.AP math.DG
Optimal estimates for the gradient of harmonic functions in the multidimensional half-space
在函数的边值属于$L^p$的假设下，得到了多维半空间中调和函数梯度的逐点估计中锐常数的一个表示.这种表示具体化为$p=1, 2,$和$\infty$两种情况。
2009-09-10 math.AP math.CV
Gradient estimates for $(p,V)$-harmonic functions on Riemannian manifolds
本文基于$(p,V)$-调和函数的梯度估计，利用Moser迭代方法在黎曼流形上建立了体积比较定理和Sobolev嵌入定理，并得到了显式全局梯度估计。
2025-11-20 math.AP math.DG
On the Gradient of Harmonic Functions
对欧几里得空间上的调和函数u，本文证明了它的梯度本质上由它的水平超曲面的几何决定.具体来说，|grad（u）|沿梯度流的变化完全由与流相交的水平超曲面的中曲率决定。
2018-12-05 math.AP math.CA math.DG
Gradient estimates and blow-up analysis for stationary harmonic maps
对于黎曼流形之间的平稳调和映射，我们给出了内部和边界梯度一致估计的一个充要条件。我们还证明了，如果解析目标流形不携带任何调和S ^2，则平稳映射的奇异集是m \leq n - 4可求长的。这两个结果都来自于对弱收敛平稳调和映射序列的亏损测度和能量集中集的一般分析。
1999-05-01 math.AP math.DG
Results on gradients of harmonic functions on Lipschitz surfaces
本文研究Lipschitz曲面上调和函数梯度的性质，利用复分析工具将频率函数超水平集的指数界改进为尖锐二次界，建立梯度小性传播，并将估计推广至带漂移项的散度型椭圆方程。
2024-03-04 math.AP math.CV
Entire $p$-harmonic functions with an isolated critical point and failure of $C^1$-regularity of the natural gradient
本文构造了具有唯一孤立临界点的齐次整体p-调和函数，证明在n≥3且p接近2时自然梯度非C^1正则，从而否定Balci-Diening-Weimar猜想的标量情形。
2026-09-25 math.AP
Median values, 1-harmonic functions, and functions of least gradient
受调和函数的中值性质的启发，我们引入了二元连续函数的局部中值性质和整体中值性质。我们证明了与局部中值性质相关的狄利克雷问题要么容易解决，要么不可能解决，并且证明了具有此性质的连续函数在粘性意义下是1-调和函数.最后，我们提出如下猜想：具有全局中值性质和给定边界值的连续函数与具有相同边界值的最小梯度函数重合。
2011-08-05 math.AP math.CA
Jacobian determinants for (nonlinear) gradient of planar $\infty$-harmonic functions and applications
在2维空间中，我们引入了一个非线性复梯度$(x_1,x_2)\mapsto |Dv|^β(v_{x_1},-v_{x_2})$的分布雅可比行列式$\det DV_β(Dv)$，对于任何$β>-1$，只要$v\in W^{1,2 }_{\text{loc}}$和$β|Dv|^{1+β}\in W^{1,2}_{\text{loc}}$ .然后，对于任何平面$\infty$ -调和函数$u$，我们证明了这样的分布雅可比行列式是一个非负的Radon测度与一些定量的局部上下界。我们也给出了以下两个应用。(i)应用$β=0$，我们开发了一种建立Liouville定理的方法，改进了Savin [33]的方法。准确地说，如果$u$是$\infty$ -整个${\mathbb R}^2$中的调和函数，其中有$$ \liminf_{R\to\infty}\inf_{c\in\mathbb R}\frac1 {R^3}\int_{B(0,R)}|u(x)-c|\,dx<\infty,$$，则对于某些$b\in{\mathbb R}$和$a\in{\mathbb R}^2$，$u=b+a\cdot x$。(ii)用$u_p$表示具有与$u$相同的非常数边界条件的$p$ -调和函数，证明了在Radon测度空间中，$\det DV_β(Du_p) \to \det DV_β(Du)$是弱$\star$意义下…
2022-09-16 math.AP
Duality for the gradient of a $p$-harmonic function and the existence of gradient curves
本文提出度量测度空间中 $p$-Dirichlet 问题的对偶形式，通过广义模量问题定义对偶度量流并证明梯度曲线存在性，进而构造反例说明一般度量空间中 $p$-调和性并非局部属性。
2025-02-03 math.AP math.MG
Topology of steady and expanding gradient Ricci solitons via f-harmonic maps
本文给出了具有$\infty$ -Bakry-Émery Ricci张量下界的流形的拓扑，特别是稳定的和扩张的梯度Ricci孤子的拓扑.为此目的，我们澄清和进一步发展理论的f-调和映射从非紧流形到非正曲流形。值得注意的是，我们证明了存在性和消失的结果，推广到加权设置的一部分Schoen和丘的调和映射理论。
2013-06-06 math.AP math.DG
Quantitative gradient estimates for harmonic maps into singular spaces
本文给出了到度量空间$(X,d_X)$中调和映射的Yau梯度估计，该度量空间的曲率上界为常数$κ$，$κ\geq0$，在Alexandrov意义下.作为直接应用，给出了这类调和映射的Liouville定理。这扩展了S. Y. Cheng [4]和H. I. Choi [5]对奇异空间中调和映射的研究。
2019-02-24 math.AP math.DG math.MG
Lojasiewicz--Simon gradient inequalities for the harmonic map energy function
我们应用作者在arXiv：1510.03817中提出的抽象梯度不等式证明了Lojasiewicz-Simon梯度不等式，它利用索伯列夫空间对闭黎曼流形之间的映射施加最小正则性要求。我们的调和映射能量函数的Lojasiewicz-Simon梯度不等式推广了Kwon（2002），Liu and Yang（2010），Simon（1983，1985）和Topping（1997）的结果。
2019-03-05 math-ph math.AP math.DG
Propagation of smallness near codimension two for gradients of harmonic functions
本文研究调和函数梯度的小性传播，证明在具有正 $(n-2+δ)$ 维 Hausdorff content 的集合上梯度 $ε$-小时，可推出球内梯度上界，并达到维数阈值。
2025-08-28 math.AP
Gradient bounds for p-harmonic systems with vanishing neumann data in a convex domain
设$ \ti \Om $是Euclidean $ n $空间中的有界凸区域，$ \hat x \in \ar \ti \Om, $和$ r > 0. $设$ \ti u = (\ti u^1, \ti u^2, \dots, \ti u^N) $是\[\nabla \cdot \left (|\nabla \ti u |^{p-2} \nabla \ti u \right) = 0 \mbox{in} \ti \Om \cap B (\hat x, 4 r) \mbox{with} |\nabla \ti u|^{p-2} \, \ti u_ν= 0 \mbox{on} \ar \ti \Om \cap B (\hat x, 4 r). \]的弱解，我们证明了某些一致椭圆系统的子解型论证可以用来推导出$ | \nabla \ti u | $在$ \ti \Om \cap B (\hat x, r)$中有界，其常数只依赖于$ n, p, N. $和$ \frac{r^n}{| \ti \Om \cap B (\hat x, r) |}.$。我们的论证取代了[CM]，[CM 1]，[GS]、[M]、[M1]，涉及类似问题。
2013-05-01 math.AP
An asymptotic expansion for the fractional $p$-Laplacian and for gradient dependent nonlocal operators
均值公式在偏微分方程理论中具有重要的意义：例如，从著名的调和函数与均值性质之间的等价性中得出了许多非常有用的结果。在分数阶调和函数的非局部情形下，这样的等价性仍然成立，并且现在有许多应用。非线性的情况下，相应的$p$ -拉普拉斯算子，最近也进行了研究，而一个非本地的，非线性的，对应的有效性仍然是一个悬而未决的问题。本文提出了一个关于\emph{nonlocal, nonlinear mean value kernel}的公式，并利用它得到了调和函数关于分数阶（变分）$p$ -Laplacian（对于$p\geq 2$）和其它梯度相关非局部算子在粘性意义下的渐近表示公式.
2021-05-27 math.AP
Infinity-harmonic functions in the plane: Regularity by injectivity
Momentum Technologies
本文通过梯度单射性条件，利用无穷拉普拉斯方程与一维热方程的联系，证明了平面中无穷调和函数的梯度具有1/3-Hölder连续性。
2026-06-06 math.AP
A Remark on Global $W^{1,p}$ Bounds for Harmonic Functions with Lipschitz Boundary Values
本文证明了具有Lipschitz边值的光滑区域上的调和函数的梯度被一个泛函数逐点有界，该泛函数对所有有限$p\geq 1$都在$L^p$中.
2016-07-01 math.AP
On gradient Ricci solitons
本文的第一部分给出了完全梯度收缩Ricci孤子的积分曲率估计。我们的结果和Lopez-Rio最近的工作暗示了具有调和Weyl张量的梯度收缩Ricci孤子的刚性。本文的第二部分讨论了梯度收缩Kähler孤子和梯度稳定Ricci孤子上的调和函数的存在性问题，并证明了如果这种流形上的调和函数的总能量是有限的，那么这个函数是常数。还讨论了无穷远处流形结构的后果。
2011-09-06 math.AP math.DG
Conjugate harmonic functions in 3D with respect to a unitary gradient
本研究提出放宽经典柯西-黎曼方程，证明三维中关于酉梯度的共轭调和函数对存在，并探讨其边界条件关系、酉约束重要性及与三维Calderón问题的联系。
2025-02-13 math.AP math.CA math.OC
Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula
本文的第一部分证明了一般黎曼流形上p-调和函数的局部内部梯度和边界梯度估计。在此基础上，根据R. Moser，我们证明了一个关于满足体积急剧增长假设的超曲面的1/H（逆中曲率）流的水平集形式的弱解的存在性定理.在本文的第二部分中，我们考虑了p-Laplace方程的两个抛物型类似方程，并证明了这两个方程在非负里奇曲率流形上的正解的Li-Yau型梯度估计.对于其中一个方程，我们还证明了一个熵单调性公式，推广了第二作者的线性热方程的一个较早的这样的公式。作为这个公式的应用，我们证明了具有非负里奇曲率和尖锐的L ^p-对数Sobolev不等式的完备黎曼流形必等距于欧几里得空间.
2007-11-14 math.AP math.DG
Gradient estimates of q-harmonic functions of fractional Schrodinger operator
研究了有界区域上分数阶Schr{<$}dinger算子$Δ^{α/2} + q$，$α\in (0,1]$的$q$ -调和函数$u$的梯度估计.对于非负的$u$，我们证明了，如果$q$是H{<$}lder连续的顺序$η> 1 - α$然后$\nabla u(x)$存在任何$x \in D$和$|\nabla u(x)| \le c u(x)/ (\dist(x,\partial D) \wedge 1)$。指数$1 - α$是关键的，即当$q$仅为$1 - α$ H{<$}lder时，可能不存在连续的$\nabla u(x)$。在$q$属于Kato类$\calJ^{α- 1}$的假设下，上述梯度估计对于$α\in (1,2]$是公知的。情况$α\in (0,1]$不同。为了获得$α\in (0,1]$的结果，我们使用概率方法。作为推论，我们得到了$α\in (0,1)$的$Δ^{α/2}u + q u = 0$的弱解是强解.
2012-09-26 math.AP math.PR
Characterizing Level-set Families of Harmonic Functions
该研究用局部微分几何条件刻画了无临界点调和函数的水平集超曲面族，给出由几何数据构造指定水平集族调和函数的方法，并揭示调和函数梯度沿梯度流的演化由所交水平集的平均曲率决定。
2019-12-06 math.AP math.DG
Stability estimates for discrete harmonic functions on product domains
研究了多维格上无界乘积域上离散调和函数的狄利克雷问题。首先，我们证明了一些版本的Phragmén-Lindelöf定理，并使用傅里叶级数得到一个离散模拟的三线定理的梯度的调和函数在一个带。然后给出了离散调和测度的估计，并利用初等谱不等式得到了柱域上狄利克雷问题的稳定性估计.
2013-06-09 math.AP
Gradient variational problems in $\mathbb{R}^2$
我们证明了一个新的可积性原则梯度变分问题在$\mathbb{R}^2$，显示解决方案是明确参数化的$κ$ -调和函数，即函数是调和的拉普拉斯算子与不同的电导率$κ$，其中$κ$是平方根的海森行列式的表面张力。
2021-10-26 math.AP math.CV
Liouville type theorems for the p-harmonic functions
证明了在由完全非紧收缩梯度Ricci孤子构成的n维Cartan-Hadamard流形上，p-Laplace方程在无穷远处的狄利克雷问题对于任意非常数连续边界数据，在一定范围p>n是无解的.利用定常梯度Ricci孤子，我们找到了具有正高斯曲率的${\mathbb R}^2$上的一个不完全黎曼度量，使得对于$p\geq 4$，每个正的p-调和函数必为常数.
2014-11-06 math.AP math.DG
Liouville theorems, Volume growth, and volume comparison for Ricci shrinkers
本文研究了完全非紧梯度Ricci收缩器的体积增长、Liouville定理、$f$ -调和函数的局部梯度估计和单位球的体积比较性质.我们还研究了这类流形上的f-调和函数和调和函数的积分性质。
2016-09-29 math.AP math.DG
The growth rate of harmonic functions
该研究从梯度估计与频率两方面探究调和函数增长率，得到非负曲率完备曲面测地球内正调和函数的精确梯度估计，证明高维非负Ricci曲率最大体积增长流形上非常数多项式增长调和函数的存在性及线性增长调和函数频率一致界，验证了Colding-Minicozzi频率猜想的特例。
2019-12-11 math.AP math.DG
Gradient estimates for heat kernels and harmonic functions
设$(X,d,μ)$是一个具有Dirichlet形式$\E$的二重度量测度空间，它是由“carré du champ”导出的.假设$(X,d,μ,\E)$支持尺度不变的$L^2$-Poincaré不等式。本文研究了$p\in (2,\infty]$的调和函数、热核和Riesz变换的下列性质：（i）$(G_p)$：$L^p$ -伴随热半群梯度的估计;（ii）$(RH_p)$：$L^p$ -调和函数梯度的逆Hölder不等式;（iii）$(R_p)$：$L^p$ -Riesz变换的有界性（$p<\infty$）;（iv）$(GBE)$：广义Bakry-Émery条件。证明了对于$p\in (2,\infty)$，（i），（ii），（iii）是等价的，而对于$p=\infty$，（i），（ii），（iv）是等价的.此外，其中一些等价性在比$L^2$ -Poincaré不等式更弱的条件下仍然成立。我们的结果给出了$p=\infty$的Li-Yau的热核梯度估计的特征，而对于$p\in (2,\infty)$，它是对Auscher-Coulhon-Duong-Hofmann [7]和Auscher-Coulhon [6]的早期结果的实质性改进和推广.给出了等周不等式和Sobolev不等式的应用。我们的结果适用于黎曼和次黎曼流形以及非光滑空间，并退化椭圆/抛物方程在这些设置。
2017-10-02 math.AP math.CA math.DG
Harmonic functions on metric measure spaces
本文研究了Ambrosio-Gigli-Savaré在具有Riemannian里奇曲率的度量测度空间上引入的调和函数.证明了这些空间上调和函数的Cheng-Yau型局部梯度估计。进一步，我们在具有非负Riemann里奇曲率的度量测度空间上得到了多项式增长的调和函数空间的各种最优维数估计.
2016-03-16 math.AP math.MG
On ratios of harmonic functions
设$u$和$v$是具有相同零点集$Z$的$ Ω\subset \mathbb{R}^n$函数的调和函数。我们表明，比率$f$这样的功能总是定义良好，是真正的分析。而且它满足最大值和最小值原理。对于$n=3$，我们还证明了Harnack不等式和调和函数之比的梯度估计，即对$Ω$的任意紧子集$K$的${ \sup\limits_{K} |f| \leq C \inf\limits_{K}| f| \quad \& \quad \sup\limits_{K} |\nabla f| \leq C \inf\limits_{K}| f| }$，其中常数$C$只依赖于$K$，$Z$，$Ω$.在第二个维度的第一个不等式如下从边界Harnack原则和第二个梯度估计最近获得的Mangoubi。这些不等式在高维（$n \geq 4$）中是否成立是一个悬而未决的问题。
2014-04-07 math.AP math.CA
Gradient estimate for the Poisson equation and the non-homogeneous heat equation on compact Riemannian manifolds
本文研究了紧致黎曼流形（M^n，g）中泊松方程和非齐次热方程正解的梯度估计.我们的结果推广了正调和函数和热方程正解的梯度估计。
2009-07-09 math.AP math.DG
Drift-harmonic functions with polynomial growth on asymptotically paraboloidal manifolds
本文针对具有抛物面渐近性的完备流形，构造并分类了特定漂移调和方程的多项式增长解，证明其渐近分离变量并计算了给定增长率的解空间维数，采用交替构造与渐近控制的归纳论证方法。
2025-02-13 math.AP math.DG
Cheeger-harmonic functions in metric measure spaces revisited
设$(X,d,μ)$是完备的度量测度空间，$μ$是局部加倍测度，支持局部弱$L^2$ -Poincaré不等式.通过假设热半群型曲率条件，证明了在$(X,d,μ)$上Cheeger-调和函数是Lipschitz连续的.给出了Cheeger-调和函数的梯度估计和一类非线性Poisson型方程的解.
2013-07-14 math.AP math.DG math.MG
