Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition
建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系。在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。我们把证明分为两个主要步骤。在第一个，我们认为，在这种情况下，所需的Carleson测量条件的系数持有“足够小的常数”，使用一种新的应用技术开发的几何测度论。在第二步中，我们建立最终结果，即“大常数情况”。关键要素是一个强大的外推参数，它提供了一个一般的途径，自我改进的标度不变的小常数估计，和一个新的机制，转移定量绝对连续的椭圆测度之间的区域和子域。
2020-08-11 math.AP math.CA
Characterization of $n$-rectifiability in terms of Jones' square function: Part II
我们表明，氡测量$μ$在$\mathbb R^d$这是绝对连续的$n$维Hausdorff措施$H^n$是$n$ -可求长的，如果所谓的琼斯平方函数是有限的$μ$ -几乎处处。这一结果的逆证明了在一个配套文件的第二作者，因此这两个结果给出了一个分类的所有$n$ -可求长措施是绝对连续的$H^{n}$。此外，本文还研究了线性增长测度的Jones平方函数与所谓的Menger曲率之间的关系。
2015-01-19 math.AP math.CA
Rectifiability of harmonic measure
本文证明了对任何开连通集$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq 1$，以及任何具有$\mathcal{H}^n(E)<\infty$的$E\subset \partial Ω$，调和测度$ω$关于$E$上的Hausdorff测度的绝对连续性蕴涵着$ω|_E$是可求长的.这解决了一个关于调和测度的公开问题，即使在平面情形$n=1$中，这个问题也是一个古老的猜想。
2015-12-09 math.AP math.CA
Rectifiability of harmonic measure in domains with porous boundaries
本文证明了：如果$n\geq 1$，$Ω\subset \mathbb R^{n+1}$是一个具有多孔边界的连通区域，$E\subset \partialΩ$是一个有限的正Hausdorff $H^{n}$ -测度的集合，在这个集合上调和测度$ω$关于$H^{n}$是绝对连续的，则$ω|_E$集中在一个$n$ -可求长集上.
2015-05-29 math.AP math.CA
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition. Part II: The large constant case
本文及其同伴[Hofmann，Martell，Mayboroda，Toro，Zhao，arXiv：1710.06157]建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系.在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。在我们之前的论文[Hofmann，Martell，Mayboroda，Toro，Zhao，arXiv：1710.06157]中，我们在这个方向上迈出了第一步，在那里我们考虑了期望的系数上的Carleson测度条件在足够小的常数下成立的情况。在本文中，我们建立了最终的，一般的结果，即“大常数的情况下”。我们的方法的关键要素是一个强大的外推参数，它提供了一个一般的途径，自我改善标度不变的小常数估计，以及一个新的机制，转移定量绝对连续的椭圆测度之间的域和子域。
2020-01-07 math.AP math.CA
Rectifiability and elliptic measures on 1-sided NTA domains with Ahlfors-David regular boundaries
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq 2$是单侧NTA整环（也称为一致整环），即满足内部Corkscrew和Harnack链条件的整环，并假定$\partialΩ$是$n$维Ahlfors-David正则的.利用曲面测度关于调和测度的绝对连续性刻画了$\partialΩ$的可求正性.我们还表明，这些是等价的事实，$\partialΩ$可以覆盖$\mathcal{H}^n$ -a.e.通过$Ω$的有界弦弧子域的边界的部分的可数联合以及$\partialΩ$以定性的方式具有外部螺旋点的事实$\mathcal{H}^n$ -a.e.我们的方法适用于调和测度，也适用于与具有局部Lipschitz系数的实对称二阶散度型椭圆算子相关的椭圆测度，其导数满足自然定性Carleson条件。
2017-04-12 math.AP math.CA
On a two-phase problem for harmonic measure in general domains
我们证明了，对于欧几里得空间中的不相交区域，它们的调和测度的相互绝对连续性意味着它们的边界相交处关于曲面测度的绝对连续性和可求正性.这改进了我们以前的结果，假设边界满足容量密度条件。
2016-09-20 math.AP math.CA
Uniform rectifiability and elliptic operators satisfying a Carleson measure condition. Part I: The small constant case
本文建立了一类偏微分方程解的性质与欧几里得空间中集合几何之间的对应关系。在满足Carleson测度条件的最优散度型椭圆算子类中，解决了椭圆测度关于曲面测度的（定量）绝对连续性与边界的一致可求长性是否等价的问题.该结果可以看作是一个定量模拟的维纳准则适用于奇异$L^p$数据的情况下。本文在系数的Carleson测度很小的假设下讨论了自由边界问题。这项工作的第二部分开发了一个外推参数，引导这一结果的一般情况下。第一部分中的思想构成了几何测度论中发展的技术的一种新的应用。它们突出了几个领域之间的协同作用。本文提出的思想非常适合于研究几何环境中的变分问题中的奇点。
2020-01-14 math.AP math.CA
Rectifiability, interior approximation and Harmonic Measure
本文证明了任意$n$ -可求长集$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 1$，满足较低ADR条件的弱形式，且具有局部有限$H^n$（$n$ -维Hausdorff）测度的一个结构定理.也就是说，$H^n$ -几乎所有的$E$可以覆盖的边界包含在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$有界Lipschitz域的可数并。因此，对于这样一个集合$E$的补集中的调和测度，我们建立了一个非退化条件，这相当于说$H^n|_E$关于调和测度是“绝对连续的”，在这个意义上，具有严格正$H^n$测度的$E$的任何Borel子集在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$的某些连通分量中具有严格正的调和测度。我们还提供了一些反例，说明我们关于调和测度的结果是最优的.此外，我们表明，如果，此外，一组$E$如上所述是一个连通域$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$满足无穷小内部厚度条件的边界，那么$H^n|_{\partialΩ}$是绝对连续的（在通常意义下）关于调和测度$Ω$。这些结果的本地版本也证明：如果只是一些片的边界是$n$ -可求长的，那么我们得到相应的绝对连续的那片。由于这一结果和最近的结果阿扎姆-霍夫曼-马特尔-梅博罗达-马戈格洛-托尔萨-沃尔伯格，我们可以分解边界的任何开放的连接集满足上述条件的两个不相交的部分：…
2018-10-09 math.AP math.CA
Absolute continuity of the best Sobolev constant of a bounded domain
设$λ_{q}:=\inf{\Vert\nabla u\Vert_{L^{p}(Ω)}^{p}/\Vertu\Vert_{L^{q}(Ω)}^{p}:u\in W_{0}^{1,p}(Ω)\setminus{0}} $，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N},$ $1<p<N$和$1\leq q\leq p^{\star}% :=\frac{Np}{N-p}.$的有界光滑整环。我们证明了函数$q\mapstoλ_{q}$在闭区间$[1,p^{\star}].$上绝对连续
2012-05-31 math.AP
Failure to slide: a brief note on the interplay between the Kenig-Pipher condition and the absolute continuity of elliptic measures
在这篇文章中，我们探讨了奇异椭圆测度的Modica-Mortola构造的一些结果，关于它们的近似的定量绝对连续性（$A_{\infty}$）和一个著名的工具，所谓的Kenig-Pipher条件（$\operatorname{KP}$）的适用性之间的联系。Kenig-Pipher条件被用来确定绝对连续性的存在下，一些温和的规则性的系数矩阵。我们对Modica-Mortola的例子进行了一些修改，以显示以下两个声明：（a）存在矩阵序列，其中$\operatorname{KP}$和$A_{\infty}$条件都在极限中崩溃。(b)存在$\operatorname{KP}$分解但$A_{\infty}$保留在极限中的矩阵序列。
2019-12-20 math.AP
BMO Solvability and Absolute Continuity of Caloric Measure
我们表明，BMO-可解性意味着尺度不变的定量绝对连续性（特别是，弱$A_\infty$属性）的热量测量相对于表面措施，为一个开集$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$，假设作为背景假设，只有$Ω$的本质边界满足适当的抛物线版本的Ahlfors-David正则性，需要一些向后的时间厚度。由于热测度的弱- $A_\infty$性质等价于初始-狄利克雷问题的$L^p$可解性，因此我们可以推导出$BMO$ -可解性蕴涵了对某个有限$p$的$L^p$可解性.
2019-04-16 math.AP
BMO solvability and absolute continuity of harmonic measure
我们证明了对于定义在具有Ahlfors-David正则边界的开集$Ω$上的一致椭圆散度型算子$L$，BMO-可解性蕴涵了$\partial Ω$上椭圆-调和测度关于表面测度的标度不变的数量绝对连续性（弱- $A_\infty$性质）.我们不强加任何连接性假设，定性或定量的，特别是，我们不假设Harnack链条件，即使在个别连接组件的$Ω$。在这种普遍性，我们的结果是新的，甚至拉普拉斯。此外，我们得到了一个逆，在额外的假设下，$Ω$满足内部Corkscrew条件，在特殊情况下，$L$是拉普拉斯算子。
2016-07-01 math.AP
Mutual Absolute Continuity of Harmonic and Surface Measures for Hormander Type Operators
本文考虑由满足Hormander有限秩条件的光滑向量场的平方和构成的次拉普拉斯算子L。我们研究了在满足一定几何条件的区域上该算子的狄利克雷问题。对于这样的域，建立了几个关键的结果。这些结果包括：1）Poisson核的一个反向Holder不等式; 2）调和测度（对应于L）与曲面测度（以及H-周长测度）相互绝对连续; 3）狄利克雷问题解的一个表示（从而狄利克雷问题的可解性）.
2008-03-06 math.AP
Rectifiability and tangents in a rough Riemannian setting
本文在粗糙椭圆设置中研究Radon测度的可求长性，通过椭圆族替代欧几里得球，刻画了m-可求长性的密度及主值条件，并将结果应用于PDE单层位势梯度下的(n-1)-可求长测度刻画。
2025-08-24 math.AP
On an obstacle to the converse of Dahlberg's theorem in high codimensions
最近已经理解到$\mathbb{R}^n$中的域$Ω$的边界$E = \partial Ω$上的调和测度相对于$E$上的Hausdorff测度$\mathcal{H}^{n - 1}$是绝对连续的当且仅当边界$E$是可求长的。然后，通过G.大卫，M。Engelstein，J. Feneuil，S. Mayboroda等提出了高余维$n - d$的Ahlfors-正则集$E$的调和测度的概念，借助于算子$L_α= -\mbox{div} D_α^{-n + d + α} \nabla$，其中$α> 0$和$D_α$是到集合$E$的某种正则化距离函数.一个程序启动，以建立类似于经典的情况下等价的可求长的高余维集$E$和良好的关系（新）谐波和豪斯多夫措施。数量绝对连续性的可求正性的充分性只是刚刚得到。对于另一个方向，主要障碍是粗略地证明，仅当集合$E$是超平面时，方程$L_αD_α= 0$才为真。在本文中，我们证明了一些第一结果表明，后者猜想可能是真的。我们还解释说，解决问题的某种自然策略直到最后才起作用。
2022-05-23 math.AP
Square function estimates, BMO Dirichlet problem, and absolute continuity of harmonic measure on lower-dimensional sets
在最近的工作[DFM1，DFM2]中G.大卫，J.Feneuil，和第一作者已经推出了一个计划，致力于模拟调和测度的低维集。类似于经典环境下的椭圆型偏微分方程，一类相关的偏微分方程由线性退化方程给出，退化度适当地依赖于到边界的距离.本文继续这一研究路线，并侧重于新定义的调和测度的Hausdorff测度，$ω\in A_\infty(σ)$，在边值问题的可解性方面的定量绝对连续性的标准。作者建立，特别是，平方函数估计和解的狄利克雷问题在BMO域的低维边界下的基本假设$ω\in A_\infty(σ)$。更一般地，证明了在所有具有Ahlfors正则边界的域中，狄利克雷问题的BMO可解性对于调和测度的绝对连续性是必要且充分的。
2018-10-24 math.AP
On the absolute continuity of p-harmonic measure and surface measure in Reifenberg flat domains
本文研究了$\mathbb{R}^{n}$，$n\geq 2$中局部平坦区域上p-调和测度，$μ$和$(n-1)-$维Hausdorff测度，$\mathcal{H}^{n-1}$的绝对连续集.本文证明了对于固定的$p$和$2<p<\infty$，存在一个Reifenberg平坦域$Ω\subset\mathbb{R}^{n}$，$n\geq 2$，它具有$\mathcal{H}^{n-1}(\partialΩ)<\infty$和一个Borel集$K\subset\partialΩ$使得$μ(K)>0=\mathcal{H}^{n-1}(K)$，其中$μ$是p-Laplace方程在$Ω$中的正弱解的p-调和测度，在$\partialΩ$上具有连续的边界值零.我们还表明，存在这样一个域，当$p$与$2-η<p<2$固定时，对于某些$η>0$，只要$n\geq 3$，相同的结果也成立。本文的工作是Azzam，Rugoglou和Tolsa最近的一个结果的推广，当测度$μ$是调和测度时，$x$，$ω=ω^{x}$，与Laplace方程相关联，即当$p=2$ .
2015-09-30 math.AP
Parabolic uniform rectifiability is characterized by Carleson measure estimates for bounded caloric functions
University of Alabama（阿拉巴马大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；University of Missouri（密苏里大学）
本文证明抛物型均匀可修正性等价于热方程有界解的Carleson测度估计及热测度的日冕分解，在温和假设下建立了新的刻画。
2026-09-15 math.AP math.CA
Absolute continuity of the solution to the stochastic Burgers equation
证明了无界区域上含随机Burgers方程的一般抛物型SPDE解的存在性和密度的Besov正则性。我们使用一个基本的方法的基础上的部分的分数分部积分法。
2021-03-05 math.AP math.PR
Absolute continuity of the periodic Schrödinger operator in transversal geometry
我们证明了$\mathbb{R}^n$上的薛定谔算子$n\ge 3$的谱是纯绝对连续的，该算子具有周期光滑黎曼度量，其共形重数具有一个欧氏方向的乘积结构，并且具有$L^{n/2}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)$中的周期电势。在一般度规的情况下，以前已知的结果在[12]中得到，也见[8]，假设度规和势都是反射对称的。
2015-08-15 math.AP math.SP
Absolute continuity of solutions to reaction-diffusion equations with multiplicative noise
本文证明了$L^2(G)$上抛物型耗散随机偏微分方程解在时空不动点上的绝对连续性，其中$G$是$\mathbb{R}^d$中具有光滑边界的开有界区域.该方程由乘性维纳噪声驱动，非线性漂移项是与实函数相关联的叠加算子，该实函数被假设为单调的、局部Lipschitz连续的，并且增长不快于多项式。证明，其中使用的Malliavin演算的参数，关键依赖于在温和意义下的适定性理论的随机发展方程在巴拿赫空间。
2019-05-21 math.AP math.PR
Tangent measures and absolute continuity of harmonic measure
证明了对于边界满足一定非退化条件的均匀域$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$，除非$α\leq d$，否则调和测度不能相对于$α$维Hausdorff测度相互绝对连续.我们采用的引理表明，在几乎每一个非退化点，我们可以找到一个正切测度的调和测度的支持是另一个统一的域的边界，其调和测度类似的正切测度。
2016-06-02 math.AP math.CA
Absolute continuity of harmonic measure for domains with lower regular boundaries
研究了具有大补域$Ω$上调和测度关于曲面测度的绝对连续性.我们证明了如果$Γ\subset \mathbb{R}^{d+1}$是$d$正则的，并且将$ \mathbb{R}^{d+1}$分成两个NTA域，那么$Γ\cap \partialΩ$上的$ω_Ω\ll \mathscr{H}^{d}$.这个结果是吴在[Wu 86]中的一个结果的自然推广。证明了如果$Γ$是Lipschitz图，则$Γ\cap\partialΩ$中几乎所有的点都是锥点.结合这些结果和[AHMMMTV]的一个结果，我们刻画了具有有限$\mathscr{H}^{d}$ -测度的绝对连续集的锥点条件和边界的可求长结构.这推广了McMillan在[McM 69]和Pommerenke在[Pom 86]中的结果。最后，我们还证明了我们的第一个结果对于实二阶散度型椭圆算子的椭圆测度是成立的。
2016-08-26 math.AP math.CA
Absolute continuity of Brownian bridges under certain gauge transformations
我们证明了高斯测度在一定的规范变换下的绝对连续性。作为应用，我们证明了Nahmod，Oh，Rey-Bellet和Staffilani在[20]中得到的关于周期导数非线性薛定谔方程的不变测度，以及关于它的几乎必然的整体适定性，与由Schann和Tzvetkov [24]构造的加权Wiener测度是一致的.因此，我们特别证明了[24]中构造的测度的不变性。
2011-03-24 math.AP math.CA math.PR
On absolute continuity of spectra of periodic elliptic operators
本文简要介绍了A. Sobolev对周期磁薛定谔算子谱的绝对连续性的证明这种方法适用于所有已知的数学物理学（包括麦克斯韦）感兴趣的周期椭圆算子，并且在所有这些情况下都会导致复分析的相同模型问题。关于这一办法的全面说明将在其他地方提供。
1998-10-07 math-ph math.AP math.MP
Absolute continuity of the Super-Brownian motion with infinite mean
本文证明了对任意维数的$d\geq 1$和任意$γ\in (0,1)$超布朗运动，对应于log-Laplace方程\begin{equation*} \begin{split} \frac{\partial v(t,x)}{\partial t } & = \frac{1}{2}\bigtriangleup v(t,x) + v^γ(t,x) ,\: (t,x) \in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^d,\\ v(0,x)&= f(x) \end{split} \end{equation*}的超布朗运动关于勒贝格测度在任意固定时刻$t>0$是绝对连续的.我们的证明是基于\LL \方程的解的性质。我们还证明了，当初始数据$v(0,\cdot)$是一个有限的，非零的措施，那么\LL \方程有一个唯一的，连续的解决方案。此外，该解连续地依赖于初始数据。
2020-12-16 math.AP math.PR
Absolute continuity of the spectrum in a twisted Dirichlet-Neumann waveguide
研究了无限长平面直条形量子波导，在边界的对半直线上满足Dirichlet和Neumann边界条件。证明了该点和奇异连续谱的不存在。
2020-01-20 math-ph math.AP math.MP
Absolute continuity of the spectrum of a Schrodinger operator with a potential which is periodic in some directions and decays in others
我们证明了在某些方向上是周期性的，而在其他方向上是超指数衰减的薛定谔算子的谱是纯绝对连续的。
2004-04-09 math-ph math.AP math.MP
Absolute continuity of the harmonic measure on low dimensional rectifiable sets
考虑维数为$d<n-1$的一致可求长集$Γ\subset \mathbb R^n$. Guy David，Svitlana Mayboroda等人利用补$Ω= \mathbb R^n \setminus Γ$上的退化椭圆算子，在$Γ$上引入了调和测度的概念.本文证明了$Γ$上的这种调和测度满足$A^\infty$ -性质，即$Γ$上的调和测度与$d$ -维Hausdorff测度在定量和标度不变的情况下相互绝对连续.因此，我们给一个替代证明最近的定理大卫和Mayboroda，这本身扩展了霍夫曼和马特尔的结果的情况下，一致可求长集$Γ$是不是余维1。证明是令人惊讶的简单-特别是不遵循路线使用的大卫和梅博罗达，或霍夫曼和马特尔-但具体的情况下，当$d<n-1$。
2022-07-24 math.AP math.MG
Absolute continuity of Wasserstein barycenters on manifolds with a lower Ricci curvature bound
本文提出了一种在具有下界里奇曲率的流形上证明Wasserstein barycenters绝对连续性的新方法，扩展了之前关于紧流形的结果。
2025-12-04 math.AP math.DG math.PR
Absolute continuity of the spectrum for periodically modulated leaky wires in $\mathbb{R}^3$
我们考虑一个三维的漏量子线模型。哈密顿量是拉普拉斯算子的一个奇异扰动，它由一条耦合有界的直线支撑，并沿直线周期性地调制。我们证明了这样一个系统有一个纯粹的绝对连续的频谱和它的负部分的能带结构，最多有有限数量的差距。这一结果也被推广到当有无限多条线支持沿一个方向周期性排列的扰动时的情形。
2005-08-26 math-ph math.AP math.MP
The continuity equation on metric measure spaces
本文的目的是证明在度量测度空间$(X,d,m)$上写出连续性方程是有意义的，并且证明绝对连续曲线$μ_t$是有意义的.距离$W_2$可以完全表征为连续性方程本身的解，只要我们对每个$t$和某些$C>0$施加条件$μ_t\leq Cm$。
2014-06-24 math.AP math.MG
The parabolic Dini-$β$ condition and absolute continuity of surface and caloric measure
University of Alabama（阿拉巴马大学）；TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究证明抛物型Lipschitz函数图像的曲面测度与热测度的绝对连续性等价于抛物型Dini-β条件成立，且这类图像可被正则Lipschitz图像覆盖，为抛物型可求长性提供了定性判定依据。
2026-08-25 math.AP math.CA
Sets of absolute continuity for harmonic measure in NTA domains
证明了若$Ω$是具有调和测度$w$的NTA整环，且$E\subseteq \partialΩ$包含在Ahlfors正则集中，则$w|_{E}\ll \mathscr{H}^{d}|_{E}$ .此外，这在定量意义上是成立的，即对于所有$τ>0$，$w$服从关于$\mathscr{H}^{d}|_{E'}$的$A_{\infty}$型条件，其中$E'\subseteq E$使得$w(E\backslash E')<τw(E)$，即使$\partialΩ$甚至可能不是局部$\mathscr{H}^{d}$有限的.我们还表明，对于均匀域的均匀补充，如果$E\subseteq\partialΩ$是Lipschitz图像的一个子集的$\mathbb{R}^{d}$，那么有$E'\subseteq E$与$\mathscr{H}^{d}(E\backslash E')<τ\mathscr{H}^{d}(E)$后，一个类似的$A_{\infty}$型条件成立。
2016-03-08 math.AP math.CA math.MG
Dimension and structure of the Robin Harmonic Measure on Rough Domains
研究粗糙区域Robin调和测度的维数与结构，证明其对Ahlfors正则集曲面测度具定量相互绝对连续性，无维数下降，预期相变通过非尺度不变权重估计体现，颠覆相关物理模拟预期。
2024-10-31 math.AP math.CA
