Every positive integer is a sum of three palindromes
Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter
对于整数$g\ge 5$，我们证明了任何正整数都可以表示为基$g$中三个回文的和.
For integer $g\ge 5$, we prove that any positive integer can be written as a sum of three palindromes in base $g$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Simultaneous Palindromes
基$g$中的回文是整数$N$，当其在基$g$中的数字扩展反转时，该整数保持不变。令$g$和$h$被赋予不同的整数$>1$。本文讨论了有多少整数在基$g$中是回文的，有多少整数在基$h$中同时是回文的.
Most integers are not a sum of two palindromes
本文研究整数表示为两个 $g$ 进制回文数之和的稀疏性，通过计数上界 $X/\log^c X$ 证明大多数整数不具备该表示，并回答相关公开问题。
Palindromes in Different Bases: A Conjecture of J. Ernest Wilkins
我们证明了存在203个正整数$N$使得对于某个整数$d \geq 2$，这个数是一个以10为基数的$d$ -数字回文数，以及对于不同于10的某个以$b$为基数的$d$ -数字回文数.更准确地说，这种$N$的范围从22到9986831781362631871386899。
Every natural number is the sum of forty-nine palindromes
证明了十进制回文数集是自然数的可加基。具体地说，我们证明了每一个自然数可以表示为四十九（可能为零）十进制回文的总和。
Represent a natural number as the sum of palindromes in various bases
证明了回文集是自然数在任意基上的可加基。具体地说，我们证明了每个自然数都可以表示为基$d$中的$O(d)$回文的和。
Sums of Palindromes: an Approach via Automata
最近，Cilleruelo，Luca和Baxter证明了，对于所有的基b >= 5，每个自然数是最多3个自然数的和，其基b表示是回文。然而，b = 2、3、4的病例未得到解决。我们证明，使用基于自动机的决策过程，每一个自然数是最多4个自然数，其基2表示是回文的总和。在这里，常数4是最佳的。我们得到类似的结果为基地3和4，从而完全解决了这个问题。我们考虑这个问题的一些其他的变化，并证明类似的结果。我们认为，大量的基于案例的证明是一个很好的信号，决策过程可能有助于自动化的证明。
Algebraic integers with continued fraction expansions containing palindromes and square roots with prescribed periods
本文刻画了连分数展开包含回文序列且具有指定周期的代数整数，特别利用 Fibonacci 多项式处理各项均为 m 的特殊情形，并推导出相应整数平方根展开及正负 Pell 方程的基本解。
The infinitude of square-free palindromes
该研究证明了在任意固定底数下存在无限多个无平方因子回文数，并给出了相关整数个数的渐近表达式。
About Some Relatives of Palindromes
我们引入两类新的整数。第一类由数$N$组成，对于这些数至少存在一个非负整数$A$，使得$A$的和与$N$的位数之和加上和的逆，得到$N$。第二类由数$N$组成，其中至少存在一个非负整数$A$，使得$A$的和与$N$的位数之和乘以和的逆，得到$N$。所有具有偶数位数或奇数位数且中间位数为偶数的回文都属于第一类，所有具有至少两位数的回文都属于第二类。这些类包含并严格大于$b$ -ARH数类，分别是在Ni \c tic \u a \cite{N1}中引入的$b$ -MRH数.
Counting relatively prime pairs of palindromes
本文针对任意基数下固定奇数长度的回文数对，给出了互素回文数对数量的渐近公式，解决了 Banks 和 Shparlinski 提出的开放问题。
A characterization of prime $v$-palindromes
本文定义了 $v$-回文数，并证明素数 $v$-回文数恰好是特定形式孪生素数对中的较大者，从而在标准猜想下推出其仅有有限个。
Palindromes on the $τ$-circle: A note for Palindrome Tau Day, 6/28/26
本文通过将整数回文视为自反多项式在基上的取值，揭示其根关于单位圆的对称性，并发现日期62826隐含单位原立方根（角度τ/3）及另一对圆上根。
Infinitude of palindromic almost-prime numbers
本文证明了在任意基数下，存在无穷多个至多含六个较大素因子的回文数，通过等分布估计和矩上界实现。
On Polynomial Pairs of Integers
正整数$A$的逆数是将$A$以十进制表示形式倒读得到的数。如果乘积$A \times B$的逆等于$A$和$B$的逆的乘积，则称正整数对$(A,B)$是回文的。如果乘积$A \times B$可以在没有进位的情况下执行，则正整数对$(A,B)$被称为多项式。在本文中，我们使用多项式对构造和研究回文对的性质。它表明，多项式对总是回文。进一步证明，只要$A$和$B$本身都不是回文，则所有回文对都是多项式。一个连接是与休闲数学的经典主题，如反转乘法，回文平方和代表。
Factors of sums and alternating sums involving binomial coefficients and powers of integers
本文研究了某些涉及二项式系数和整数幂的和与交错和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1,..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，存在{align*} \sum_{k=0}^{n_1} ε^k（2k+1）^{2 r +1} \prod_{i=1}^{m} {n_i+ n_{i+1} +1 \choose n_i-k} \equiv 0 \mod（n_1+n_m+1）{n_1+n_PDMATHABMS}，{align*}并猜想对任意非负整数$r$和正整数$s$，使得$r+s$是奇数，有$$ \sum_{k=0}^{n}ε^k (2k+1)^{r}({2n\choose n-k}-{2n\choose n-k-1})^{s} \equiv 0 \mod{2n\choose n}, $$其中$ε=\pm 1$ .
Generalization of Ramanujan's formula for sums of half-integer powers of consecutive integers via formal Bernoulli series
本文通过形式Bernoulli级数推广了Ramanujan关于连续整数半整数次幂求和的公式，扩展了原有结果到所有正半整数次幂。
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
Interesting identities involving weighted representations of integers as sums of arbitrarily many squares
在本文中，我们得到的正整数表示为任意多个平方（和其他多边形数）与一定的自然权重的和的数量的公式。由此得到的加权和给出两个拟模形式的加权的傅里叶系数。
Integral representations of equally positive integer-indexed harmonic sums at infinity
我们确定了黎曼ζ函数的一个划分论推广和无穷远处的等正整数指标调和和，得到了后者的生成函数和整表示.特殊情况与正整数参数的zeta值一致。
On the Largest Integer that is not a Sum of Distinct Positive $n$th Powers
已知对于任意正整数\(n\)，序列\(S(x^n)=(1^n, 2^n, \ldots)\)是完备的，这意味着每个足够大的整数是正整数的不同\(n\)次幂的和。证明了每一个整数\(m\geq (b-1)2^{n-1}(r+\frac{2}{3}(b-1)(2^{2n}-1)+2(b-2))^n-2a+ab\)，其中\(a=n!2^{n^2}\)，\(b=2^{n^3}a^{n-1}\)，\(r=2^{n^2-n}a\)是正整数的不同\(n\)次幂之和.
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
On the Gap-sum and Gap-product Sequences of Integer Sequences
在本文中，我们探讨了与合适的整数序列相关联的两类序列：间隙和序列和间隙积序列。这些是不在原始序列中的连续数的和与积。我们给出了封闭的形式，在原始序列，并在Horadam序列的情况下，我们发现的间隙和序列的生成函数。对于某些初等序列，我们指出了缺口积序列是由Fuss-Catalan-Raney数给出的。
On the largest sum-free subset problem in the integers
设$A \subset \mathbb{Z}_{>0}$的大小为$n$。证明了对于任何足够大的$C >0$和$n$，$A$包含大小至少为$n/3 +C$的无和子集。我们研究这个问题，并找到一个替代的证明Bourgain的结果，使采取$C=2/3$。
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
On the minimum size of subset and subsequence sums in integers
令$\mathcal{A}$是由$k$不同整数组成的$rk$项序列，每个整数在$\mathcal{A}$中精确地出现$r$次。$\mathcal{A}$的子序列的所有项之和称为$\mathcal{A}$的子序列和。对于非负整数$α\leq rk$，令$Σ_α (\mathcal{A})$为对应于长度为$α$或更长的序列的$\mathcal{A}$的所有子序列和的集合。当$r=1$时，我们将子序列和称为子集和，并将$Σ_α (\mathcal{A})$写成$Σ_α (A)$。在这篇文章中，使用一些简单的组合参数，我们建立$Σ_α (A)$和$Σ_α (\mathcal{A})$的大小的最佳下界。作为特例，我们也得到了一些已知的结果。
Factors of sums and alternating sums of products of $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$、$n_{m+1}=n_1$和非负整数$j$和$r$，以及$j\leqslant m$，下面的两个表达式\begin{align*} &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1} q^{j(k^2+k)-(2r+1)k}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k},\\[5pt] &\frac{1}{[n_1+n_m+1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1}\sum_{k=0}^{n_1}(-1)^k q^{{k\choose 2}+j(k^2+k)-2rk}[2k+1]^{2r+1}\prod_{i=1}^m {n_i+n_{i+1}+1\brack n_i-k} \end{align*}是$q$中的整数系数劳伦多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$ .本文给出了郭和曾获得的关于整数的二项式系数和幂的和与交错和的可除性结果的$q$ -模拟。我们还通过建立郭和曾的$q$类似物证实了他们的一些相关结构.本文最后给出了$q$ -选票数$\left({2…
Sumsets in primes containing almost all even positive integers
设$A$是直到$x$的素数的子集。如果我们假设$A$在任何$c>0$的模$q\leqslant(\log x)^c$的等差数列中是均匀分布的（在Siegel-Walfisz意义上），那么当$x$趋于无穷大时，和集$A+A$在自然数中的密度为1/2，这也产生了几乎所有的偶数正整数都可以表示为$A$中两个素数的和，因为$x$趋于无穷大。这一结果改进了以往在这种特殊情况下的结果，并可与二进制哥德巴赫问题例外集的经典估计相比较。
Integers representable as the product of the sum of four integers with the sum of their reciprocals
利用椭圆曲线的理论，研究了四个整数之和与其倒数之和的乘积可表示的整数，给出了正表示整数的一个充分条件.
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
Three integers whose sum, product and the sum of the products of the integers, taken two at a time, are perfect squares
针对欧拉提出的三整数和、积及两两乘积之和均为平方数的问题，本文用新方法得到低次多项式参数化解及数值较小的解。
Expressing an integer as a sum of cubes of polynomials
本文证明无穷多整数可表示为四个整系数多项式立方和，且每个整数可表示为五个多项式立方和，并给出1和2的具体恒等式。
On Integer Sequences Associated To Two Distinct Sums
本文证明了存在长度至少为3（7除外）的整数序列，使得对于位置$i\equiv 1\pmod{4}$（分别为位置$j\equiv 3\pmod{4}$）上的每个整数，从左到右计数，该整数与相邻整数之和为常数$x$（分别为$y$）与$x\ne y$ .
On sums of S-integers of bounded norm
本文证明了数域K中S-整数个数的一个渐近公式，该数域K可由n个有界范数的S-整数之和表示。
The exponential sum over squarefree integers
给出了无平方因子整数上指数和的一个上界.这建立了Brüdern和Perelli的一个猜想。
Multiple harmonic sums and multiple harmonic star sums are (nearly) never integers
众所周知，对于$n>1$，调和和$H_n(1)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$从来不是整数。1946年，Erdens和Niven证明了嵌套多重调和和$H_n(\{1\}^r)=\sum_{1\le k_1<\dots<k_r\le n}\frac{1}{k_1\cdots k_r}$只能对有限个正整数$n$取整数值。在2012年，Chen和Tang通过证明$H_n(\{1\}^r)$仅对$(n,r)=(1,1)$和$(n,r)=(3,2)$是整数来改进这一结果。本文研究了任意重调和和重调和星和的积分问题，证明了除了上述自然例外，这些和都不是整数。
Exploring the Representation of Large Positive Integers as Sums of Prime Powers and Integer Powers: Analysis with Positive Density Subsets
本文利用转换原理研究大正整数表示为素数幂与整数幂之和的问题，其中素数和整数幂分别取自正密度子集，拓展了加法数论中的表示理论。
An analogue of Ramanujan's sum with respect to regular integers (mod $r$)
如果存在整数$x$使得$a^2x\equiv a\pmod{r}$，则称整数$a$是正则的（mod $r$）。在本文中，我们介绍了一个模拟的Ramanujan的总和关于正规整数（mod $r$），并表明，这种模拟具有类似的性质，通常的Ramanujan的总和。
Sums of powers of consecutive q-integers
给出了k-1以内的正整数的n次幂和的q-模拟。
Expressing three consecutive integers as sums of three cubes
本文研究将连续整数表示为三个立方数之和的问题，给出三个连续整数的若干参数化解，并讨论五至七个连续整数的平凡解，最后提出四个及以上连续整数的开放问题。
Representation of an integer as the sum of a prime in arithmetic progression and a square-free integer
一致地为小$q$和$(a,q)=1$，我们得到的加权方式的数量的估计，一个足够大的整数可以表示为一个素同余$a$模$q$和一个无平方整数的总和。我们的方法基于Ramaré提出的局部模型概念，可以被视为一种抽象的圆方法。
On the sum of integers from some multiplicative sets and some powers of integers
我们表明，如果存在一个整数的一些合同条件，不能被写为一个理想的范数在$\mathbb{Z}[\exp(2πi/2^k)]$和至多$k$权力的$2$，$k\geq 3$，然后有无穷多个这样的整数。此外，如果存在一个整数，不能写为一个整数的总和，这是一个理想的范数在$\mathbb{Z}[\exp(2πi/p)]$和最多$p-2$幂的$p$，其中$p\geq 3$是一个素数，那么有无限多这样的整数。最后证明了对于$p\geq 3$素数，有无穷多个整数不是$\mathbb{Z}[\exp(2πi/p)]$中理想的范数之和，至多是$p$的$p-2$幂.
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
Sums of integers and sums of their squares
假设一个正整数$n$被写为$m$整数的平方和。关于这些$m$整数之和本身的值$T$，我们能说些什么呢？如果把$n$的所有可能表示都看作是$m$整数的平方和，那么可以得到哪个$T$？Goldmakher和Pollack用$\mathscr{S}_m(n)$表示所有可能的$T$的集合，并使用初等参数给出了$\mathscr{S}_4(n)$的简单特征。他们的结果可以重新解释的莫德尔的理论表示的二元整二次型的平方和积分线性型。基于这种方法，我们的特点$\mathscr{S}_m(n)$的所有$m\leq 11$，并提供了一些部分结果，任意$m$。我们还展示了如何莫德尔的结果可以用来研究原来的问题，其中整数的总和是由这些整数的线性型取代的变化。这样，我们恢复和推广了Z.W. Sun et. al..
The average number of representations of an integer as a sum of two prime powers over multiples of a fixed integer
本文扩展Ikeda和Suriajaya(2025)的结果，研究固定整数q的倍数上整数n作为两个素数k次幂之和的表示数的渐进行为。
Estimates of Newman Sum over Numbers Multiple of a Fixed Integer
本文证明了当求和的上极限趋于无穷大时，非3的整数倍的Newman和与可被3整除的整数倍的Newman和之比为o（1），并讨论了所得结果与素数的一个数字猜想的关系.
Sums of squares of integers except for a fixed one
本文研究除固定整数外的整数平方和问题，对任意非负整数$n$找到了能表示所有相关正整数的最小平方数数量，推广了Dubouis在$n=0$时的结果。
The density of integers representable as the sum of four prime cubes
可以写成四个素立方之和的整数集合至少具有较低的密度$0.009664$。这改进了Ren的$0.003125$和Liu的$0.005776$的早期界。
Note on the sums of powers of consecutive $q$-integers
本文对正偶数构造了Barnes的Bernoulli数和二次多项式的$q$ -模拟，这是对Schlosser问题的一部分的回答.对于正的奇数，Schlosser的问题仍然是开放的。最后，我们将处理的$q$ -模拟的权力和连续整数。
On integers which are representable as sums of large squares
证明了集合$\{n^2,(n+1)^2,\ldots \}$中不可表示为元素的整系数线性组合的最大正整数是渐近的$O(n^2)$，从而验证了Dutch和Rickett的一个猜想.此外，我们问一个问题的代表性的整数作为总和的四个大广场。
Representing positive integers as a sum of a squarefree number and a small prime
证明了不等于$1$，$2$，$3$，$6$，$11$，$30$，$155$，$247$的正整数$n$都可以表示为一个无平方数与一个不超过$\sqrt{n}$的素数之和.
Sums of squares in $S$-integers
在全实数域上，我们刻画了$S$ -整数环（通过反转一个有理整数$m$得到），使得它们的全正元素都表示为平方和.我们进一步得到部分答案的问题：当所有的全正代数整数，可整除的$m$表示为平方和？
On the mean average of integer partition as the sum of powers
本文研究了函数$r_{k,s}(n)$，即$r_{k,s}(n)$的（有序）表示数为$s$的正$k$次幂之和，其中整数为$k,s\ge 2$ .我们检查函数的平均值，或者等价地，检查\begin{equation*} \sum_{m=1}^n r_{k,s}(m). \end{equation*}
The average number of representations of an integer as a sum of three or more primes, over multiples of a fixed integer
该论文将Ikeda和Suriajaya的结果推广至任意$j\ge 3$个素数之和的表示数平均值，证明一般情形下渐近公式成立，并引入广义哥德巴赫问题奇异级数的平均值作为新工具。
Integer ratios of consecutive alternating power sums
本文给出了正整数对$(k,n)$的一个特征，对$(k,n)$，两个连续的交替幂和之比$$ \frac{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n+1} n^k}{1^k-2^k+3^k-\dots+(-1)^{n}(n-1)^k} $$是一个整数。
Mean representation number of integers as the sum of primes
假设黎曼假设，我们得到的渐近估计的平均值的数量表示的整数作为两个素数的总和。通过证明相应的Ω项，我们证明了我们的结果基本上是最好的可能。
Positive alternating sums of integer partitions
我们结合了一个扩展版本的贝利变换与身份的Bressoud和一些身份的Berkovich和Warnaar证明了各种积极的结果涉及分拆函数交替和。
On the representation of integer as sum of a square-free number and a prime of special type
本文证明存在无穷多个整数可表示为一个无平方因子整数与一个满足特定丢番图不等式条件的素数之和，其中系数α为无理数。
Integers that are sums of two rational sixth powers
证明了$164634913$是两个有理数六次幂之和而不是两个整数六次幂之和的最小正整数。如果$C_{k}$是曲线$x^{6} + y^{6} = k$，我们使用从$C_{k}$到椭圆曲线的态射的存在性，以及Mordell-Weil筛，来排除对于各种$k$在$C_{k}$上存在有理点。
Decomposition of an integer as the sum of two cubes to a fixed modulus
任何整数都可以表示为两个立方之和的固定模数，当且仅当模数不能被7或9整除。对于一个非素正整数N，给出了一种归纳方法，求出了它的模N的两个立方之和。此外，可以找到该表示的组件。
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