A Motivated Rendition of the Ellenberg-Gijswijt Gorgeous proof that the Largest Subset of $F_3^n$ with No Three-Term Arithmetic Progression is $O(c^n)$, with $c=\root 3 \of {(5589+891\,\sqrt {33})}/8=2.75510461302363300022127...$
受Croot-Lev-Pach突破的启发，Jordan Ellenberg和Dion Gijswijt最近证明了没有3项等差数列的$F_3^n$的子集的最大尺寸以指数方式小于$F_3^n$的尺寸$3^n$（更一般地说，是$F_q^n$的$q^n$）。在这里，我们给出了一个有动机的，自上而下的，他们美丽的证明，旨在使它被更广泛的观众欣赏。
2016-07-06 math.CO
On the Largest Product-free Subsets of the Alternating Groups
如果不存在具有全部在$A$中的$a,b,c$的$a=bc$的解，则组$G$的子集$A$称为无积。很容易看出，对称群$S_n$的最大无积子集是通过取所有奇置换的集合得到的，即$S_n \setminus A_n$，其中$A_n$是交替群。相比之下，寻找$A_n$的最大无积子集是一个长期存在的问题。我们解决了这个问题的大$n$，表明最大的尺寸是由以前的extractured极值的例子，即家庭的形式$\{π~|~π(x)\in I, π(I)\cap I=\emptyset\}$和他们的逆。此外，我们表明，最大的尺寸仅实现这些极值的例子，我们有稳定性：任何产品的$A_n$的子集几乎最大的大小是结构上接近一个极值的例子。我们的证明使用组合数学和非阿贝尔傅立叶分析的工具的组合，包括一个关键的新成分，利用了最近由Filmus，Kindler，Liftshitz和Minzer开发的对称群上的全局超压缩性理论。
2022-05-30 math.CO
The largest projective cube-free subsets of $\mathbb{Z}_{2^n}$
在布尔格中，Sperner、Erdés、Kleitman和Samotij定理指出，不包含许多链的族必须具有非常特定的分层结构。我们表明，如果不是$\mathbb{Z}_2^n$，我们工作在$\mathbb{Z}_{2^n}$，几个类似的语句，如果一个取代字$k$链的投影立方体的尺寸$2^{k-1}$。我们说，$B_d$是一个投影立方体的尺寸$d$如果有一些$a_1, a_2, \ldots, a_d$，使$$B_d = \left\{\sum_{i\in I} a_i \bigg\rvert \emptyset \neq I\subseteq [d]\right\}.$$作为一个模拟的Sperner的和Erdalos的定理，我们表明，只要$d=2^{\ell}$是一个权力2，最大的$d$ -立方体自由集在$\mathbb{Z}_{2^n}$是工会的最大$\ell$层。作为Kleitman定理的一个类比，Samotij和Sudakov提出了一个问题：在给定$M$大小的$\mathbb{Z}_{2^n}$的子集中，使舒尔三元组（2-立方体）的数量最小化的集合是否是通过连续填充最大层而获得的集合。我们证明了第一个非平凡的情况下，其中$M=2^{n-1}+1$，并推测，模拟Samotij的定理也成立。还给出了几个悬而未决的问题和猜想。
2018-10-02 math.CO
Largest family without a pair of posets on consecutive levels of the Boolean lattice
假设$k \ge 2$是一个整数。令$Y_k$是具有元素$x_1, x_2, y_1, y_2, \ldots, y_{k-1}$的偏序集，使得$y_1 < y_2 < \cdots < y_{k-1} < x_1, x_2$和令$Y_k'$是相同的偏序集，但所有关系颠倒。如果一个$[n]$子集家族包含$k+1$子集$F_1, F_2, G_1, G_2, \ldots, G_{k-1}$使得$G_1\subset G_2 \subset \cdots \subset G_{k-1} \subset F_1, F_2$和$|F_1| = |F_2| = |G_{k-1}|+1 =|G_{k-2}|+ 2= \cdots = |G_{1}|+k-1$，则我们说该家族在连续水平上包含$Y_k$的拷贝。如果连续级别上的$Y_k$和$Y'_k$都被禁止，则最大的此类族的大小由$\mathrm{La}_{\mathrm{c}}(n, Y_k, Y'_k)$表示。在本文中，我们将确定$\mathrm{La}_{\mathrm{c}}(n, Y_k, Y'_k)$的精确值。
2020-03-18 math.CO
Improved Bounds on Sarkozy's Theorem for Quadratic Polynomials
我们推广了{1，2，.}的最大子集上的最佳已知界，N}，与最大可能的二次多项式类没有平方差。
2012-03-28 math.CA math.CO math.NT
On the $\ell$-th largest degree of an intersecting family
National University of Singapore（新加坡国立大学）
研究交集族第2k+1大的度数上限，证明其不超过组合数，并验证Frankl和Wang的猜想，同时对大k时的第k+2大度数给出界。
2026-04-21 math.CO
An Erdős-Ko-Rado theorem for subset partitions
$k\ell$ -子集分区或$(k,\ell)$ -子分区是$n$ -集合的$k\ell$ -子集，该集合被划分为$\ell$不同的类，每个类的大小为$k$ .两个$(k,\ell)$ -子分区被称为$t$ -相交，如果它们至少有共同的$t$类。本文证明了$(k,\ell)$ -子划分相交族的一个Erdens-Ko-Rado定理。我们发现，$n \geq k\ell$，$\ell \geq 2$和$k \geq 3$，最大的$1$交叉的家庭包含最多$\frac{1}{(\ell-1)!}\binom{n-k}{k}\binom{n-2k}{k}\cdots\binom{n-(\ell-1)k}{k}$ $(k,\ell)$ -子分区，这个界限是唯一达到的家庭的$(k,\ell)$ -子分区与一个共同的固定类，称为\emph{canonical intersecting family of $(k,\ell)$-subpartitions}。此外，假设$n$相对于$k,\ell$和$t$足够大，则最大的$t$交叉族是包含$t$固定类的公共集合的$(k,\ell)$子分区族.
2013-11-27 math.CO
On the general position subset selection problem
令$f(n,\ell)$为最大整数，使得平面中至多与$\ell$共线的每一组$n$点包含不具有三个共线的$f(n,\ell)$点的子集。首先证明了如果$\ell \leq O(\sqrt{n})$，则$f(n,\ell)\geq Ω(\sqrt{\frac{n}{\ln \ell}})$ .其次，我们证明了，如果$\ell \leq O(n^{(1-ε)/2})$然后$f(n,\ell) \geq Ω(\sqrt{n\log_\ell n})$，这意味着所有以前已知的下界$f(n,\ell)$和改善他们时，$\ell$是不固定的。一个更一般的问题是考虑在至多$\ell$共线的点集中至多有$k$共线点的子集。我们也证明了类似的结果在这种设置。
2012-10-23 cs.CG math.CO
Maximum number of sum-free colorings in finite abelian groups
有限阿贝尔群$G$的子集$A$的$r$ -着色称为无和，如果它不诱导单色Schur三元组，即，三元组元素$a,b,c\in A$与$a+b=c$。我们研究了$G$的子集所允许的最大无和$r$ -着色数$κ_{r,G}$，并且我们的结果显示了$κ_{r,G}$与$G$的最大无和集之间的密切关系.给定一个足够大的$I$型阿贝尔群$G$，即，$|G|$有一个素因子$q$和$q\equiv 2\pmod 3$。对于$r=2,3$，我们证明了一个子集$A\subset G$达到$κ_{r,G}$当且仅当$A$是$G$的最大和自由集。对于偶数阶$G$，结果扩展到$r=4,5$，其中只有当$G$具有唯一的最大和自由集时，该现象才持续。相反，如果$G$中的最大自由和集不是唯一的，则$A$达到$κ_{r,G}$当且仅当它是两个最大自由和集的并集（在$r=4$的情况下）和三个（“独立”）最大自由和集的并集（在$r=5$的情况下）。我们的方法依赖于所谓的容器方法，并可以扩展到更大的$r$的情况下$G$是偶数阶，并包含足够多的最大和自由集。
2017-10-23 math.CO
Large almost monochromatic subsets in hypergraphs
我们发现，对于所有的$\ell$和$ε>0$有一个恒定的$c=c(\ell,ε)>0$，使每个$\ell$着色的三元组的$N$元素集包含一个子集$S$的大小$c\sqrt{\log N}$，使至少$1-ε$分数的三元组的$S$具有相同的颜色。这一结果与常数$c$紧密相关，并回答了Erdens和Hajnal在1989年提出的关于超图的差异的一个开放问题.对于$\ell \geq 4$颜色，已知存在$N$元素集的三元组的$\ell$ -着色，该$N$元素集的最大单色子集仅具有基数$Θ(\log \log N)$。因此，我们的结果表明，最大几乎单色子集的$\ell$着色的三元组必须包含的是远远大于相应的单色子集。这与图形形成鲜明对比，在图形中，这两个量具有相同的数量级。为了证明我们的结果，我们得到了完全多部3-一致超图的$\ell$ -色Ramsey数的一个新的上界，它回答了Erdés和Hajnal的另一个公开问题.
2009-01-25 math.CO
Largest dyadic dual VC-dimension of non-piercing families
本文确定非刺穿族的最大二元对偶 VC 维数恰为 4，并据此给出横截数关于匹配数九次幂上界的直接证明，改进已有结果。
2025-06-16 cs.CG math.CO
Every finite set of integers is an asymptotic approximate group
一个集合$A$是加法阿贝尔群$G$中的一个$(r,\ell)$ -近似群，如果$A$是$G$的一个非空子集，并且存在$G$的一个子集$X$使得$|X| \leq \ell$和$rA \subseteq X+A$ .集合$A$是渐近$(r,\ell)$ -近似群，如果和集合$hA$对于所有充分大的整数$h$是$(r,\ell)$-近似群。证明了整数的每一个有限集对于每一个整数$r \geq 2$都是渐近$(r,r+1)$ -近似群.
2016-01-14 math.CO math.NT
On $\ell_4 : \ell_2$ ratio of functions with restricted Fourier support
给定一个子集$A \subseteq \{0,1\}^n$，令$μ(A)$是其傅立叶支集是$A$的子集的函数的$\ell_4$和$\ell_2$范数之间的最大比。我们一方面对$μ(A)$与$A$的可加性之间的联系，另一方面对$μ(A)$与$A$的测不准原理之间的联系做了一些简单的观察.通过将这些观测结果与加性数论中的结果相结合而得到的一个应用是离散立方体上的不确定性原理的稳定性结果。当$A$是所有$0 \le k \le n$的汉明球面$S(n,k)$时，我们更多的技术贡献是相当精确地确定$μ(A)$。
2018-06-10 math.CO
An improvement of the general bound on the largest family of subsets avoiding a subposet
令$La(n,P)$是不包含$P$作为（弱）子集的$[n]= \{1,2, ..., n \}$的子集族的最大大小，并且令$h(P)$是$P$中的最长链的长度。关于$|P|$和$h(P)$的$La(n,P)$最著名的上界是由Chen和Li提出的，他们证明了对于任何固定的$m \ge 1$，$La(n,P) \le \frac{1}{m+1} \left(|P| + \frac{1}{2}(m^2 +3m-2)(h(P)-1) -1 \right) {\binom {n} {\lfloor n/2 \rfloor}}$都是。在本文中，我们表明，$La(n,P) \le \frac{1}{2^{k-1}} (|P| + (3k-5)2^{k-2}(h(P)-1) - 1 ) {n \choose {\lfloor n/2\rfloor} }$任何固定的$k \ge 2$，提高了最好的已知上限。通过适当地选择$k$，我们得到$La(n,P) = O\left( h(P) \log_2\left(\frac{|P|}{h(P)}+2\right) \right) {n \choose \lfloor n/2 \rfloor }$作为推论，我们表明这是最好的可能为一般的$P$。我们也给出了一个不同的证明，这个推论使用广义钻石的界限。我们还表明，不包含$P$作为诱导子集的$[n]$子集的家庭的…
2016-03-16 math.CO
Properties of two dimensional sets with small sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{R}^2$是有限的非空子集，$s\geq 2$是整数，$h_1(A,B)$表示存在$2t$（不一定是不同的）平行线$\ell_1,...,\ell_{t},\ell'_1,...,\ell'_{t}$的最小数$t$，其中有$A\subseteq \bigcup_{i=1}^{t}\ell_i$和$B\subseteq\bigcup_{i=1}^{t}\ell'_i$。假设$h_1(A,B)\geq s$。然后我们证明：（a）如果$||A|-|B||\leq s$和$|A|+|B|\geq 4s^2-6s+3$，则$$|A+B|\geq (2-\frac 1 s)(|A|+|B|)-2s+1;$$（b）如果$|A|\geq |B|+s$和$|B|\geq 2s^2-{7/2}s+{3/2}$，则$$|A+B|\geq |A|+(3-\frac 2 s)|B|-s;$$（c）如果$|A|\geq {1/2}s(s-1)|B|+s$和$|A|> {1/8}(2s-1)^2|B|-{1/4}(2s-1)+\frac{(s-1)^2}{2(|B|-2)}$或$|B|\geq \frac{2s+4}{3}$，则$$|A+B|\geq |A|+s(|B|-1).$$这将Freiman $2^d$ -定理的二维情形扩展到不同的集合$A$和$B$，并且…
2007-10-16 math.CO math.NT
Largest Sidon subsets in weak Sidon sets
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文确定了弱Sidon集合中最大Sidon子集的大小公式，并改进了Erdős关于局部差条件问题的极值常数范围。
2026-03-06 math.CO
On increasing sequences formed by points from a random finite subset of a hypercube
本文研究了 $t>2$ 维超立方体中随机点集的偏序结构，确定了可比较点最大子集基数的上界常数 $\bar x(t)$，并利用 Dilworth 定理证明了最大反链基数的下界。
2025-07-14 math.CO
The number of 1-nearly independent edge subsets
本文研究图的1-近独立边子集计数$Z_1$，刻画了$n$顶点树中$Z_1$最小和最大的树，并提出关于第二大$Z_1$树的猜想。
2024-05-27 math.CO
Enumeration of certain subsets of uprooted trees and spherical parking functions
IISER Mohali（印度科学教育研究所摩哈利分校）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究从完全二部图K_{n+1}删除特定边得到的图族，枚举了无根树子集并推导出计数公式，进而得到球形停车函数个数。
2026-06-23 math.AC math.CO
On the largest Littlewood--Richardson coefficient
Department of Mathematics, UCLA（加州大学洛杉矶分校数学系）
本研究聚焦最大Littlewood-Richardson系数对应的分拆特征，证明其在满足μ包含于ν且ν/μ为不交方格并的分拆处取得，提出n≥16时均满足该性质的猜想，并在16≤n≤45范围内数值验证了猜想。
2026-08-05 math.CO
Largest family without A union B contained in C intersect D
设F是n元集合的子集族，不包含四个不同的成员，使得A并B包含在C交D中.证明了在此条件下F的最大尺寸等于两个最大的n阶二项式系数之和。最大的家庭也有特点。同时给出了这类族的一个LYM型不等式。
2004-07-22 math.CO
Bicyclic graphs with the smallest and largest numbers of connected sets
Institut National de l’Eau and Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques, Dangbo（国家水利研究所和数学与物理科学研究所，当博）；Université d’Abomey-Calavi, Bénin（阿波美-卡拉维大学，贝宁）
研究双环图中连通集数的极值问题，确定其结构特征及极值计算方法。
2026-03-26 math.CO
On the Largest Convexity Number of Co-Finite Sets in the Plane
Ariel University（阿里埃尔大学）；Hebrew University（希伯来大学）
研究平面中非有限集的最大凸性数，证明了在一般位置和凸位置点集下的凸性数界。
2026-01-01 cs.CG math.CO
A note on the second-largest number of dissociation sets in connected graphs
School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）；Key Laboratory of Intelligent Computing & Information Processing of Education（教育部智能计算与信息处理重点实验室）；Key Laboratory for Computation and Simulation in Science and Engineering（科学与工程计算与仿真重点实验室）；National Center for Applied Mathematics in Hunan（湖南应用数学中心）
本文针对Yuan等人提出的关于n阶连通图中解离集第二大数量及其极图的问题，给出了肯定的解答。
2025-10-17 math.CO
Colouring set families without monochromatic k-chains
经典极值问题的着色版本可以追溯到Erdés和Rothschild，他们在1974年问哪个$n$ -顶点图在没有单色三角形的情况下具有最多的2-边着色。他们证明，答案是简单地给出了最大的三角形自由图。从那时起，这一类新的有色极值问题已被广泛研究的各种研究人员。在本文中，我们追求的Erdens-Rothschild版本的Sperner定理，在极值集理论的最大的反链的大小在布尔格的经典结果，和Erdenses '扩展到$k$ -链自由的家庭。给定$[n]$的子集的$\mathcal{F}$族，我们定义$\mathcal{F}$的$(r,k)$ -着色为没有任何单色$k$ -链$F_1 \subset F_2 \subset \dots \subset F_k$的集合的$r$ -着色.我们证明，$n$足够大的$k$，最大的$k$链自由的家庭也最大限度地增加了$(2,k)$着色的数量。我们还表明，中间的水平，$\binom{[n]}{\lfloor n/2 \rfloor}$，最大化的$(3,2)$ -着色的数量，并给出渐近结果的最大可能数量的$(r,k)$ -着色时，$r(k-1)$是可分的3。
2019-06-08 math.CO
Bivariate fluctuations for the number of arithmetic progressions in random sets
我们研究了自然数初始段$[n]:=\{1,2,\dots, n\}$的随机子集中的等差数列$\{a,a+b,a+2b,\dots,a+(\ell-1) b\}$和$\ell\ge 3$。给定$p\in[0,1]$，我们用$[n]_p$表示$[n]$的随机子集，它包括每个概率为$p$的数字，彼此独立。重点在于稀疏随机子集，即\当$p=p(n)=o(1)$为$n\to+\infty$时。令$X_\ell$表示包含在$[n]_p$中的长度为$\ell$的不同等差数列的数目。我们确定的极限分布$X_\ell$不仅为固定的$\ell\ge 3$，但也当$\ell=\ell(n)\to+\infty$。主要结果涉及的联合分布对$(X_{\ell},X_{\ell'})$，$\ell>\ell'$，为此，我们证明了一个二元中心极限定理的广泛的$p$。有趣的是，极限分布是平凡的、退化的还是非平凡的问题，其特征在于阈值函数$ψ_\ell=ψ_\ell(n):=np^{\ell-1}\ell$的渐近行为（如$n\to+\infty$）。证明是基于矩和组合参数的方法，例如等差数列集合的算法枚举。
2019-02-11 math.CO math.PR
Convexly independent subsets of Minkowski sums of convex polygons
我们证明了存在凸$n$ -凸$P$和凸$Q$使得Minkowski和$P+Q$中的最大凸多边形的大小为$Θ(n\log n)$ .这与Tiwary的上界匹配。
2021-06-02 cs.CG cs.DM math.CO
The Polychromatic Number of Small Subsets of the Integers Modulo $n$
如果$S$是阿贝尔群$G$的子集，则$G$中的$S$的多色数是最大整数$k$，使得$G$的元素存在$k-$着色，使得$G$中的$S$的每个平移都得到所有$k$颜色。我们确定模n整数群中所有大小为2或3的集合的多色数。
2020-07-28 math.CO math.GR
The domination number of the graph defined by two levels of the $n$-cube, II
将一个$n$-元集的所有$k$ -元子集和$\ell$ -元子集$(k>\ell )$看作二分图的顶点.如果相应的$\ell$元素集是相应的$k$元素集的子集，则两个顶点相邻。令$G_{k,\ell}$表示该图。$G_{k,1}$的控制数由Badakhshian，Katona和Tuza精确确定.在那里还提出了一个关于$G_{k,2}$的控制数的渐近值（$n$趋于无穷大）的猜想。在这里，我们证明了猜想，确定控制数$γ(G_{k,2})={k+3\over 2(k-1)(k+1)}n^2+o(n^2)$的渐近值。
2020-02-01 math.CO
On extremal graphs with exactly one Steiner tree connecting any $k$ vertices
Bollobás研究了具有$n$个顶点且最大局部连通度至多为$\ell$的图的最大边数$f(n;\barκ\leq \ell)$的确定问题. Li等人研究了具有$n$顶点和至多两棵内部不相交的Steiner树连接任意三个顶点的图的最大边数$f(n;\barκ_3\leq2)$。本文进一步研究了具有$n$个顶点且恰有一棵Steiner树连接任意$k$个顶点与$k\geq 3$的图的最大边数$f(n;\barκ_k=1)$.事实证明，这不是一个容易完成的任务，不像经典连接性参数的问题。我们确定$f(n;\barκ_k=1)$的确切值为$k=3,4,n$，分别，并表征达到这些值的图形。
2013-01-20 math.CO
A lower bound for the size of the largest critical sets in Latin squares
$n \times n$数组中的临界集是给定条目的集合$C$，使得存在$C$到$n\times n$拉丁方的唯一扩展，并且没有$C$的真子集具有此属性。任何$n$阶拉丁方中最大临界集的基数记为$\lcs{n}$。我们给出了$\lcs{n}$的一个下界，证明了$\lcs{n} \geq n^2(1-\frac{2 + \ln 2}{\ln n})+n(1+\frac {\ln (8 π)} {\ln n})-\frac{\ln 2}{\ln n}.$
2006-12-31 math.CO
$Q_2$-free families in the Boolean lattice
对于[n]= 1 {1，2，.，n}按包含排序，和一个偏序集P，我们说$\mathcal{F}$是P-free的，如果它不包含同构于P的子集。设$ex(n, P)$是[n]的P-free子集族的最大尺寸。令$Q_2$是具有不同元素a，b，c，d的偏序集，a<b，c<d;即，二维布尔格。我们表明，$2N -o(N) \leq ex(n, Q_2)\leq 2.283261N +o(N), $，其中$N = \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$。我们还证明了最大的$Q_2$ -免费家庭的子集[n]有最多三个不同的大小有最多2.20711 N的成员。
2016-05-21 math.CO
Sufficient conditions for a digraph to admit a $(1,\leq\ell)$-identifying code
有向图$D$中的$(1,\le \ell)$标识码是$D$的顶点的子集$C$，使得基数至多为$\ell$的顶点的所有不同子集在$C$内具有不同的闭内邻域。本文给出了最小入度$δ^-\ge 1$的有向图允许$\ell=δ^-, δ^-+1$的$(1,\le \ell)$ -识别码的若干充分条件。作为推论，我们得到了Laihonen的结果：最小度$δ\ge 2$且围长至少为7的图允许有一个$(1,\le δ)$ -识别码.证明了每个$1$ -非正则有向图都有一个$(1,\le 2)$ -识别码当且仅当其围长至少为5.我们还刻画了所有允许$\ell=2,3$的$(1,\le \ell)$ -标识码的2-正则有向图.
2019-02-13 math.CO
On the largest size of sum-free sets in symmetric regions
University of Oxford（牛津大学）
研究对称区域中无和集最大规模，证明\(\sigma([-1,1]^d)=1/2\)用Brunn - Minkowski不等式，表明\(\sigma(\mathbb{B}^d(0,1))\leq 1/2 + o_d(1)\)并给出两个论证，回答了Bukh提出的问题。
2026-07-10 math.CO
Identifying codes in line digraphs
给定一个整数$\ell\ge 1$，有向图中的$(1,\le \ell)$ -标识码是顶点的支配子集$C$，使得基数至多为$\ell$的所有不同顶点子集在$C$内具有不同的闭内邻域。本文证明了每一个最小入度至少为2的$k$ -迭代有向线图和$k\geq2$，或最小入度至少为3的$k\geq1$，都允许一个$(1,\le \ell)$ -识别码和$\ell\leq2$，并且在任何情况下都不允许一个$(1,\le \ell)$ -识别码和$\ell\geq3$ .此外，我们发现线有向图的识别数是由原有向图的大小减去其阶的下界。此外，这个下界是获得的定向图的最小入度至少为2。
2019-05-17 math.CO
Convex polytopes in restricted point sets in $\mathbb{R}^d$
研究在一般位置点集中的凸独立子集大小，确定其渐进行为。
2025-01-14 math.CO math.MG
The sharp threshold for maximum-size sum-free subsets in even-order abelian groups
研究偶阶阿贝尔群的稀疏随机子集上的和-自由集。特别是，我们确定了以下属性的尖锐阈值：最大的这样的集合包含在一些最大大小的和自由子集的组。这个定理扩展了Balogh，Morris和Samotij最近的工作，他们解决了G = Z_{2n}的情况，并且得到了一般较弱的阈值（直到常数因子）。
2014-07-18 math.CO math.GR math.PR
