Expected number of distinct part sizes in a random integer composition
Pawel Hitczenko, Gilbert Stengle
得到了整数n的随机组合中不同零件尺寸的期望个数的渐近性，即$n\to\infty$。
The asymptotics, as $n\to\infty$, for the expected number of distinct part sizes in a random composition of an integer n is obtained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some Elementary Congruences for the Number of Weighted Integer Compositions
一个非负整数$n$的整数复合是一个非负整数的元组$(π_1,\ldots,π_k)$，其和是$n$ ; $π_i$被称为复合的部分。对于固定数量的$k$部件，$f$加权整数组合（在文献中也称为$f$着色整数组合）的数量由扩展二项式系数$\binom{k}{n}_{f}$给出，其中每个部件尺寸$s$可能出现在$f(s)$不同的颜色中.我们推导出了$\binom{k}{n}_{f}$的几个同余性质，其中大部分类似于普通二项式系数。其中有奇偶性的$\binom{k}{n}_{f}$，巴贝奇的同余，卢卡斯定理等，我们还给出了同余$c_{f}(n)$，数的$f$加权整数组成的任意多个部分，并为扩大二项式系数和。我们关闭我们的结果的应用程序，以总理的标准加权整数组成。
Part-products of $S$-restricted integer compositions
如果$S$是正整数的上有限集合，则“$S$的$S$限制复合“是$S$的元素序列，表示为$\vecλ=(λ_1,λ_2,...)$，其和为$n$。对于均匀随机$S$ -限制组合，随机变量${\bf B}(\vecλ)=\prod_i λ_i$是渐近对数正态的.证明是基于一个组合技术分解成一个序列的较小的组成。
Deriving Faà di Bruno's formula for the derivative of a composite function via compositions of integers
我们又一次证明了Faà di Bruno的公式为高阶导数的复合函数。我们的证明技术依赖于重新解释的组合物的两个幂级数的生成函数的加权整数组成，其中一个Faà di Bruno的公式是很自然地建立。
On conjugates for set partitions and integer compositions
有一个熟悉的共轭整数分割：转置费勒斯图，和共轭整数组成：转置费勒斯样图。在这里，我们提出了一个共轭集划分，并表明它互换#单例和#邻接。它对不相交分区的限制出现在1972年Kreweras的一篇论文中。我们还展示了一个类似的统计对互换的组成共轭。
On identities generated by compositions of positive integers
我们证明了由正整数的合成所产生的惊人的身份。顺便得到了第一类Stirling数的两个新恒等式。在最后两节中，我们澄清了这些恒等式的代数意义，并得到了其他几个结构上的恒等式。
Longest Run of Equal Parts in a Random Integer Composition
本说明探讨了一个问题，在枚举和渐近组合涉及的经典结构的整数组成。所寻求的是对大小为n的组成中连续相等部分的最长运行的长度的平均和分布的分析。这个问题最近由Herbert Wilf提出（见arXiv：0906.5196）。
A composition $π=π_1π_2\cdotsπ_k$ of a positive integer $n$ is an ordered collection of one or more positive integers whose sum is $n$ . The number of summands, namely $k$, is called the number of parts of $π$. In this paper, we introduce two statistics over compositions of an integer $n$ with exactly $k$ parts: heights of symmetric peaks and depths of symmetric valleys over all compositions of $n$. We derive an explicit formula for the generating functions of compositions of $n$ with exactly $k$ parts according to the number of symmetric peaks (valleys) and the total heights (depths) of peaks…
Identities for partial Bell polynomials derived from identities for weighted integer compositions
我们讨论了Cvijovic中导出的第（n; k）次部分Bell多项式的封闭形式公式。我们表明，部分贝尔多项式的加权整数组合的特殊情况下，并演示如何部分贝尔多项式的身份很容易遵循更一般的身份加权整数组合。我们还提供了后者的短期和优雅的概率证明，在离散整数值随机变量的总和。最后，我们概述了部分贝尔多项式的进一步身份。
Locally Restricted Sequential Structures and Runs of a Subcomposition in Integer Compositions
研究了超临界局部受限序列结构的部分尺寸。这扩展了以往的结果，局部限制的整数组成和部分的大小在光滑的超临界组成结构。应用程序运行的子组合。问题被制定为枚举有向游动的大小无限有向图和证明严重依赖于早期的结果由Bender和Canfield关于无限的转移矩阵。
Integer compositions with part sizes not exceeding k
我们研究了整数n的部分大小不超过一个固定整数k的合成。我们使用分析组合学的方法来获得精确的渐近公式的数量这样的组合物，在所有这样的组合物中的部件的总数，在这样的组合物中的部件的预期数量，在所有这样的组合物中出现的特定部件尺寸的总次数，以及在这样的组合物中给定部件尺寸的预期多重性。在此过程中，我们还获得了递归和生成函数，用于计算其中的几个量。我们的研究结果也适用于某些类型的平铺和节奏模式的问题。
Trees with flowers: A catalog of integer partition and integer composition trees with their asymptotic analysis
本文研究节点携带整数分拆或整数复合“花朵”的组合树类，给出花瓣权重与花朵权重的生成函数，并推导系数渐近增长及集中分布期望的通用公式。
On the dimension of downsets of integer partitions and compositions
我们的特点的下集的整数分区（有序的包含费勒斯图）和组合物（有序的广义子字顺序）具有有限的尺寸在Dushnik和Miller的意义。在划分的情况下，当所有划分的集合具有无穷维时，我们证明了每个划分的真下集具有有限维。对于组合物，我们确定了四个无穷维的最小下集，并建立了每个不包含这四个之一的下集具有有限维。
Iterated Distinct Absolute Differences of Integer Compositions
该研究确定了具有指定深度的整数分拆对应的最小正整数，推导了其公式，证明了≥该值的整数均有对应深度分拆，还对达最小a(n)的分拆进行分类计数并给出公式。
The distribution of longest run lengths in integer compositions
我们发现的生成函数为$C(n,k,r)$，一些成分的$n$到$k$积极的部分，其所有的运行（连续块的恒定部分）的长度小于$r$，使用最近的推广的方法的Guibas和Odlyzko寻找的数量字，避免了一个给定的列表的子字。
Integer Compositions Applied to the Probability Analysis of Blackjack and the Infinite Deck Assumption
组合理论可以用来分析和列举的方式在二十一点经销商可以达到任何给定的点总数的数量。21点的规则提供了几个限制的数量组成的一个给定的数字。虽然理论保证了任何正整数的特定数量的不受限制的组合，我们必须减去在二十一点不允许的组合的数量。我们提出了一个建设性的方法来枚举可能的组合物的数量为任何点的值，从总数的不受限制的组合物中删除这些非法的组合物。我们的结果涵盖了所有可能的情况，并推广到21点规则的变化，例如庄家必须站立的点值。使用无限甲板假设，我们还找到了庄家达到该点的近似概率。
Arndt and De Morgan Integer Compositions
本文通过整数分解中的奇数部分证明了阿恩德特关于斐波那契数的观察，推广了降序条件并建立了两种分解类型的递推关系，连接了安德鲁斯和维诺特的研究。
Let $0<k\in\mathbb{Z}$. We zipper-merge integer compositions with sums $k$ and $k+1$, equal number of parts and initial entries equal at least to 1 and 2, respectively. This yields bitstrings with two initial zeros, $k-1$ remaining zeros and $k$ ones. Tensors whose entries are such bitstrings contain unique representations of all Dyck words of length $2k$. If rows and columns of such tensors are disposed in descending lexicographic order, then their entries not representing Dyck words form disjoint unions of descending staircases corresponding to strict lower triangular submatrices.
In this paper we give a fast algorithm to generate all partitions of a positive integer $n$. Integer partitions may be encoded as either ascending or descending compositions for the purposes of systematic generation. It is known that the ascending composition generation algorithm is substantially more efficient than its descending composition counterpart. Using tree structures for storing the partitions of integers, we develop a new ascending composition generation algorithm which is substantially more efficient than the algorithms from the literature.
Modelling x-ray tomography using integer compositions
使用整数组合物作为被X射线照射的对象的二维模拟来对X射线过程进行建模，其中检查射线由具有非负整数$n$的等式$x-y=n$的对角线来建模。这个过程基本上是由X射线包含在特定组合物中的程度来参数化的。因此，表征该过程自然地转化为获得生成函数，该生成函数跟踪包含在$n$的任意整数组成内的“阶梯”的数量。更准确地说，我们得到了一个生成函数，它计算了楼梯$1^+2^+3^+\cdots m^+$适合特定组合的次数。主要定理建立了这个生成函数\begin{equation*} F= \dfrac {k_{m}-\frac {qx^{m}y}{1-x}k_{m-1}}{(1-q)x^{\binom {m+1}{2}}\left(\frac{y}{1-x}\right)^{m}+\frac{1-x-xy}{1-x}\left(k_{m}-\frac{qx^{m}y}{1-x}k_{m-1}\right)}. \end{equation*}，其中\begin{equation} k_{m}=\sum_{j=0}^{m-1}x^{mj-\binom {j}{2}}\left(\frac {y}{1-x}\right)^{j}. \end{equation}在这里$x$和$y$分别跟踪组成的大小和部分的数量，而$q$跟踪包含的这种楼梯的数量。
A new polynomial on compositions of integers: on distinguishing caterpillars from their symmetric chromatic function
本文提出了一种判定两棵非同构毛毛虫树是否具有相同对称函数的代数方法--色多项式的推广。在整数上的所有组合的集合上，我们引入：一个操作，我们称之为组合乘积;和一个组合多项式，我们称之为组合格多项式或L-多项式，它模仿了Noble和Welsh的加权图多项式。我们证明了一个唯一的不可约分解定理，并建立了一个连接的L-多项式的组合和它的不可约分解，即扭转不可约因子不改变L，并猜想这是唯一的方式产生这样的组合。最后，我们找到一个充分条件，两个毛毛虫有一个不同的对称函数推广的色多项式，并使用这个条件来表明，如果我们的猜想是成立的，那么对称函数推广的色多项式区分一大类毛毛虫。
Lattice point enumeration of polytopes associated to integer compositions
本文证明了Chapoton关于整数组合关联多面体h向量的猜想，并给出了gamma向量非负性及h*多项式组合解释。
Average number of distinct part sizes in a random Carlitz composition
如果一个整数的相邻部分不同，则称之为Carlitz。最近Knopfmacher和Schlinger研究了无规Carlitz复合的几个特征。我们补充他们的工作，建立不同的部分大小的平均数在一个随机的Carlitz组成的渐近。
On the evolution of random integer compositions
本文研究了 $m$ 从零增加时随机 $n$ 项弱整数拆分序列渐近结构的演化，确立了多种子结构（如零/非零项游程、递增游程、等项游程、最大正方形等模式）出现与消失的阈值，并揭示了精确连续模式出现与消失的二分性规律。
Partitions and Compositions defined by inequalities
考虑由一组具有整数系数的线性不等式定义的整数序列。我们表明，当约束足够强，以保证所有的条目是非负的，生成函数的整数解的重量$n$有一个有限的产品形式。结果证明了双射，并用于给出几个有趣的整数分区和组成的身份的例子。该方法可适用于容纳等式以及不等式，并可用于获得多元形式的生成函数。我们将展示如何扩展的技术，以获得生成函数时，允许某些系数是合理的，推广的情况下，演讲厅分区。我们的初步结果是由于欧米茄包。
On a Balanced Property of Compositions
设$S$是一个有限的正整数集，其最大元素为$m$ .让我们随机选择整数$n$与$S$中的部分的组合$a$，并且让$m(a)$是作为$a$的一部分的$m$的重数。令$0\leq r<q$为整数，其中$q\geq 2$，并令$p_{n,r}$为$m(a)$与$r$模$q$全等的概率。证明了如果$S$满足一定的简单条件，则$\lim_{n\to \infty} p_{n,r} =1/q$ .事实上，我们表明，一个明显的必要条件$S$证明是充分的。
Asymptotic normality of integer compositions inside a rectangle
在最多有$m$部分的所有受限整数组合中，随机均匀地选择一个，其中每个部分的大小最多为$l$。这个组合表示哪个整数？在目前的说明中，我们表明，潜在的分布是，大$m$和$l$，近似正常的平均值$\frac{ml}{2}$。
Compositions of Integers With Bounded Parts
在本注记中，我们考虑整数的有序划分，使得每个条目不超过和的固定部分。我们给出了一种构造所有此类组合的方法，以及一个显式公式和一个生成函数，描述了其条目以这种方式有界并求和为固定值$g$的$k$ -元组的数量。
Graphical Compositions 1: Basic Enumeration
图复合推广了整数复合和有限集的划分。本文给出了几类图的合成计数函数的公式、生成函数和递推关系。
Integer compositions, integer partitions, Fibonacci numbers, and generalizations of these have recently been shown to be interconnected via two-toned tilings of horizontal grids. In this article, we present refinements of two-toned tilings, describe functions which analyze them, and apply these to generalizations of integer compositions and partitions which interpolate between the two.
Bijections between Variants of Dyck Paths and Integer Compositions
本研究建立了特定长度的Dyck路径变体与整数分拆间的双射关系，二者均由$4^{n-1}$计数，并借此得到了如同余结果等新的数学联系。
Scaled Arndt Compositions
本文提出整数组合的二参数缩放推广，将其与同余类限制组合关联，建立递推关系，为多个整数序列提供新组合解释。
Monotonicity of the rank functions for concave compositions
本文通过构造刻画秩生成函数的差分系统，建立了强凹分拆和凹分拆的秩函数对于所有正整数n的单调性性质，并研究了固定中心部分时秩函数的单调性。
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
S-Restricted Compositions Revisited
本文通过将S-限制组合问题转化为常系数线性递推和丢番图方程，在可解情形下求闭式公式，并研究相关整数序列。
Generalized compositions with a fixed number of parts
研究了当每个自然数都有几种类型时，由固定个数的部分构成的正整数的合成。这些组合产生新的关系之间的二项式系数，加泰罗尼亚数，和加泰罗尼亚三角形的数字。
Enumerating Segmented Patterns in Compositions and Encoding by Restricted Permutations
一个非负整数（n）的合成是一个和为（n）的正整数序列。如果一个作文的词项以相反的顺序阅读时没有变化，那么这个作文就是回文。我们提供了一个生成函数的任意分段偏序模式之间的组合物（n）与规定数量的部分的出现次数。这些模式概括了文献中研究的上升、下降和水平的概念。我们也得到的结果枚举部分与给定的大小和位置之间的组成和回文组成与给定数量的部分。我们的研究结果的动机是“编码的限制排列，”一个相对不发达的方法，提供了一种语言来描述许多组合对象。最后，我们用一些例子证明限制排列和其他对象之间的双射。
Enumeration of 3-letter patterns in compositions
设A是任意一组正整数，n是正整数. n与A中部分的复合是A中一个或多个元素的有序集合，其总和为n。我们推导出生成函数的数量的组成n与m部分在A中，有r次出现的3个字母的模式形成的两个（相邻的）实例的水平，上升和下降。我们还推导出渐近的组成n，避免一个给定的模式的数量。最后，我们得到的生成函数的数量的k元字的长度为m，其中包含一个指定的出现次数的一个给定的模式作为我们的结果的特殊情况。
Generalized Compositions of Natural Numbers
当每个自然数有不同的类型时，我们考虑自然数的合成。导出了几个递推式和几个复合数的闭公式。我们还发现它与一些已知的整数类，如Fibonacci，Catalan，Pell，Pell-Lucas和Jacobsthal数的关系。
A polynomial generalization of the power-compositions determinant
令$C(n,p)$是整数$n$的$p$ -合成的集合，即，$p$的集合-非负整数元组$\bmα=(α_1,...,α_p)$，使得$α_1+...+α_p=n$和$\mathbf{x}=(x_1,...,x_p)$是不定向量。对于$\bmα$和${\bmβ}$两种$p$ -$n$的组成，定义为$(\mathbf{x}+\bmα)^{\bmβ} = (x_1+α_1)^{β_1}... x_p+α_p)^{β_p}$。本文证明了行列式$\det_{\bmα,{\bmβ}\in C(n,p)}((\mathbf{x}+\bmα)^{\bmβ})$的一个显式公式。在$x_1=...=x_p$的情况下，该公式给出了C.~的一个猜想的证明。克拉滕塔勒
Basic enumeration of graph compositions with a restricted number of components
图合成的概念与一些数论概念有关，包括正整数的划分和有限集的幂集的基数。本文研究了图的成分的总数是有限的，并说明了图的成分和第二类斯特林数之间的连接。
Fix a positive integer $N$. Select an additive composition $ξ$ of $N$ uniformly out of $2^{N-1}$ possibilities. The interplay between the number of parts in $ξ$ and the maximum part in $ξ$ is our focus. It is not surprising that correlations $ρ(N)$ between these quantities are negative; we earlier gave inconclusive evidence that $\lim_{N \to \infty} ρ(N)$ is strictly less than zero. A proof of this result would imply asymptotic dependence. We now retract our presumption in such an unforeseen outcome. Similar experimental findings apply when $ξ$ is a 1-free composition, i.e., possessing only pa…
We describe two distinct simple, short and self contained proofs of the composition lemma.
The Möbius function of partitions with restricted block size
我们研究的过滤器的分划格形成的限制分区的类型。默比乌斯函数是根据排列的计算下降集统计量和整数合成格中滤子的默比乌斯函数确定的。当底层整数划分是背包划分时，整数组合上的默比乌斯函数由拓扑参数决定。在这个证明中，置换面体出现了一个客串。
Initial Runs in Integer Compositions: Lambert Series and Generalized Divisor Sums
本文研究整数组合中初始游程的联合参数(P,K,S)，给出精确有限公式、极限分布及广义除数求和形式的矩生成函数，并推广到受限部分集合。
Reconstructing compositions
我们考虑的问题，重建一个整数的组成，从他们的子组成，这是提出了Raykova（虽然伪装成一个问题分层排列）。我们证明了n个\ge 3 k +1的每个组合w都可以从其k-缺失的集合中重建，即，包含在w中的n-k的所有合成的集合。由于存在具有相同的k-缺失集合的3 k的组合物，因此该结果是最可能的。
We introduce the hydra continued fractions, as a generalization of the Rogers-Ramanujan continued fractions, and give a combinatorial interpretation in terms of shift-plethystic trees. We then show it is possible to express them as a quotient of m-distinct partition generating functions, and in its dual form as a quotient of the generating functions of compositions with contiguous rises upper bounded by m-1. We obtain new generating functions for compositions according to their local minima, for partitions with a prescribed set of rises, and for compositions with prescribed sets of contiguous …
Arndt and Carlitz Compositions
本文结合并推广了卡尔利茨和阿恩德特的组合概念，通过组合证明和生成函数研究无间隙组合和整数划分的计数问题。
On Powers of Some Power Series
本文证明了任意交换环上正整数的合成可以用某些幂级数的幂来表示。作为结果，导出了几个闭公式的组成，以及与固定部分数的广义组成。最近一些文献中关于合成的结果就是这些公式的结果。
On the Largest Integer that is not a Sum of Distinct Positive $n$th Powers
已知对于任意正整数\(n\)，序列\(S(x^n)=(1^n, 2^n, \ldots)\)是完备的，这意味着每个足够大的整数是正整数的不同\(n\)次幂的和。证明了每一个整数\(m\geq (b-1)2^{n-1}(r+\frac{2}{3}(b-1)(2^{2n}-1)+2(b-2))^n-2a+ab\)，其中\(a=n!2^{n^2}\)，\(b=2^{n^3}a^{n-1}\)，\(r=2^{n^2-n}a\)是正整数的不同\(n\)次幂之和.
Variations on a Generating-Function Theme: Enumerating Compositions with Parts Avoiding an Arithmetic Sequence
正整数$n$的\Def{composition}是$k$元组$(ł_1, ł_2, \dots, ł_k) \in \Z_{> 0}^k$，使得$n = ł_1 + ł_2 + \dots + ł_k$ .我们的目标是枚举那些组成部分$ł_1, ł_2, \dots, ł_k$避免一个固定的等差数列。当这个序列由偶数给出时（即，组成的所有部分必须是奇数），众所周知，组成的数量是由斐波那契序列给出的。一个更近的定理说，当部分被要求避免给定整数$k$的所有倍数时，所得到的组合由深度为$k$的斐波那契型递归给出的序列计数。我们将这个结果推广到任意等差数列。我们的主要工具是一个引理的生成函数，这是不是专家之间的秘密，但值得更广泛地了解。
Counting compositions over finite abelian groups
在两种限制条件下，我们求出了有限阿贝尔群上的合成数：（i）每个部分属于一个给定的子集，（ii）连续部分的小游程必须具有给定的性质.有限域上的Waring问题可转化为Ⅰ型复合，而Carlitz复合和局部Mullen复合可转化为Ⅱ型复合.我们使用多段公式将问题从整数转化为群元素，使用转移矩阵方法进行精确计数，最后使用Perron-Frobenius定理导出渐近性。我们还展示了双射涉及某些限制类的组合物。
Forbidden substrings on weighted alphabets
在1981年的一篇有影响力的论文中，Guibas和Odlyzko构造了一个生成函数，表示在有限字母表上长度为n的字符串的数量，这些字符串避免了给定的禁用子串集合的所有成员。在这里，我们将这个结果扩展到字符串加权的情况。这项调查的灵感来自于一个整数n的计数组成的问题，避免了一个较小的整数m的所有组成，这是一个概念，从考虑单边随机游动。
Even and odd compositions with restricted parts
本文将Legendre关于奇偶划分差值的经典结果推广到组合情形，并建立了与OEIS中多个序列条目相关的若干推广。
A general asymptotic formula for distinct partitions
许多渐近公式存在的不受限制的整数分区，以及不同的分区的整数到一个有限数量的部分。Szekeres和Canfield推导出了一个渐近公式的分区数是有效的部分的数量的任何值。我们得到一般的渐近公式，不同的分区是有效的，在更广泛的参数范围比现有的渐近公式，我们恢复已知的渐近结果作为我们的一般公式的特殊情况。
Counting rises, levels, and drops in compositions
$n\in\NN$的组合是一个或多个正整数的有序集合，其和为$n$。被加数的个数称为组成部分的个数。$n$的回文组合是其中被加数以给定顺序或相反顺序相同的$n$的组合。在本文中，我们研究的生成函数的数目组成（分别回文组成）的$n$与$m$部分在一个给定的集合$A\subseteq\NN$的上升，水平和下降的数目。因此，我们得到所有以前已知的结果，这类问题，以及许多新的结果。
Pattern avoidance in compositions and multiset permutations
我们研究模式避免组合对象以外的排列，即有序分区的整数和排列的多集。在前一种情况下，我们明确确定的生成函数，整数组成n，避免了一个给定的模式的长度为3，我们表明，答案是相同的所有这样的模式。我们还表明，避免给定的三字母模式的多集排列的数量对于所有这样的模式都是相同的，从而扩展和改进了Albert，Aldred等人，以及阿特金森、沃克和林顿。此外，对于i = 1，.，k，S_3中避免给定置换模式是a_i的对称函数，我们将首先对模式（123），然后对S_3中的所有模式，利用最近发现的Amy N的双射，给出这一事实的双射证明。迈尔斯
Congruence properties of the function which counts compositions into powers of 2
设v（n）表示正整数n的2次幂的合成（有序划分）的个数。看来函数v（n）满足许多模2^N的同余。例如，对于每个整数B，在2-adic拓扑中存在v（2^k+B）的极限（当k趋于无穷大时）。v（n）的奇偶性遵循一个简单的规则。在本文中，我们将这一结果推广到2的更高的权力。特别地，我们证明了对于每个正整数N，存在一个有限表，列出了这个序列模2^N的所有可能的情况。我们的一个主要结果是，v（n）几乎对所有n都能被2 ^N整除，不管N的值有多大。
Compositions inside a rectangle and unimodality
设c^{k，l}（n）是费勒斯图适合于k × l矩形的整数n的组合（有序划分）的数目。本文的目的是对Vatter的一个猜想给出一个简单的代数证明，即序列c^{k，l}（0），c^{k，l}（1），.，c^{k，l}（kl）是单峰的。这个问题的组合证明这一事实进行了讨论，但仍然是开放的。
Colored compositions, Invert operator and elegant compositions with the "black tie"
本文展示了如何研究整数的有色合成揭示了一些意想不到的和原始的连接与反运算符。Invert操作符成为解决直接计算任何着色的着色组合的数量的问题的重要工具。从这种关系中产生的有趣的结果也给出了一个直接和简单的标准，以确定一个整数序列是否计数的一些彩色组合物的数量。加泰罗尼亚和斐波那契数的应用自然出现，允许明确回答一些开放的问题。此外，有色成分的定义与“黑领带”提供了简单的组合证明一个新的身份，涉及多项式系数和一个新的闭公式的反演运算符。最后，带“黑领结”的彩色合成给出了卷积算子的一种新的组合解释，并给出了一种新的计算彩色合成份数的简便方法。
$(an+b)$-color compositions
对于$a,b\in\mathbb{N}_0$，我们考虑$(an+b)$ -正整数$ν$的颜色组合，其中大小$n$的每个部分都允许$an+b$颜色。我们从计数的观点研究这些组成，并给出了$ν$与$k$部分的$(an+b)$ -颜色组成数的公式。我们的公式以两种不同的方式获得：1）通过部分贝尔多项式的代数性质，以及2）通过对我们称为多米诺复合的某个弱复合族的双射。我们还讨论了当$b$为负时的两种情况，并给出了相应的组合解释。
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