模$n$正则整数的计数及其密码学意义
On the Number of Regular Integers Modulo $n$ and Its Significance for Cryptography
AI总结：
该研究给出了模n正则整数计数的Morgado公式的四种组合证明，明确其对应OEIS的A055653序列，并将其与多素数多幂次的RSA密码系统推广方案关联，体现其密码学应用价值。
摘要：
我们给出了Morgado公式的四种组合证明，该公式用于计算模$n$的非同余正则整数的数量$\varrho(n)$，对应整数序列在线百科全书（OEIS）中的A055653序列；其中整数$m$被称为模$n$正则的，当且仅当同余式$m^2 x \equiv m \pmod{n}$存在解$x\in\mathbb{Z}$。为说明该序列与Morgado公式的重要性，我们将其与近期一种多素数、多幂次的RSA密码系统推广方案关联起来。
英文摘要：
We present four combinatorial proofs of Morgado's formula for the number $\varrho(n)$ of non-congruent regular integers modulo $n$, corresponding to sequence A055653 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), where an integer $m$ is said to be regular modulo $n$ if the congruence $m^2 x \equiv m \pmod{n}$ has a solution $x\in\mathbb{Z}$. To illustrate the significance of the sequence and Morgado's formula, we relate them to a recent multi prime, multi-power generalization of the RSA cryptosystem.
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