Metric gradient flows and variational principles
TU Wien（维也纳工业大学）；Universität Graz（格拉茨大学）
该研究从度量空间最速下降曲线推导Ekeland型变分原理，关联Calabi流存在性与Kähler势空间K能量的Ekeland变分原理有效性。
2026-10-14 math.AP math.FA
Existence of solution for a class of variational inequality in whole $\mathbb{R}^N$ with critical growth: The local Mountain pass case
本文研究了一类变分不等式在整体$\mathbb{R}^N$上解的存在性，其中非线性项对$N \geq 2$具有临界增长性.通过将del Pino和Felmer [18]中的一个惩罚方案与Bensoussan和Lions [9]中的一个惩罚方法相结合，改进了Alves，Barros和Torres [1]的一个结果.
2020-11-01 math.AP
Riesz fractional gradient functionals defined on partitions: nonlocal-to-local variational limits
本文研究分段常数函数上带Riesz s-分数阶梯度的线性增长泛函的渐近性，针对一类可变能量密度，刻画了s→1时其在Γ-收敛意义下的局部极限泛函。
2025-10-06 math.AP
The free boundary of variational inequalities with gradient constraints
本文证明了某些带梯度约束的变分不等式的自由边界与区域边界的切丛一样正则。为此，我们研究了一个广义的概念，脊的域在平面上，这是一组奇点的距离函数在p-范数的域的边界。
2015-08-09 math.AP
Variational principles on the space of Lorenz curves: Gradient structures and isometries inspired by Wasserstein geometry
本文借鉴Wasserstein几何，在Lorenz曲线空间构建Riemann梯度结构并证明其与概率测度流形的等距关系，为非线性非局部演化方程赋予变分原理。
2025-07-24 math.AP
Asymptotic equivalence of the discrete variational functional and a rate-large-deviation-like functional in the Wasserstein gradient flow of the porous medium equation
本文研究了多孔介质方程的Wasserstein梯度流结构。证明了对于实直线上的$q$ -Gaussians情形，由JKO-离散格式导出的泛函渐近等价于一个速率大偏差类泛函.这一结果解释了为什么Wasserstein度量以及它与Tsallis熵的结合起着重要作用。
2013-07-19 math.AP
Variational convergence of gradient flows and rate-independent evolutions in metric spaces
我们研究的渐近行为的家庭梯度流在一般的度量设置，当度量耗散潜力退化的限制与线性增长的耗散。我们提出了一个普遍的变分定义BV解决方案的度量演化，表现出不同的表征的解决方案中的绝对连续制度，奇异康托部分，并沿跳跃过渡。通过使用工具的度量分析，BV功能和爆破的时间重新标度，我们表明，这种变分的概念是稳定的一类广泛的扰动，涉及能量，距离和耗散潜力。作为一个特定的应用程序，我们表明，BV解决方案的速率无关的问题自然出现的限制$p$梯度流，$p>1$，当指数$p$收敛到1。
2012-07-11 math.AP
Existence of solutions for a nonlocal variational problem in $\mathbb{R}^2$ with exponential critical growth
本文研究了一类非局部问题$$ -Δu +V(x)u =\Big( I_μ\ast F(x,u)\Big)f(x,u) \quad \mbox{in} \quad \mathbb{R}^2, $$解的存在性，其中$V$是正周期势，$I_μ=\frac{1}{|x|^μ}$，$0<μ<2$和$F(x,s)$是$f(x,s)$在变量$s$中的原函数.本文假设非线性方程$f(x,s)$在无穷远处具有指数临界增长，利用变分方法证明了解的存在性.
2015-08-19 math.AP
Ground state solution for a class of indefinite variational problems with critical growth
本文研究了一类$$ \left\{\begin{array}{l} -Δu+(V(x)-W(x))u=f(x,u) \quad \mbox{in} \quad \R^{N}, u\in H^{1}(\R^{N}), \end{array}\right. \eqno{(P)} $$型不定变分问题基态解的存在性，其中$N \geq 2$，$V,W:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$和$f:\mathbb{R}^N \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是满足一定技术条件的连续函数，且$f$具有临界增长性.在这里，我们将考虑问题是渐近周期性的情况，即$V$是$\mathbb{Z}^N$ -周期性的，$W$在无穷远处变为0，而$f$是渐近周期性的。
2017-04-05 math.AP
Variational approach to coarse-graining of generalized gradient flows
在本文中，我们提出了一个变分技术，处理粗粒化和通过一个限制在一个统一的方式。该技术是基于一个对偶结构，这是目前在许多梯度流和其他变分演变，这往往是从一个大偏差原则。它有三个主要特点：（A）对偶结构和粗粒化之间的自然相互作用，（B）应用于具有非耗散效应的系统，以及（C）应用于粗粒化的近似解，其仅对方程进行某些误差求解。作为例子，我们使用这种技术来解决三个极限问题，Vlasov-Fokker-Planck方程的过阻尼极限和随机扰动哈密顿系统的小噪声极限与一个和多个自由度。
2017-03-03 math.AP
Global optimal regularity for variational problems with nonsmooth non-strictly convex gradient constraints
证明了具有凸梯度约束的变分问题的最优$W^{2,\infty}$正则性。我们不假设约束的任何规则性;因此约束可以是非光滑的，并且它们不需要是严格凸的。当域足够光滑时，我们证明了最优正则性保持到边界。在这个过程中，我们还刻画了某些Hamilton-Jacobi方程的黏性解的奇点集。此外，我们得到了这些黏性解的二阶导数的显式公式，并证明了二阶导数满足单调性。
2021-01-26 math.AP
A hybrid variational principle for the Keller-Segel system in $\mathbb R^2$
当总质量低于已知的临界值时，我们构造了经典Keller-Segel系统二维细胞趋化运动的弱整体时间解.我们的构造利用了Keller-Segel系统可以在合适的功能积空间中实现为梯度流的事实。这使我们能够采用混合变分原理，它是Jordan，Kinderlehrer和Otto（1998）引入的Wasserstein距离的最小化隐格式的推广。
2014-07-21 math.AP
Regularized Stein Variational Gradient Flow
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Duke University（杜克大学）
针对 SVGD 梯度流仅能常数阶近似 KL 散度 Wasserstein 梯度流的问题，提出可在二者间插值的正则化 Stein 变分梯度流，并证明其收敛性、弱解唯一性与稳定性。
2024-05-09 cs.LG cs.NA math.AP
A nonsmooth variational approach to semipositone quasilinear problems in $\mathbb{R}^N$
本文研究了一类半正拟线性问题\begin{equation*} \left \{ \begin{array}{rclcl} -Δ_p u = h(x)(f(u)-a),\ & u > 0 & \mbox{in} & \mathbb{R}^N, \end{array} \right. \end{equation*}解的存在性，其中$1<p<N$，$a>0$，$ f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$是次临界增长函数，$f(0)=0$，而$h:\mathbb{R}^N \to (0,+\infty)$是满足某些技术条件的连续函数.利用非光滑临界点理论和比较原理证明了足够小的$a$存在解。我们还提供了一个版本的Hopf引理和一个Liouville型结果的$p$ -拉普拉斯算子在整个$\mathbb{R}^N$。
2022-10-26 math.AP
Lipschitz regularity of minimizers of variational integrals with variable exponents
本文证明了\[ \mathfrak{F}( v, Ω)= \int_Ω \! F(x, Dv(x)) \, dx, \]型凸变分局部极小解的Lipschitz正则性，其中对于${n > 2}$和$N\ge 1$，$Ω$是$\mathbb{R}^n$，$u \in W^{1,1}(Ω, \mathbb{R}^N)$中的有界开集，能量密度$F:Ω\times \mathbb{R}^{N \times n}\to \mathbb{R}$满足所谓的变量增长条件.该文件的主要新颖之处是，我们假设一个几乎临界的规律性在Orlicz Sobolev设置的能量密度作为一个函数的$x$变量。
2022-06-19 math.AP
A variational formula for risk-sensitive control of diffusions in $\mathbb{R}^d$
研究了与漂移控制的非退化扩散相关联的线性和半线性椭圆算子在$\mathbb{R}^d$上的广义主特征值的变分问题。我们建立Collatz Wielandt公式的潜力，消失在无穷大的最小假设下，也为一般的潜力下毯几何遍历性假设。我们还提出了相关的结果，具有一个完善的最大值原理的味道。
2019-06-06 math.AP math.OC math.PR
A non-variational system involving the critical Sobolev exponent. The radial case
本文考虑非变分系统$$ \begin{cases} -Δu_i = \sum\limits_{j=1}^k a_{ij} u_j^{(N+2)/(N-2)} &\text{in }\mathbb R^N,\newline u_i>0 &\text{in }\mathbb R^N,\newline u_i\in D^{1,2}(\mathbb R^N). \end{cases} $$，给出了临界Sobolev方程存在从泡分支出来的解的矩阵$(a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,k}$上的充分条件.
2016-03-17 math.AP
Splitting-type variational problems with linear growth conditions
对一类严格凸分裂型能量密度的主形式$f$：$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$，线性增长的\[ f(ξ_1,ξ_2) = f_1\big( ξ_1 \big) + f_2\big( ξ_2 \big) \, , \]，建立了变分问题解的正则性.作为主要结果，它表明，无论相应的性质的$f_2$，假设（$t\in \mathbb{R}$）$c_1 (1+|t|)^{-μ_{1}} \le f_1''(t) \le c_2\, ,\quad 1 < μ_1 < 2\, ,$是足够的，以获得更高的可积性的$\partial_1 u$的任何有限指数。我们还包括我们的主要定理的一系列变种。最后我们注意到，在符号有明显变化的情况下，类似的结果在$f$：$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$中也成立。
2020-08-12 math.AP
Variational approach to the asymptotic mean-value property for the p-Laplacian on Carnot groups
令$1<p \leq \infty$。我们提供了一个渐进的表征连续黏性解$u$的规范$p$拉普拉斯$Δ_{p\,\mathbb{G}}^N u=0$在任何卡诺集团$\mathbb{G}$。
2019-07-02 math.AP
A variational characterization of the risk-sensitive average reward for controlled diffusions on $\mathbb{R}^d$
我们解决变分形式的风险敏感的回报问题的非退化扩散$\mathbb{R}^d$通过漂移控制。我们建立了全空间上的变分公式，并证明了风险敏感值等于半线性算子的广义主特征值。这可以看作是大偏差下扩散算子主特征值的变分公式的一个受控形式。我们还重新审视了平均风险敏感的最小化问题，并通过采用本文中开发的梯度估计，我们扩展到无界漂移和运行成本的早期结果。
2020-09-04 math.AP math.OC math.PR
Scaling limit of the Stein variational gradient descent: the mean field regime
我们研究了$\mathbf{R}^d$中的相互作用粒子系统。Liu和D. Wang，NIPS 2016]，一种确定性算法，用于从具有未知归一化的给定概率密度进行采样。我们证明了在大粒子极限下，粒子系统的经验测度收敛于非局部非线性偏微分方程的解。证明了极限偏微分方程解的整体存在性、唯一性和正则性。最后证明了方程的解在长时间内收敛于唯一不变解。
2018-11-06 math.AP stat.ME stat.ML
A Variational Surface-Evolution Perspective for Optimal Transport between Densities with Differing Compact Support
我们研究的最佳质量输运问题，在$\mathbb{R}^{n}$之间的密度有独立的紧凑的支持，通过考虑几何形状的连续插值支持边界的时空内的质量密度演变根据流体动力学框架Benamou和Brenier。我们处理的几何空间-时间嵌入的点，矢量，并设置在$\mathbb{R}^{n+1}\!=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$和混合的质量密度和速度，以及到一个空间-时间螺线管矢量场${\bf W}\;|\;{\bf Ω\subset}\mathbb{R}^{n+1}\!\to\mathbb{R}^{n+1}$在紧凑的集合${\bf Ω}$。然后，我们制定了一个耦合的梯度下降方法包含单独的进化步骤$\partial{\bf Ω}$和${\bf W}$。
2021-06-21 math.AP math.OC
A Variational Formulation of the BDF2 Method for Metric Gradient Flows
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文提出BDF2方法的变分形式，用于替代常用最小化运动方案，研究度量空间中梯度流的时间离散近似。在假设增广能量泛函均匀半凸的条件下，证明了方法的良定性和离散近似收敛到最速下降曲线。在光滑Hilbert空间中，经典理论预测时间收敛阶为二，但本文在一般度量设置下证明收敛阶为一半。
2017-12-22 cs.NA math.AP math.NA
On the geometry of Stein variational gradient descent
Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
贝叶斯推断问题需要对高维概率分布进行采样或近似。本文的重点是最近推出的斯坦变分梯度下降法，一类算法，依赖于迭代最速下降步骤的再生核希尔伯特空间范数。这种构造导致相互作用的粒子系统，其平均场极限是在具有一定几何结构的概率分布空间上的梯度流。我们利用这个观点来阐明算法的收敛性，特别是解决选择一个合适的正定核函数的问题。我们的分析使我们考虑某些不可微内核调整的尾巴。我们证明了显着的性能增益，这些在各种数值实验。
2023-02-12 cs.LG math.AP math.ST
Non-diffusive Variational Problems with Distributional and Weak Gradient Constraints
本文考虑了具有混合边界条件和（分布的和弱的）梯度约束的非扩散变分问题。在约束的上界是一个函数或Borel措施，导致的状态空间是一个Sobolev一个或有界变化的函数的空间。我们解决低正则性假设下的模型的存在性和唯一性，并严格识别其Fenchel前对偶问题。后者在某些情况下是提出了一个非标准空间的Borel措施与平方可积〔的〕分歧。在一定的假设条件下，我们也建立了这个前对偶问题解的存在性和唯一性。最后，我们通过引入一种混合有限元法来解决原始-对偶系统的文件。数值例子证实了我们的理论研究结果。
2021-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Moment Estimate and Variational Approach for Learning Generalized Diffusion with Non-gradient Structures
Department of Applied Mathematics, University of Washington（华盛顿大学应用数学系）；Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院应用数学系）
本文提出一种结合能量耗散与矩演化的两阶段学习方法，用于识别非梯度广义扩散中的伪势和旋转，并通过数值实验验证其有效性。
2025-08-05 cs.LG math.AP nlin.AO
Variational structures beyond gradient flows: a macroscopic fluctuation-theory perspective
本研究从宏观涨落理论出发，通过引入通量拓展密度描述，构建抽象框架将变分结构从满足细致平衡的耗散系统推广至更广泛的随机粒子系统，给出分量分解与广义正交关系，并验证了理论的适用性。
2023-10-04 math-ph math.AP math.MP
The Bayesian update: variational formulations and gradient flows
贝叶斯更新可以被看作是一个变分问题，通过表征后验作为一个功能的最小。变分的观点是远远不是新的，是在流行的后验近似方法的核心。然而，它的一些后果似乎在很大程度上未被探索。我们专注于以下一个：定义后的最小功能给出了一个自然的路径走向后的最速下降的方向移动的功能。这个想法是通过精确的梯度流理论，使新的工具，贝叶斯模型和算法的研究。由于后验可以表征为不同泛函的极小化，因此可以考虑几种变分公式。我们研究其中三个和他们的三个相关的梯度流。我们表明，在所有情况下，收敛速度的收敛速率的流量后，可以有界的测地凸的功能被最小化。每个梯度流自然地暗示了后验作为不变分布的非线性扩散。这些扩散可以被离散化以构建用于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法的建议。通过构造，保证扩散满足一定的最优性条件，并且收敛速度由泛函的凸性给出。我们使用这个观察，提出了一个标准的选择度量的黎曼MCMC方法。
2018-11-02 math.AP math.ST stat.CO
From geodesic extrapolation to a variational BDF2 scheme for Wasserstein gradient flows
本文基于二阶向后微分公式，利用 Wasserstein 空间中的测地线外推构造时间离散格式，证明其收敛于 Fokker-Planck 方程及 EVI 流，并提出空间时间二阶精度的变分有限体积离散化。
2023-11-17 cs.NA math.AP math.NA
On the variational dual formulation of the Nash system and an adaptive convex gradient-flow approach to nonlinear PDEs
University of Coimbra（科英布拉大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究基态对二次偏微分方程组对偶变分公式一致性的影响，确定一致性成立条件，证明无噪声纳什系统变分对偶解存在性，提出基于希尔伯特梯度流的方案以生成收敛到原偏微分方程解的新基态序列。
2026-07-23 cs.NA math.AP math.NA
Numerical computation of the cut locus via a variational approximation of the distance function
提出了一种新的无边界$\mathbb{R}^3$紧致子流形的割迹的数值计算方法。这种方法是基于一个凸变分问题与锥约束，证明收敛。我们说明了我们的方法的多功能性的逼近Voronoi细胞嵌入表面的$\mathbb{R}^3$。
2020-06-17 cs.NA math.AP math.DG
Stein Variational Gradient Descent: many-particle and long-time asymptotics
Institute of Mathematics, Universität Potsdam（波茨坦大学数学研究所）；WIAS Berlin（柏林应用分析与随机学研究所）
Stein变分梯度下降（SVGD）是一类基于相互作用粒子系统的贝叶斯推断方法。在本文中，我们认为最初提出的确定性动力学以及随机变量，其中每一个代表的两个主要范例之一，在贝叶斯计算统计：变分推断和马尔可夫链蒙特卡罗。事实证明，这些是通过梯度流结构和植根于统计物理学的大偏差原理之间的对应关系紧密联系在一起的。为了揭示这种关系，我们开发的余切空间建设的斯坦几何，证明其基本性质，并确定大偏差功能管理的经验措施的多粒子极限。此外，我们确定费舍尔信息（或核化Stein差异）作为其在长时间和多粒子制度的$Γ$ -收敛的意义上的领先订单的贡献，脱落的有限粒子SVGD的属性的一些光。最后，我们建立了Stein-费舍尔信息和RKHS-范数之间的一个比较原则，这可能是独立的利益。
2021-02-25 cs.LG cs.NA math.AP
Gradient flows and Evolution Variational Inequalities in metric spaces. I: structural properties
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Università di Pavia（帕维亚大学）
本文研究了度量空间中梯度流的结构性质，通过演化变分不等式（EVI）的框架，探讨了解的收缩性、正则性、渐进行为等核心性质，并证明了EVI梯度流与De Giorgi变分特征以及Minimizing Movement-JKO方案的等价性与收敛性。
2018-10-09 cs.NA math.AP math.DG
