Can connected commuting graphs of finite groups have arbitrarily large diameter ?
我们提出了一个家庭的有限，非阿贝尔群，并提出，有这个家庭的成员，其交换图是连接和任意大的直径。如果这是真的，这将反驳Iranmanesh和Jafarzadeh的猜想。虽然无法证明我们的主张，我们提出了一个启发式的论点，赞成它。我们还提出了模拟的结果，产生了明确的例子组的交换图有所有可能的直径，并包括10。以前，没有有限群的交换图的直径大于6是已知的。
2012-08-30 math.GR math.PR
The Commuting Graph of the Symmetric Inverse Semigroup
有限非交换半群$S$的交换图（记为$\cg(S)$）是一个简单图，它的顶点是$S$的非中心元素，如果$xy=yx$，则两个不同的顶点$x,y$相邻.设$\mi(X)$是有限集$X$上部分内射变换的对称逆半群.半群$\mi(X)$具有$X$上置换的对称群$\sym(X)$作为它的单位群。1989年，Burns和Goldsmith确定了$\sym(X)$的交换图的团数. 2008年，Iranmanesh和Jafarzadeh发现了$\cg(\sym(X))$直径的上限，2011年，Doluzan和Oblak声称（但他们的证明有一个缺口）这个上限实际上是精确的值。本文的目的是研究对称逆半群$\mi(X)$的交换图。我们计算了$\cg(\mi(X))$的团数，$\mi(X)$的真理想的交换图的直径，以及当$|X|$是偶数或奇素数的幂时$\cg(\mi(X))$的直径.我们表明，当$|X|$是奇数和整除至少有两个素数，那么直径的$\cg(\mi(X))$是4或5。在此过程中，我们得到了一些关于半群的结果，如$\mi(X)$的所有最大阶交换子半群的刻画，以及$\mi(X)$的交换逆和交换幂零子半群的类似结果.本文结束了一些问题的专家在组合学和组或半群理论。
2012-05-08 math.CO math.GR
The Commuting Graph of a Solvable A-Group
本文研究了可解 A-群连通交换图直径的上界，证明当导出长度为 2 时直径至多为 4，一般情形下至多为 6，并提供示例说明这些上界无法改进。
2024-01-30 math.GR
Commuting graphs of completely 0-simple semigroups
本文研究完全0-单半群的交换图，利用0-Rees矩阵半群特征，给出连通性判定、直径、团数、围长、色数上界及编织度的计算方法。
2025-10-27 math.CO math.GR math.RA
Commuting involution graphs for $\tilde C_n$
本文考虑$\tilde C_n$型仿射外尔群中对合共轭类的交换图。我们表明，在图是连接的直径是最多$n+2$。
2016-12-07 math.GR
Extending Morgan and Parker's results about commuting graphs
Morgan和Parker证明了：如果$G$是满足$Z(G) = 1$的群，则$G$的交换图的连通分支的直径至多为$10$ . Parker证明了：如果另外$G$是可解的，则$G$的交换图是不连通的当且仅当$G$是弗罗贝尼乌斯群或$2$ -弗罗贝尼乌斯群，并且如果$G$的交换图是连通的，则它的直径至多为$8$ .我们证明了这些结果中的假设$Z (G) = 1$可以用$G' \cap Z(G) = 1$代替。证明了若$G$可解且$G/Z(G)$是弗罗贝尼乌斯群或$2$ -弗罗贝尼乌斯群，则$G$的交换图是不连通的.
2021-03-12 math.GR
Commuting graphs and semigroup constructions
本文研究了交换图与零并、直积两种半群构造的相互作用，探讨了新构造半群交换图的直径、团数等图论性质，并揭示了其与原始半群交换图性质之间的关系。
2025-11-04 math.CO math.GR math.RA
Bound on the diameter of split metacyclic groups
令$G_{m,n,k} = \mathbb{Z}_m \ltimes_k \mathbb{Z}_n$为分裂亚循环群，其中$k$为单位模$n$。我们推导出一个上界的直径$G_{m,n,k}$使用一个算术参数称为\textit{weight}，这取决于$n$，$k$，和顺序的$k$。作为一个应用程序，我们将如何确定一个约束的直径任意亚循环群。
2019-07-05 math.CO math.GR
The non-commuting, non-generating graph of a non-simple group
本文研究非单群$G$的非交换非生成图$\Xi(G)$的结构，证明其连通性与直径仅存在三类情形，并详细刻画了第三类对应的有限群，补充了有限单群情形的配套研究。
2023-03-07 math.GR
Minimal paths in the commuting graphs of semigroups
设$S$是有限非交换半群。$S$的交换图，记作$\cg(S)$，是其顶点是$S$的非中心元素并且其边是顶点的集合$\{a,b\}$使得$a\ne b$和$ab=ba$的图。用$T(X)$表示有限集上的全变换半群$X$。设$J$是$T(X)$的任意理想，使得$J$不同于$X$上的常数变换的理想。我们证明，如果$|X|\geq4$，那么，除了少数例外，直径的$\cg(J)$是5。另一方面，我们证明了对每一个正整数$n$，存在半群$S$使得$\cg(S)$的直径是$n$。我们还研究了$\cg(S)$中的左路径，即路径$a_1-a_2-...-a_m$使得$a_1\ne a_m$和$a_1a_i=a_ma_i$对于所有$i\in \{1,\ldot, m\}$。证明了对每个正整数$n\geq2$，除$n=3$外，存在一个左最短路长为$n$的半群.作为推论，我们使用以前的结果来解决一个纯代数的老问题所提出的B.M. Schein
2010-09-08 math.CO math.GR
Commuting Graph of Unitriangular Group UT(4; p)
Rajagiri School of Engineering and Technology（拉贾吉里工程技术学院）；APJ Abdul Kalam Technological University（阿卜杜勒·卡拉姆技术大学）
本文研究有限域Fp上的4阶单位上三角群UT(4; p)的交换图，明确其交换关系，证明约化交换图连通且直径为3，还确定了其最大团大小、色数等图论性质。
2026-08-11 math.CO math.GR
The non-commuting, non-generating graph of a finite simple group
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Monash University（蒙纳士大学数学院）
研究有限单群的非交换、非生成图的连通性和直径上界，证明其补图直径上限为4。
2024-12-05 math.GR
The commuting graph and a graph associated with centralizers
针对$p$-群场景，本文研究交换图结构与$|G:Z(G)|$的关系，构造了满足特定交换图性质的群族，并引入一类关联中心化子、与交换图相关的新图。
2025-11-14 math.GR
Commuting graphs of completely simple semigroups
本研究刻画群上Rees矩阵半群的交换图及其多项性质，推导完全简单半群交换图的性质与对应图类，还限定了群交换图部分性质的取值范围。
2024-12-09 math.CO math.GR math.RA
The non-commuting, non-generating graph of a nilpotent group
对于幂零群$G$，设$Ξ(G)$是$G$的生成图的补图与$G$的交换图之间的差，其中对应于$G$的中心元素的顶点被移除。也就是说，$Ξ(G)$具有顶点集$G \setminus Z(G)$，其中两个顶点相邻当且仅当它们不交换并且不生成$G$。此外，令$Ξ^+(G)$是由其非孤立顶点诱导的$Ξ(G)$的子图。证明了如果$Ξ(G)$有边，则$Ξ^+(G)$与直径$2$或$3$相连，在直径$3$的情况下与$Ξ(G) = Ξ^+(G)$相连.在无限情形下，我们的结果更一般地适用于任何具有每个极大子群正规的群。当$G$是有限的，我们探索的$G$和$Ξ(G)$的结构之间的关系更详细。
2020-08-21 math.GR
Commuting Involution Graphs in Classical Affine Weyl Groups
本文研究了经典仿射外尔群中的交换对合图。设$W$是秩为$n$的经典Weyl群，$\tilde W$是其对应的仿射Weyl群.我们的主要结果是：如果$X$是$\tilde W$中对合的共轭类，则交换对合图$\mathcal{C}(\tilde W, X)$是不连通的或直径至多为$n+2$ .已知这个界对于$\tilde A_n$和$\tilde C_n$型是成立的，所以本文的主要工作是证明$\tilde B_n$和$\tilde D_n$型的定理.
2018-09-13 math.GR
Commuting probability for conjugate subgroups of a finite group
该文研究有限群p-子群与其共轭子群的交换概率相关问题，得到若干阶界定的肯定结果与反例，还将相关结论推广到投射有限群的Sylow p-子群情形。
2025-05-15 math.GR
Tidy subgroups for commuting automorphisms of totally disconnected groups: an analogue of simultaneous triangularisation of matrices
设α是全不连通的群G的自同构.紧开子群V，如果G对α是整洁的，如果[α（V '）：α（V'）\cap V ']在V处最小，其中V'在G的所有紧开子群上.确定α的一个整齐子群类似于确定一个将线性变换变为若尔当典范形的基。这种类比是发达国家在这里表明，交换自同构有一个共同的整洁子群的G和，相反，一组H的自同构有一个共同的整洁子群V是阿贝尔模的自同构离开V不变。G的某些子群是特征空间的类似物，H的相应实特征标是特征值的类似物。
2003-02-18 math.GR
On the commuting graphs of Brandt semigroups
有限非交换半群S的交换图，记为Δ（S），是顶点为S的非中心元且两个不同顶点x; y相邻的单图，若xy = yx.本文研究了Brandt半群B_n的交换图Δ（B_n）的各种图论性质，包括它的直径、团数、色数、独立数、强度量维数和控制数。此外，还得到了Δ（Bn）的自同构群Aut（Δ（Bn））和自同态幺半群End（Δ（Bn））.本文证明了Aut（Δ（Bn））= Sn \times Z_2，其中Sn是n次对称群，Z_2是模2整数的加法群.进一步，对于n \geq 4，我们证明了End（Δ（Bn））=Aut（Δ（Bn））.为了回答文[2]中提出的问题，我们确定了一类交换图是Hamilton的逆半群。
2020-10-10 math.GR
The commuting graphs of certain cyclic-by-abelian groups
针对形如$G=AN$的有限非交换群（$A$交换、$N$循环正规），证明其交换图要么是直径≤4的连通图，要么是$|G'|+1$个完全图的不交并，结果适用于所有有限亚循环群及无平方因子阶群。
2024-11-26 math.GR
On the super graphs and reduced super graphs of some finite groups
对于有限群$G$，设$B$是$G$上的等价（相等、共轭或序）关系，$A$是一个顶点集为$G$的（幂、增强幂或交换）图. $B$超$A$图是一个顶点集为$G$的简单图，如果两个顶点在同一个$B$ -等价类中，或者两个顶点的$B$ -等价类中有元素在原$A$图中相邻，则两个顶点相邻.通过从$B$超级$A$图中删除主导顶点（与所有其他顶点相邻）而获得的图称为简化$B$超级$A$图。对某些$B$超$A$图对，刻画了图对相等的有限群.刻画了$G$的序超交换图$Δ^o(G)$的控制点，证明了$n\geq 4$的单位元是$Δ^o(S_n)$和$Δ^o(A_n)$的唯一控制点.我们刻画了$S_n$的降阶超交换图$Δ^o(S_n)^*$与$A_n$的降阶超交换图$Δ^o(A_n)^*$连通的$n$的值.我们还证明了如果$Δ^o(S_n)^*$（或$Δ^o(A_n)^*$）是连通的，则直径至多是$3$，并证明了对于许多$n.$值，直径是$3$
2022-10-26 math.GR
Logarithmic bounds for the diameters of some Cayley graphs
设$S\subset\text{GL}_n(\mathbb Z)$是有限对称集。证明了如果$Γ=\langle S\rangle$的Zerki闭包是$\text{SL}_d$的乘积或一个特殊的仿射线性群，则Cayley图$\text{Cay}(Γ/Γ(q),π_q(S))$的直径是$O(\log q)$，其中$q$是任意正整数，$π_q:Γ\to Γ/Γ(q)$是由约化模$q$诱导的正则投影，隐含常数只依赖于$S$ .
2021-10-04 math.GR math.NT
Loops with abelian inner mapping groups: An application of automated deduction
我们描述了一个大规模的项目，在应用自动演绎有关以下问题的相当感兴趣的循环理论：如果$Q$是一个循环与交换内部映射，它是否遵循$Q$模其中心是一个组和$Q$模其核是一个阿贝尔群？这个问题已经在几种循环中得到了肯定的回答。解决方案通常涉及复杂的自动推理技术，并且由此产生的推导非常长，通常没有更高级别的人类证据。
2015-09-17 math.GR
Game Conductors of Finite Groups: Determinantal Torsion from Structured Payoff Probes
Farmingdale State College, State University of New York（纽约州立大学法明戴尔分校）
研究有限群\(G\)与结构化收益探测\(\phi\)相关的收益差格及导体，通过精确计算得出CA - 群交换导体公式，利用伽罗瓦轨道迹特征探测补充结果，经详尽计算和分析支持对压缩中心化子型关联矩阵\(\BG\)的史密斯挠率进行分类。
2026-07-14 cs.GT math.CO math.GR
On commensurability of some right-angled Artin groups II: RAAGs defined by paths
在本文中，我们继续研究直角Artin群，直到[CKZ]中开始的可分解性。我们表明，RAAG定义的不同路径的长度大于大于3是不可分割的。我们还证明了哪些由路径定义的RAAG可以与由直径为4的树定义的RAAG相匹配。更准确地说，我们表明，一个RAAG定义的路径长度为$n>4$是一个RAAG定义的树的直径为4，当且仅当$n$是2模4。这些结果遵循的连接，我们建立的分类RAAGs之间的可扩展性和线性整数规划。
2018-03-02 math.GR
On the soluble graph of a finite group
设$G$是有限不可解群，其根$R(G)$是可解的.在本文中，我们研究的$G$，这是一个自然的推广广泛研究的交换图的可解图。这里的顶点是$G \setminus R(G)$中的元素，如果它们生成$G$的可解子群，则$x$与$y$相邻。我们的主要结果表明，这个图总是连通的，它的直径，表示为$δ_{\mathcal{S}}(G)$，最多是$5$。更确切地说，我们表明，$δ_{\mathcal{S}}(G) \leqslant 3$，如果$G$不是几乎简单的，我们得到更强的界限几乎简单的各种家庭的群体。例如，我们将显示所有$n \geqslant 6$的$δ_{\mathcal{S}}(S_n) = 3$。我们还建立了具有$δ_{\mathcal{S}}(G) \geqslant 4$的单群的存在性。例如，我们证明了$δ_{\mathcal{S}}(A_{2p+1}) \geqslant 4$对于每个苏菲·杰曼素数$p \geqslant 5$，这表明我们的$5$的一般上界接近最佳可能。最后，我们简要讨论了一些变化的可溶性图的建设，我们提出了几个开放的问题。
2022-11-04 math.GR
Pauli graphs when the Hilbert space dimension contains a square: why the Dedekind psi function ?
我们研究的交换关系内的泡利组建立在所有分解的一个给定的希尔伯特空间维度$q$，包含一个正方形，到它的因素。说明性的低维例子是四分位数（$q=4$）和两个量子比特（$q=2^2$）系统，octit（$q=8$），qubit/quartit（$q=2\times 4$）和三量子位在单量子点情况下，例如$q=4,8,12,...$，一个定义了$σ(q)$最大交换集之间的双射[$σ[q)$是$q$的约数之和]泡利可观量和模环$\mathbb{Z}_q^2$的极大子模，它们排列成投影线$P_1(\mathbb{Z}_q)$和一个独立的大小为$σ(q)-ψ(q)$的集合[$ψ(q)$是戴德金psi函数]。在多qudit情况下，例如$q=2^2, 2^3, 3^2,...$，泡利图依赖于辛极空间，例如广义四边形GQ（2，2）（如果$q=2^2$）和GQ（3，3）（如果$q=3^2$）。更准确地说，在希尔伯特空间的$p^n$维（$p$是素数）中，泡利群的观测量（模中心）被看作是场$\mathbb{F}_p$上的$2n$维向量空间的元素。在这个空间中，我们利用交换子定义了一个基数为$σ(p^{2n-1})$的辛极空间$W_{2n-1}(p)$，它用它的全迷向子空间来编码泡利群的极大交换集。$W_{2n-1}(p)$的构建块是由Dedekind psi函数$ψ(p^{2n-1})$给出的大小的穿孔极空…
2010-09-29 math-ph math.GR math.MP
Cutoff for Random Walks on Upper Triangular Matrices
考虑有限群$G$关于随机均匀选择的$k$生成元的随机Cayley图，其中$1 \ll \log k \ll \log |G|$（即$1 \ll k = |G|^{o(1)}$）。Aldous和Diaconis（1985）的一个猜想断言，对于$k\gg\log|G|$，这个图上的随机游动表现出截断。当$\log k \lesssim \log\log|G|$（即$k = (\log |G|)^{\mathcal O(1)}$）时，已建立截止的非阿贝尔群的唯一例子是二面体群。我们建立截止（作为$p\to infty$）的$d \times d$单位上三角形矩阵与整数项模$p$（素数），我们表示$U_{p,d}$，固定$d$或$d$发散足够慢。我们允许使用$1 \ll k \lesssim \log |U_{p,d}|$和$k\gg\log|U_{p,d}|$。截止时间是$\max\{\log_k |U_{p,d}|, \: s_0 k\}$，其中$s_0$是$\mathbb Z$上的随机游走的熵达到$(\log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|)/k$的时间，其中$U_{p,d}^\mathrm{ab} \cong \mathbb Z_p^{d-1}$是$U_{p,d}$的阿贝尔化。当$1 \ll k \ll \log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|$和$d \a…
2021-02-04 math.GR math.PR
