On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
On the largest sum-free subset problem in the integers
设$A \subset \mathbb{Z}_{>0}$的大小为$n$。证明了对于任何足够大的$C >0$和$n$，$A$包含大小至少为$n/3 +C$的无和子集。我们研究这个问题，并找到一个替代的证明Bourgain的结果，使采取$C=2/3$。
2022-07-28 math.CO math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
2021-09-29 math.CO math.NT
On the minimum size of subset and subsequence sums in integers
令$\mathcal{A}$是由$k$不同整数组成的$rk$项序列，每个整数在$\mathcal{A}$中精确地出现$r$次。$\mathcal{A}$的子序列的所有项之和称为$\mathcal{A}$的子序列和。对于非负整数$α\leq rk$，令$Σ_α (\mathcal{A})$为对应于长度为$α$或更长的序列的$\mathcal{A}$的所有子序列和的集合。当$r=1$时，我们将子序列和称为子集和，并将$Σ_α (\mathcal{A})$写成$Σ_α (A)$。在这篇文章中，使用一些简单的组合参数，我们建立$Σ_α (A)$和$Σ_α (\mathcal{A})$的大小的最佳下界。作为特例，我们也得到了一些已知的结果。
2022-11-23 math.CO math.NT
Factors of sums and alternating sums of products of $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$、$n_{m+1}=n_1$和非负整数$j$和$r$，以及$j\leqslant m$，下面的两个表达式\begin{align*} &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1} q^{j(k^2+k)-(2r+1)k}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k},\\[5pt] &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1}(-1)^k q^{{k\choose 2}+j(k^2+k)-2rk}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k} \end{align*}是$q$中的整数系数劳伦多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$ .本文给出了郭和曾获得的关于整数的二项式系数和幂的和与交错和的可除性结果的$q$ -模拟。我们还通过建立郭和曾的$q$类似物证实了他们的一些相关结构.本文最后给出了$q$ -选票数$\left({2…
2017-05-08 math.CO math.NT
On arithmetic sums of Cantor-type sequences of integers
本文研究类似经典 Cantor 集的整数集及其和集结构，重点分析 B={⌊p^nα⌋} 的子集和 FS(B)，证明 p=2 时其自和覆盖自然数集，并给出 p>2 时的结构定理。
2023-07-14 math.CO math.NT
The number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords提出了$\{1, \dots , n\}$中有多少个极大和自由集的问题，给出了$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的下界。本文证明了在$\{1, \dots , n\}$中实际上至多存在$2^{(1/4+o(1))n}$极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理，以及Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin关于无和集结构的结果。
2014-09-19 math.CO math.NT
Problems on infinite sumset configurations in the integers and beyond
本文围绕正密度自然数集中的无限和集及其他无限构型，梳理相关最新进展，并系统探讨待解决问题与存在的障碍。
2025-05-14 math.CO math.NT
Zero-sum problems for abelian p-groups and covers of the integers by residue classes
阿贝尔群的零和问题与整数的剩余类覆盖问题，是由P. Erdos在40多年前提出的两个不同的研究课题。在早期的公告[电子. Res. Announc. 9（2003），51-60]，作者声称这些看似无关的迷人领域之间存在着一些令人惊讶的联系。在本文中，我们建立了交换p-群的零和问题与整数覆盖之间的进一步联系。例如，我们将著名的Erdos-Ginzburg-Ziv定理推广如下：如果{a_s（mod n_s）}_{s=1}^k覆盖每个整数的2 q-1次或2 q次，其中q是素数幂，则对任何c_1，.，c_k在Z/qZ中存在{1，.，k}，使得sum_{s in I} 1/n_s=q且sum_{s in I} c_s=0。本文的主要定理统一了这两个领域中的许多结果，并推广了Alon-Friedland-Kalai关于正则子图的结果。
2009-05-13 math.CO math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set
设$a$和$b$是互素正整数。本文给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}(a,b)}λ^{n-1}n^m$的显式表达式或用Apostol-Bernoulli数表示的表达式，其中$m$非负整数，${\rm NR}(a,b)$表示不能用$a$和$b$表示的正整数集合.
2021-05-18 math.CO math.NT
Sharp bound on the number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords问，在$\{1, \dots , n\}$中，\emph{maximal}无和集的数量是否比无和集的数量小小于。在同一篇论文中，他们给出了极大自由和集个数的$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的一个下界。在这里，我们证明了以下几点：对于每个$1\leq i \leq 4$，有一个常数$C_i$，使任何$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots , n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$最大和自由集。我们的证明利用了Green的容器和移除引理，Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin的结构结果，以及Green和Morris最近关于小和集整数子集的数量的限制。讨论了阿贝尔群的极大无和子集个数的相关结果和公开问题。
2018-05-11 math.CO math.NT
Solutions to $\sum_{i=1}^n 1/x_i=1$ in integers $p^a\,q^b$ with $p$ and $q$ two set primes
University of Southern California（南加州大学）；Caltech（加州理工学院）
本文提出算法，用于在整数 $p^a q^b$ 中求解 $\sum_{i=1}^n 1/x_i=1$ 的所有非 distinct 解。
2026-02-02 math.CO math.NT
On representation of an integer as the sum of three squares and the ternary quadratic forms with the discriminants p^2, 16p^2
设s（n）是表示n为三个平方和的个数。证明了s（p^2n）- ps（n）的一个新的恒等式，其中p是奇素数.这个恒等式利用了判别式为p^2和16p^2的三元二次型。这些形式通过沃森变换联系在一起。为了证明这个身份，我们采用西格尔-韦伊和史密斯-闵可夫斯基产品的公式。
2011-01-30 math.CO math.NT
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
An efficient Algorithm to partition a Sequence of Integers into Subsets with equal Sums
将一个n个整数序列划分成具有指定和的子集是一个NP困难问题。在本文中，我们提出了一个有效解的齐次版本的这个问题，即在每个子集中的元素加起来相同的总和。
2018-07-16 math.CO
An alternative recursive formula for the sums of powers of integers
本文给出了含第一类Stirling数的整数幂和的另一个递推公式。作为一个显着的副产品，我们提供了一个非递归的加泰罗尼亚数的定义。
2021-03-06 math.CO
Maximum $k$-sum $\mathbf{n}$-free sets of the 2-dimensional integer lattice
对于正整数$n$，令$[n]$表示$\{1, \ldots, n\}$。对于2维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，$[n]\times [n]$的\textit{$k$-sum $\mathbf{b}$-free set}是$[n]\times [n]$的子集$S$，使得在$S$中没有满足${\mathbf{a}}_1+\cdots+{\mathbf{a}}_k =\mathbf{b}$的元素${\mathbf{a}}_1, \ldots, {\mathbf{a}}_k$。对于二维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，我们确定了$[n]\times [n]$的{ $k$ -sumPDMATHABMP-free set}的最大密度.这是第一次调查的非齐次和自由集问题在更高的层面。
2019-03-12 math.CO
Asymptotic enumeration of symmetric integer matrices with uniform row sums
研究了对角为零的非负整数的对称矩阵的个数，使得每行和相同。等价地，这些是零对角对称列联表，具有均匀的边缘，或无环的正则重图。当矩阵的大小趋于无穷大时，我们确定这个数的渐近值，只要行和足够大。我们猜想，我们的答案是有效的所有行和。
2013-01-21 math.CO
A Short Proof of Jacobi's Formula for the Number of Representations of an Integer as a Sum of Four Squares
一个简短的初等证明和有限形式的推广，给出了雅可比公式的数量的方式写一个整数作为一个四个平方和（这意味着拉格朗日著名的1777年定理。
1992-06-03 math.CO
A zero-sum theorem over Z
零和整数序列是一个非零项的序列，其总和为0。令$k>0$为整数，并且令$[-k,k]$表示$-k$和$k$之间的所有非零整数的集合。令$\ell(k)$是最小整数$\ell$，使得任何具有来自$[-k,k]$的元素且长度大于$\ell$的零和序列包含适当的非空零和子序列。在本文中，我们证明了一个更一般的结果，这意味着$\ell(k)=2k-1$为$k>1$。
2012-12-12 math.CO
Shape of the asymptotic maximum sum-free sets in integer lattice grids
我们确定的形状的所有无和集$\{1,2,\ldots,n\}^2$的大小接近最大值$\frac{3}{5}n^2$，解决了一个问题的Elsholtz和拉克姆。我们证明了所有这样的渐近最大和自由集完全位于条纹$\frac{4}{5}n-o(n)\le x+y\le\frac{8}{5}n+ o(n)$中。我们还确定了任何正整数$p$的子集$A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}^2$的最大大小，禁止满足$px+py=z$的三元组$(x,y,z)$。
2022-08-18 math.CO
On sum-intersecting families of positive integers
本文研究 {1,…,n} 上任意两子集交集均含 x+y=z 的和相交族规模，猜想上界为 2^n/4，并证明了 0.32·2^n 的上界。
2023-04-27 math.CO
A product of integer partitions
我提出了一个双射整数分区，导致递归表达式，封闭的公式和生成函数的基数的某些集的分区的正整数$n$。双射还导致分区上的产品是与一个自然的分级，从而定义一个自由的结合代数上的整数分区的集合。作为计算的结果，出现了某些整数集合，我称之为差集，并且差集中整数的乘积对于一个划分集合族是不变量。在这些结构中使用的主要组合对象是划分的费勒斯图的中心钩。
2009-06-16 math.CO
On the structure of large sum-free sets of integers
一个整数集合称为无和的，如果它不包含不一定与$x+y=z$不同的元素的三元组$(x,y,z)$。本文给出了密度至少为$2/5-c$的$\{1,2,\ldots,n\}$的无和子集的结构特征，其中$c$为绝对正常数.作为应用，我们导出了关于$\{1,2,\ldots,n\}$中两个无和集之并的最大尺寸的胡氏定理[Proc.Amer.Math.Soc.80（1980），711-712]的稳定性版本。然后，我们使用这个结果表明，可以划分为两个无和集的$\{1,2,\ldots,n\}$子集的数量是$Θ(2^{4n/5})$，证实了Hancock，Staden和Treglown的猜想[arXiv：1701.04754]。
2018-08-10 math.CO
An asymptotic formula for the number of non-negative integer matrices with prescribed row and column sums
我们计数mxn非负整数矩阵（列联表）与规定的行和列的总和（利润）。对于一类广泛的光滑利润，我们建立了一个计算有效的渐近公式近似矩阵的数量在一个相对误差，接近0的m和n的增长。
2010-04-05 math.CO math.MG math.PR
On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums
令$f(n,r)$表示具有$r$颜色的$A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$的着色的最大数目，使得每个颜色类是无和的。这里，和是子集$\lbrace x,y,z\rbrace$，使得$x+y=z$。我们证明了$f(n,2) = 2^{\lceil n/2\rceil}$，并描述了极值子集。此外，使用线性优化，我们渐近地确定了$r \leq 5$的$f(n,r)$的对数。Hàn和Jiménez在有限阿贝尔群的情况下也得到了类似的结果。
2017-10-16 math.CO
Integer decomposition property for Cayley sums of order and stable set polytopes
具有整数分解性质的格多面体出现在数学的许多领域。已知如果格多面体的Cayley和具有IDP，则它们的Minkowski和也具有IDP。本文研究了有限偏序集的序多面体与有限单图的独立集多面体的Cayley和。证明了序多面体的Cayley和与完美图的独立集多面体具有正则幺模三角剖分和IDP，从而它们的Minkowski和也具有正则幺模三角剖分和IDP.此外，还证明了对于图的序多面体和独立集多面体，下列条件是等价的：（i）Cayley和是Gorenstein;（ii）Minkowski和是Gorenstein;（iii）图是完美的.
2019-04-03 math.AC math.CO
Asymptotic estimates for the number of contingency tables, integer flows, and volumes of transportation polytopes
我们证明了一个渐近估计的数量mxn非负整数矩阵（列联表）与规定的行和列和，更一般地说，在网络中的整数可行流的数量。类似地，我们估计了具有指定行和列和的mxn非负实矩阵的多面体的体积。我们的估计是凸优化问题的解决方案，因此可以有效地计算。作为推论，我们证明了如果行和R=（r_1，.，r_m）和列和C=（c_1，...，c_n），其中r_1 + ... + r_m =c_1 +. +c_n =N离常向量足够远，则在元素总和为N的m × n个非负整数矩阵的一致概率空间中，行和为R的矩阵所组成的事件与列和为C的矩阵所组成的事件渐近正相关。
2008-08-21 math.CO math.MG
