The commuting graph of a soluble group
Chris Parker
研究了具有平凡中心的有限可解群的交换图。证明了这类图的直径至多为8或图是不连通的。给出了具有平凡中心的可解群和直径为8的交换图的例子。
The commuting graph of a finite soluble group with trivial centre is investigated. It is shown that the diameter of such a graph is at most 8 or the graph is disconnected. Examples of soluble groups with trivial centre and commuting graph of diameter 8 are provided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On finite groups with soluble centralisers
本文分类了特定非中心元素中心化子可解的有限群，给出全可解情形的结构描述、π-元素情形的归约定理，成果可应用于相关群类与非交换图问题。
On the soluble graph of a finite group
设$G$是有限不可解群，其根$R(G)$是可解的.在本文中，我们研究的$G$，这是一个自然的推广广泛研究的交换图的可解图。这里的顶点是$G \setminus R(G)$中的元素，如果它们生成$G$的可解子群，则$x$与$y$相邻。我们的主要结果表明，这个图总是连通的，它的直径，表示为$δ_{\mathcal{S}}(G)$，最多是$5$。更确切地说，我们表明，$δ_{\mathcal{S}}(G) \leqslant 3$，如果$G$不是几乎简单的，我们得到更强的界限几乎简单的各种家庭的群体。例如，我们将显示所有$n \geqslant 6$的$δ_{\mathcal{S}}(S_n) = 3$。我们还建立了具有$δ_{\mathcal{S}}(G) \geqslant 4$的单群的存在性。例如，我们证明了$δ_{\mathcal{S}}(A_{2p+1}) \geqslant 4$对于每个苏菲·杰曼素数$p \geqslant 5$，这表明我们的$5$的一般上界接近最佳可能。最后，我们简要讨论了一些变化的可溶性图的建设，我们提出了几个开放的问题。
Coprime automorphisms of profinite groups and the commuting probability of Sylow subgroups
研究 profinite 群中 Sylow 子群交换概率为正的条件，证明在互素自同构作用下，若特定 Sylow 子群交换概率为正，则群是 virtually pro-p-可解的，并给出非 p-可解长度的界。
The diameter of the generating graph of a finite soluble group
设$G$是一个有限的2-生成可解群，并假设$\langle a_1,b_1\rangle=\langle a_2,b_2\rangle=G$ .若$G^\prime$是奇阶群或$G^\prime$是幂零群，则存在$b \in G$与$\langle a_1,b\rangle=\langle a_2,b\rangle=G.$.我们构造了一个可解的2-生成群$G$，其阶为$2^{10}\cdot 3^2$，前面的结果不成立.然而，一个较弱的结果对每个有限可解群成立：如果$\langle a_1,b_1\rangle=\langle a_2,b_2\rangle=G$，则存在$c_1, c_2$使得$\langle a_1, c_1\rangle = \langle c_1, c_2\rangle =\langle c_2, a_2\rangle=G.$
The connectivity of the normalising and permuting graph of a finite soluble group
该研究引入群的正规化图，分类了正规化图不连通的有限可解群，证明连通正规化图直径至多为6且该界紧，并推导了置换图的连通性质。
On the Saxl graphs of primitive groups with soluble stabilisers
设$G$是有限集$Ω$上的可迁置换群，并回忆$G$的基是具有平凡逐点稳定子的$Ω$的子集。$G$的基本尺寸，表示为$b(G)$，是基本尺寸的最小尺寸。如果是$b(G)=2$，则我们可以研究$G$的Saxl图$Σ(G)$，它具有顶点集$Ω$，并且两个顶点相邻，如果它们形成一个基。这是一个点传递图，当$G$是本原图时，它的直径至多为$2$.在本文中，我们结合概率和计算的方法证明了一个强形式的猜想，几乎单本原群与可溶点稳定。在这种情况下，我们还建立了最好的下界上的集团和独立数的$Σ(G)$，我们确定了一个独特的定期子轨道，这可以解释的化合价的$Σ(G)$的群体。
On edge-primitive graphs with soluble edge-stabilizers
一个图是边本原的，如果它的自同构群在边集上作用是传递的，如果它的自同构群在2-弧集上作用是传递的。本文对2-弧传递且具有可解边稳定子的边本原图进行了分类。
Toroidal and projective commuting and non-commuting graphs
本文对交换（非交换）图可嵌入平面、环面或射影平面的有限群进行了分类。
Zagreb indices of commuting and non-commuting graphs of finite groups and Hansen-Vukičević conjecture
本文计算了有限群交换图与非交换图的第一和第二Zagreb指数，并确定了几类满足Hansen-Vukičević猜想的有限群。
Perfect commuting graphs
对可换图是完美的有限拟单群进行了分类，并给出了可换图是完美的有限群的一个一般结构定理。
Constructing regular saturated formations of finite soluble groups
本文改进了Lucchini和Nemmi的结果，构造性地描述了有限可解群的饱和正规群系，证明其恰好为包含所有循环准素子群均为$K$-$\mathfrak{F}$-次正规子群的群的遗传群系，且该群系格与Steinitz格同构。
Realizability problem for commuting graphs
我们研究的性质，确保一个给定的有限图是一个群或半群的交换图。证明了至少有两个顶点且没有一个顶点与所有其它顶点相邻的图是某个半群的交换图。此外，我们还得到了具有孤立点或孤立边的群的交换图和无中心半群的交换图的圈的完全分类。
Spectrum of commuting graphs of some classes of finite groups
本文首次研究了有限非阿贝尔群的交换图的谱。我们首先计算几类有限群，特别是AC-群的这个图的谱。证明了有限非交换AC-群的交换图是整的。我们还证明了有限非阿贝尔群$G$的交换图是整数的，如果$G$不同构于次数为$4$的对称群，并且$G$的交换图是平面的.进一步证明了如果$G$的交换图是环面的，则$G$的交换图是整数的.
The diameter of the commuting graph of a finite group with trivial centre
研究了具有平凡中心的有限群的交换图。结果表明，交换图的连通分支的直径最多为10。
The commuting graph and a graph associated with centralizers
针对$p$-群场景，本文研究交换图结构与$|G:Z(G)|$的关系，构造了满足特定交换图性质的群族，并引入一类关联中心化子、与交换图相关的新图。
Laplacian Spectrum of non-commuting graphs of finite groups
本文计算了几类有限非阿贝尔群的非交换图的Laplacian谱。我们的计算表明，本文所考虑的所有群的非交换图都是L-整的。我们还得到了群$G$的非交换图是L-整的一些条件。
On the genus of the commuting graphs of finite non-abelian groups
非阿贝尔群的交换图是一个单图，其中顶点是群的非中心元素，两个不同的顶点相邻当且仅当它们交换。本文对交换图为无圈、平面或环面的有限非阿贝尔群进行了分类（直到同构）。我们还得到了某些著名的有限非阿贝尔群的交换图的亏格的显式公式，并证明了交换图具有相同亏格的有限非阿贝尔群的所有集合都是有限的.
Commuting involution graphs for $\tilde C_n$
本文考虑$\tilde C_n$型仿射外尔群中对合共轭类的交换图。我们表明，在图是连接的直径是最多$n+2$。
Finite groups whose commuting graphs are integral
有限非阿贝尔群$G$称为交换积分，如果$G$的交换图是整的.本文证明了有限群是交换积分的，如果它的中心因子同构于${\mathbb{Z}}_p \times {\mathbb{Z}}_p$或$D_{2m}$，其中$p$是任意素数，$D_{2m}$是$2m$阶二面体群.
Commuting graph of $A$-orbits
设$A$是一个有限群，它通过自同构作用在有限群$G$上.引入了这类作用的交换图$Γ(G,A)$，并在一定的图论条件下研究了关于$Γ(G,A)$的$G$结构的一些问题.
On Laplacian energy of non-commuting graphs of finite groups
本文计算了几类有限非阿贝尔群的非交换图的拉普拉斯能量。
Non-commuting graphs of nilpotent groups
设$G$是一个非阿贝尔群，$Z(G)$是$G$的中心.与$G$相关联的非交换图$Γ_G$是其顶点集为$G\setminus Z(G)$且两个不同元素$x,y$相邻的图当且仅当$xy\neq yx$。证明了如果$G$和$H$是具有不规则同构非交换图的非阿贝尔幂零群，则$|G|=|H|$。
The energy and spectrum of non commuting graph
设G是一个非阿贝尔群，Z（G）是G的中心.图G的非交换图Γ（G）是顶点集为G的非中心元素且两个顶点x，y相邻的图当且仅当它们是可交换的.本文计算了二面体群D2n的非交换图的能量、Laplacian能量和谱。同时我们还得到了D2 n \times D2 n和G \times H的非交换图的能量，其中G是非交换有限群，H是交换有限群
Groups with maximum vertex degree commuting graphs
设$G$是一个群，$Z(G)$是它的中心。我们关联一个可交换图$Γ(G)$，其顶点集为$G\setminus Z(G)$，并且如果两个不同的顶点可交换，则它们相邻。如果$k$星图不是$Γ(G)$的子图，则称$Γ(G)$是强$k$无星图.本文刻画了所有强$5$无星交换图.作为一个副产品，我们分类所有强无爪图。证明了交换图是强$k$星自由的非阿贝尔群的集合是有限的。
A Note on Commuting Involution Graphs in Affine Coxeter Groups
对有限Coxeter群和经典型仿射群的交换对合图进行了研究。本文的目的是建立仿射Coxeter群中交换对合图的一些一般性结果，并处理类型$\tilde F_4$和$\tilde G_2$ .类型$\tilde E_6$ $\tilde E_7$和$\tilde E_8$更重要，我们将在即将发表的论文中讨论这些问题。
The Commuting Graph of a Solvable A-Group
本文研究了可解 A-群连通交换图直径的上界，证明当导出长度为 2 时直径至多为 4，一般情形下至多为 6，并提供示例说明这些上界无法改进。
Strict dead end elements in free soluble groups
设$G$是由有限集$A$生成的群。如果对于任何$a_1,a_2, ..., a_k\in A^{\pm1}$有$|g|>|ga_1|>|ga_1a_2|>...>|ga_1a_2... a_k|$，使得词$a_1a_2... a_k$是自由不可约的，则元素$g\in G$是深度$k$（相对于$A$）的严格死端。(Here $|g|$是从$g$到$G$的凯莱图中的恒等式的距离。）我们证明了在$d\ge2$度的自由可解群中存在深度为$k=k(d)$的严格死元，它相对于$d$呈指数增长。
Spectrum and energies of commuting conjugacy class graph of a finite group
本文计算了群$G(p, m, n) = \langle x, y : x^{p^m} = y^{p^n} = [x, y]^p = 1, [x, [x, y]] = [y, [x, y]] = 1\rangle$的可换共轭类图的谱、拉普拉斯谱、无符号拉普拉斯谱及其相应的能量，其中$p$是任意素数，$m \geq 1$和$n \geq 1$也是可换共轭类图.我们得到了$G(p, m, n)$的可换共轭类图是超整图的一些结论。我们还比较了各种能量，并确定了$G(p, m, n)$的交换共轭类图是超能图，L-超能图还是Q-超能图。
Infinite groups with isomorphic power graph and commuting graph
本文研究了无限群上的幂图、增强幂图和交换图，证明了任意两图相等的充要条件，扩展了有限群的结果，并回答了P. J. Cameron提出的关于不同群间幂图与交换图同构存在性的问题。
Extending Morgan and Parker's results about commuting graphs
Morgan和Parker证明了：如果$G$是满足$Z(G) = 1$的群，则$G$的交换图的连通分支的直径至多为$10$ . Parker证明了：如果另外$G$是可解的，则$G$的交换图是不连通的当且仅当$G$是弗罗贝尼乌斯群或$2$ -弗罗贝尼乌斯群，并且如果$G$的交换图是连通的，则它的直径至多为$8$ .我们证明了这些结果中的假设$Z (G) = 1$可以用$G' \cap Z(G) = 1$代替。证明了若$G$可解且$G/Z(G)$是弗罗贝尼乌斯群或$2$ -弗罗贝尼乌斯群，则$G$的交换图是不连通的.
Common neighbourhood spectrum and energy of commuting conjugacy class graph
本文计算了几类有限非阿贝尔群的交换共轭类图的公共邻域谱和能量。作为结果，我们证明了群$D_{2n}$，$T_{4n}$，$SD_{8n}$，$U_{(n,m)}$，$U_{6n}$，$V_{8n}$，$G(p, m, n)$以及某些中心商同构于$D_{2n}$或$Z_p \times Z_p$的群族的交换共轭类图，对于某些素数$p$，是CN-整的但不是CN-超能的.
Signless Laplacian energies of non-commuting graphs of finite groups and related results
本文研究了有限群非交换图的无符号拉普拉斯谱和能量，给出了使其成为Q-integral的条件，并探讨了能量关系及hyper-和hypo-energetic性质。
Commuting Involution Graphs in Classical Affine Weyl Groups
本文研究了经典仿射外尔群中的交换对合图。设$W$是秩为$n$的经典Weyl群，$\tilde W$是其对应的仿射Weyl群.我们的主要结果是：如果$X$是$\tilde W$中对合的共轭类，则交换对合图$\mathcal{C}(\tilde W, X)$是不连通的或直径至多为$n+2$ .已知这个界对于$\tilde A_n$和$\tilde C_n$型是成立的，所以本文的主要工作是证明$\tilde B_n$和$\tilde D_n$型的定理.
Common neighborhood Laplacian and signless Laplacian spectra and energies of commuting graphs
针对若干有限非阿贝尔群的交换图，本文计算其公共邻域Laplacian与无符号Laplacian谱及能量，证明整谱性并刻画超能量情形。
Non-commuting graph of AC-groups: as matroids
本文证明有限群G为AC群等价于其非交换图是拟阵，借助拟阵性质探究AC群特征，还给出其非交换图团数计算公式，为这类群结构研究提供新视角。
Automorphism Groups of the $PSL_2(q)$ Commuting Involution Graphs
本文研究了PSL_2(q)交换involution图的自同构群，通过分析共轭类X的性质，确定了该图的自同构群结构。
Commuting probability for the Sylow subgroups of a finite group
本文研究有限群中Sylow子群间的交换概率，证明在交换概率有下界时，Fitting子群具有有界指数，并给出幂零性与可解性的阈值判据。
On the commuting graphs of Brandt semigroups
有限非交换半群S的交换图，记为Δ（S），是顶点为S的非中心元且两个不同顶点x; y相邻的单图，若xy = yx.本文研究了Brandt半群B_n的交换图Δ（B_n）的各种图论性质，包括它的直径、团数、色数、独立数、强度量维数和控制数。此外，还得到了Δ（Bn）的自同构群Aut（Δ（Bn））和自同态幺半群End（Δ（Bn））.本文证明了Aut（Δ（Bn））= Sn \times Z_2，其中Sn是n次对称群，Z_2是模2整数的加法群.进一步，对于n \geq 4，我们证明了End（Δ（Bn））=Aut（Δ（Bn））.为了回答文[2]中提出的问题，我们确定了一类交换图是Hamilton的逆半群。
On the clique number of non-commuting graphs of certain groups
设$G$是一个非阿贝尔群.定义了$G$的非交换图$\mathcal{A}_G$为顶点集为$G$的非中心元素且两个顶点不交换的图.在有限简单图$Γ$中，$Γ$的完全子图的最大尺寸称为$Γ$的团数，记为$ω(Γ)$ .本文用$ω(\mathcal{A}_G)\leq 57$刻画了所有不可可解群$G$，其中数57是特殊线性群$\mathrm{PSL}(2,7)$的不可交换图的团数.我们还完成了所有有限极小单群的$ω(\mathcal{A}_G)$的判定。
Some results on the solubility graph of a finite group
本文研究有限不可解群的可解图 $Γ_{\rm S}(G)$，该图以非可解根元素为顶点，以生成可解子群为邻接条件，并探讨了该图的若干性质。
Commuting Conjugacy Class Graphs of Finite Groups and the Hansen-Vukičević Conjecture
本文计算了有限群交换共轭类图的Zagreb指数，并证明了多种有限群及其商群的交换共轭类图满足Hansen-Vukičević猜想。
Commuting graph of non-abelian groups of order $p^n$ with center having $p^{n-2}$ elements
研究中心大小为 $p^{n-2}$ 的 $p^n$ 阶非交换 $p$-群的交换图，分析其绕路距离、度量维数、分辨多项式和谱性质。
The commuting graphs of certain cyclic-by-abelian groups
针对形如$G=AN$的有限非交换群（$A$交换、$N$循环正规），证明其交换图要么是直径≤4的连通图，要么是$|G'|+1$个完全图的不交并，结果适用于所有有限亚循环群及无平方因子阶群。
Commuting graph of a group action with few edges
设$A$是一个通过自同构作用在群$G.$ \textit{The commuting graph $Γ(G,A)$ of $A$-orbits}上的群，这个作用是一个简单图，其顶点集为$\{x^{A} : 1\ne x \in G \}$，即$G\setminus \{1\}$上所有$A$ -轨道的集合，其中两个不同的顶点$x^{A}$和$y^{A}$由一条边连接当且仅当存在$x_{1}\in x^{A}$和$y_{1}\in y^{A}$使得$[x_{1},y_{1}]=1$。本文刻画了$Γ(G,A)$是$\mathcal{F}$ -图的群$G$，即至多包含一个度不小于3的顶点的连通图.
Counting Centralizers of a Finite Group with an Application in Constructing the Commuting Conjugacy Class Graph
有限群$G$中元素的所有中心化子的集合记为$Cent(G)$，如果$|Cent(G)| = n$，则称$G$为$n-$中心化子.本文给出了非交换有限群$G$的中心化子的结构，并证明了其性质为$\frac{G}{Z(G)} \cong Z_{p^2} \rtimes Z_{p^2}$.从而证明了这样的群恰有$[(p+1)^2+1]$元素中心化子，并完全确定了$G$的交换共轭类图的结构.
Abelian coverings of finite general linear groups and an application to their non-commuting graph
本文引入并研究了覆盖$\GL_n(q)$的所有元素的$\GL_n(q)$的交换子群族$\mathcal{A}_n(q)$.证明了$\mathcal{A}_n(q)$包含循环矩阵的所有中心化子，并且当$q>n$成立时等式成立.对于$q>2$，我们证明了一个简单的关于$\mathcal{A}_n(q)$大小的封闭公式，并给出了当$q=2$ .有限群$G$的子集$X$称为两两非交换的，如果对于$X$中的不同元素$x, y$，有$xy\not=yx$。作为我们的结果在$\mathcal{A}_n(q)$上的应用，我们证明了$\GL_n(q)$的成对非交换子集的最大大小的上下界。(This是非交换图的团数。）此外，在$q>n$的情况下，我们给出了两两非交换集的最大尺寸的一个显式公式。
On commuting elements and embeddings of graph groups and monoids
研究了直角Artin群和迹幺半群的子集的对易性。证明了若Gamma是不含四圈的无弦图，则群G（Gamma）不含交换图为四圈的四个元素，由此得出G（Gamma）不存在同构于非交换自由群的直积的子群.我们也得到相应的和更一般的结果幺半群。
Commuting graph of a group on a transversal
给定一个有限群$G$和它的子集$X$，$G$在$X$上的交换图（记为${\cal C}(G,X)$）是这样的图：当$x\neq y$和$xy=yx$的顶点集为$X$，且$x,y\in X$通过一条边连接.设$T$是$G$的中心$Z(G)$的横截线。当$G$是有限非阿贝尔群且$X=T\setminus Z(G)$是有限非阿贝尔群时，我们用${\cal T}(G)$表示图${\cal C}(G,X)$.本文证明了${\cal T}(G)$是连通强正则图当且仅当$G$与阶至少为$32$的超特殊$2$ -群等倾.我们还刻画了图${\cal T}(G)$是强正则不连通的有限非交换群$G$.
Genus of commuting conjugacy class graph of groups
对于一个非交换群$G$，如果存在$x' \in x^G$和$y' \in y^G$使得$x'y' = y'x'$，则它的交换共轭类图$\mathcal{CCC}(G)$是一个简单无向图，其顶点集是$G$的非中心元素的共轭类的集合，并且两个不同的顶点$x^G$和$y^G$是相邻的.在本文中，我们计算了六个著名的类的非交换的两个生成群（即$D_{2n}, SD_{8n}, Q_{4m}, V_{8n}, U_{(n, m)}$和$G(p, m, n)$）的$\mathcal{CCC}(G)$的亏格，并确定是否$\mathcal{CCC}(G)$为这些群体是平面，环面，双环面或triple-toroidal。
Spectrum and energy of non-commuting graphs of finite groups
设$G$是有限非阿贝尔群，$Γ_{nc}(G)$是它的非交换图.本文计算了某些有限群的$Γ_{nc}(G)$的谱和能量。作为我们的结果的结果，我们构造了整数完全$r$ -部图的无限族。比较了$Γ_{nc}(G)$的能量和Laplacian能量（分别记为$E(Γ_{nc}(G))$和$LE(Γ_{nc}(G))$），得出了除$pq$阶的非阿贝尔群外，其余群的能量和Laplacian能量都是$E(Γ_{nc}(G)) \leq LE(Γ_{nc}(G))$.这表明在[Gutman，I.，Abreu，N. M. M.，维纳格雷角汤姆Bonifacioa，A. S和Radenkovic，S.能量和拉普拉斯能量之间的关系，MATCH Commun。数学。计算。化学成分：五十九：343- 354，（2008）]对某些有限群的非交换图不成立，这也产生了新的反例族.
Thompson-like characterization of solubility for products of finite groups
汤普森的一个显著结果指出，一个有限群是可解的当且仅当它的两个生成子群是可解的。这一结果已被推广在许多方面，它是在一个广泛的研究领域的核心理论的群体，旨在全球性的群体的性质，从本地性质的两个生成（或更一般地说，$n$生成）的子群。本文从分解群的角度推广了Thompson定理。更确切地说，我们研究了有限群$G = AB$与子群$A,\ B$使得$\langle a, b\rangle$对所有$a \in A$和$b \in B$都是可解的。在这种情况下，群$G$被称为是所有有限可解群的类$\cal S$的子群$A$和$B$的$\cal S$ -连通积。我们的主要定理指出$G = AB$是$\cal S$ -连通的当且仅当$[A,B]$是可解的。在证明过程中，我们得到了一个关于几乎单群的可解图的独立素数的有趣结果。
Spectral aspects of commuting conjugacy class graph of finite groups
非交换群$G$的交换共轭类图记为$\mathcal{CCC}(G)$，它是一个简单的无向图，其顶点集是$G$的非中心元素的共轭类的集合，如果存在元素$x' \in x^G$和$y' \in y^G$使得$x'y' = y'x'$，则两个不同的顶点$x^G$和$y^G$相邻.本文计算了群$D_{2n}, Q_{4m}, U_{(n, m)}, V_{8n}$和$SD_{8n}$的交换共轭类图的各种谱和能量。我们的计算表明，对于这些群，$\mathcal{CCC}(G)$是超积分.我们比较了各种能量，结果发现$\mathcal{CCC}(G)$满足Gutman等人的E-LE猜想。我们还对Dutta等人提出的一个问题提供了否定的答案。最后，我们刻画了上述群$G$，使得$\mathcal{CCC}(G)$是超能的，L-超能的或Q-超能的.
Between the enhanced power graph and the commuting graph
本文的目的是定义一个图，它的顶点集是一个有限群$G$，它的边集包含在$G$的交换图的边集中，并且包含$G$的增强幂图.我们称这个图为$G$的深度交换图。$G$的两个元素在深交换图中连接当且仅当它们在$G$的每个中心扩张中的逆像交换。我们给出了该图等于增强幂图和交换图的条件，并证明了$G$的自同构群充当深度交换图的自同构.
The Gill-Guillot commuting graph for sporadic and related groups
本文研究了奇点简单群和某些例外Schur乘子简单群的Gill-Guillot交换图的连通性。
Super commuting graphs of finite groups and their Zagreb indices
本文研究有限群上由相等、共轭和同阶关系定义的超交换图，刻画多类非交换群族的图结构，计算其Zagreb指数并验证Hansen-Vukičević猜想。
Characterization of commuting graphs of finite groups having small genus
本文刻画了小亏格有限群的交换图，明确可实现为双环面、三环面交换图的图类，验证了相关图满足两类猜想，还发现新的超能量非完全图，为Gutman猜想提供反例。
There is no upper bound for the diameter of the commuting graph of a finite group
构造了一类具有直径递增的交换图的有限特殊2-群
The non-commuting, non-generating graph of a nilpotent group
对于幂零群$G$，设$Ξ(G)$是$G$的生成图的补图与$G$的交换图之间的差，其中对应于$G$的中心元素的顶点被移除。也就是说，$Ξ(G)$具有顶点集$G \setminus Z(G)$，其中两个顶点相邻当且仅当它们不交换并且不生成$G$。此外，令$Ξ^+(G)$是由其非孤立顶点诱导的$Ξ(G)$的子图。证明了如果$Ξ(G)$有边，则$Ξ^+(G)$与直径$2$或$3$相连，在直径$3$的情况下与$Ξ(G) = Ξ^+(G)$相连.在无限情形下，我们的结果更一般地适用于任何具有每个极大子群正规的群。当$G$是有限的，我们探索的$G$和$Ξ(G)$的结构之间的关系更详细。
On the Non-Commuting Graph of Dihedral Group
对于一个非交换群G，定义$G$的非交换图$Γ_G$为顶点集为$G-Z(G)$的图，其中$Z(G)$是$G$的中心，如果$Γ_G$的两个不同顶点在$G$中不交换，则它们相邻.本文研究了$D_{2n}$上非交换图的迂回指数、偏心连通度和总偏心度多项式。我们还求出了$D_{2n}$上非交换图的平均距离。
Recognizing the Commuting Graph of a Finite Group
本文研究有限群的交换图的可实现性问题：给定一个无向图$X$，它是否是一个群$G$的交换图？如果是这样的话，确定这样一个群体。我们寻求有效的算法解决这个问题。我们对这个问题作了一些一般性的观察，并得到了一个特殊群情形下的多项式时间算法。
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