Emelie Curl, John Goldwasser, Joe Sampson, Michael Young
If $S$ is a subset of an abelian group $G$, the polychromatic number of $S$ in $G$ is the largest integer $k$ so that there is a $k-$coloring of the elements of $G$ such that every translate of $S$ in $G$ gets all $k$ colors. We determine the polychromatic number of all sets of size 2 or 3 in the group of integers mod n.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Polychromatic Colorings on the Integers
我们证明了对任何集合$S\subseteq \mathbb{Z}$，$|S|=4$，存在$\mathbb{Z}$的3-着色，其中$S$的每个平移都接收所有三种颜色.这意味着$S$至多有$1/3$的余密度，证明了Newman的一个猜想[D. J. Newman，整数的有限集的补，Michigan Math.J.14（1967）481- 486]。我们还考虑了$\mathbb{Z}^d$、$d\geq 2$中的相关问题。
If $G$ is a graph and $\mathcal{H}$ is a set of subgraphs of $G$, we say that an edge-coloring of $G$ is $\mathcal{H}$-polychromatic if every graph from $\mathcal{H}$ gets all colors present in $G$ on its edges. The $\mathcal{H}$-polychromatic number of $G$, denoted $\operatorname{poly}_\mathcal{H} (G)$, is the largest number of colors in an $\mathcal{H}$-polychromatic coloring. In this paper we determine $\operatorname{poly}_\mathcal{H} (G)$ exactly when $G$ is a complete graph on $n$ vertices, $q$ is a fixed nonnegative integer, and $\mathcal{H}$ is one of three families: the family of all m…
In a recent paper, Grau et al. (2017) studied the zero divisor graphs of the ring of Lipschitz integers modulo $n$, and computed the domination number of the undirected zero divisor graph of the ring of Lipschitz integers modulo $n$. But the case $n$ is a power of prime numbers remained open. In this note, this problem is solved. We also show the automorphism group of the zero divisor graph of the ring of Lipschitz integers modulo $2^s$.
Signed graphs: from modulo flows to integer-valued flows
模流到整数值流的转换是整数流研究中最关键的步骤之一。Tutte和Jaeger的开创性工作表明了普通图的模流和整数值流的等价性。然而，这种等价性不再适用于有符号图。这促使我们研究如何将模流转换为整数值流的符号图。本文推广了Xu和Zhang（Discrete Math.~ 299，2005），Schubert and Steffen（European J. Combin.~ 48，2015）和Zhu（J. Combin. Theory Ser. B~112，2015），并证明了对于符号图，每个具有$p \in {\mathbb Z}^+ \cup \{\infty\}$的模$(2+\frac{1}{p})$ -流都可以转换/扩展为整数值流.
The diameters of commuting graphs of linear groups and matrix rings over the integers modulo m
群G的可交换图记为Gamma（G），是顶点为G的非中心元素且两个不同顶点相邻的简单无向图当且仅当它们可交换.设Z_m是模m整数等价类的交换环.本文研究了GL（n，Z_m）的交换图的连通度和直径，从而证明了当Gamma（G）连通时，任何有限群G的直径（Gamma（G））存在一个泛上界的猜想.对于任意的合数m，证明了Gamma（GL（n，Z_m））与Gamma（M（n，Z_m））连通且diam（Gamma（GL（n，Z_m）= diam（Gamma（M（n，Z_m）= 3.对于素数m，由已有的结果得到了连通性的例子和连通时Gamma（GL（n，Z_m））和Gamma（M（n，Z_m））直径的绝对界.
On the Number of Regular Integers Modulo $n$ and Its Significance for Cryptography
该研究给出了模n正则整数计数的Morgado公式的四种组合证明，明确其对应OEIS的A055653序列，并将其与多素数多幂次的RSA密码系统推广方案关联，体现其密码学应用价值。
Periodicity of hyperplane arrangements with integral coefficients modulo positive integers
研究了整系数模正整数$q$的中心超平面排列.我们证明了基数的补充超平面是一个拟多项式在两个方面，首先通过理论的初等因子，然后通过理论的Ehrhart拟多项式。这一结果对于确定相应实排列的特征多项式是有用的。利用前一种方法，我们还证明了除有限个$q$外，模$q$的交格都是周期的.
Jacobi-Type Continued Fractions and Congruences for Binomial Coefficients Modulo Integers $h \geq 2$
证明了在所有$n \geq 0$上生成二项式系数的两种新形式的Jacobi型J-分式展开式$\binom{x+n}{n}$和$\binom{x}{n}$.在文章中，我们建立了新的形式的整数同余这些二项式系数变化模任何（素数或复合）$h \geq 2$和比较我们的结果与现有的已知的同余二项式系数模素数$p$和素数权力$p^k$。我们还证明了新的精确公式，这些二项式系数的情况下，从扩展的$h^{th}$收敛函数的无限J-分数系列生成这些系数的所有$n$。
Generating tuples of integers modulo the action of a permutation group and applications
最初的动机代数不变式理论，我们提出了一个算法来枚举整数向量模的置换群的行动。这个问题将无标号图的生成推广到同构问题。在本文中，我们提出了一个生成引擎的全面发展，通过描述相关的理论，建立一个数学和实际的复杂性，并暴露一些基准。接下来我们展示有效不变量理论和有效伽罗瓦论的两个应用。
Geometric configurations in the ring of integers modulo $p^{\ell}$
研究了整数模$q$中Erd \H os距离问题和点积问题的变形，其中$q = p^{\ell}$是奇素数的幂.
The study of graph drawings on 2-surfaces is an active area of mathematical research. Our main results are criteria for integer and modulo 2 embeddability of graphs to surfaces.
Rank of incidence matrices over integers modulo a prime power
本文改进了Laba和Trainer关于整数模素数幂上点与超平面 incidence 矩阵的$\mathbb F_p$秩的上界结果，特别当k较大时。
On $a^n+bn$ modulo $m$
令$a$和$m>0$为整数。我们证明了对于任何与$m$互素的整数$b$，集合$\{a^n+bn:\ n=1,\ldots,m^2\}$包含一个完整的模$m$的剩余系统.我们还提出了几个进一步研究的假设，例如，我们猜想，任何整数$n>1$可以写为$k+m$与$2^k+m$素数，其中$k$和$m$是正整数。
The work considers an equivalence relation in the set of all $n\times m$ matrices with entries in the set $[p]=\{ 0,1,\ldots , p-1 \}$. In each element of the factor-set generated by this relation, we define the concept of canonical matrix, namely the minimal element with respect to the lexicographic order. We have found a necessary and sufficient condition for an arbitrary matrix with entries in the set $[p]$ to be canonical. For this purpose, the matrices are uniquely represented by ordered n-tuples of integers.
Equivalence Classes of Permutations Modulo Replacements Between 123 and Two-Integer Patterns
我们探讨了一种新的类型的置换模式的排列，建议由詹姆斯Propp，不保持排列的长度。特别是，我们专注于123和两个整数元素的模式之间的替换。我们在经典意义上应用这些替换;也就是说，被替换的元素不需要在位置或值上相邻。给定每个置换，所有置换的集合被划分成等价类，等价类由通过一系列双向置换彼此可达的置换组成。我们将这18种利息替代物按其类别的结构分为四类，并充分刻画了它们的所有类别。
Involutory Cayley graphs of polynomial and power series rings over the ring of integers modulo $n$
本文针对含单位元交换环的对合Cayley图定义，研究模$n$整数环上多项式环与幂级数环对应的该类图的性质。
Periodicity of non-central integral arrangements modulo positive integers
整系数矩阵确定R^m中超平面的整排列。在模q约简之后，相同的矩阵确定Z^m中的“超平面”的布置A_q。在中央安排的特殊情况下，Kamiya，Takemura和Terao [J. AlgeolumCombin.，证明了A_q在Z_q^m中的补的基数是q中的拟多项式。此外，他们还证明了在中心情形下，A_q的交格从某个q开始是周期的，本文将这些结果推广到非中心情形。本文还研究了Athanasiadis [J. AlgebrillCombin. Vol.10（1999），207-225]来说明我们的结果。
Domination polynomial of co-maximal graphs of integer modulo ring
本文研究了整数模环co-maximal图的支配多项式，推导了特定形式n的显式公式，并探讨了多项式的性质及支配根的界。
Sums of the Form 1/x_1^k + ... + 1/x_n^k Modulo a Prime
我们证明了对于每个$0 < ε\leq 1$和整数$k\geq 1$，存在整数$n = n(ε,k)$使得对于所有素数$p$和整数$0 \leq a \leq p-1$，存在整数$1 \leq x_1 < ... < x_n \leq p^ε$使得$a \equiv x_1^{-1} + ... + x_n^{-1} \pmod{p}$ .这推广了I.什帕林斯基
A universal sequence of integers generating balanced Steinhaus figures modulo an odd number
在本文中，我们部分地解决了一个公开的问题，由于J. C. Molluzzo在1976年提出了一个正整数$n$模的平衡Steinhaus三角形的存在性，即包含$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有元素的Steinhaus三角形具有相同的重数。对于每一个奇数$n$，通过线性元胞自动机生成杨辉三角形模$n$，在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中建立一个轨道，其中包含无穷多个平衡Steinhaus三角形.在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中，这个轨道是从一个称为通用序列的整数序列中得到的。证明了在$n$是奇素数幂的情况下，对于至少$2/3$的容许大小，存在平衡的Steinhaus三角形.其他平衡的斯坦豪斯图形，如斯坦豪斯三角形、广义杨辉三角形、帕斯卡三角形或菱形，也出现在通用序列模$n$奇数的轨道上。我们证明了平衡广义杨辉三角形的存在性至少$2/3$的容许大小，在$n$是一个奇素数的权力的情况下，和平衡菱形的存在性的所有容许的大小，在$n$是一个平方免费的奇数。
A Kakeya set $S \subset (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^n$ is a set containing a line in each direction. We show that, when $N$ is any square-free integer, the size of the smallest Kakeya set in $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^n$ is at least $C_{n,ε} N^{n - ε}$ for any $ε$ -- resolving a special case of a conjecture of Hickman and Wright. Previously, such bounds were only known for the case of prime $N$. We also show that the case of general $N$ can be reduced to lower bounding the $\mathbb{F}_p$ rank of the incidence matrix of points and hyperplanes over $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^n$.
Thomassen, in 1983, conjectured that for a positive integer $k$, every $2$-connected non-bipartite graph of minimum degree at least $k + 1$ contains cycles of all lengths modulo $k$. In this paper, we settle this conjecture affirmatively.
Separable integer partition classes and partitions with congruence conditions
本文利用可分离整数分拆类研究模k同余分拆，引入(k,r)-过划分并建立其与部分第k次出现可加划线分拆的等数关系，进而推广可分离分拆类并给出满足同余条件的(k,r)-模过划分的生成函数。
On the multiplicative order of $a^n$ modulo $n$
设$n$为正整数，$α_n$为算术函数，该算术函数将$a^n$模$n$的乘法阶分配给与$n$互质且在别处为零的每个整数$a$。类似地，令$β_n$将$a^n$模$n$的投射乘法阶分配给与$n$互质的每个整数$a$，并且在其他地方为零。在本文中，我们提出了这两个算术函数的研究。特别地，我们证明了对于具有相同无平方部分的正整数$n_1$和$n_2$，函数$α_{n_1}$和$α_{n_2}$之间以及函数$β_{n_1}$和$β_{n_2}$之间存在精确的关系.这允许我们将$α_n$和$β_n$的确定减少到$n$无平方的情况。这些算术功能最近出现的背景下的一个老问题的Molluzzo，更确切地说，在研究的算术级数产生一个平衡的斯坦豪斯三角形在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$奇。
On zero-divisor graph of the ring of Gaussian integers modulo $2^n$
本文研究了模 $2^n$ 的高斯整数环的零因子图结构，通过因子的相伴类确定了图的大小、色数、团数、独立数和匹配数，并求得了相关拓扑指标。
Modular Schur numbers
对于任何正整数l和m，一个整数集合被称为（弱）l-无和模m，如果它不包含满足同余式$x_1+\...+x_l\equiv y\bmod{m}$的（两两不同的）元素$x_1,x_2,...,x_l,y$。证明了对任意正整数k和l，存在一个最大整数$n$，使得第一个$n$正整数$\{1,2,\...,n\}$的集合可划分为模m的k个（弱）l-自由和集.这个数被称为广义（弱）舒尔数模$m$，与k和l相关联。本文对所有正整数k和l，确定了m=1，2，3时这些模Schur数的精确值。
Given a constant $α>0$, an $n$-vertex graph is called an $α$-expander if every set $X$ of at most $n/2$ vertices in $G$ has an external neighborhood of size at least $α|X|$. Addressing a question posed by Friedman and Krivelevich in [Combinatorica, 41(1), (2021), pp. 53--74], we prove the following result: Let $k>1$ be an integer with smallest prime divisor $p$. Then for $α>\frac{1}{p-1}$ every sufficiently large $α$-expanding graph contains cycles of length congruent to any given residue modulo $k$. This result is almost best possible, in the following sense: There exists an absolute constant…
The distribution of the number of parts of $m$-ary partitions modulo $m$
研究了正整数$n$的$m$ -元划分的模$m$的部分个数.证明了在$m$ -ary划分的一个特殊子集上，部分数是模$m$等分布的.作为后果，我们解释了当部分的数量是均匀分布的模$m$的整个分区集，我们提供了一个替代证明最近的结果安德鲁斯，Fraenkel和卖方的数量$m$ -ary分区模$m$。
Given a prime $p$ and a positive integer $k$, let $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ be the ring of $n \times n$ matrices over $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$. We consider the number of solutions $X \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})$ to the polynomial equation $P(X) = 0$, where $P(t)$ is a monic polynomial in $(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})[t]$ whose reduction modulo $p$ is square-free over the finite field $\mathbb{F}_{p}$ of $p$ elements. Noting that $P(X) = 0$ if and only if $\mathrm{cok}(P(X)) \simeq (\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})^{n}$, we give a conjectural generalization …
Some curious congruences modulo primes
设n为正奇数，p>n+1为素数.我们主要导出了以下同余式：$$\sum_{0<i_1<...<i_n<p}(i_1/3)(-1)^{i_1}/(i_1...i_n)=0 (mod p).$$
For a positive integer $\ell$, let $b_{\ell}(n)$ denote the number of $\ell$-regular partitions of a nonnegative integer $n$. Motivated by some recent conjectures of Keith and Zanello, we establish infinite families of congruences modulo $2$ for $b_3(n)$ and $b_{21}(n)$. We prove a specific case of a conjecture of Keith and Zanello on self-similarities of $b_3(n)$ modulo $2$. We next prove that the series $\sum_{n=0}^{\infty}b_9(2n+1)q^n$ is lacunary modulo arbitrary powers of $2$. We also prove that the series $\sum_{n=0}^{\infty}b_9(4n)q^n$ is lacunary modulo $2$.
A generalization of sumsets modulo a prime
设$A$是阿贝尔群$G$中的集合。对于整数$h,r \geq 1$，广义$h$折叠和集，记为$h^{(r)}A$，是$A$的$h$元素的和的集合，其中每个元素在和中出现的次数最多为$r$次.如果已知$|h^{(r)}A|$的$G=\mathbb{Z}$下界，以及$|h^{(r)}A|$最小的整数集的结构。本文推广了这一结果，当$G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$为素数$p$时，给出了$|h^{(r)}A|$的一个下界，并对$\mathbb{Z}$中的正问题和反问题给出了新的证明.
The number of nonzero binomial coefficients modulo p^alpha
在1947年罚款获得了一个表达式的数量二项式系数行n的帕斯卡的三角形是非零模p.在本文中，我们使用库默尔定理推广罚款的定理，以总理权力，表示数量的非零二项式系数模p^alpha作为一个总和超过某些整数分区。对于固定的alpha，这个表达式可以被重写，以显示对n的base-p表示中每个子字出现次数的显式依赖性。
On the asymptotic maximal density of a set avoiding solutions to linear equations modulo a prime
给定一个有限的整系数线性型族F和一个紧阿贝尔群G，G中的F-自由集是一个不包含任何方程L（x）=0的解的可测集，其中L在F中。记d_F（G）为G中F-自由集A上m（A）的上确界，其中m为G上的归一化Haar测度.我们的主要结果是，对任意这样的至少三元形式的集合F，当p在素数上趋于无穷大时，序列d_F（Z_p）收敛于d_F（R/Z）.这回答了Ruzsa提出的关于整数集的问题的Z_p的类似问题。
On sums of binomial coefficients modulo p^2
设p为奇素数，a为正整数。本文研究和$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}/m^k$ mod p^2，其中h，m是p进整数，m \not =0（mod p）.例如，我们证明了如果h \not =0（mod p）并且p^a>3，则$$ sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-h/2)^k =(\frac{1-2h}{p^a})(1+h((4h-2)^{p-1}/h^{p-1}-1)) (mod p^2),$$，其中（-）表示雅可比符号。这是另一个值得注意的一致性：如果p>3，则$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{p^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-1)^k =3^{p-1}(\frac{p^a}3) (mod p^2).$$
Frieze patterns and Farey complexes
本文利用 Farey 复形为任意环上的 frieze 图案建立组合模型，解决了整数模 n 情形的长期公开问题，并推广了直径、计数与提升分类等相关结果。
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