A short nonalgorithmic proof of the containers theorem for hypergraphs
最近突破性的超图容器的方法，独立开发的Balogh，莫里斯和Samotij以及Saxton和Mesason，已被用来研究稀疏随机模拟的各种经典问题的组合和数论。以前已知的容器定理的证明使用了所谓的镰刀算法-一种遍历超图顶点的迭代过程。（Saxton和Mrsason还提出了一种替代的，在简单超图的情况下的随机构造。在这里，我们提出了第一个已知的确定性证明的容器定理，这是不是算法，即，它不涉及迭代过程。我们的证明是小于4页长，同时是完全独立的，概念上是透明的。虽然我们的证明是完全初等的，它的灵感来自于考虑超图的设置非标准分析，其中有一个概念的维数捕捉对数增长率的有限集。在完整地展示证明之前，我们包括一个一页的非正式大纲，其中提到了维度的概念，并总结了论证的本质。
2018-08-30 math.CO math.LO
Multicolour containers, extremal entropy and counting
在突破性的成果中，Saxton-Morrison和Balogh-Morris-Samotij发展了超图容器的强大理论。在本文中，我们探讨了这些理论的一些后果。我们使用一个简单的容器定理的Saxton-Kazason和一个基于熵的框架推导容器和计数定理的遗传性质的k-着色的非常一般的对象，其中包括顶点和边着色的一般超图序列作为特殊情况。在完全图序列的情况下，我们进一步得到了遗传性质的稳定性族和极值熵的刻画和传递结果。这涵盖了一个统一的框架内的各种组合结构，其中一些以前没有通过容器研究：有向图，定向图，比赛，多重图与有界多重和多色图等。特里最近独立地获得了类似的结果。
2018-01-16 math.CO
Algorithmic Applications of Hypergraph and Partition Containers
我们提出了一个通用的方法，将算法转换为更快的算法几乎规则的输入实例。非正式地，准正则输入是其中最大度比平均度大至多常数因子的输入。这类输入极大地推广了我们通常有改进算法的几类输入，包括有界度输入和随机输入。它还推广了我们通常没有更快算法的输入族，包括任意高程度的正则输入和非常密集的输入。我们应用我们的方法，实现突破，在精确算法的几个中心NP完全问题，包括$k$ -SAT，图着色，和最大独立集。我们的主要工具是相对较新的Hypergraph容器方法的第一个算法应用（Saxton和Mesason 2015，Balogh，Morris和Samotij 2015）。最近的突破，推广了早期版本的图（Kleitman和Winston 1982，Sapozhenko 2001），近年来已被广泛用于极值组合学。我们的工作的一个重要组成部分是（超）图容器分区容器的泛化。
2022-11-21 cs.CC cs.DS math.CO
List colourings of multipartite hypergraphs
用$χ_l(G)$表示$r$ -均匀超图~ $G$的列表色数. Saxton和第二作者推广了Alon关于图的一个结果，用容器的方法证明了：如果$G$是简单的，$d$是正则的，则$χ_l(G)\ge (1/(r-1)+o(1))\log_r d$是正则的.为了了解这个不等式有多接近最好的可能性，我们研究了当$G$是一个随机$r$ -部超图且$n$顶点在每个类中时的$χ_l(G)$。当$r=2$由Alon和Krivelevich确定时，在这里我们证明了$χ_l(G)= (g(r,α)+o(1))\log_r d$几乎肯定，其中$d$是~ $G$和$α=\log_nd$的期望平均度。函数$g(r,α)$是根据“优先顺序”定义的，并且可以相当明确地确定。这足以表明，容器方法给出了$r=2$和$r=3$的$χ_l(G)$的最佳下界，但也许令人惊讶的是，显然不是$r\ge4$。
2019-03-18 math.CO
A Hypergraph Container Method for Spread SAT: Approximation and Speedup
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文提出基于超图容器方法的SAT求解算法，通过分析子句分布的扩展程度，证明在特定结构下可快速区分不可满足与部分满足公式，扩展了非均匀情况下的应用。
2026-07-21 cs.CC math.CO
Rectilinear approximation and volume estimates for hereditary bodies via [0,1]-decorated containers
我们使用的超图容器理论的Balogh-莫里斯-Samotij和萨克斯顿-Mesquason获得一般的直线近似和体积估计序列的机构关闭某些家庭的投影。我们给出了一些应用程序，我们的结果，包括一个多色的推广定理的哈塔米，詹森和Szegedy的熵图的限制。最后，我们提出了一些问题的几何和分析方法的容器。
2023-02-16 math.CO
Multicolour containers and the entropy of decorated graph limits
在最近的突破性成果中，Saxton--Mesason和Balogh--Morris--Samotij发展了超图容器的强大理论。这些理论导致了大量的新结果的转移，并计数和表征典型的图的遗传性质。在一个不同的方向，哈塔米-詹森-Szegedy证明结果熵的图限制计数和图的密集遗传性质。在本文中，我们在这一领域的研究作出了三方面的贡献：1）我们推广了Saxton--Kesason的结果，得到了多色图的一般稠密遗传性质的容器定理。我们的主要工具是采用基于熵的框架。作为推论，我们得到了一般的计数、刻画和迁移结果。我们进一步扩展我们的结果，以涵盖各种组合结构：有向图，定向图，比赛，多部图，多重图，超立方体和超图。2)我们将Hatami-Janson-Szegedy关于图极限的熵的结果推广到装饰图极限的设定上。特别是，我们定义了一个切割规范的装饰图的限制，并证明了紧的空间装饰图的限制下，规范。3)我们探讨了容器和图极限方法之间的弱等价性，以计数和表征遗传性质的图。在一个方向，我们展示了我们的多色容器的结果可以用来恢复装饰版本的结果Hatami-詹森-Szegedy。在另一个方向，我们表明，我们的装饰扩展Hatami-詹森-Szegedy的结果图极限意味着计数和表征应用。特里最近独立获得了类似的容器结果。
2016-07-27 math.CO
The number of hypergraphs without linear cycles
$r$ -均匀线性$k$ -循环$C^r_k$是在$k(r-1)$顶点上的$r$ -均匀超图，其边是按循环排序的$r$连续顶点的集合，以这样的方式选择，即每对连续边恰好共享一个顶点。在这里，我们证明了线性圈的平衡过饱和结果，然后我们使用超图容器的方法，证明了对于任何固定的整数对$r, k \ge 3$，$n$顶点上的$C^r_k$ -free $r$ -uniform超图的个数是$2^{Θ(n^{r-1})}$，从而解决了Mubayi和Wang的一个猜想.
2017-06-05 math.CO
Probabilistic hypergraph containers
本文提出超图容器定理的概率版本，证明随机 $m$ 元顶点集通常落入由少量顶点构造的几乎独立集容器中，从而加强 Janson 不等式且证明更简洁。
2023-04-23 math.CO math.PR
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
Emory University（埃默里大学）
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
2026-05-15 math.CO
Independent sets in hypergraphs and Ramsey properties of graphs and the integers
组合学和其他相关领域中的许多重要问题都可以用超图中的独立集语言来表述。最近Balogh，莫里斯和Samotij，并独立萨克斯顿和Mrsason开发了非常一般的容器定理的独立集超图;这两个已经看到了许多应用到广泛的问题。本文利用容器方法对（超）图和整数的Ramsey（和Turán）性质的一些结果给出了较简短的初等证明.特别是：（一）我们推广随机拉姆齐定理的Rödl和Rucibrski通过提供一个弹性模拟。我们的结果统一和概括了该地区的几个基本结果，包括随机版本的图兰定理由于康伦和Gowers和沙赫特。(ii)上述结果也解决了Kohayakawa和Kreuter的非对称随机Ramsey猜想的一般子情形。(iii)所有上述结果实际上对一致超图都成立。(iv)对于一个（超）图$H$，我们确定，直到指数中的一个误差项，$n$ -顶点（超）图$G$的数目，这些图具有关于$H$的Ramsey性质（即，只要$G$是$r$ -着色的，在$G$中就有$H$的单色副本）. (v)我们通过证明结果的弹性版本来加强Friedgut，Rödl和Schacht的随机Rado定理。(vi)对于分区定期矩阵$A$，我们确定，直到一个错误项的指数，子集的数量$\{1,\dots,n\}$，存在一个$r$着色，其中不包含单色解决方案，$Ax=0$。一路上提出了一些开放的问题。
2018-11-27 math.CO
A quantitative container characterization of one-sided testability
Trinity College Cambridge（剑桥大学三一学院）；Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学切里顿计算机科学学院）；National Institute of Informatics (NII)（日本国立情报学研究所）
该研究解决了Alon等人的问题，定量刻画了稠密图模型中与规模无关的单侧可测试性，建立了其与超图容器的等价性，可扩展至多类结构并给出应用结果。
2026-08-04 cs.CC cs.DS math.CO
Independent Sets in Algebraic Hypergraphs
本文研究可定义在代数闭域上的超图。我们的目标是表明，在极值组合学中所谓的转移原则的精神，如果一个给定的代数超图是“稠密”在某种意义上，那么它的顶点的一般低维子集诱导一个子超图，也是“稠密”的。（由于技术原因，我们只考虑由有理函数参数化的低维子集。我们的证明方法受到了超图容器方法的启发，该方法由Balogh，Morris和Samotij开发，并由Saxton和Mesason独立开发（尽管将此方法适应代数设置会带来一些独特的挑战，这些挑战在使用有限超图时不会发生）。在此过程中，我们建立了代数几何中经典的纤维维数定理的自然推广，这本身就很有趣。
2020-01-03 math.AG math.CO math.LO
The replica symmetric solution for hypergraph independent sets in the critical regime
King’s College London（伦敦国王学院）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Max Planck Institute for Software Systems（马克斯·普朗克软件系统研究所）；Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学）
本文证明了一个变分公式，用于描述随机图中避免团等组合问题中非存在概率的对数渐近，该公式在整个临界区域成立，并基于超图硬核模型的副本对称Bethe自由能，通过窗口熵方法和信念传播引导的贪婪算法证明。
2026-10-08 math.CO
An asymmetric container lemma and the structure of graphs with no induced $4$-cycle
超图容器的方法，最近介绍了Balogh，莫里斯和Samotij，并独立的Saxton和Mesason，已被证明是一个非常有用的工具，在研究各种单调图的性质。特别地，该技术的相当直接的应用允许针对每个非二分图$H$定位具有给定边数的典型无$H$图中的边的分布经历从“类随机”到“结构化”的转变的阈值。另一方面，对于非单调的遗传图形属性，这种方法的标准版本甚至不允许建立这样的阈值的存在。在本文中，我们介绍了一种改进的容器方法，考虑到边缘和非边缘之间的不对称性的遗传图形属性的稀疏成员。作为应用，我们确定了一个典型的图的近似结构与$n$顶点，$m$边，没有诱导副本的$4$ -循环，每个功能$m = m(n)$满足$n^{4/3} (\log n)^4 \leqslant m \ll n^2$。我们证明了几乎所有这样的图$G$具有以下性质：$G$的顶点集可以被划分为一个“几乎独立”集（一个集$o(m)$边）和一个“几乎团”（一个集诱导一个子图密度$1-o(1)$）。$m$的下界是最优的，直到一个多对数因子，因为标准参数表明，如果$n \ll m \ll n^{4/3}$，那么几乎所有这样的图都是“类随机”的。作为进一步的结果，我们推断，随机图$G(n,p)$条件不包含诱导$4$ -周期经历相变在$p = n^{-2/3 + o(1)}$和$p = n^{-1/3 + o(1)}$。
2018-06-10 math.CO
On the number of linear hypergraphs of large girth
一个长度为$\ell$的$r$ -均匀\textit{linear cycle}，记作$C_{\ell}^r$，是一个$r$ -图，其边为$e_1, \ldots, e_{\ell}$，使得对于每个$i\in [\ell-1]$，对于所有其它对$\{i, j\},\ i\neq j$，$|e_i\cap e_{i+1}|=1$，$|e_{\ell}\cap e_1|=1$和$e_i\cap e_j=\emptyset$.对每一个$r\geq 3$和$\ell\geq 4$，证明了存在一个依赖于$r$和$\ell$的常数$C$，使得围长$\ell$的线性$r$ -图的个数至多为$2^{Cn^{1+1/\lfloor \ell/2\rfloor}}$ .进一步，我们推广了$\ell=4$的结果，证明了存在一个依赖于$r$的常数$C$，使得不含$C_{4}^r$的线性$r$ -图的个数至多为$2^{Cn^{3/2}}$ .证明的思想是将超图计数问题简化为一些图计数问题，然后应用图容器方法的一个变体，这可能是独立的兴趣。本文推广了Kleitman和Winston关于$C_4$ -free图的个数的一个突破性结果，证明了对于足够大的$n$，含有至多$n^2/32\log^6 n$ $C_4$的图的个数至多为$2^{11n^{3/2}}$.进一步证明了对于每个$r\geq 3$和$\ell\g…
2018-12-02 math.CO
Counting hypergraphs without linear cycles of fixed length
本文证明了对于所有整数 r,k≥3，不含线性环 C_k^{(r)} 的 r-超图数量为 2^{(1+o(1))ex_r(n,C_k^{(r)})}，完全解决了 Balogh 等人的猜想，采用平衡过饱和与容器方法，并在特殊情形使用多色熵定理。
2026-10-12 math.CO
On the number of sets with small sumset
本文研究阿贝尔群中具有小和集的子集数量，通过改进的容器型定理给出精确上界，并证明随机小和集几乎包含在小算术级数中，从而改进 Campos 等人的结果并几乎解决 Alon 等人的猜想。
2025-04-13 math.CO math.NT
On the number of linear uniform hypergraphs with linear girth constraint
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；Tongji University（同济大学）；Shanghai University（上海大学）
研究了具有线性圈长约束的线性均匀超图数量，通过概率删除方法和随机贪心过程，得出了该数量的下界。
2026-01-27 math.CO
On The Random Turán number of linear cycles
该研究针对Erdős-Rényi随机r-均匀超图与长度为2ℓ的r-均匀线性环的随机Turán数问题，利用容器方法和改进的线性偶环平衡过饱和结果，确定了r≥4、ℓ≥2时该Turán数的量级（误差为多重对数因子）。
2023-04-28 math.CO
Algorithmic Phase Transition for Large Independent Sets in Dense Hypergraphs
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
研究大规模密集超图中寻找大独立集的算法可行性，提出在线算法在均匀和r-部超图模型中分别达到r^{1/(r-1)}和(max_i γ_i)^{-1/(r-1)}的近似因子，并证明计算间隙的最优性。
2026-05-07 cs.CC cs.DM cs.DS
The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression
解决问题的卡梅隆和Erd \Ho s，我们表明，对于无限多的值的$n$，$\{1,2,\ldots, n\}$的子集，不包含一个$k$ -长期等差数列的数量是最多$2^{O(r_k(n))}$，其中$r_k(n)$是最大的基数的一个子集的$\{1,2,\ldots, n\}$没有$k$ -长期等差数列。这个界限是最优的，直到指数中的常数因子。对于$n$的所有值，我们证明了一个较弱的边界，这仍然是足以转移到稀疏随机设置的当前最佳上限$r_k(n)$。为了达到这些界限，我们建立了一个新的过饱和结果，它大致说明，集的大小$Θ(r_k(n))$包含超线性许多$k$ -长期算术级数。对于整数$r$和$k$，Erd \Ho询问是否存在一组没有$(k+1)$ -项等差数列的整数$S$，但是使得$S$的任何$r$ -着色产生单色的$k$ -项等差数列。奈舍特基尔和罗德尔，以及独立的斯宾塞，肯定地回答了这个问题。我们证明了以下密度版本：对于每一个$k\ge 3$和$δ>0$，存在一个合理密集的素数子集$S$没有$(k+1)$ -项等差数列，但每一个$U\subseteq S$的大小$|U|\geδ|S|$包含一个$k$ -项等差数列。我们的证明使用超图容器方法，这已被证明是一个非常强大的工具，在极值组合。容器方法背后的想法是用一个小证书集来描述一个大的独立集。我们在附录中给出了使用这个思想的两个进一…
2016-05-10 math.CO math.NT
