Relations for partitions with distinct even parts except the largest part which is even
本文研究了具有不同偶数部分且最大部分为偶数的划分与$4$-正则划分之间的关系，提出了新的划分函数并证明了相关恒等式。
2026-02-17 math.NT
An extension of the Frobenius coin-exchange problem
给定正整数$a_1,...,a_n$与$\gcd(a_1,...,a_n) = 1$，我们称一个整数t可表示，如果存在非负整数$m_1,...,m_n$使得$t = m_1 a_1 + ... + m_n a_n$。本文讨论Frobenius的线性丢番图问题：即求最大不可表示整数。我们称这个最大的整数为Frobenius数$g(a_1,...,a_n)$。我们扩展这个问题，要求最小的整数$g_k(a_1,...,a_d)$，超过每个整数表示超过k次。我们集中在d=2的情况下，证明有关$g_k(a,b)$的声明类似的精神，经典的结果已知的g（a，b）。
2002-04-02 math.CO math.NT
Denser Egyptian Fractions
埃及分数是不同单位分数（正整数的倒数）的总和。我们发现，每一个有理数埃及的分数表示的条款的数量是相同的数量级的最大分母，提高了结果从早期的文件，以最好的形式。我们还以最好的可能形式解决了相关的问题，即M_t（r）可以小到什么程度，使得存在r的一个埃及分式表示，它正好有t项，且其分解子至多都是M_t（r）。我们还考虑了以下问题所提出的鄂尔多斯和格雷厄姆：一组整数，不能是最大分母的埃及分数表示1是无限的-什么是它的增长顺序？那些不能是第二大（第三大等）的整数怎么办？这样的代表性的分母？在后一种情况下，我们证明了只有1000个整数不能是第二大（第三大等）。这种表示的分母;而在前一种情况下，我们证明了不能成为这种表示的最大分母的整数集的密度为零，并建立了其增长顺序。这两个结果扩展到任何正有理数的表示。
1998-11-18 math.NT
A note on the largest sum-free sets of integers
本文研究加性组合数学中正整数集无和子集大小问题，通过引入对宿主集合A的结构分析，直接证明了对于每个k≥1，(2k,4k)-无和集存在类似最大无和子集的现象。
2023-08-29 math.CA math.CO math.NT
The largest values of Dedekind sums
令$s(m,n)$表示经典的\DED和，其中$n$是正整数，并且$m\in\{0,1,\ldots, n-1\}$，$(m,n)=1$。对于一个给定的正整数$k$，我们描述了一组至多$k^2$数$m$，其中$s(m,n)$可以是$\ge s(k,n)$，只要$n$足够大。对于不在此集合中的数字$m$，为$s(m,n)<s(k,n)$。
2017-01-10 math.NT
On the largest prime divisor of $n!+1$
对于整数$m >1$，我们用$P(m)$表示$m$的最大素除子。我们证明了$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+1)/n \geqslant 1+9\log 2>7.238$，改进了Stewart的一个结果.更一般地说，对于任何非零多项式$f(X)$与整数系数，我们表明，$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+f(n))/n \geqslant 1+9\log2$。这改进了Luca和Shparlinski的结果。这些改进来自于对上述工作的额外组合思想。
2021-03-27 math.NT
A note on the normal largest gap between prime factors
令$\{p_j(n)\}_{j=1}^{ω(n)}$表示整数$n$的不同素因子的递增序列。我们提供的细节证明的一项声明Erdibs意味着，对于任何功能$ξ(n)$趋于无穷与$n$，我们有$$f(n):=\max_{1\leqslant j<ω(n)}\log \Big({\log p_{j+1}(n)\over \log p_j(n)}\Big)=\log_3n+O(ξ(n))$$几乎所有的整数$n$。
2019-04-30 math.NT
On the largest prime factor of the $k-$Fibonacci numbers
令$P(m)$表示整数$m\geq 2$的最大素因子，并将$P(0)=P(1)=1$。对于整数$k\geq 2$，令$(F_{n}^{(k)})_{n\geq 2-k}$为以$0,...,0,1$（$k$项）开始的$k-$广义斐波那契序列，其后的每一项为$k$前一项之和。在这里，我们表明，如果$n\geq k+2$，那么$P(F_n^{(k)})>c\log\log n$，其中$c>0$是一个有效的可计算常数。此外，我们确定了所有的$k-$斐波那契数$F_n^{(k)}$的最大素因子小于或等于7。
2012-10-15 math.NT
An improvement on the largest prime factors of consecutive integers
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
研究连续整数最大素因子问题，通过证明满足\(P^+(n)<P^+(n + 1)\)的整数\(n\)的渐近密度大于\(0.280\)进行改进，还得出其他相关结论及\(T_c(x)\)与\(\pi(x)\)关系的上界。
2026-07-20 math.NT
Intersecting integer partitions: star bounds and counterexamples at every scale
Technische Universität Ilmenau（埃尔福特工业大学）；Technische Hochschule Rosenheim（罗森海姆应用技术大学）
本文研究整数分拆的最大t-相交族，证明在n≥Ak^3时典范t-星最大，并构造了Borg猜想在各尺度的反例。
2026-10-27 math.CO math.NT
An almost sure upper bound for random multiplicative functions on integers with a large prime factor
设$f$是Rademacher或Steinhaus随机乘法函数。让$\varepsilon>0$变小。我们证明，作为$x\rightarrow +\infty$，我们几乎肯定有$$\bigg|\sum_{\substack{n\leq x\\ P(n)>\sqrt{x}}}f(n)\bigg|\leq\sqrt{x}(\log\log x)^{1/4+\varepsilon},$$，其中$P(n)$代表$n$的最大素因子。这给出了$f$最大波动的几乎必然大小的指示。
2021-05-20 math.NT
The Frobenius number for sequences of triangular numbers associated with number of solutions
著名的线性丢番图问题的弗罗贝纽斯是问题，以确定最大的整数（弗罗贝纽斯数），其表示的数量方面的$a_1,\dots,a_k$是最多为零，这是不可表示的。换句话说，所有大于大于这个数的整数都可以用至少一种方式表示。这个问题的自然推广之一是找到最大的整数（广义Frobenius数），其表示数至多是给定的非负整数$p$。在两个变量的情况下，很容易找到这个数的显式形式。然而，即使在三个变量的任何特殊情况下，也没有明确的形式。本文成功地给出了三角数三元组的广义Frobenius数的显式表示。当$p=0$时，他们的弗罗贝纽斯数由Robles-Pérez和Rosales在2018年给出。
2022-07-01 math.CO math.NT
An Extreme Family of Generalized Frobenius Numbers
我们研究了一个推广的\emph{Frobenius problem}：给定$k$正相对素数，什么是最大的整数$g_0$，不能表示为一个非负整数线性组合这些参数？更一般地说，恰好具有$s$这种表示的最大整数$g_s$是多少？我们说明了一个家庭的参数，Tripathi，其广义Frobenius数$g_0, \ g_1, \ g_2, ...$表现出不自然的跳跃，即$g_0, \ g_1, \ g_k, \ g_{\binom{k+1}{k-1}}, \ g_{\binom{k+2}{k-1}}, ...$形成一个等差数列，任何整数大于$g_{\binom{k+j}{k-1}}$至少有$\binom{k+j+1}{k-}$表示。在此过程中，我们引入了一个广义Frobenius数的变化，并证明了它的一些基本结果。
2011-01-27 math.CO math.NT
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
2020-01-17 math.NT
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
2015-04-22 math.NT
On the largest prime factor of quadratic polynomials
本文基于 Grimmelt 和 Merikoski 的近期结果，证明了 $n^2+1$ 的最大素因子无穷多次大于 $x^{1.317}$，并给出了满足 $n \leqslant x$ 且 $n^2+1$ 具有本原因子的整数 $n$ 个数的新上界。
2025-05-31 math.NT
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
St. Mary’s University（圣玛丽大学）；College of the Holy Cross（圣十字学院）
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
2026-08-04 math.CO math.NT
Bounds on generalized Frobenius numbers
令$N \geq 2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为没有$\sum_{i=1}^N a_i x_i$表示的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。更一般地说，$s$ -Frobenius数被定义为最大的正整数，它具有精确的$s$不同的表示。我们使用的技术，从数的几何号码给上界和下界的$s$ -Frobenius数的任何非负整数$s$。
2011-07-05 math.CO math.MG math.NT
Signed harmonic sums of integers with $k$ distinct prime factors
我们给出了一些理论和计算结果的“随机”调和和素数，更一般地说，为整数与一个固定数量的素因子。
2020-04-06 math.NT
Optimal bounds for an Erdős problem on matching integers to distinct multiples
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了将整数匹配到不同倍数的问题，确定了最优界限f(m)=min(m,⌈2√m⌉)，并通过AI辅助流程证明。
2026-03-30 math.CO math.NT
Long Intervals Without Distinct Multiples of the First $n$ Positive Integers
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济系与数学科学及应用中心）
研究证明对于足够大的n，存在长度为c n log n的区间不包含前n个正整数的不同倍数系统，利用了平滑数障碍和局部鞍点估计。
2026-07-14 math.CO math.NT
Statistics for Unimodal Sequences
我们证明了一些限制分布的统计单峰序列的正整数适应的概率框架Fristedt介绍的整数分区。将Fristedt技术的直接模拟应用于单峰序列的困难在于，划分的生成函数是无穷乘积，而单峰序列的生成函数不是。从本质上讲，我们通过对最大部分的大小进行调节并统一处理贡献的被加数来解决这个问题。我们的框架可以用来推导出许多分布，我们的结果包括最大部分的联合分布和小部分的多重性。我们也讨论等级。我们进一步得到了强单峰序列的类似结果。
2022-01-19 math.CO math.NT
Cube sum problem for integers having exactly two distinct prime factors
给定一个整数n>1，n是否可以写成两个有理立方体之和，这是一个经典的丢番图问题。这个问题的研究，考虑到几个特殊情况下的n，有一个丰富的历史，可以追溯到工程西尔维斯特，萨特热，塞尔默等，并在最近的作品Alpöge-Bhargava-Shnidman。在这篇文章中，我们考虑无立方数整数n的立方和问题，其中n有两个不同的素因子，其中没有一个是3。
2022-11-30 math.NT
On the length of an interval that contains distinct multiples of the first $n$ positive integers
本文证实了Erdős和Pomerance的猜想，证明存在特定长度的区间不含前n个正整数的不同倍数。
2026-01-23 math.NT
Representations of integers as quotients of sums of distinct powers of three
本文研究哪些整数可表示为不同三的幂之和的商，提出必要且几乎充分的条件和生成所有表示的算法，并基于0,1-多项式对表示进行分类，完整描述了不超过364的整数及若干无限族。
2023-08-14 math.NT
On Arithmetical Structures on Complete Graphs
本文研究完全图 $K_n$ 上算术结构的最大取值，给出保证该值存在的界，并证明素因子均大于 $(n+1)^2/4$ 时不存在，进而刻画可出现的素数。
2024-01-22 math.CO math.NT
A Congruence for Sums of Integer Powers Modulo Products of Distinct Primes
本文证明了在特定条件下，不同素数乘积模下的整数幂和满足一种同余关系。
2025-10-12 math.NT
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
The Frobenius problem, rational polytopes, and Fourier-Dedekind Sums
本文研究了有理多胞形$P = (x_1,...,x_n) \in \R_{\geq 0}^n : \sum_{k=1}^n x_k a_k \leq 1$的整数扩张中的格点数，其中$a_1,...,a_n$为正整数.这个多面体与弗罗贝纽斯的线性丢番图问题密切相关：给定互素正整数$a_1,...,a_n$，找到t（弗罗贝纽斯数）的最大值，使得$m_1 a_1 + ... + m_n a_n = t$在正整数$m_1,...,m_n$中没有解。这等同于找到最大扩张tP使得小平面$\sum_{k=1}^n x_k a_k = t$不包含晶格点的问题。本文给出了计算P的Ehrhart拟多项式的两种方法，即计算扩张多胞形及其内部的整数点。在计算中，出现了类似戴德金的有限傅立叶和。我们得到了这些款项的倒易律，推广了Gessel定理。作为我们的公式的推论，我们重新推导Zagier的高维Dedekind和的互易定律。最后，我们找到了Fourier-Dedekind和的界，并利用它们给出了Frobenius数的新界。
2003-05-28 math.CO math.NT
On the largest prime factor of the Mersenne numbers
设P（k）是正整数k的最大素因子。本文证明了级数$\sum_{n\ge 1}\frac{(\log n)^a}{P(2^n-1)}$对任意常数a<1/2都是收敛的，从而给出了C. L. 1977年的斯图尔特
2007-04-10 math.NT
Distinct Lengths Modular Zero-sum Subsequences: A Proof of Graham's Conjecture
令$n$为正整数，且令$S$为区间$[0,n-1]$中的$n$整数序列。如果存在一个$r$，使得任何具有和$\equiv 0$ $\pmod n$的非空子序列具有长度$=r,$，则$S$最多有两个不同的值。这证明了R. L.格雷姆本文报道了P.Erdens和E. Szemerédi证明了这个猜想的有效性，如果$n$是一个大的素数。
2009-02-27 math.CO math.NT
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
2018-04-23 cs.DM math.NT
Dense Egyptian Fractions
每一个正有理数都可以表示为埃及分数（不同正整数的倒数之和），其中包含任意多个项和任意大的因子。然而，这样的表示通常使用直到最大演示器的正整数的非常稀疏的子集。我们表明，对于每一个积极的理性存在埃及分数的最大分母是在最多N和其乘数形成一个积极的比例的整数到N，足够大的N;此外，比例是在一个小的因素最好的可能。
1998-04-08 math.NT
Integer Partitions With Restricted Distinct Parts
本文研究正整数分拆为互不相同部分且禁止特定模 $t$ 同余类的计数函数 $Q_{t}^{s}(n)$，并利用 $q$-级数与 theta 函数恒等式证明了若干 Ramanujan 型同余式。
2025-08-18 math.NT
Positivity and negativity for $h$-bases for $n$
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（市立大学系统））
本文研究h基问题，对比含负元素与仅含非负元素的集合的h基最大区间，给出k=2时的大小关系，并通过形式推理智能体Aristotle在Lean中验证结果，同时提供新证明。
2026-11-10 math.CO math.NT
On the Largest Prime factor of the k-generalized Lucas numbers
本文研究了k-广义Lucas数的最大素因子，证明了当n≥k+1时其最大素因子大于(1/86)loglogn，并确定了所有最大素因子不超过7的k-广义Lucas数。
2023-11-21 math.NT
On the number of distinct exponents in the prime factorization of an integer
令$f(n)$为自然数$n$的素因子分解中不同指数的数目。证明了关于$f(n)$分布的一些结果。特别地，对于任意正整数$k$，我们得到了$$ \#\{n \leq x : f(n) = k\} \sim A_k x $$和$$ \#\{n \leq x : f(n) = ω(n) - k\} \sim \frac{B x (\log \log x)^k}{k! \log x} , $$为$x \to +\infty$，其中$ω(n)$为$n$的素因子个数，$A_k, B > 0$为某些显式常数.后者的渐近扩展的结果Aktaiden和拉姆Murty关于一些有相互不同的指数在其总理分解。
2019-02-25 math.NT
Core Partitions With d-Distinct Parts
在本文中，我们研究了$(s,s+1)$ -核心分区与$d$ -不同部分。我们得到的结果的数量和最大的大小，这样的分区，因此，我们推广熊的文件中获得的结果有关$(s,s+1)$ -核心分区与不同的部分。此外，我们提出了一个猜想$(s,s+r)$ -核心分区与$d$ -不同的部分$1 \le r \le d$。
2018-03-05 math.CO math.NT
Solutions to $\sum_{i=1}^n 1/x_i=1$ in integers $p^a\,q^b$ with $p$ and $q$ two set primes
University of Southern California（南加州大学）；Caltech（加州理工学院）
本文提出算法，用于在整数 $p^a q^b$ 中求解 $\sum_{i=1}^n 1/x_i=1$ 的所有非 distinct 解。
2026-02-02 math.CO math.NT
Exact Rank of the Largest Good Lattice Point Matrix
University Medical Center Göttingen（哥廷根大学医学中心）
该数学研究证明，对n>2，由小于n且与n互素的整数生成的最大良格点矩阵Uₙ的秩为φ(n)/2+1，通过配对恒等式、奇狄利克雷特征等完成上下界证明，关联狄利克雷定理。
2026-10-14 math.NT
Modular Schur numbers
对于任何正整数l和m，一个整数集合被称为（弱）l-无和模m，如果它不包含满足同余式$x_1+\...+x_l\equiv y\bmod{m}$的（两两不同的）元素$x_1,x_2,...,x_l,y$。证明了对任意正整数k和l，存在一个最大整数$n$，使得第一个$n$正整数$\{1,2,\...,n\}$的集合可划分为模m的k个（弱）l-自由和集.这个数被称为广义（弱）舒尔数模$m$，与k和l相关联。本文对所有正整数k和l，确定了m=1，2，3时这些模Schur数的精确值。
2013-06-24 math.CO math.NT
A new upper bound for finite additive bases
设n（2，k）表示最大整数n，对于该最大整数n存在k个非负整数的集合A，使得和集2A包含{0，1，2，.，n-1}。加性数论中的一个经典问题是求n（2，k）的上界。本文证明了limsup_{k\to\infty} n（2，k）/k^2 \leq 0.4789.
2005-03-13 math.CO math.NT
Extreme Covering Systems of the Integers
证明了当一个不同覆盖系统的最小模为4时，其最大模至少为60;当最小模为3时，其模的LCM至少为120;当最小模为4时，其模的LCM至少为360.常数60、120和360不能被更大的常数所取代。
2022-02-09 math.NT
The least modulus for which consecutive polynomial values are distinct
令$d\ge4$和$c\in(-d,d)$是互质整数。我们表明，对于任何足够大的整数$n$（特别是$n>24310$足以$4\le d\le 36$），最小的素数$p\equiv c\pmod d$与$p\ge(2dn-c)/(d-1)$是最小的正整数$m$与$2r(d)k(dk-c)\ (k=1,\ldots,n)$成对不同模$m$，其中$r(d)$是$d$的根。我们还猜想，对任意整数$n>4$，最小正整数$m$使得$|\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m:\ k=1,\ldots,n\}|= |\{k(k-1)/2\ \mbox{mod}\ m+2:\ k=1,\ldots,n\}|=n$是最小素数$p\ge 2n-1$，且$p+2$也是素数.
2015-10-22 math.NT
On the unboundedness of common divisors of distinct terms of the sequence $a_n=2^{2^n}+d$ for $d>1$
众所周知，对于任何不同的正整数$k$和$n$，数$2^{2^k}+1$和$2^{2^n}+1$是互素的。本文考虑了用正整数$d>1$代替1的情形
2016-01-25 math.NT
The largest prime factor of an irreducible cubic polynomial
将Heath-Brown关于$n^3+2$存在大于$n^{1+c}$的素因子的结论推广到任意首一不可约三次整系数多项式，并给出依赖于多项式的指数$c_p$。
2026-06-15 math.NT
An estimate for Frobenius' diophantine problem in three dimensions
本文给出了不可表示为三个给定整数的正线性组合的最大整数的上、下界，证明了Beck，Einstein和Zacks提出的一个上界的错误.
2011-05-07 math.NT
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
2025-05-29 math.NT
Random index of codivisibility
一个整数集合的余整除指数是它的最大子集与一个公共素除子的大小。对于整数的大随机样本，可除性指数近似正态。
2013-10-17 math.NT math.PR
On the asymptotic distinct prime partitions of integers
我们讨论$Q(n)$，一个给定的整数$n$的方式可以写为不同的素数的总和，并研究其渐近形式$Q_{as}(n)$有效的限制$n\to\infty$。我们得到$Q_{as}(n)$的拉普拉斯反演的费米子分拆函数的素数，在数论称为生成函数的不同的素数分区，在鞍点近似。我们发现，我们的结果$Q_{as}(n)$，其中包括两个高阶修正的首项在其指数和一个指数前的校正因子，近似的确切$Q(n)$远远优于其简单的领导阶指数的形式，到目前为止，在文献中。
2021-05-10 cond-mat.stat-mech math.NT
A summation of the number of distinct prime divisors of the lcm
令$x$为正整数。给出了$ω(\operatorname{lcm}(m,n))$对所有正整数$m$和$n$与$mn \le x$求和的渐近结果.这回答了最近一篇论文中提出的一个悬而未决的问题。
2021-01-18 math.NT
Frobenius templates in certain $2 \times 2$ matrix rings
经典的Frobenius问题是使用非负整数系数来寻找最大整数，该最大整数不能被写为给定的一组互质正整数的线性组合。先前的工作已经将经典的Frobenius问题从整数推广到其他环中的Frobenius问题。研究了具有常对角的（上）三角$2 \times 2$矩阵环上的Frobenius问题.
2021-12-29 math.NT
The largest $(k, \ell)$-sum-free subsets
设$\mathscr{M}_{(2,1)}(N)$是任意$N$正整数集合的最大无和子集的下确界。加法组合学中的一个古老猜想断言存在一个常数$c=c(2,1)$和一个函数$ω(N)\to\infty$作为$N\to\infty$，使得$cN+ω(N)<\mathscr{M}_{(2,1)}(N)<(c+o(1))N$。常数$c(2,1)$是由Eberhard、Green和Manners确定的，而$ω(N)$的存在仍然是一个大问题。本文研究了关于$(k,\ell)$ -无和集和限制$(k,\ell)$ -无和集的类似猜想。确定了每个$(k,\ell)$ -无和集的常数$c(k,\ell)$，并对无穷多个$(k,\ell)$证实了猜想.
2021-01-11 math.CA math.CO math.NT
Sur les plus grands facteurs premiers d'entiers consécutifs
令$P^+(n)$表示整数$n$的最大素因子，$P_y^+(n)$表示满足$p\leqslant y$的$n$的最大素因子$p$。本文首先证明了具有两种模式$P^+(n-1)>P^+(n)<P^+(n+1)$和$P^+(n-1)<P^+(n)>P^+(n+1)$的三重连续整数都有正比例.更一般地，用同样的方法，我们可以证明，对于任何$J\in \mathbb{Z}, J\geqslant3$，具有两种模式$P^+(n+j_0)= \min\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1}P^+(n+j)$和$P^+(n+j_0)= \max\limits_{0\leqslant j\leqslant J-1}P^+(n+j)$的$J-$元组连续整数也分别具有正比例。其次，对于$y=x^θ$与$0<θ\leqslant 1$，我们证明了存在正比例的整数$n$使得$P_y^+(n)<P_y^+(n+1)$。特别地，我们证明了整数$n$使得$P^+(n)<P^+(n+1)$大于0.1356的比例，改进了作者以前的结果“0.1063”.
2017-06-09 math.NT
