On the stability of type II blowup for the 1-corotational energy supercritical harmonic heat flow
本文考虑了从$\mathbb{R}^d$到具有$d \geq 7$的$d$球$\mathbb{S}^d$的能量超临界谐波热流.在1-共转对称的附加假设下，问题简化为一维半线性热方程$$\partial_t u = \partial^2_r u + \frac{(d-1)}{r}\partial_r u - \frac{(d-1)}{2r^2}\sin(2u).$$。我们为该方程构造一族$\mathcal{C}^{\infty}$解，其通过通用轮廓$$u(r,t) \sim Q\left(\frac{r}{λ(t)}\right),$$的集中在有限时间内爆破，其中$Q$是方程的稳态解，并且速度由量化率$$λ(t) \sim c_u(T-t)^\frac{\ell}γ, \quad \ell \in \mathbb{N}^*, \;\; 2\ell > γ= γ(d) \in (1,2].$$给出。构造依赖于两个参数：由于Merle，Raphaël和Rodnianski开发的鲁棒通用能量方法和调制技术，将问题减少到有限维[Camb. Jour. Math，3（4）：439-617，2015]对于能量超临界非线性薛定谔方程和Raphaël和Schweyer [Anal. PDE，7（8）：1713-1805，2014]，然后我们通过矛盾来解决有限维问题，并使用Brouwer不动点定理得出…
2017-04-04 math.AP math.DG
Stable self-similar blowup in the supercritical heat flow of harmonic maps
考虑了从$\mathbb R^3$到三球面共转调和映射的热流，证明了一个特殊的自相似收缩器的非线性渐近稳定性，该自相似收缩器的封闭形式未知.我们的方法为抛物型发展方程自相似爆破的稳定性分析提供了一种新的、系统的、鲁棒的和建设性的方法。特别是，我们完全避免使用微妙的李雅普诺夫泛函，单调性公式，间接的论点，或脆弱的抛物线结构，如最大值原理。实际上，我们的方法将自相似收缩算子的非线性稳定性分析归结为自伴线性化算子的谱分析。
2016-10-29 math-ph math.AP math.DG
On the blow-up of harmonic maps from surfaces to homogeneous manifolds
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
研究从曲面到紧致齐性空间的调和映射序列，针对单个气泡发展序列，推导颈部区域的精细渐进行为并证明新的阻抗关系，强化了早期结果，将不等式转为等式。对于弱共形映射，得出几何约束：在低维情况下极限映射和气泡的切平面必须相同，而在高维情况下则为等倾性。
2026-04-03 math.DG
Prescribed singular sets for stationary harmonic maps
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学科学学院）；School of Mathematics, Renmin University of China（中国人民大学数学学院）
本文构造了稳态调和映射的反例，其奇异集维数为n-2且零测度，从而否证了余维数至少为三的猜想。
2026-09-21 math.AP math.DG
Regularity of Dirac-harmonic maps
对任意具有给定自旋结构和旋量丛$ΣM$的$n$维紧自旋黎曼流形$M$和任意紧黎曼流形$N$，我们证明了弱狄拉克调和映射的一个$ε$ -正则性定理.结果证明了当n = 2时，任何弱狄拉克-调和映射都是光滑的。当$n = 2$ .对于$n \ge 3$，我们引入了平稳Dirac-harmonic映射的概念，得到了$R^n$中平稳Dirac-harmonic映射的Liouville定理.若对某个$p>2n/3$，有$ψ\in W^{1,p}$，则得到了一个能量单调性公式，并证明了一个部分正则性定理.
2008-10-10 math.AP math.DG
$p$-Harmonic Maps to $S^1$ and Stationary Varifolds of Codimension 2
本文研究了从紧致流形$M^n$到$S^1$的平稳$p\uparrow 2$-调和映射$u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$的渐近性，满足自然能量增长条件$$\int_M|du_p|^p=O(\frac{1}{2-p}).$$。沿着一个子序列$p_j\to 2$，我们证明了奇异集$Sing(u_{p_j})$收敛到一个平稳的，可求长的，密度为$Θ_{n-2}(\|V\|,\cdot)\geq 2π$的可变$(n-2)$ -变倍$V$的支撑，由测度$$μ=\lim_{j\to\infty}(2-p_j)|du_{p_j}|^{p_j}dv_g.$$的集中部分给出。我们还证明了$\|V\|$的密度在$2π\mathbb{N}$中取值。最后，在每一个紧流形的尺寸$n\geq 2$，我们产生的例子，非平凡的家庭$(1,2)\ni p\mapsto u_p\in W^{1,p}(M,S^1)$这样的地图通过自然极小极大的建设。
2018-02-13 math.AP math.DG
Energy identity for a class of approximate Dirac-harmonic maps from surfaces with boundary
对于从光滑边界的紧致Riemann曲面$M$到一般紧致黎曼流形的耦合场序列$\{(ϕ_n,ψ_n)\}$，我们证明了在某些一致控制的误差项下，能量恒等式在边界附近的爆破过程中成立.作为对带边界曲面上Dirac-调和映射的热流的应用，当这种热流在无限时刻爆破时，我们得到了一个能量恒等式。
2018-09-19 math.DG
Regularity Theorems and Energy Identities for Dirac-Harmonic Maps
研究了一组新的耦合场方程，该方程是由量子场论的非线性超对称σ模型激发的。这些方程将一个映射耦合到一个黎曼流形中，该流形由一个类似调和映射的作用量控制，该作用量具有一个沿该映射的旋量场。研究了从黎曼曲面到球面的Dirac-调和映射的解$§^n$。我们证明了弱狄拉克调和映射实际上是光滑的，并证明了在爆破过程中能量恒等式成立。
2004-11-15 math.AP math.DG
Partial Regularity of Stable Stationary Harmonic Maps into Compact Lie Groups
Princeton University（普林斯顿大学）
该论文证明紧黎曼流形到紧李群的稳定稳态调和映照的奇异集具有至少四的 Hausdorff 余维数，且该结果是最优的。
2026-09-29 math.DG
Short-time existence of the $α$-Dirac-harmonic map flow and applications
本文利用$α$ -Dirac-调和映射的热流和Blow-up分析讨论了闭曲面上Dirac-调和映射的一般存在性定理。更精确地说，对于任意Dirac算子具有非平凡极小核的初始映射，我们首先证明了$α$ -Dirac-调和映射的热流的短时存在性.当Dirac算子的核不再沿流方向保持极小时，存在性的障碍是奇异时间。在这种情况下，即使映射相对于时间是平滑的，内核也可能不是连续的。为了克服这个问题，我们利用目标流形的解析性来获得Dirac算子在给定初始映射的同伦类中具有极小核的映射的密度。然后，当我们到达奇异时间时，这个密度允许我们选择另一个能量较低的地图来重新启动流动。因此，我们得到一个在一组孤立点上可能不连续的流。利用小能量正则性和Blow-up分析，我们得到了闭曲面上非平凡$α$ -harmonic映射（$α\geq1$）的存在性.此外，如果目标流形不允许任何非平凡调和球面，则映射部分保持在与给定初始映射相同的同伦类中。
2019-12-24 math.AP math.DG
Existence and stability of shrinkers for the harmonic map heat flow in higher dimensions
本文研究了高维调和映射热流的奇异性形成，通过构造旋转对称目标流形，证明了稳定共旋自相似收缩解的存在性，揭示了 Cauchy 问题的稳定爆破机制。
2023-04-08 math.AP math.DG
Energy identity for stationary biharmonic mappings into spheres in supercritical dimensions
Shandong University（山东大学）；Frontiers Science Center for Nonlinear Expectations, Ministry of Education, P. R. China（非线性期望前沿科学中心，中华人民共和国教育部）；University of Eastern Finland（芬兰东部大学）；Purdue University（普渡大学）；China Three Gorges University（三峡大学）
本文在超临界维数n≥5中，通过改进Lin-Rivière的方法，建立了驻定双调和映射到球面的能量恒等式。
2026-05-13 math.AP math.DG
Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces with harmonic mean curvature in complex space forms
Hachinohe Institute of Technology（八户工业大学）
本文研究复空间形式中具有谐波平均曲率的Hamiltonian stationary Lagrangian曲面，通过分析第二基本形式和高斯曲率的条件，实现了此类曲面的完整分类。
2026-02-03 math.DG
A stationary harmonic map with a nonstationary tangent map
Institute for Theoretical Sciences, Westlake University（西湖大学理论科学研究院）
该研究构造了一个从R^5区域到特定紧凯勒曲面的平稳弱调和映射，其切映射为弱调和但非平稳，揭示了缺陷测度中对称性破缺导致切映射非平稳的现象。
2026-10-14 math.DG
Rectifiable-Reifenberg and the Regularity of Stationary and Minimizing Harmonic Maps
本文研究了黎曼流形上的平稳调和映射和极小调和映射$f:B_2(p)\subseteq M\to N$的正则性。如果$S^k(f)\equiv\{x\in M: \text{ no tangent map at $ x $ is }k+1\text{-symmetric}\}$是$f$的奇异集合的$k^{th}$ -层，则众所周知，$\dim S^k\leq k$，然而，关于$S^k(f)$的结构的其他很少被理解。我们的第一个结果是一般平稳调和映射，我们证明了$S^k(f)$是PDMATHAMT-可求长的。在极小化调和映射的情况下，我们进一步证明了奇异集$S(f)$满足$\dim S(f)\leq n-3$，它实际上是具有一致{ \it有限} $n-3$ -测度的$n-3$ -可求长集.一个有效的版本，这使我们能够证明，$|\nabla f|$有估计$L^3_{weak}$，估计这是尖锐的，因为$|\nabla f|$可能不生活在$L^3$。上述结果实际上只是我们在{ \it quantitative}分层$S^k_{ε,r}(f)$和$S^k_ε(f)\equiv S^k_{ε,0}(f)$上证明的一类新估计的应用。粗略地说，$S^k_ε\subseteq M$是没有球$B_r(x)$是$ε$ -接近于$k+1$ -对称的点$x\in S^k_ε$的集合。我们证明了$S^k_ε$是…
2016-04-14 math.AP math.DG
Isolated singularities of harmonic maps with generic boundary data
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究具有一般边界数据的调和映射孤立奇点，提出最小指标原理，证明在低维情况下奇点切映射为径向投影，并建立无穷远刚性定理。
2026-09-25 math.AP math.DG
The finite time blow-up of the Yang-Mills flow
本文证明了在紧致黎曼流形上的非平坦黎曼向量丛上，如果初始联络的能量足够小，则Yang-Mills流的光滑解将在有限时间内爆破.我们还考虑了初始曲率接近调和形式的Yang-Mills流的有限时间爆破。进一步，当$E$是紧致Kähler流形上的全纯向量丛时，如果Chern曲率的迹自由部分足够小，则$E$允许射影平坦结构.
2021-12-22 math.DG
Harmonic maps with free boundary from degenerating bordered Riemann surfaces
研究了能量一致有界的退化有边Riemann曲面上一类具有自由边界的调和映射序列的爆破分析和定性行为。借助于定义在退化环（包括垂直边界环和水平边界环）上的调和映射的Pohozaev型常数，我们建立了一个广义的能量恒等式.
2019-04-02 math.DG
A quantitative second order estimate for (weighted) $p$-harmonic functions in manifolds under curvature-dimension condition
本文在 Ricci 曲率下有界及 Bakry-Émery 曲率-维数条件下，为黎曼流形和加权流形中的正（加权）$p$-调和函数建立了 $\ln w$ 的定量二阶 Sobolev 估计。
2024-03-15 math.AP math.DG
Parabolic defect measures for Harmonic Maps with Free Boundary
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文针对自由边界调和映射的热流引入缺陷测度，强调其与经典情形的结构差异，并指出其全局性质使爆破分析更具挑战性。
2026-09-15 math.AP math.DG
Quantitative regularity for p-harmonic maps
本文研究了黎曼流形之间极小化和平稳$p$ -调和映射的正则性。我们的目的是获得Minkowski型的体积估计的奇异集$S(f)=\{x \ \ s.t. \ \ f \text{ is not continuous at } x\}$，而不是较弱的和非定量的豪斯多夫维数界目前在文献中通用的$p$。本文的主要技术是基于对$f$切映射的近似对称性的研究的定量分层。在这篇文章中，我们推广了在\cite{ChNa2}进行的研究，以最小化$2$ -调和映射到一般的$p\in (1,\infty)$。此外，我们还分析了静态的情况下，缺乏紧凑性，使研究更加复杂。为了理解退化固有的平稳映射的行为，我们研究自然相关的一系列这样的地图和推广的结果在\cite{lin_stat}的缺陷措施。利用精化覆盖的方法，改进了孤立奇点情形下的估计，得到了奇点个数的一个确定界。即使对于最小化$2$ -调和映射，这个结果似乎也是新的。
2016-10-28 math.AP math.DG
Regularity for Dirac-harmonic maps into certain pseudo-Riemannian manifolds
证明了从闭自旋Riemann曲面到定常Lorentz流形的弱Dirac-调和映射的光滑性，并得到了一类无反对称结构的临界椭圆系统的正则性定理.
2020-03-28 math.AP math.DG
Boundary exceptional sets for radial limits of superharmonic functions on non-positively curved Harmonic manifolds of purely exponential volume growth
本文研究了纯指数体积增长非正曲率Harmonic流形上，函数沿径向测地射线发散的边界例外集大小，利用Poisson积分和Green位势获得了Hausdorff维数的尖锐界限与上界，并结合Riesz分解定理得到了正上调和函数例外集维数的主要结果。
2023-09-11 math.CA math.DG
Harmonic Maps with Prescribed Singularities on Unbounded Domains
Einstein/Abelian-Yang-Mills方程在平稳和轴对称的情况下约化为$\p\colon\R^3\smΣ\to\H^{k+1}_\C$到$(k+1)$维复双曲空间中的具有指定奇点的调和映射.本文证明了具有指定奇点的调和映射$\p\colon\R^n\smΣ\to\H$的存在唯一性，其中$Σ$是$\R^n$的无界光滑闭子流形，余维至少为$2$，$\H$是实、复或四元数双曲空间.作为推论，我们证明了约化的稳态轴对称Einstein/Abelian-Yang-Mills方程解的存在性。
1995-09-19 dg-ga gr-qc math.DG
