Ruzsa's problem on Bi-Sidon sets
本文研究Imre Ruzsa提出的双西顿集最大子集规模问题，将原有的$f(N)\geq cN^{1/3}$下界改进为$N^{1/3+7/78+o(1)}$，推进了加法与乘法组合数学中相关问题的研究进展。
2024-09-13 math.CO
On an application of higher energies to Sidon sets
我们表明，对于任何有限集$A$和一个任意的$\varepsilon>0$有$k=k(\varepsilon)$，使更高的能量${\mathsf{E}}_k(A)$是至多$|A|^{k+\varepsilon}$，除非$A$有一个非常具体的结构。作为应用，我们得到了实数或素域的任何有限子集$A$要么包含大小为$|A|^{1/2+c}$的加性Sidon-型子集，要么包含大小为$|A|^{1/2+c}$的乘性Sidon-型子集.
2021-03-26 math.CO math.NT
k-fold Sidon sets
令$k \geq 1$为整数。一个集合$A \subset \mathbb{Z}$是$k$ -fold Sidon集合，如果$A$对于形式为$c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 + c_4 x_4 = 0$的每个方程只有平凡解，其中$0 \leq |c_i | \leq k$，和$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0$ .证明了对任意整数$k \geq 1$，$k$ -fold Sidon集$A \subset [N]$至多有$(N/k)^{1/2} + O((Nk)^{1/4})$元素.事实上，我们证明，任何$k$正整数$c_1<\cdots <c_k$，任何一组$A\subset [N]$，只包含平凡的解决方案，$c_i(x_1-x_2)=c_j(x_3-x_4)$为每个$1 \le i \le j \le k$，有最多$(N/k)^{1/2}+O((c_k^2N/k)^{1/4})$元素。另一方面，对于任何$k \geq 2$，我们可以展示$k$正整数$c_1,\dots, c_k$和一个集合$A\subset [N]$与$|A|\ge (\frac 1k+o(1))N^{1/2}$，使得$A$只有平凡的解决方案，$c_i(x_1 - x_2) = c_j (x_3 - x_4)$为每个$1 \le i \le j\le k$。
2013-12-17 math.CO
Affine Equivalence of Subsets of $\mathbb{F}_2^n$ via Venn Diagrams and Applications to Sidon Sets
本文利用仿射张成基构造划分集合的维恩图，证明维恩区域间保持基数的线性置换可完全刻画 $\mathbb{F}_2^n$ 子集的仿射等价性，并据此分类若干 Sidon 集。
2025-08-30 math.CO
Sidon sets and 2-caps in $\mathbb{F}_3^n$
对于每个自然数$d$，我们在$\mathbb{F}_3^n$中引入了$d$ -cap的概念.如果对于每个$k = 1, 2, \dots, d$，没有$k+2$位于$k$维平面上，则$\mathbb{F}_3^n$的子集称为$d$ -帽.这概括了$\mathbb{F}_3^n$中的上限概念。证明了$\mathbb{F}_3^n$中的$2$ -帽恰是$\mathbb{F}_3^n$中的Sidon集，并研究了确定$\mathbb{F}_3^n$中最大$2$ -帽的大小问题.
2019-02-19 math.CO
Extremal Sidon sets are Fourier uniform, with applications to partition regularity
推广Erdens-Freud和Lindström的结果，我们证明了整数的有界区间的最大Sidon子集在玻尔邻域中是等分布的。我们建立这表明，极值西顿集是傅里叶伪随机，因为它们没有大的非平凡的傅里叶系数。作为进一步的应用，我们推出，任何分区正则方程在五个或更多的变量，每一个有限着色的极值西顿集有一个单色的解决方案。
2021-10-26 math.CO math.NT
On generalizing cryptographic results to Sidon sets in $\mathbb{F}_2^n$
本文利用并推广密码学中 APN 函数的 Walsh 变换结果，分类了具有最小线性度的 Sidon 集为 $k$-覆盖，并通过 Cayley 图构造了唯一强正则图，同时将 $\mathbb{F}_2^{4t+1}$ 中最大 Sidon 集下界提高 1。
2025-01-19 math.CO
Large Sidon Subsets and Pair-Sum Multiplicities of Distinct Multinomial Coefficients
该研究确定不同多项式系数集的西顿子集最大基数的下界，证明其为Ω(n log n)，给出Mₙ与s(n)差值的下界，还得到1≤n≤16时s(n)的精确值。
2026-08-10 math.CO
The number of multiplicative Sidon sets of integers
一个自然数集合$S$是乘法西顿，如果$S$中所有对的乘积是不同的。1938年，Erdens研究了$\{1,\ldots, n\}$的乘法Sidon子集的最大尺寸，后来确定为低阶项：$π(n)+Θ(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})$。我们证明了对于我们指定的函数$T(n)\approx 2^{1.815π(n)}$，$\{1,\ldots, n\}$的乘法Sidon子集的个数是$T(n)\cdot 2^{Θ(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})}$.这是一个罕见的例子，其中的数量级较低的次项的指数是确定的。它解决了Cameron和Erdens在80年代提出的乘法Sidon集的计数问题。我们还研究了它的推广广义乘法西顿集。用$S_k$，$k\ge 2$表示$\{1,\ldots, n\}$的乘法$k$-Sidon子集的数目.我们表明，$S_k(n)=(β_k+o(1))^{π(n)}$的一些$β_k$，我们明确定义。我们的证明是基本的。
2018-08-19 math.CO math.NT
Maximal Sidon Sets and Matroids
设X是一个阿贝尔群的子集，a_1，.，a_h，a'_1，...，a '_h是X的2 h个元素的序列，使得a_1 +... + a_h = a'_1 +. + 啊。集合X是h阶Sidon集合，如果在重新编号之后，a_i = a '_i，其中i = 1，.，H.对于k \leq h，集合X是阶为（h，k）的广义Sidon集，如果在重新编号之后，a_i = a '_i，其中i = 1，.，K.证明了若X是（2 h-1，h-1）阶广义Sidon集，则X中包含的h阶极大Sidon集具有相同的基数.此外，X是拟阵，其中X的独立子集是h阶Sidon集。
2005-04-11 math.CO math.NT
Popular differences and generalized Sidon sets
对于子集$A \subseteq [N]$，我们定义表示函数$ r_{A-A}(d) := \#\{(a,a') \in A \times A : d = a - a'\}$，并为$D>1$定义$M_D(A) := \max_{1 \leq d < D} r_{A-A}(d)$。我们研究的最小可能值的$M_D(A)$的$A$范围内的所有可能的子集的$[N]$与给定的大小。我们给出了明确的渐近表达式与常数系数确定的大范围的$D$。我们还将看到这个问题如何连接到一个著名的问题广义西顿集。
2020-03-01 math.CO math.NT
Constructions of Generalized Sidon Sets
我们给出了明确的结构集S的性质，对于每个整数k，有最多g的解决方案，k=s_1+s_2，s_i \in S;这样的集合被称为西顿集，如果g=2和广义西顿集，如果g \ge 3。我们扩展到广义西顿集的西顿集建设的歌手，玻色和Ruzsa。我们还进一步优化了Koulantzakis的思想交错的几个副本的西顿集，扩展Cilleruelo & Ruzsa & Trujillo，贾，和Habsieger & Plagne的改进。由此产生的建设产生最大的已知广义西顿集在几乎所有情况下。
2005-02-21 math.CO math.NT
Sidon sets for linear forms
设$φ(x_1,\ldots, x_h) = c_1 x_1 + \cdots + c_h x_h $是域$\mathbf{F}$中的系数的线性形式，并且设$V$是$\mathbf{F}$上的向量空间。$V$的一个非空子集$A$是$φ$集，如果对所有$h$ -元组$(a_1,\ldots, a_h) \in A^h$和$ (a'_1,\ldots, a'_h) \in A^h$，关系$φ(a_1,\ldots, a_h) = φ(a'_1,\ldots, a'_h)$蕴涵$(a_1,\ldots, a_h) = (a'_1,\ldots, a'_h)$ .线性形式$φ$存在无穷Sidon集当且仅当$φ$的系数集有不同的子集和.在具有$φ$ -Sidon集的赋范向量空间中，每个无穷向量序列渐近于一个$φ$ -Sidon向量集。得到了$φ$ -Sidon整数集的$p$ -adic扰动和$φ$ -Sidon整数集增长性的界.
2021-11-11 math.CO math.NT
Sidon sets in a union of intervals
研究了整数区间并中Sidon集的最大尺寸。如果$A\subseteq\mathbb{N}$是两个区间的并集，并且如果$\left| A \right|=n$（其中$\left| A \right|$表示$A$的基数），我们证明了$A$包含一个大小至少为$0, 876\sqrt{n}$的Sidon集.另一方面，利用小差技术，我们建立了$k$区间并中Sidon集的最大尺寸的界。
2022-02-02 math.CO math.NT
Forbidden Sidon subsets of perfect difference sets, featuring a human-assisted proof
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
该研究发现了一个反例，推翻了埃德尔斯关于有限西顿集可扩展为完美差集的猜想，并通过人机协作验证了反例的正确性。
2026-01-16 math.CO math.NT
An Improved Upper Bound for Finite Sidon Sets via Vector-Valued Smoothing
Fuzhou University（福州大学）
通过向量值卷积不等式和精确有理数验证，将Sidon集最大基数上界改进为N^{1/2} + 0.94601 N^{1/4} + O(1)。
2026-09-07 math.CO
On strong infinite Sidon and $B_h$ sets and random sets of integers
一个整数集$S \subset \mathbb{N}$是$α$ -强西顿集，如果它的元素的两两和相距很远，这取决于$α$，更具体地说，如果对于每个满足$\max \{x,w\} \neq \max \{y,z\}$的$x,y,z,w \in S$，$| (x+w) - (y+z) | \geq \max \{ x^α,y^α,z^α,w^α\}$.当$α$.我们还进一步扩展了这一概念，在一个自然的方式获得的第一个非平凡的$α$强无限$B_h$集的界限。在这两种情况下，我们研究的影响，这些界限的密度，分别是最大的西顿或$B_h$集包含在一个随机的无限子集的$\mathbb{N}$。我们的定理改进了Kohayakawa，Lee，Moreira和Rödl以前的结果。
2019-12-06 math.CO math.NT
On Multiplicative Sidon Sets
使用$g:=\gcd(a,b)$修复整数$b>a\geq1$。如果对于所有$x,y\in S$都是$ax\neq by$，则集合$S\subseteq\mathbb{N}$是\emph{$\{a,b\}$-multiplicative}。对于所有的$n$，我们确定了$[n]$中具有最大基数的$\{a,b\}$ -乘法集，并得出了$\{a,b\}$ -乘法集的最大密度为$\frac{b}{b+g}$的结论.对于$A, B \subseteq \mathbb{N}$，如果$ax=by$对所有$a\in A$、$b\in B$和$x,y\in S$都隐含$a = b$和$x = y$，则集合$S\subseteq\mathbb{N}$是\emph{$\{A,B\}$-multiplicative}。对于$1 < a < b < c$和$a, b, c$互质，我们给出了一个O（1）时间的算法来逼近$\{\{a\},\{b,c\}\}$ -乘法集的最大密度到任意给定的精度.
2012-09-20 math.CO math.NT
An improved upper bound for the size of the multiplicative 3-Sidon sets
如果方程$s_1s_2s_3=t_1t_2t_3$没有由取自这个集合的不同元素组成的解，我们说这个集合是乘法3-Sidon集合。本文证明了$\{1,2,\dots,n\}$的乘法3-Sidon子集的大小至多为$π(n)+π(n/2)+n^{2/3}(\log n )^{2^{1/3}-1/3+o(1)}$，从而改进了以前已知的最佳界$π(n)+π(n/2)+cn^{2/3}\log n/\log\log n$ .
2018-01-26 math.CO math.NT
Bounds for generalized Sidon sets
设$Γ$是阿贝尔群，$g \geq h \geq 2$是整数。一个集合$A \subset Γ$是一个$C_h[g]$ -集合，如果给定任何集合$X \subset Γ$与$|X| = k$，和任何集合$\{ k_1 , \dots , k_g \} \subset Γ$，至少有一个翻译的$X+ k_i$不包含在$A$中。对于任何$g \geq h \geq 2$，我们证明了如果$A \subset \{1,2, \dots ,n \}$是$\mathbb{Z}$中的$C_h[g]$ -集，则$|A| \leq (g-1)^{1/h} n^{1 - 1/h} + O(n^{1/2 - 1/2h})$ .证明了对任意整数$n \geq 1$，存在一个$C_3 [3]$ -集$A \subset \{1,2, \dots , n \}$，其中有$|A| \geq (4^{-2/3} + o(1)) n^{2/3}$ .我们还证明了，对于任何奇素数$p$，有一个$C_3[3]$ -集$A \subset \mathbb{F}_p^3$与$|A| \geq p^2 - p$，这是渐近最好的可能。利用极图理论中的投影范数图，证明了对任意整数$h \geq 3$，存在一个$C_h[h! +1]$ -集$A \subset \{1,2, \dots , n \}$，其中有$|A| \geq ( …
2013-11-12 math.CO
On the size of finite Sidon sets
本文改进有限Sidon集直径的下界，得到更紧的数值估计，并采用逻辑上更简单的方法，优于现有结果。
2022-07-25 math.CO math.NT
The Sidon Decomposition Problem in Abelian Groups of Bounded Torsion
本文证明了当对偶群有界挠时，Sidon集是拟独立集的有限并，从而完全解决了Malliavin等人遗留的剩余情形。
2026-06-04 math.CA math.CO math.FA
On large Sidon sets
Otto-von-Guericke-University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学）
本文利用高线性APN函数构造大Sidon集，并改进了APN函数线性的上界。
2026-01-01 cs.IT math.CO math.IT
The apparent structure of dense Sidon sets
本文揭示稠密 Sidon 集与射影平面之间的构造性联系，分类了来自 Desargues 平面的情形，并猜想所有稠密 Sidon 集均由此产生，同时列举了多种代数来源的较小 Sidon 集。
2023-01-19 math.CO math.NT
On Sidon sets in a random set of vectors
对于正整数$d$和$n$，令$[n]^d$是所有向量$(a_1,a_2,\dots, a_d)$的集合，其中$a_i$是具有$0\leq a_i\leq n-1$的整数。如果$S$中的两个（不一定是不同的）向量的所有和都是不同的，则$[n]^d$的子集$S$被称为\emph{Sidon set}。本文估计了与$[n]^d$中Sidon集的最大尺寸有关的两个数。首先，设$\mathcal{Z}_{n,d}$为$[n]^d$中所有Sidon集的个数。我们证明了$\log (\mathcal{Z}_{n,d})=Θ(n^{d/2})$，其中$Θ$的常数只依赖于$d$。接下来，我们估计包含在一个随机集$[n]^d_p$，其中$[n]^d_p$表示一个随机集从$[n]^d$通过选择每个元素独立概率$p$获得的西顿集的最大大小。
2014-10-21 math.CO math.NT
Sidon sets with $Δ$-separated sumsets in additive number theory
Lehman College (CUNY)（莱曼学院（市立大学系统））
该研究针对整数区间内最大Δ-分离西顿集的基数，推导了其上下界，属于加法数论中西顿集相关的理论研究。
2026-09-01 math.CO math.NT
The structure of Sidon set systems
本文研究了 Sidon 系统的结构，证明了其最大规模 $F_k(n)$ 的紧致下界，并推广了二项随机族及 $h$ 重和集的相关结果。
2024-02-19 math.CO math.NT
A solution to the Erdős-Sárközy-Sós problem on asymptotic Sidon bases of order 3
本文构造了一个同时是 Sidon 集和三阶渐近基的自然数集合，肯定解决了 Erdős、Sárközy 和 Sós 于 1993 年提出的问题，证明借助 Sawin 在函数域上关于 von Mangoldt 函数卷积的深刻结果。
2023-11-30 math.CO math.NT
On the rainbow Cameron-Erdős problem with respect to generalized Sidon sets of multidimensional grids
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
本文研究了广义B_{k,h}方程下的彩虹Cameron-Erdős问题，确定了无彩虹解的r-着色数量，并证明了[n]^d是唯一具有最大无彩虹解r-着色数的子集。
2026-04-20 math.CO
Continuous Ramsey Theory and Sidon Sets
实数的对称子集是在某个反射x --> c-x下保持不变的子集。给定0 < x < 1，存在一个实数D（x），它具有以下性质：如果0 < d < D（x），则[0，1]的每个测度为x的子集都包含测度为d的对称子集，而如果d > D（x），则存在[0，1]的测度为x的子集不包含测度为d的对称子集。在本文中，我们建立了D（x）的相同数量级的上界和下界：例如，我们证明了对于11/16 < x < 1，D（x）= 2x - 1;对于0 < x < 11/16，0.59 x^2 < D（x）< 0.8 x^2。这个连续问题与相应的离散问题密切相关。一个整数集合S称为B*[g]集合，如果对于任何给定的m，最多有g个序偶（s_1，s_2）\in S \times S，其中s_1+s_2=m;在g=2的情况下，这些更好地称为西顿集合。我们还建立了包含在{1，.，}中的B*[g]集的最大可能大小的相同数量级的上界和下界。n}，记为R（g，n）。例如，我们证明了< 1.31 \sqrt{gn} for all n >对充分大的整数g和n，R（g，n）g > 1，而R（g，n）> 0.79 \sqrt{gn}.这两个问题是如此相互关联，连续和离散的工具都可以应用于每个问题，效果令人惊讶。我们用来推导D（x）下界的各种L^p范数之间的调和分析方法和不等式也为R（g，n）提供了一致的上界，而我们用…
2002-10-05 math.CO math.NT
Enumeration of subsets with closedness in finite fields of characteristic 2
本文研究特征为2的有限域中子集的加法闭性（r值），通过枚举r值谱，为分析部分Steiner三元系、无和集、Sidon集和Schlore三元组等结构提供了基础。
2025-06-25 math.CO
Size-4 Counterexamples to the Sidon-Extension Conjecture
本文通过构造大小为4的Sidon集及其扩张，证明了Sidon集无法扩展为PDS，提出了非扩展Sidon集的最小大小可能为4，并给出了具体的例子和密度计算。
2026-05-14 cs.DM math.CO
An asymptotic Sidon basis of order $3-η$
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文强化皮拉特的结果，证明对任意\(0 < η < 0.0527\)，存在无限西顿集\(\mathcal{S}\subset \mathbb{N}\)是\(3 - η\)阶渐近基，通过发展皮拉特构造的截断版本并借助索温的深刻结果得以证明。
2026-07-21 math.CO math.NT
A new upper bound for Sidon sets in $\mathbb{F}_2^{4k+3}$
Department of Mathematics, Vanderbilt University（范德堡大学数学系）
本文证明了当 $n \equiv 3 \pmod 4$ 且 $n \geq 7$ 时 Sidon 集大小的新上界 $2^{\frac{n+1}{2}}-3$，并由此推出不存在某类二进制线性码以及 APN 函数非线性度至少为 3 的结论。
2026-09-24 cs.IT math.CO math.IT
The $m$-th Element of a Sidon Set
本文推导了规模接近 $n^{1/2}$ 的西顿集第 $m$ 个元素的渐近公式，给出相关结果的简易证明，并得到稠密西顿集元素和的渐近性质及例外集估计。
2025-08-21 math.CO math.NT
A combinatorial large sieve for Sidon sets, distances, and norm forms
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Emory University（埃默里大学）；Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
提出一种针对有界代数重数集合的组合大筛法，通过模小素数分裂产生碰撞与全局有界性矛盾，证明Sidon平方集、无重复距离网格点集等问题的超多对数上界。
2026-06-25 math.CO math.NT
Threshold functions for substructures in random subsets of finite vector spaces
随机对象的子结构的研究有着悠久的历史，始于Erdans和Rényi对随机图的子图的研究。研究了有限域上向量空间随机子集中某些子结构的存在性。首先，我们提供了一个一般的框架，可以应用于建立粗糙的阈值结果，并证明了一个限制泊松分布在阈值尺度。为了说明我们的框架，我们将我们的结果$k$长期等差数列，总和，直角三角形，平行四边形和仿射平面。我们还发现粗阈值的属性，一个有限的向量空间的随机子集是无和，或者是西顿集。
2020-04-01 math.CO
Improved Bounds on Sidon Sets via Lattice Packings of Simplices
阿贝尔群$ G $中的$ B_h $集（或$ h $阶的Sidon集）是$ G $的任何子集$ \{b_0, b_1, \ldots,b_{n}\} $，具有所有和$ b_{i_1} + \cdots + b_{i_h} $直到被加数的阶都不同的性质。令$ ϕ(h,n) $表示包含基数为$ n + 1 $的$ B_h $集的最小阿贝尔群的阶。证明了\[ \lim_{h \to \infty} \frac{ ϕ(h,n) }{ h^n } = \frac{1}{n! δ_L(\triangle^n)} , \]，其中$ δ_L(\triangle^n) $是欧氏空间中$ n $ -单形的格填充密度.这确定了渐近的情况下，这个密度是已知的（$ n \leq 3 $），并在其余情况下，$ ϕ(h,n) $的改进的界限。给出了有限阿贝尔群中$ h $阶基的单形格覆盖的相应几何刻画。
2017-09-28 cs.CG cs.IT math.CO
Finding large additive and multiplicative Sidon sets in sets of integers
本文研究整数有限集合中大型加性与乘性 $B_h[g]$ 集的存在性，证明二者最大规模至少为 $|A|^{(1+δ)/h}$，并给出 $h=2$ 时 $g=31$ 及大 $h$ 时 $g=1$ 的具体常数，推进了相关猜想。
2024-07-02 math.CO math.NT
New constructions and bounds for nonabelian Sidon sets with applications to Turán-type problems
本文构造了对称群及其乘积中的大型Sidon集，给出上界改进，并应用于极值图论，改进Hamilton路径上界并否定有向紧性猜想。
2025-09-09 math.CO
Large subsets avoiding algebraic patterns
ENS Paris-Saclay（巴黎萨克雷高等师范学院）
通过超限归纳法构造环面上的大子集，避免所有线性模式，并推广到避免代数模式的大集合，如无限阿贝尔群中的Sidon集。
2026-06-23 math.CO
On the largest subsets avoiding the diameter of $(0,\pm 1)$-vectors
令$L_{mkl}\subset \mathbb{R}^{m+k+l}$是具有条目$-1$的$m$、条目$0$的$k$和条目$1$的$l$的向量集合。本文研究了直径小于$L_{mkl}$的$L_{mkl}$的最大子集。将对$m=1$、$l=2$和任何$k$的最大子集进行分类。从这个结果，我们可以分类的最大$4$距离集包含的约翰逊计划$J(9,4)$的欧几里德表示。这是Bannai，Sato，and Shigezumi（2012）的一个公开问题。
2015-11-15 math.CO
Size of the largest sum-free subset of $[n]^3$ and $[n]^4$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
本文确定了三维和四维晶格立方体中最大无和子集的密度，解决了Cameron和Aydinian的猜想。
2025-12-16 math.CO
A Motivated Rendition of the Ellenberg-Gijswijt Gorgeous proof that the Largest Subset of $F_3^n$ with No Three-Term Arithmetic Progression is $O(c^n)$, with $c=\root 3 \of {(5589+891\,\sqrt {33})}/8=2.75510461302363300022127...$
受Croot-Lev-Pach突破的启发，Jordan Ellenberg和Dion Gijswijt最近证明了没有3项等差数列的$F_3^n$的子集的最大尺寸以指数方式小于$F_3^n$的尺寸$3^n$（更一般地说，是$F_q^n$的$q^n$）。在这里，我们给出了一个有动机的，自上而下的，他们美丽的证明，旨在使它被更广泛的观众欣赏。
2016-07-06 math.CO
On the Largest Product-free Subsets of the Alternating Groups
如果不存在具有全部在$A$中的$a,b,c$的$a=bc$的解，则组$G$的子集$A$称为无积。很容易看出，对称群$S_n$的最大无积子集是通过取所有奇置换的集合得到的，即$S_n \setminus A_n$，其中$A_n$是交替群。相比之下，寻找$A_n$的最大无积子集是一个长期存在的问题。我们解决了这个问题的大$n$，表明最大的尺寸是由以前的extractured极值的例子，即家庭的形式$\{π~|~π(x)\in I, π(I)\cap I=\emptyset\}$和他们的逆。此外，我们表明，最大的尺寸仅实现这些极值的例子，我们有稳定性：任何产品的$A_n$的子集几乎最大的大小是结构上接近一个极值的例子。我们的证明使用组合数学和非阿贝尔傅立叶分析的工具的组合，包括一个关键的新成分，利用了最近由Filmus，Kindler，Liftshitz和Minzer开发的对称群上的全局超压缩性理论。
2022-05-30 math.CO
Infinite Sidon-type sets for zero-sum linear forms
Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science University of São Paulo（圣保罗大学数学、统计与计算机科学研究所）
研究零和线性形式下集合\(A\)的密度限制，通过不同条件得出表示数与集合密度的关系，如特定\(\mathbf{b}\)形式及一般\(\mathbf{b}\)在间隙条件下的相关结论，恢复了关于\(B_{2k}\)序列的定理。
2026-07-24 math.CO math.NT
The largest projective cube-free subsets of $\mathbb{Z}_{2^n}$
在布尔格中，Sperner、Erdés、Kleitman和Samotij定理指出，不包含许多链的族必须具有非常特定的分层结构。我们表明，如果不是$\mathbb{Z}_2^n$，我们工作在$\mathbb{Z}_{2^n}$，几个类似的语句，如果一个取代字$k$链的投影立方体的尺寸$2^{k-1}$。我们说，$B_d$是一个投影立方体的尺寸$d$如果有一些$a_1, a_2, \ldots, a_d$，使$$B_d = \left\{\sum_{i\in I} a_i \bigg\rvert \emptyset \neq I\subseteq [d]\right\}.$$作为一个模拟的Sperner的和Erdalos的定理，我们表明，只要$d=2^{\ell}$是一个权力2，最大的$d$ -立方体自由集在$\mathbb{Z}_{2^n}$是工会的最大$\ell$层。作为Kleitman定理的一个类比，Samotij和Sudakov提出了一个问题：在给定$M$大小的$\mathbb{Z}_{2^n}$的子集中，使舒尔三元组（2-立方体）的数量最小化的集合是否是通过连续填充最大层而获得的集合。我们证明了第一个非平凡的情况下，其中$M=2^{n-1}+1$，并推测，模拟Samotij的定理也成立。还给出了几个悬而未决的问题和猜想。
2018-10-02 math.CO
Largest family without a pair of posets on consecutive levels of the Boolean lattice
假设$k \ge 2$是一个整数。令$Y_k$是具有元素$x_1, x_2, y_1, y_2, \ldots, y_{k-1}$的偏序集，使得$y_1 < y_2 < \cdots < y_{k-1} < x_1, x_2$和令$Y_k'$是相同的偏序集，但所有关系颠倒。如果一个$[n]$子集家族包含$k+1$子集$F_1, F_2, G_1, G_2, \ldots, G_{k-1}$使得$G_1\subset G_2 \subset \cdots \subset G_{k-1} \subset F_1, F_2$和$|F_1| = |F_2| = |G_{k-1}|+1 =|G_{k-2}|+ 2= \cdots = |G_{1}|+k-1$，则我们说该家族在连续水平上包含$Y_k$的拷贝。如果连续级别上的$Y_k$和$Y'_k$都被禁止，则最大的此类族的大小由$\mathrm{La}_{\mathrm{c}}(n, Y_k, Y'_k)$表示。在本文中，我们将确定$\mathrm{La}_{\mathrm{c}}(n, Y_k, Y'_k)$的精确值。
2020-03-18 math.CO
Avoiding configurations of small size in the square grid
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了避免平方网格中特定几何配置的子集最大大小问题，结合概率方法与Sidon集性质，证明了避免菱形的下界，并探讨了kites避免问题的构造与影响。
2026-02-19 math.CO
Online containers for hypergraphs, with applications to linear equations
一个超图G的容器集是顶点子集的集合，使得对于G中的每一个独立的（或者仅仅是稀疏的）集合，在集合中都有某个子集包含它。集合中的集合不应该很大，集合本身应该相对较小。Balogh、Morris和Samotij以及作者已经展示了具有有用特性的容器，以及一些应用。我们在这里的目的是给出一个比我们之前使用的算法更简单的算法，它仍然产生具有我们之前定理所需的所有属性的容器。此外，该算法产生具有所谓的在线属性的容器，允许以前的着色应用程序扩展到所有超图，而不仅仅是简单的超图。为了说明的目的，我们包括一个完整的证明稍微弱，但更简单的版本的定理，这对许多（也许是大多数）应用程序是足够的。我们还提出了一些应用程序的解决方案，免费的线性方程，包括西顿集的数量，以前宣布，但没有证明。
2016-11-04 math.CO
Maximum number of sum-free colorings in finite abelian groups
有限阿贝尔群$G$的子集$A$的$r$ -着色称为无和，如果它不诱导单色Schur三元组，即，三元组元素$a,b,c\in A$与$a+b=c$。我们研究了$G$的子集所允许的最大无和$r$ -着色数$κ_{r,G}$，并且我们的结果显示了$κ_{r,G}$与$G$的最大无和集之间的密切关系.给定一个足够大的$I$型阿贝尔群$G$，即，$|G|$有一个素因子$q$和$q\equiv 2\pmod 3$。对于$r=2,3$，我们证明了一个子集$A\subset G$达到$κ_{r,G}$当且仅当$A$是$G$的最大和自由集。对于偶数阶$G$，结果扩展到$r=4,5$，其中只有当$G$具有唯一的最大和自由集时，该现象才持续。相反，如果$G$中的最大自由和集不是唯一的，则$A$达到$κ_{r,G}$当且仅当它是两个最大自由和集的并集（在$r=4$的情况下）和三个（“独立”）最大自由和集的并集（在$r=5$的情况下）。我们的方法依赖于所谓的容器方法，并可以扩展到更大的$r$的情况下$G$是偶数阶，并包含足够多的最大和自由集。
2017-10-23 math.CO
On the largest sum-free subset problem in the integers
设$A \subset \mathbb{Z}_{>0}$的大小为$n$。证明了对于任何足够大的$C >0$和$n$，$A$包含大小至少为$n/3 +C$的无和子集。我们研究这个问题，并找到一个替代的证明Bourgain的结果，使采取$C=2/3$。
2022-07-28 math.CO math.NT
The Symmetric Subset Problem in Continuous Ramsey Theory
实数的对称子集是在某个反射z --> c-z下保持不变的子集。对于任意0 < x <= 1，我们考虑最大实数D（x）使得测度大于x的$[0,1]$的每个子集都包含测度为D（x）的对称子集.在这篇文章中，我们建立了D（x）的上、下界，它们具有相同的数量级：例如，我们证明了当11/16 <= x <= 1时，D（x）= 2x - 1;当0 < x <= 11/16时，0.59 x^2 < D（x）< 0.8 x^2。这个连续问题与相应的离散问题密切相关。一个整数集合S称为B*[g]集合，如果对于任何给定的m，最多有g个序偶（s_1，s_2）\in S \times S，其中s_1+s_2 = m;在g=2的情况下，这些更好地称为西顿集合。我们关于D（x）的下界意味着包含在\{1，2，.，n\}的基数小于1.30036 \sqrt{gn}。这改进了g >= 30时的Green结果。相反，我们使用B*[g]集的概率构造来建立小x的D（x）上界。
2006-08-15 math.CO math.NT
An improvement of the general bound on the largest family of subsets avoiding a subposet
令$La(n,P)$是不包含$P$作为（弱）子集的$[n]= \{1,2, ..., n \}$的子集族的最大大小，并且令$h(P)$是$P$中的最长链的长度。关于$|P|$和$h(P)$的$La(n,P)$最著名的上界是由Chen和Li提出的，他们证明了对于任何固定的$m \ge 1$，$La(n,P) \le \frac{1}{m+1} \left(|P| + \frac{1}{2}(m^2 +3m-2)(h(P)-1) -1 \right) {\binom {n} {\lfloor n/2 \rfloor}}$都是。在本文中，我们表明，$La(n,P) \le \frac{1}{2^{k-1}} (|P| + (3k-5)2^{k-2}(h(P)-1) - 1 ) {n \choose {\lfloor n/2\rfloor} }$任何固定的$k \ge 2$，提高了最好的已知上限。通过适当地选择$k$，我们得到$La(n,P) = O\left( h(P) \log_2\left(\frac{|P|}{h(P)}+2\right) \right) {n \choose \lfloor n/2 \rfloor }$作为推论，我们表明这是最好的可能为一般的$P$。我们也给出了一个不同的证明，这个推论使用广义钻石的界限。我们还表明，不包含$P$作为诱导子集的$[n]$子集的家庭的…
2016-03-16 math.CO
