Zero-sum free sequences with small sum-set
Gautami Bhowmik, Immanuel Halupczok, Jan-Christoph Schlage-Puchta
设A是Z_n的零和自由子集，其中|A| =k.对于k \le 7，我们计算A的所有子集和的集合的最小可能大小。
Let A be a zero-sum free subset of Z_n with |A|=k. We compute for k\le 7 the least possible size of the set of all subset-sums of A.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Subsequence Sums of Zero-sum free Sequences II
设$G$是有限阿贝尔群，$S$是$G$上的序列.令$f(S)$表示$G$中元素的数目，其可以表示为$S$的非空子序列上的和。本文确定了所有不含零和序列的序列$S$和$f(S)\leq 2|S|-1$。
Finite generating functions for the sum of digits sequence
我们得到了一些新的涉及序列$s_{2}\left(n\right),$的有限和，序列是$n$在基$2.$中展开式的位和。这些函数使我们推广了Allouche，Shallit等人的一些经典结果。
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
Extremal sequences for a weighted zero-sum constant
常数$C_A(n)$被定义为最小自然数$k$，使得$\mathbb Z_n$中的$k$元素的任何序列具有连续项的子序列，其$A$加权和为零，其中权重集$A\subseteq \mathbb Z_n\setminus \{0\}$。如果是$C_A(n)=k$，则$\mathbb Z_n$中长度为$k-1$的序列，如果没有连续项的$A$加权零和子序列，则称为$A$ -极值序列。我们刻画了这些序列的一些特定的权重集。
Multiple sums involving the terms of a general second order sequence of numbers
我们评估嵌套和$\sum_{a_{n - 1} = c}^{a_n } {\sum_{a_{n - 2} = c}^{a_{n - 1} } { \cdots \sum_{a_0 = c}^{a_1 } {x^{a_0 } } } }$，其中$a_n$和$c$是任何整数，$x$是实变量或复变量。因此，我们评估涉及一般二阶序列的项的多个和，Horadam序列$(W_j(a,b;p,q))$，由递归关系$W_0 = a,\,W_1 = b;\,W_j = pW_{j - 1} - qW_{j - 2}\, (j \ge 2)$为所有非负整数$j$定义;其中$a$，$b$，$p$和$q$是任意复数，具有$p\ne 0$，$q\ne 0$。
Writing pi as sum of arctangents with linear recurrent sequences, Golden mean and Lucas numbers
本文研究圆周率表示为弧切和的问题。特别地，我们利用线性递归序列得到了新的恒等式。此外，我们提供了一种方法，以表示圆周率为弧切线的总和，涉及黄金平均值，卢卡斯数，更一般地说，任何二次无理性。
Sums of $S$-units in sum of terms of recurrence sequences
设$S := \{p_1,\ldots ,p_{\ell}\}$是素数的有限集，用$\mathcal{U}_S$表示其素因子都在$S$中的所有有理数的集合.设$(U_n)_{n\geq 0}$是阶至少为2的非退化线性递归序列。本文给出了丢番图方程$aU_n + bU_m = z_1 +\cdots +z_r,$的解的有限性结果，其中$n\geq m$和$z_1, \ldots, z_r\in \mathcal{U}_S$ .
A Sequence of Cauchy Sequences Which Is Conjectured to Converge to the Imaginary Parts of the Zeros of the Riemann Zeta Function
证明了柯西数列的收敛性，如果证明为真，就可以用LeClair和França的超越方程准则证明黎曼假设.
Zero sums in restricted sequences
如果存在$\bfx=(x_1,\ldots,x_m)$使得\textit{$A$-weighted Davenport Z-sequence}.这里是$\bfzero_m=(0,\ldots,0)\in\Z_n^m$。类似地，如果存在具有$|Supp(\bfa)|=n$的$\bfa:=(a_1,\ldots,a_m)\in (A\cup\{0\})^m\setminus\{\bfzero_m\}$，则序列$\bfx$被称为\textit{$A$-weighted Erdős Z-sequence}，使得$\sum_i a_ix_i=0$，其中$Supp(\bfa):=\{i: a_i\ne 0\}$。如果没有$\Z_n$的元素在$\bfx$中出现超过$k$次，则将$\Z_n$序列$\bfx$称为$k$限制的.本文研究了长度为$m$的$k$ -限制$\Z_n$ -序列是$A$ -加权Davenport Z-序列时，$m$的最小值的确定问题。$A$加权的Erdibs Z序列）。我们也考虑同样的问题，随机$\Z_n$序列，为某些非常自然的选择$A$。
Some Results on Zero Sum Sequences in $Z_p^3$
Kemnitz猜想[9]指出，如果我们取一个长度为$4p-3$的$Z_{p}^{2}$中的元素序列，$p$是素数，那么它有一个长度为$p$的子序列，其和是$0$模$p$。众所周知，在$Z_{p}^{3}$中，为了得到类似的结果，我们必须取长度至少为$9p-8$的序列。在本文中，我们将表明，如果我们添加一个条件上的选择序列，那么我们可以得到一个很好的上限和一个下界，类似的结果保持。
Irrationality of the reciprocal sum of doubly exponential sequences
本文证明比值受特定范围约束的正整数序列几乎由其倒数之和唯一确定，并由此证明对几乎所有 α>1，渐近于 α^{2^n} 的序列倒数之和为无理数，同时为 Erdős–Graham 公开问题提供启发。
The subsums of zero-sum free sequences in finite cyclic groups
令$\mathbb Z_n$是阶为$n \ge 3$的循环群. S. Savchev & F. Chen（2007）证明了对于长度为$t > n/2$的$\mathbb Z_n$上的每个零和自由序列$S = a_1 \bullet \dots \bullet a_t$，存在与$n$互质的整数$g$，使得如果$\overline{r}$表示同余类$r$模$n$中的最小正整数，则$\sum_{i=1}^t \overline{ga_i} < n$。在同样的假设下，本文证明了$$\left\{ \sum_{i \in Λ} \overline{ga_i} \;\; \Bigg| \;\; Λ\subset \{1,2,\dots,t\} \right\} = \left\{ 1, 2, \dots, \sum_{i=1}^t \overline{ga_i}\right\}.$$，它简化了许多反零和问题的计算。
On a Conjecture on the Representation of Positive Integers as the Sum of Three Terms of the Sequence $\left\lfloor \frac{n^2}{a} \right\rfloor$
本文证明了Farhi关于正整数表示为序列$ \left\lfloor\frac{n^2}{a}\right\rfloor$的三项之和的猜想的几种情形。这是通过推广Farhi在他的原始论文中使用的方法来完成的。
Identities for the k-generalized Fibonacci sequence with negative indices and its zero-multiplicity
本文证明了负指数k-广义Fibonacci序列成员的恒等式，并应用这些恒等式导出了其零重数的精确公式。
On the $p$-adic zeros of the Tribonacci sequence
本文反驳了Marques和Lengyel关于Tribonacci序列成员的$p$ -adic赋值的一些论断.
The sequence of partial sums of a unimodular power series is not ultraflat
本文证明了满足模为1的复数序列所构成的单模多项式部分和序列不是超平坦序列，回答了 Zachary Chase 提出的问题。
Twisted rational zeros of linear recurrence sequences
本文提出非退化线性递推序列的扭曲有理零点概念，证明其数量有限，并确定 Tribonacci 序列仅有的非积分扭曲有理零点为 1/3 和 -5/3。
On Sylvester sums of compound sequence semigroup complements
本文考虑了不属于复合序列$G$生成的数值半群的自然数集合$\textit{NR}(G)$.我们推广了Tuenter的一个结果，它完全刻画了$\textit{NR}(G)$ .我们使用这个结果来计算Sylvester和，我们给出了一个直接的应用程序的一些家庭的复杂代数曲线的高阶Weierstrass点的重量的计算。
Partial sums of Horadam sequences: sum-free representations via generating functions
利用生成函数计算Horadam序列及其部分和。结果尽可能简单。
Zero-sum-free sequences with few subsequence sums
我们表明，零和自由序列的长度$n$在阿贝尔群跨越至少$2n$不同的子序列的总和，除非它具有刚性，易于描述的结构。
On the Gap-sum and Gap-product Sequences of Integer Sequences
在本文中，我们探讨了与合适的整数序列相关联的两类序列：间隙和序列和间隙积序列。这些是不在原始序列中的连续数的和与积。我们给出了封闭的形式，在原始序列，并在Horadam序列的情况下，我们发现的间隙和序列的生成函数。对于某些初等序列，我们指出了缺口积序列是由Fuss-Catalan-Raney数给出的。
Inverse zero-sum problems II
设$G$是可加有限阿贝尔群. $G$上的序列称为极小零和序列，如果它的各项之和为零，并且没有真子序列具有这个性质。$G$的Davenport常数是$G$上最小零和序列长度的最大值。它的价值是众所周知的群秩二。研究了秩为2的群的最大长度的极小零和序列的结构。假设一个很好的支持这个问题的猜想的形式$C_m \oplus C_m$组，我们确定这些序列的结构组的秩2。结合我们的结果和部分结果，这个猜想，产生无条件的结果，某些群体的秩二。
Inductive Methods and zero-sum free sequences
我们得到了达文波特常数的可判定性结果。
A Note on Minimal zero-sum sequences over ${\mathbb Z}$
${\mathbb Z}$上的零和序列是${\mathbb Z}$中的项和为$0$的序列。如果它不包含一个真零和子序列，则称之为极小。考虑${\mathbb Z}$上具有正项$a_1,\ldots,a_h$和负项$b_1,\ldots,b_k$的极小零和序列.我们证明了$h\leq \lfloor σ^+/k\rfloor$和$k\leq \lfloor σ^+/h\rfloor$，其中$σ^+=\sum_{i=1}^h a_i=-\sum_{j=1}^k b_j$.这些界限是紧的，并改善了以前的结果。对于任意正整数$n$，我们还证明了集合$\{i\in {\mathbb Z}:\; -n\leq i\leq n\}$上所有极小零和序列的集合上的自然偏序结构。
Structure of long idempotent-sum free sequences over finite cyclic semigroups
设$\mathcal{S}$是可加写的有限循环半群. $\mathcal{S}$的元素$e$称为幂等的，如果$e+e=e$。$\mathcal{S}$上的序列$T$称为{ \sl幂等和自由}，条件是$\mathcal{S}$的幂等元不能表示为来自$T$的一个或多个项的和。证明了$\mathcal{S}$上长度超过$\mathcal{S}$长度一半的幂等和自由序列是良结构的.这个结果推广了有限循环群上零和自由序列的Savchev-Chen结构定理。
On the regular sum-free sets
卡梅隆引入了一个双射之间的一组和自由集和一组的所有零一序列。本文研究了含有Cantor型序列和置换序列等的0 - 1序列所对应的自然数的无和集，这些无和集作为整数序列是2-正则的。我们还证明了对应于某些和自由集的序列是自动的。
Partial Sums of the Fibonacci Sequence
设$(F_n)_{n\ge 1}$为斐波那契数列。定义$P(F_n): = (\sum_{i=1}^n F_i)_{n\ge 1}$ ;即，函数$P$给出$(F_n)$的部分和序列。本文首先给出一个涉及$P^k(F_n)$的恒等式，它是将$P$应用于$(F_n)$ $k$次的结果序列.其次，我们提供了一个组合的解释$P^k(F_n)$中的数字。
On a sequence involving sums of primes
对于$n=1,2,3,\ldots$，令$S_n$为前$n$素数之和。我们主要证明了序列$a_n=\root n\of{S_n/n}\ (n=1,2,3,\ldots)$是严格减的，而且序列$a_{n+1}/a_n\ (n=10,11,\ldots)$是严格增的.我们还制定了类似的代数涉及孪生素数或分区的整数。
Sum-full sets are not zero-sum-free
设$A$是阿贝尔群的有限非空子集。我们证明了如果$A$的每个元素都是另外两个元素的和，那么$A$有一个非空的零和子集.也就是说，一个阿贝尔群的（有限的，非空的）满和子集不是零和自由的。
Short Zero-Sum Sequences Over Abelian $p$-Groups of Large Exponent
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群.令$η(G)$表示最小整数$\ell$，使得长度至少为$\ell$的$G$上的每个序列具有长度至多为$n$的零和子序列。当$G$是一个$p$ -群，其Davenport常数至多为$2n-1$时，我们确定了$η(G)$的精确值.这证实了Schmid和Zhuang在2010年提出的一个猜想中的一个等式。
The set of minimal distances of the monoid of plus-minus weighted zero-sum sequences and applications to the characterization problem
本文延续正负加权零和序列幺半群的系统性研究，聚焦该类幺半群的重要算术不变量极小距离集合，并探讨其在刻画问题中的应用，研究受代数整数范数幺半群应用需求推动。
Zero-sum subsequences in bounded-sum $\{-1, 1\}$-sequences
以下结果给出了本文的特色：设$t$，$k$和$q$是满足$q\geq 0$，$0\leq t < k$和$t \equiv k \,({\rm mod}\, 2)$的整数，且$s\in [0,t+1]$是满足$s \equiv q + \frac{k-t-2}{2} \,({\rm mod} \, (t+2))$的唯一整数.然后对于任何整数$n$使得\[n \ge \max\left\{k,\frac{1}{2(t+2)}k^2 + \frac{q-s}{t+2}k - \frac{t}{2} + s\right\}\]和任何函数$f:[n]\to \{-1,1\}$与$|\sum_{i=1}^nf(i)| \le q$，有一个$B \subseteq [n]$连续整数与$|\sum_{y\in B}f(y)| \le t$。此外，这个界是尖锐的所有参数和极值序列的特征。这和其他类似的结果，涉及不同的连续性，包括分解序列的连续性有界的重量。
Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences
自动序列不适合密码学应用，因为它们的子字复杂度和扩展复杂度都很小，并且它们的2阶相关性度量很大。这些序列是高度可预测的，尽管具有大的最大阶复杂度。然而，最近的研究结果表明，多项式序列的自动序列，如图厄-莫尔斯序列，是更好的候选人伪随机序列。自动序列的一个自然推广是形态序列，由一个不一定一致的可延长态射的不动点给出。本文证明了Zeckendorf基上的数和函数的最大阶复杂度的一个下界，它是一个态序列的例子。我们还证明了该序列的多项式连续性保持了与Thue-Morse序列类似的大的最高阶复杂度。
The characteristic sequence of the integers that are the sum of two squares is not morphic
本研究针对Tahay提出的两平方和整数的0-1特征序列是否为态射序列的问题，给出了否定答案，补充了该序列非自动性之外的非态射性结论。
On the maximal multiplicity of long zero-sum free sequences over $C_p\oplus C_p$
在本文中，我们指出，[Acta Arith. 128（2007）245-279]可以稍微修改以获得以下结果。设$\varepsilon \in (0,\frac 14)$和$c>0$，并设$p$是一个充分大的素数，取决于$\varepsilon$和$c$。则每个长度为$|S|\geq 2p-c\sqrt{p}$的$C_p\oplus C_p$上的零和自由序列$S$至少$\lfloor p^{\frac14-\varepsilon}\rfloor$次包含某个元素。
Følner sequences and sum-free sets
Erdwords表明，每一组$n$正整数包含一个子集的大小至少$n/(k+1)$不包含解决方案，以$x_1 + \cdots + x_k = y$。我们证明，常数$1/(k+1)$在这里是最好的可能性表明，如果$(F_m)$是一个乘法Følner序列在$\mathbf{N}$然后$F_m$没有$k$ -无和子集的大小大于$(1/(k+1)+o(1))|F_m|$。这提供了一个新的证明和推广最近定理的埃伯哈德，绿色，和方式。
On Bialostocki's conjecture for zero-sum sequences
令$n$是正偶数，并且令$a_1,...,a_n$和$w_1, ..., w_n$是满足$\sum_{k=1}^n a_k\equiv\sum_{k=1}^n w_k =0 (mod n)$的整数。Bialostocki的一个猜想指出，在{1，...，n}，使得$\sum_{k=1}^n w_k a_{σ(k)}=0 (mod n)$ .本文证明了当$w_1,...,w_n$构成具有偶公差的等差数列时的猜想。
Generalization of some weighted zero-sum theorems and related Extremal sequence
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，$A$是$[1,n-1]$的非空子集.具有权重$A$的$G$的达文波特常数（由$D_A(G)$表示）被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有非空的$A$加权零和子序列。类似地，组合不变量$E_{A}(G)$被定义为最小正整数$\ell$，使得长度为$\ell$的$G$上的任何序列具有长度为$|G|$的$A$加权零和子序列。在本文中，我们确定了$D_A(\mathbb{Z}_n)$的精确值，对于$n$的某些特定值，其中$A$是$\mathbb{Z}_n^*$中所有立方体的集合。我们还确定了在这种情况下，相关的极值序列的结构。
On the Davenport constant and on the structure of extremal zero-sum free sequences
设具有$1 < n_1 \t ... \t n_r$的$G = C_{n_1} \oplus ... \oplus C_{n_r}$是一个有限阿贝尔群$\mathsf d^* (G) = n_1 + ... + n_r - r$，$\mathsf d (G)$表示$G$上零和自由序列的最大长度.然后是$\mathsf d (G) \ge \mathsf d^* (G)$，人们一直认为等式对$G = C_n^r$成立。我们发现，等式不适用于$C_2 \oplus C_{2n}^r$，其中$n \ge 3$是奇数和$r \ge 4$。这给出了$C_{2n}^r$上的极值零和自由序列的结构的新信息。
On monoids of weighted zero-sum sequences and applications to norm monoids in Galois number fields and binary quadratic forms
设$G$是一个加法有限阿贝尔群，$Γ\subset \operatorname{End} (G)$是$G$的自同态群的子集.如果存在$γ_1, \ldots, γ_{\ell} \in Γ$使得$γ_1 (g_1) + \ldots + γ_{\ell} (g_{\ell})=0$，则$G$上的序列$S = g_1 \cdot \ldots \cdot g_{\ell}$是（$Γ$ -）加权零和序列。我们从赋范幺半群（具有Galois群$Γ$的Galois代数数域的幺半群）和正整数幺半群（用二元二次型表示）到加权零和序列幺半群构造了转移同态.然后研究了加权零和序列幺半群的代数和算术性质。
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
Explicit approximation of the sum of the reciprocal of the imaginary parts of the zeta zeros
本文给出了求和$\sum_{0<γ\leq T}\frac{1}γ$的一些显式上、下界，其中$γ$是$ζ(s)$的非平凡零点$ρ=β+iγ$的虚部.
Fibonacci Partial Sums Tricks
本文研究类斐波那契数列部分和的可除性，揭示前十项和等于第7项乘以11的魔术原理，并推广到其他二阶递推，证明类Pell数列存在类似技巧而类Jacobsthal数列不存在。
On arithmetic sums of Cantor-type sequences of integers
本文研究类似经典 Cantor 集的整数集及其和集结构，重点分析 B={⌊p^nα⌋} 的子集和 FS(B)，证明 p=2 时其自和覆盖自然数集，并给出 p>2 时的结构定理。
Long $n$-zero-free sequences in finite cyclic groups
整数模$n$的加法群${\mathbb Z}_n$中的序列称为$n$ -无零，如果它不包含长度为$n$且和为零的连续序列。本文刻画了长度大于$3n/2-1$的${\mathbb Z}_n$中的$n$ -无零序列。这些序列的结构是完全确定的，这概括了一些以前已知的事实。表征不能以相同的形式扩展到更短的序列长度。的主要结果的后果是最好的可能的下界的最大多重性的一项在$n$ -零自由序列的任何给定的长度大于$3n/2-1$在${\mathbb Z}_n$，也为合并的多重性的两个最重复的条款。另一个应用是在与经典的埃尔德什、金兹伯格和齐夫定理有关的函数的一定范围内求值。
Note on the index conjecture in zero-sum theory and its connection to a Dedekind-type sum
设$S=(a_1)\cdots(a_k)$是有限循环群$G$上的极小零和序列.索引猜想指出，如果$k=4$和$\gcd(|G|,6)=1$，则$S$的索引为1。本文研究了指数猜想，并把它与一个Dedekind型和联系起来。特别地，当$|G|$是素数时，我们重新证明了该猜想的一个特例.
On short zero-sum subsequences of zero-sum sequences
令$G$是有限阿贝尔群，并且令$η(G)$是最小整数$d$，使得在$G$上的长度至少为$d$的每个序列包含长度为$|T|\in [1,\exp(G)]$的零和子序列$T$。本文研究了非循环有限交换群$G$是否具有以下性质：至少存在一个整数$t\in [\exp(G)+1,η(G)-1]$，使得每个长度恰好为$t$的零和序列包含长度为$[1,\exp(G)]$的零和子序列.先前的结果表明，基团$C_n^2$（$n\geq 3$）和$C_3^3$具有上述性质。本文证明了包括$C_m\oplus C_n$与$3\leq m\mid n$，$C_{3^a5^b}^3$，$C_{3\times 2^a}^3$，$C_{3^a}^4$和$C_{2^b}^r$（$b\geq 2$）在内的更多的群都具有这一性质.对于秩为2的群和一些特殊的大指数群，我们也确定了所有具有上述性质的$t\in [\exp(G)+1, η(G)-1]$。
A reciprocity on finite abelian groups involving zero-sum sequences II
设$G$是有限交换群.对于任何正整数$d$和$m$，令$φ_G(d)$是$d$阶的$G$中的元素数，而$\mathsf M(G,m)$是长度为$m$的所有零和序列的集合。本文证明了对任意有限交换群$H$，$$|\mathsf M(G,|H|)|=|\mathsf M(H,|G|)|$$当且仅当对任意$d|(|G|,|H|)$，$φ_G(d)=φ_H(d)$.我们还考虑了这个结果的推广到非阿贝尔群的不变理论。
Zeros of Lattice Sums: 1. Zeros off the Critical Line
零点的二维总和的爱泼斯坦zeta型超过矩形格的类型的调查Hejhal和Bjueri在1987年被认为是，特别是一个总和首次研究波特和Titchmarsh在1935年。这些后者证明了几个性质的零总和超过矩形格，并评论了一个事实，即一个特定的总和有零的临界线。一个这样的零的行为作为一个函数的矩形晶格的周期$λ$的比率进行了研究，它示出，它不断演变的轨迹，接近临界线，达到它在一个点，这是一个二阶零的矩形晶格和。它进一步表明，周期比$λ$的范围可以这样确定的矩形晶格和的零点的谎言的临界线。
On a zero-sum problem arising from factorization theory
研究了有限阿贝尔群上极大长度的极小零和序列的零和问题。一个积极的回答这个问题产生的结构描述集的长度与最大的弹性转移Krull幺半群在有限的阿贝尔群。
A reciprocity on finite abelian groups involving zero-sum sequences
本文给出了有限阿贝尔群上含零和序列的一个互易性。设$G$和$H$是具有$(|G|,|H|)=1$的有限阿贝尔群.对于任何正整数$m$，令$\mathsf M(G,m)$表示长度为$m$的$G$上的所有零和序列的集合。我们有以下互惠$$|\mathsf M(G,|H|)|=|\mathsf M(H,|G|)|.$$此外，我们提供了一个组合的解释，上述互惠使用理性加泰罗尼亚组合学的想法。我们还利用不变量理论的方法给出并解释了有限阿贝尔群上的其他一些对称关系。除其他外，我们部分回答了Panyushev提出的一个问题，在一个广义的版本。
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