发表机构
Università degli Studi di Padova; University of Southern California; Università di Bologna; University of Brasilia（帕多瓦大学; 南加州大学; 博洛尼亚大学; 巴西利亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
研究 profinite 群中 Sylow 子群交换概率为正的条件，证明在互素自同构作用下，若特定 Sylow 子群交换概率为正，则群是 virtually pro-p-可解的，并给出非 p-可解长度的界。
AI 中文摘要
给定 profinite 群 G 的两个（闭）子群 H 和 K，我们用 Pr(H,K) 表示从 H×K 中随机选取的一对元素可交换的概率。这里我们关注包含 Sylow 子群 P、Q 且满足 Pr(P,Q) > 0 的 profinite 群。首先，我们证明：若 G 是一个 profinite 群，包含一个 Sylow 2-子群 L 和一个 Sylow p-子群 P（其中 p 为奇数），且 Pr(L,P) 为正，则 G 实际上是 virtually pro-p-可解的（定理 1.1）。然后，我们处理允许互素自同构的 profinite 群的类似问题。特别地，我们证明：若 G 是一个 profinite 群，允许一个互素自同构群 A，使得 C_G(A) 中存在一个 Sylow 2-子群 L，且 G 中存在一个 A-不变的 Sylow p-子群 P（其中 p 为奇数），满足 Pr(L,P) > 0，则 G 是 virtually pro-p-可解的（定理 1.3）。另一方面，如果我们仅有 Pr([L,A],[P,A]) > 0，则 [G,A] 不必是 virtually pro-p-可解的。我们证明在这种情况下，[G,A] 有一个非 p-可解长度至多为 1 的开正规子群（定理 1.4）。此外，若 P 是 G 的一个 A-不变的 Sylow p-子群，使得对每个 x ∈ G 都有 Pr([P,A],[P,A]^x) > 0，则 [G,A] 有一个非 p-可解长度至多为 1 的开正规子群（定理 1.5）。
英文摘要
Given two (closed) subgroups H, K of a profinite group G, we write Pr(H,K) for the probability that a random pair from HxK commutes. Here we are concerned with profinite groups containing Sylow subgroups P, Q such that Pr(P,Q) > 0. First, we show that if G is a profinite group containing a Sylow 2-subgroup L and a Sylow p-subgroup P , where p is odd, such that Pr(L,P) is positive, then G is virtually pro-p-soluble (Theorem 1.1). Then we handle similar issues for profinite groups admitting coprime automorphisms. In particular, we prove that if G is a profinite group admitting a group of coprime automorphisms A such that there is a Sylow 2-subgroup L of C_G(A) and an A-invariant Sylow p-subgroup P of G, where p is odd, for which Pr(L,P) > 0, then G is virtually pro-p-soluble (Theorem 1.3). On the other hand, if we only have Pr([L,A],[P,A]) > 0, then [G,A] need not be virtually pro-p-soluble. We show that in this case [G,A] has an open normal subgroup of non-p-soluble length at most 1 (Theorem 1.4). Furthermore, if P is an A-invariant Sylow p-subgroup of G such that Pr([P, A],[P, A]^x) > 0 for every x in G, then [G,A] has an open normal subgroup of non-p-soluble length at most 1 (Theorem 1.5).
