Sidon sets in a union of intervals

Intervals in the Hales-Jewett theorem

The Hales-Jewett theorem states that for any $m$ and $r$ there exists an $n$ such that any $r$-colouring of the elements of $[m]^n$ contains a monochromatic combinatorial line. We study the structure of the wildcard set $S \subseteq [n]$ which determines this monochromatic line, showing that when $r$ is odd there are $r$-colourings of $[3]^n$ where the wildcard set of a monochromatic line cannot be the union of fewer than $r$ intervals. This is tight, as for $n$ sufficiently large there are always monochromatic lines whose wildcard set is the union of at most $r$ intervals.

区间调度与彩色独立集

Interval scheduling and colorful independent sets

调度中的许多应用，例如资源分配或钢铁制造，可以使用NP难独立集问题建模（给定无向图和整数k，找到至少k个成对不相邻顶点的集合）。在这里，我们遇到了特殊的图类，如2-并图（两个区间图的边向并）和带状图（一个区间图和一个簇图的边向并），在这些图类上，独立集仍然是NP-难的，但允许在多项式时间内的常数比近似。本文研究了2-并图和带图子类上独立集的参数化复杂性。我们的调查显着受益于一个新的结构“紧凑性”参数的区间图和新的问题配方使用顶点着色的区间图。我们的主要贡献是：1.我们证明了一个复杂性二分法：仅限于图类封闭的诱导子图和不相交的工会，独立集是多项式时间可解的，如果两个输入区间图是集群图，是NP-难的。2.我们绘制了有效的多项式时间预处理（也称为核化）的可能性和限制。3.我们扩展了Halldórsson和Karlsson（2006）的带图上独立集的固定参数算法，该算法由结构参数“最大活作业数”参数化，以证明该问题（也称为作业间隔选择）关于参数k是固定参数易处理的，并将他们的算法从带图推广到2-并图。随机数据的初步实验表明，最多15个作业和5*10^5个间隔的作业间隔选择可以在不到5分钟的时间内得到最佳解决。

Local and Union Boxicity

The boxicity $\operatorname{box}(H)$ of a graph $H$ is the smallest integer $d$ such that $H$ is the intersection of $d$ interval graphs, or equivalently, that $H$ is the intersection graph of axis-aligned boxes in $\mathbb{R}^d$. These intersection representations can be interpreted as covering representations of the complement $H^c$ of $H$ with co-interval graphs, that is, complements of interval graphs. We follow the recent framework of global, local and folded covering numbers (Knauer and Ueckerdt, Discrete Mathematics 339 (2016)) to define two new parameters: the local boxicity $\operator…

并闭集猜想的图形表述

The graph formulation of the union-closed sets conjecture

在1979年弗兰克尔提出，在有限的非平凡工会封闭集合的集合必须有一个元素，属于至少一半的集。我们证明了这等价于猜想，即在有限非平凡图中有两个邻顶点，每个顶点至多属于一半的最大稳定集。在这个图形公式中，其他特殊情况变得很自然。这个猜想对于非二部图是平凡成立的，并且证明了它对于弦二部图、次立方二部图、二部串平行图和二分圆区间图也成立.

最优并集概率区间是NP-难问题

Optimal Union Probability Interval Is NP-Hard

本文通过初等多面体坐标投影描述Boole概率问题的相关几何，证明计算事件并集概率的最优区间是NP-难问题，填补了相关文献空白。

由互反矩阵得到的有效一致矩阵的精确界

Exact bounds for efficient consistent matrices obtained from a reciprocal matrix

本文研究了互反矩阵的有效一致矩阵所在区间并集及其上下界可达元素集合，揭示了备选方案的偏序关系，并证明了特定条件下有效向量集合相等的充要条件。

区间的施赖尔集、超级施赖尔集与卡特兰数

Schreier Sets of Intervals, Super-Schreier Sets, and Catalan Numbers

该数学研究定义区间型施赖尔集、$k$-超级施赖尔集，证明其计数序列分别满足特定特征多项式对应的递推关系与带多项式余项的斐波那契型递推。

反单调函数空间的划分

Partitioning in the space of antimonotonic functions

本文研究了n元集上反单调布尔函数空间的划分问题。反单调函数是子集的偏序集的反链。分析并证明了该集合上的一个自然偏序.我们按照这种顺序来研究间隔。我们展示了如何区间的反单调函数，更不用说整个空间的反单调函数可以划分为不相交工会的某些类别的区间。这些区间是由较小集合上的反单调函数唯一确定的。这导致递归枚举算法和新的递归关系。利用不同的分解，我们得到新的递归公式的反单调函数的数量，从而单调函数的数量（即Dedekind数）。

The interval number of a planar graph is at most three

The interval number of a graph $G$ is the minimum $k$ such that one can assign to each vertex of $G$ a union of $k$ intervals on the real line, such that $G$ is the intersection graph of these sets, i.e., two vertices are adjacent in $G$ if and only if the corresponding sets of intervals have non-empty intersection. In 1983 Scheinerman and West [The interval number of a planar graph: Three intervals suffice. \textit{J.~Comb.~Theory, Ser.~B}, 35:224--239, 1983] proved that the interval number of any planar graph is at most $3$. However the original proof has a flaw. We give a different and shor…

具有Sturmian-like加细的划分

On the partitions with Sturmian-like refinements

在单位圆旋转无理角$α\in(0,1)$的动力学中，我们研究了其原子是左闭右开区间的有限并且其端点位于点$0$的过去轨迹上的分区的演化.与标准框架不同，我们关注的是原子是不连通集的分区。我们发现，这些分区的细化最终与细化的Sturmian分区，它由两个间隔$[0,1-α)$和$[1-α,1)$的原像相吻合。特别地，分区的细化最终由连通集组成，即，的间隔我们重新表述这一结果的Sturmian子移位：我们表明，对于每一个非平凡的因子映射从一个片面的Sturmian子移位，满足一个温和的技术假设，足够大的长度诱导的映射的滑动分组码是单射的。