发表机构
Department of Mathematics, Vanderbilt University（范德堡大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了当 $n \equiv 3 \pmod 4$ 且 $n \geq 7$ 时 Sidon 集大小的新上界 $2^{\frac{n+1}{2}}-3$，并由此推出不存在某类二进制线性码以及 APN 函数非线性度至少为 3 的结论。
AI 中文摘要
$\mathbb{F}_2^n$ 的子集 $S$ 若其中任意四个不同点的和不为零，则称为 Sidon 集。本文证明：当 $n \geq 7$ 且 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$|S| \leq 2^{\frac{n+1}{2}}-3$。由此推论，对任意偶数 $t \geq 4$，不存在二进制线性 $[2^t-3,2^t-2t-2,5]$ 码，这加强了 Brouwer 和 Tolhuizen 于 1993 年给出的不存在性结果。另一推论是：对偶数 $n \geq 4$，每个几乎完全非线性（APN）函数 $F \colon \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^n$ 的非线性度至少为 3。
英文摘要
A subset $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$ is called a Sidon set if no four distinct points of $S$ have zero sum. It is shown that if $n \geq 7$ and $n \equiv 3 \mod 4$, then $|S|\leq 2^{\frac{n+1}{2}}-3$. As a consequence, for any even $t \geq 4$, there does not exist a binary linear $[2^t-3,2^t-2t-2,5]$-code, strengthening a nonexistence result of Brouwer and Tolhuizen from 1993. As a second consequence, we also show that for an even integer $n \geq 4$, every almost perfect nonlinear (APN) function $F \colon \mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2^n$ has nonlinearity at least $3$.
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