On the maximum size of a $(k,l)$-sum-free subset of an abelian group
一个给定的有限阿贝尔群$G$的子集$A$称为$(k,l)$ -无和的，如果$A$的$k$（不一定是不同的）元素的和不等于$A$的$l$（不一定是不同的）元素的和。我们感兴趣的是找到$G$中$(k,l)$ -无和子集的最大大小$λ_{k,l}(G)$。一个$(2,1)$ -无和集简称为无和集。循环群$\mathbb{Z}_n$中无和集的最大尺寸是由Diamanda和Yap在大约40年前发现的;任意有限阿贝尔群的一般情况最近由Green和Ruzsa解决。在这里我们找到了$λ_{3,1}(\mathbb{Z}_n)$的值。更一般地说，Hamidoune和Plagne最近的一篇论文研究了当$k-l$和$G$的阶是相对素数时$G$中的$(k,l)$ -无和集;我们扩展了他们的结果，看看没有这个假设会发生什么。
2008-03-31 math.CO math.NT
The Erdős-Ginzburg-Ziv constant and progression-free subsets
Ellenberg和Gijswijt最近给出了$({\mathbb Z_p})^n$（其中$p$是素数）中三项等差数列自由集大小的一个新的指数上界. Petrov总结了他们的方法，并将他们的结果推广到线性型。本文利用Petrov的结果给出了有限高秩阿贝尔群的Erdens-Ginzburg-Ziv常数的新的指数上界.我们的主要结果依赖于关于性质D的一个猜想。
2017-01-06 math.CO math.NT
The number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords提出了$\{1, \dots , n\}$中有多少个极大和自由集的问题，给出了$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的下界。本文证明了在$\{1, \dots , n\}$中实际上至多存在$2^{(1/4+o(1))n}$极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理，以及Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin关于无和集结构的结果。
2014-09-19 math.CO math.NT
On the size of subsets of $\mathbb{F}_p^{n}$ without $p$ distinct elements summing to zero
让我们修复一个主要的$p$。Erdens-Ginzburg-Ziv问题要求最小整数$s$，使得格点$\mathbb{Z}^n$中的任何$s$点的集合包含其质心也是$\mathbb{Z}^n$中的格点的$p$点。对于大的$n$，这实质上等同于要求$\mathbb{F}_p^n$的子集的最大大小，而$p$不同元素的总和不为零。本文对任意固定素数$p\geq 5$和大$n$给出了该问题的一个新的上界。特别是，我们证明了$\mathbb{F}_p^n$的任何子集没有$p$不同的元素总和为零的大小最多$C_p\cdot \left(2\sqrt{p}\right)^n$，其中$C_p$是一个常数，只取决于$p$。当$p$和$n$趋于无穷大时，我们的上界是$p^{(1/2)\cdot (1+o(1))n}$的形式，而所有以前已知的上界都是$p^{(1-o(1))n}$的形式（其中$p^n$是平凡的上界）。我们的证明使用所谓的多色和自由定理，这是一个后果的Croot-Lev-Pach多项式方法。这种方法及其后果已经适用于纳斯伦德以及福克斯和作者证明边界的问题在本文中研究。然而，使用一些关键的新想法，我们显着提高他们的界限。
2020-06-27 math.CO math.NT
Sets of integers with no large sum-free subset
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）
该研究解答了Erdos1965年的问题，证明对任意小正数eps，存在n元整数集，其足够大的子集必含满足x+y=z的三元组，丰富了整数集结构相关研究。
2026-07-30 math.CO math.NT
Four-term progression free sets with three-term progressions in all large subsets
本文主要研究不包含四项算术级数的集合，但在三项算术级数中仍然非常丰富，在这个意义上，所有足够大的子集至少包含一个这样的级数。证明了存在正常数$c$和不含四项等差数列的集合$A \subset \mathbb F_q^n$，并证明了对每个具有$|A'| \geq |A|^{1-c}$的子集$A' \subset A$，$A'$含有非平凡的三项等差数列.我们从$\mathbb{F}_{q}^{n}$的随机子集中的更一般的定量Roth型定理导出这一结果，改进了Kohayakawa-Luczak-Rödl/Tao-Vu的结果。我们还讨论了一个类似的现象的整数，在那里我们表明，所有$ε>0$，和所有足够大的$N \in \mathbb N$，存在一个四项的进步自由集$A$的大小$N$的属性，对于每一个子集$A' \subset A$与$|A'| \gg \frac{1}{(\log N)^{1-ε}} \cdot N$包含一个非平凡的三项算术级数。最后，我们包括我们的方法的另一个应用程序，显示在$\mathbb{F}_{q}^{n}$或$\mathbb{Z}$的属性“具有非平凡的三项进展在所有大的子集”的属性“具有大的附加能量”几乎完全不相关的设置。
2020-09-16 math.CO math.NT
On the largest sum-free subset of the lattice cube
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文确定了所有维度d下格立方体{1,2,…,n}^d中最大无和子集的极限密度，证明其由两个超平面切片构成，并给出反例说明对不含原点的凸集该结论不成立。
2026-06-17 math.CO math.NT
On solution-free sets of integers
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个集合$A \subseteq [n]$是无$\mathcal{L}$的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的“非平凡”解。在本文中，我们考虑以下三个一般性问题：（一）什么是最大的$\mathcal{L}$ -自由子集的$[n]$的大小？(ii)$[n]$有多少个不含$\mathcal{L}$的子集？(iii)$[n]$有多少个最大无$\mathcal{L}$子集？我们完全解决了（i）当$\mathcal{L}$是固定$p,q\in \mathbb N$的方程$px+qy=z$时的情况，其中$p\geq 2$。此外，直到一个乘法常数，我们回答（ii）为广泛的一类这样的方程$\mathcal{L}$，从而细化一个特殊情况下的结果绿色。对于三元齐次线性方程组$\mathcal{L}$，我们给出了$[n]$的极大无$\mathcal{L}$子集个数的各种界.为此，我们使用Green的容器和移除引理。
2016-10-19 math.CO math.NT
The number of sum-free subsets of lattice cubes
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文研究d维格点立方体$[n]^d$的无和子集数量，证明固定$d\geq3$时其数量为$2^{M([n]^d)+O_d(n^{d-1})}$，验证了Elsholtz与Rackham的猜想，所用方法结合了多种数学工具且避开了容器引理等。
2026-08-25 math.CO math.NT
Zero subsums in vector spaces over finite fields
Olson常数$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$表示最小正整数$t$，具有如下性质：基数$t$的每个子集$A\subset \mathbb{F}_{p}^{d}$包含具有零和的非空子集。估计$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$的问题是加法组合学中最古老的问题之一，即使对于$d=1$的情况也有着悠久而有趣的历史。本文证明了对任何固定的$d \geq 2$和$ε> 0$，$\mathbb{F}_{p}^{d}$的Olson常数对所有充分大的素数$p$都满足不等式$$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d}) \leq (d-1+ε)p$$.这就解决了Hoi Nguyen和Van Vu的一个猜想。
2021-03-09 math.CO math.NT
Subsets of $\mathbb{F}_q[x]$ free of 3-term geometric progressions
最近的几篇论文都考虑了拉姆齐理论的问题，即在不包含任何3项等比数列的情况下，整数的子集可以有多大。这个问题最近也被推广到数域，确定避免等比数列的理想的最大可能密度的界限。本文研究了$\mathbb{F}_q[x]$上的类似问题，首先构造一个避免这些级数的集合集并计算其密度，然后考虑$\mathbb{F}_q[x]$中避免三项等比数列的子集的上密度的界.这个新的设置给了我们一个参数$q$来改变和研究我们的界限如何收敛到1，因为它的变化，有限的特征引入了一些额外的组合结构，增加了在这方面的常见问题的可追溯性。
2016-01-21 math.CO math.NT
Progression-free sets in Z_4^n are exponentially small
我们表明，对于整数$n>0$，任何子集$A \subset Z_4^n$免费的三项等差数列的大小$|A| < 4^{c n}$，与一个绝对常数$c \approx 0.926$。
2016-05-21 math.CO math.NT
Explicit Constructions of Maximal 3-Zero-Sum-Free Subsets in $ (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^n $
本研究解决了Kaplan提出的$(\u2124/4\u2124)^n$中极大3-零和自由子集问题，用配对计数证明$|G|/2$下界最优，给出首坐标奇的显式构造（密度0.5，$n\u226410$验证），还通过AI辅助混合算法重现该结果，展示其组合搜索潜力。
2025-09-03 math.CO math.NT
On zero-sum subsequences of length exp(G)
设$G$是有限交换群.令$g(G)$是最小正整数$t$，使得群$G$的每个基数子集$t$包含基数子集$\mathrm{exp}(G)$，其和为零。本文证明了：若X是$\mathbb{Z}^2_{2n}$的一个子集，其基数为$4n+1$，且$2n$或$X$的$2n-1$元素具有相同的第一坐标，则$X$包含一个零和子集.作为我们结果的应用，我们证明了$g(\mathbb{Z}^2_6) = 13.$.这解决了Gao-Thangaduri猜想对于$n=6.$的情形.
2020-05-25 math.NT
Reconstructing a set from its subset sums: $2$-torsion-free groups
该研究针对无2-挠阿贝尔群，通过给出子集和映射纤维的代数与组合刻画，完整解决了从有限多重集的子集和多重集重构原集合的问题，刻画了所有子集和相等的多重集对，成果基于Ciprietti与第一作者的近期工作。
2024-12-09 math.CO math.NT
Zero-sum free sequences with small sum-set
设A是Z_n的零和自由子集，其中|A| =k.对于k \le 7，我们计算A的所有子集和的集合的最小可能大小。
2008-04-02 math.NT
Subset sums in $\BZ_p$
设$\BZ_p$是素数阶$p$的有限域，$A$是$\BZ_p$的子集.我们证明了关于以下两个基本问题的几个尖锐结果：（1）何时可以把零表示为$A$的不同元素之和？(2)何时可以将$\BZ_p$的每个元素表示为$A$的不同元素之和？
2006-10-05 math.CO math.NT
The largest $(k, \ell)$-sum-free subsets
设$\mathscr{M}_{(2,1)}(N)$是任意$N$正整数集合的最大无和子集的下确界。加法组合学中的一个古老猜想断言存在一个常数$c=c(2,1)$和一个函数$ω(N)\to\infty$作为$N\to\infty$，使得$cN+ω(N)<\mathscr{M}_{(2,1)}(N)<(c+o(1))N$。常数$c(2,1)$是由Eberhard、Green和Manners确定的，而$ω(N)$的存在仍然是一个大问题。本文研究了关于$(k,\ell)$ -无和集和限制$(k,\ell)$ -无和集的类似猜想。确定了每个$(k,\ell)$ -无和集的常数$c(k,\ell)$，并对无穷多个$(k,\ell)$证实了猜想.
2021-01-11 math.CA math.CO math.NT
On zero-sum free sequences contained in random subsets of finite cyclic groups
本文研究有限循环群随机子集中无零和序列的计数问题，给出了长度接近群阶的无零和序列数量及其按不同元素数分类的期望公式，并在参数固定时证明了相应的集中性结果。
2020-03-05 math.CO math.NT
Sum-free sets in abelian groups
设A是阿贝尔群G的子集.我们说A是无和的，如果在满足x + y = z的A中不存在x，y和z。对于任意G，我们确定G的最大无和子集的基数。这等于c（G）|G|，其中c（G）是依赖于G的常数，位于区间[2/7，1/2]中。我们还估计了G的无和子集的个数。结果是这个数的log_2是c（G）|G| + o（|G|），它紧到o项。对于某些阿贝尔群，即其阶可被3 k + 2形式的小素数整除的群，我们可以得到无和集的个数的渐近式。
2004-11-18 math.CO math.NT
Large sum-free subsets of sets of integers via $L^1$-estimates for trigonometric series
针对Erdős提出的加法组合学长期问题，通过三角级数的$L^1$估计证明：任意$n$元整数集含大小至少为$n/3+c\boldsymbol{\text{log log}}n$的无和子集，解决了该领域经典难题。
2025-02-12 math.CA math.CO math.NT
New lower bounds for three-term progression free sets in $\mathbb{F}_p^n$
本文通过构造具有可归约性质的二维子集并将其提升到高维，改进了 $\mathbb{Z}_m^n$ 中无三项等差数列集合的经典下界，使常数由 $1/2$ 提升至 $0.54$。
2024-01-23 math.CO math.NT
Sum-free subsets of finite abelian groups of type III
基数为$n$的有限阿贝尔群$G$称为III型群，如果$n$的每个素因子全等于1模3。得到了III型有限阿贝尔群$G$中最大可能基数的无和子集的分类定理。这个定理与已知的结果一起给出了任意有限阿贝尔群$G$中最大基数的无和子集的完整刻画。我们补充这一结果与一个定理的结构和自由子集的基数“接近”的最大可能在III型阿贝尔群$G$。然后，我们给出这些结果的两个应用。我们的第一个应用程序允许我们写下一个公式的轨道数的自然作用下的${\rm Aut}(G)$的集合上的无和子集的$G$的最大的基数时，$G$的形式$({\mathbf{Z}}/m{\mathbf{Z}})^r$，与所有素除子因子的$m$全等1模3，从而扩展的结果Rhemtulla和街。我们的第二个应用程序提供了$G$的无和子集的数量的上限。对于有限的阿贝尔群$G$的类型III和{ \em一个给定的指数}这个界限是实质上优于所暗示的界限的数目的总和自由的子集在一个任意有限的阿贝尔群，由于绿色和Ruzsa。
2016-06-02 math.NT
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
Sum-free sets in $Z_5^n$
众所周知，对于素数$p\equiv 2\pmod 3$和整数$n\ge 1$，初等阿贝尔群$\mathbb Z_p^n$的无和子集的最大可能大小是$\frac13\,(p+1)p^{n-1}$。我们建立了一个匹配的稳定性结果的情况下$p=5$：如果$A\subseteq\mathbb Z_5^n$是一个无和子集的大小$|A|>\frac32\cdot5^{n-1}$，那么有一个子群$H<\mathbb Z_5^n$的大小$|H|=5^{n-1}$和一个元素$e\notin H$，使$A\subseteq(e+H)\cup(-e+H)$。
2023-03-02 math.NT
On the self-replicating properties of Riemann zeta zeros: A statistical study
我们研究的差异的未标度的黎曼zeta零点，$γ-γ^{'}$，在大的距离。我们表明，独立的高度，一个子集的有限数量的连续零知道的位置较低级别的零。包含在零的子集中的信息与$ln(γ/(2π))$成反比，其中$γ$是子集的平均ζ。因为零的平均差也与$ln(γ/(2π))$成反比地减小，所以线$\Re(z)=1/2$的每个相等长度的段包含相等量的信息。差异的分布偏向最近的zeta零点，或者至少在非常接近的零点的情况下，当zeta零点在增加的方向上交叉时，偏斜度总是减小。我们还表明，分布的方差具有局部最大值，或者至少在每个zeta零点处有一个转折点，即，方差的二阶导数的局部最小值。此外，似乎零点越高，位于偏峰度平面中的差异的分布越复杂。约翰逊分布的灵活性使我们能够很好地拟合分布，尽管分布的偏度和峰度值。
2020-06-07 math.NT nlin.CD
Arithmetic progressions in Salem-type subsets of the integers
给定零密度的整数子集，我们定义了这样的集合的分数密度的较弱的概念。它示出了这个概念是如何对应的实的一个紧凑的子集的豪斯多夫维数。然后，我们表明，一个版本的定理的Zuebaba和Pramanik的3项等差数列的单位区间的子集也持有的整数的子集与分数密度，并满足一定的傅立叶衰减条件。
2010-07-13 math.NT
